2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 四、三角函数与解三角形(逐题详解)


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 四、三角函数与解三角形(逐题详解)
第 I 部分 1. 【 2014 年江西卷(理 04 ) 】在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c, ,若

c 2 ? (a ? b) 2 ? 6, C ?
A.3

?
3

, 则 ?ABC 的面积是
B.

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3

【答案】C

Q c2 ? ? a ? b ? ? b
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? b Q a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos C ? ab 【解析】? 2ab ? b ? ab ? ab ? 6 ?S ? 1 1 3 3 3 ab cos C ? gbg ? 2 2 2 2

2.【2014 年陕西卷(理 02) 】函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(



A.

?
2
B

B .?

C .2?

D.4?

【答案】

【解析】?T =

2π 2π = = π,∴选B |ω | 2

3.【2014 年浙江卷(理 04) 】为了得到函数 y ? sin 3x ? cos 3x 的图象,可以将函数

y ? 2 sin3x 的图象

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 12
A.向右平移

B.向左平移

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 12

1

【答案】C 【解析】函数 y=sin3x+cos3x= 平移 个单位,得到 y= ,故只需将函数 y= = cos3x 的图象向右 的图象.故选:C.

4. 【2014 年全国新课标Ⅱ (理 04) 】 钝角三角形 ABC 的面积是 1 , AB=1, BC= 2 , 则 AC=(

2

)

A.

5

B.

5

C. 2

D. 1

【答案】B 【解析】

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4 ? S ΔABC =

5.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 08) 】设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【答案】 :B 【解析】 :∵ tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2 ?
∴? ? ? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 B

2

6.【2014 年四川卷(理 03) 】为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点 A.向左平行移动

1 个单位长度 2

B.向右平行移动

1 个单位长度 2

C.向左平行移动 1 个单位长度

D.向右平行移动 1 个单位长度

【答案】A 【解析】因为 y ? sin(2 x ? 1) ? sin[2( x ? )] ,故可由函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的 点向左平行移动

1 2

1 个单位长度得到 2

7.【2014 年全国大纲卷(03) 】设 a ? sin 33 , b ? cos 55 , c ? tan 35 ,则(
0 0 0



A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

【答案】C 【解析】由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b>a, 而 c=tan35°= >sin35°=b,∴c>b>a 故选:C

8.【2014 年辽宁卷(理 09) 】将函数 y ? 3sin(2 x ? 得图象对应的函数( A.在区间 [ )

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所 2

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? 7?

? ? ? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3

3

【答案】B 【解析】把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度, )+ ].

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣ 即 y=3sin(2x﹣ 由 取 k=0,得 . , ) . ,得



∴所得图象对应的函数在区间[

]上单调递增.故选:B

9. 【2014 年湖南卷 (理 09) 】 已知函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) , 且 的图象的一条对称轴是 A. x ? 【答案】A 【解析】 函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ? ?

?

2? 3 0

则函数 f ( x ) f ( x) dx ? 0 ,

5? 6

B.

x?

7? 12

C.

x?

?
3

D.

x?

?
6
2?

?

2 2 5? ? 是其中一条对称轴,故选 A ? 的一个值为 ? ? ,则 x ? 6 3

? k? ? x ? ? ?

?

又由 ? 3 f ( x) dx ? 0 得 ? k? ,
0

10.



2014

年 重





( 理

10

) 】



知 ,

?A B C 的 内 角
面 积

A,B, C满足 sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?

1 2

S






1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式成立的是(
A. bc(b ? c) ? 8 【答案】A 【解析】已知变形为 sin 2 A ? sin[(C ? B) ? A] ? sin[(C ? B) ? A] ? 展开整理得 sin 2 A ? 2 cos(C ? B) sin A ? B. ac(a ? b) ? 16

2

C. 6 ? abc ? 12

D.12 ? abc ? 24

1 2

1 1 ? 2sin A[cos A ? cos(C ? B)] ? 2 2 1 1 即 2sin A[? cos(C ? B) ? cos(C ? B)] ? ? sin A sin B sin C ? 2 8
4

而S ? 故1 ?

1 1 1 ab sin C ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin C ? 2 R 2 sin A ? sin B ? sin C ? R 2 2 2 4

R2 ?2?2? R?2 2, 故 abc ? 8R3 ? sin Asin B sin C ? R3 ?[8,16 2] , 4

排除 C , D ,因为 b ? c ? a ,所以 bc(b ? c) ? abc ? 8 ,选择 A

第 II 部分 11.【2014 年天津卷(理 12) 】在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .

1 a , 2sin B ? 3sin C ,则 cos A 的值为_____________. 4 1 【答案】 4 3c 【解析】 因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b = , a = 2c . 2
已知 b ? c ? 所以 cos A =

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

12.【2014 年山东卷(理 12) 】在 V ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 的面积为 。

uu u r uuu r

?
6

时,V ABC

【答案】

1 6

由条件可知 AB ? AC ? cb cos A ? tan A , 【解析】 当 A?

?
6

, bc ?

1 1 2 , S ?ABC ? bc sin A ? 2 6 3

13.【2014 年上海卷(理 01) 】函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是
2

.

【答案】

π 2

【解析】 :原式= ? cos 4 x , T ?

2? ? ? 4 2
5

14.【2014 年广东卷(理 12) 】在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,已知

b cos C ? c cos B ? 2b ,则

a ? b



【答案】 2 【解析】∵ b cos C ? c cos B ? 2b ,由余弦定理化角为边得:

b?

a a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c2 ? b2 ?c? ? 2b ,即 a ? 2b ,故 ? 2 . b 2ab 2ac

15.【2014 年浙江卷(理 17) 】如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行 射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动,此人为了 准确瞄准目标点 P ,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小.若 AB ? 15m , AC ? 25m , ?BCM ? 30? ,则 tan ? 的最大值为____________.

【答案】 【解析】∵ AB=15cm,AC=25cm,∠ ABC=90° ,∴ BC=20cm,过 P 作 PP′⊥ BC,交 BC 于 P′,连接 AP′,则 tanθ= , (20﹣x) ,

设 BP′=x,则 CP′=20﹣x,由∠ BCM=30° ,得 PP′=CP′tan30°= 在直角△ ABP′中,AP′= ∴ tanθ= ? ,令 y= ,

,则函数在 x∈[0,20]单调递减,

∴ x=0 时,取得最大值为

=

. (20+x) ,在直角△ ABP′中,

若 P′在 CB 的延长线上,PP′=CP′tan30°= AP′= ,∴ tanθ= ? ,

令 y=

,则 y′=0 可得 x=

时,函数取得最大值

,故答案为:

6

16.【2014 年上海卷(理 12) 】设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0 , 2? ] 上恰有 三个解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? .

【答案】

7 π 3

【解析】 :化简得 2sin( x ?

?
3

) ? a ,根据下图,当且仅当 a ? 3 时,恰有三个交点,

即 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ?

?
3

? 2? ?

7? 3

17.【2014 年北京卷(理 14) 】 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在学科 网区间 [

? ?

?? ? , ] 上具有单调性,且 f ? ? ? 6 2 ?2?

? 2? f? ? 3

? ?? ? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为 ? ?6?

________. 【答案】π 【解析】由 f( 则 x= 又 f( ∴x= )=f( ) ,可知函数 f(x)的一条对称轴为 x= . , ]上具有单调性, ,

离最近对称轴距离为 ) ,且 f(x)在区间[

)=﹣f(

离最近对称轴的距离也为

.函数图象的大致形状如图,

7



.则 T=π .故答案为:π

18.【2014 年江苏卷(理 05) 】已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的 图象有一个横坐标为

? 的交点,则 ? 的值是 3



【答案】

? ? 的交点,所以将 分别代入两个函 3 3 ? 1 ? 2 ? 1 数,得到 cos ? ? sin( 2 ? ? ) ,通过正弦值为 ,解出 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 3 2 3 3 6 2 ? ? 2 5? ? ?? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,化简解得 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,
【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为

? 6

3

6

结合题目中 ? ? [0, ? ] 的条件,确定出 ? ?

?
6

2

6



o s C 19. 【2014 年江苏卷 (理 14) 】 若三角形 ABC 的内角满足 sinA ? 2 sin B ? 2 sin C , 则c
的最小值是 【答案】 .

6? 2 4

【解析】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边,得 a ? 2b ? 2c ,再由余弦定
2 2 理,用 a , b 去表示 c ,并结合基本不等式去解决,化简 a ? b 为 ab ,消去 ab 就得出答案。

a 2 ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab

a2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ) a ? b ? ab a ? b 2 2 2 2 ? 2 ?4 ?4 2ab 2ab 2ab 4

8

2 ?

3 21 2 a b 4 2 ? 2 ? 6? 2 2ab 4 4

20.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 14) 】函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最 大值为_________. 【答案】 【解析】 1

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.

21.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 16) 】已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,

a =2,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

【答案】 : 3 【解析】 :由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 即 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b ? c ? a ? bc ,故 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c 2 ? 4 ? bc 2bc 2

1 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S ?ABC ? bc sin A ? 3 , 2

22.【2014 年四川卷(理 13) 】如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别 为 67 , 30 ,此时气球的高是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于

m。 (用四舍五入法

将结果精确到个位。参考数据: sin 67 ? 0.92 , cos 67 ? 0.39 , sin 37 ? 0.60 ,

cos 37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )

9

B

C

【答案】 60 【解析】 AC ? 92 , BC ?

AC 92 92 ? sin A ? ? sin 37 ? ? 0.60 ? 60 sin B sin 67 0.92

23.【2014 年全国大纲卷(16) 】若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 则 a 的取值范围是 .

? ? , ) 是减函数, 6 2

【答案】 (﹣∞,2] 【解析】由 f(x)=cos2x+asinx=﹣2sin x+asinx+1,令 t=sinx, 则原函数化为 y=﹣2t +at+1.∵x∈(
2 2 2



)时 f(x)为减函数,

则 y=﹣2t +at+1 在 t∈( ,1)上为减函数, ∵y=﹣2t +at+1 的图象开口向下,且对称轴方程为 t= . ∴ ,解得:a≤2.∴a 的取值范围是(﹣∞,2].故答案为: (﹣∞,2]
2

24. 【2014 年福建卷 (理 12) 】 在△ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 【答案】 【解析】∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ∴ ∴△ABC 的面积=

, 则△ABC 的面积等于



,由正弦定理得:



,解得 sinB=1,∴B=90°,C=30°, .故答案为:

10

25.【2014 年安徽卷(理 11) 】若将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 得图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值是_________. 【答案】 ? ?

?
4

) 的图象向右平移 ? 个单位,所

3? 8

【解析】 f ( x ? ? ) ? sin( 2 x ? 取 k ? ?1 得 ? ?

? ? ? ? k? ? 2? ) 为偶函数, ? 2? ? ? k? (k ? Z ) ? ? ? ? ? (k ? Z ) 4 4 2 8 2

3? 8

第 III 部分 26.【2014 年江西卷(理 16) 】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a , ? 的值.

?

2

【解析】 (1)

a ? 2, ? ?

?
4

,

? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ? sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 2

?

?

2 2 sin x ? cos x ? 2 sin x 2 2 2 2 ……………………………………………………………3 分 ? cos x ? sin x 2 2 ?? ? ? cos ? x ? ? 4? ? ? ? 5? ? ? x? ? 又 0? x ?? , …………………………………………………………4 分 4 4 4 ?
??1 ? f ? x ? ? 2 2

? f min ? x ? ? ?1, f max ? x ? ?

2 ;……………………………………………………………6 分 2

11

f ( ) ? sin( ? ? ) ? a cos( ? 2? ) ? cos ? ? a sin 2? ? cos ? ? a 2sin ? cos ? ? 0 2 2 2 ? ? 又 ? ? ( ? , ) ,? cos ? ? 0,? 2a sin ? ? 1 …………………………………………7 分 2 2
(2)

?

?

?

f (? ) ? sin(? ? ? ) ? a cos(? ? 2? ) ? ? sin ? ? a cos 2? ? 1
?? sin ? ? a ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1

?? sin ? ? a ? 2a sin 2 ? ? 1 ,…………………………………………8 分
? a ? ?1 …………………………………………10 分 1 ? ? ? ? sin ? ? ? ,又 ? ? ( ? , ) ,所以 ? ? ? ………………12 分 6 2 2 2

27.【2014 年山东卷(理 16) 】 (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m,cos 2 x ? , b ? ? sin 2 x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ? x ? 的图像过 点?

?? ? ? 2? ? , 3 ? 和点 ? , ?2 ? . ? 12 ? ? 3 ?

(I)求 m, n 的值; (II)将 y ? f ? x ? 的图像向左平移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.
解: (Ⅰ)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2x ? n cos2x ,

? f ( x) 过点 (

?
12

, 3 ), (

? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 12 6 6 2? 4? 4? f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 3 3 3

?

?

2? , ?2) 3

?

?1 3 n? 3 ? m? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? ?? ?n ? 1 ?? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2

12

(Ⅱ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?
2

?
6

)

设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0 ? 1解得 x0 ? 0

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

?
6
?

? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?
?

?
3

?
6

) ? 2 sin( 2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [ ?

?
2

? k? , k? ], k ? z

28.【2014 年天津卷(理 15) 】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x sin( x ? ⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 在闭区间 [ ?

?
3

) ? 3 cos2 x ?

3 , x?R. 4

? ? , ] 上的最大值和最小值. 4 4

解:(1)由已知,有

f(x)=cos x·? sin x+

?1 ?2

3 3 ? 2 cos x?- 3cos x+ 4 2 ?

1 3 3 2 = sin x·cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x- ?, 3? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,f?- ? 12? ? 4 ? 12 4 ? ? 4?

13

1 ? π? 1 ?π ? 1 =- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 ? 12? 2 ?4? 4 1 1 ? π π? 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4?

29.【2014 年陕西卷(理 16) 】 (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a ,

b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,

(1)? a、b、c 成等数列,? a+c=2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB.

? ?

sinB=sin[ ? -(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+C) sinA+sinC=2sin(A+C).

(II)? a,b,c 成等比例,? b =2c. 由余弦定理得
2

cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? , ? ≥ 2ac 2 2ac 2ac

当且仅当 a=c 时等号成立.

1 ? cosB 的最小值为 . 2
30.【2014 年浙江卷(理 18) 】 (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? b , c ? 3 ,

cos2 A ? cos2 B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B . ⑴求角 C 的大小; 4 ⑵若 sin A ? ,求 ?ABC 的面积. 5
解: (Ⅰ )∵ △ ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ = ,cos A﹣cos B= sin2B,
2 2

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2A﹣

14

即 cos2A﹣cos2B= (A﹣B) .

sin2A﹣

sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 ,∴ A+B= ,∴ C=

?cos(A+B)sin .

∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A﹣B)≠0,∴ tan(A+B)=﹣

(Ⅱ )∵ sinA= < 由正弦定理可得,

,C= =

,∴ A< ,即 =

,或 A> ,∴ a= .

(舍去) ,∴ cosA=

= .

∴ sinB=sin[(A+B)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B)sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × =

﹣(﹣ )× =



31.【2014 年上海卷(理 21) 】 (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分.

B 两地连线上的定点 如图,某公司要在 A 、
C 处建造广告牌 CD , 其中 D 为顶端,AC 长 35

D

B 在同一水平面上, 米, CB 长 80 米. 设点 A 、
从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? . (1) 设 计 中 CD 是 铅 垂 方 向 . 若 要 求
A

?
C

?
B

? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)?
CD 与铅垂方向有偏差. ? ? 18.45? , (2) 施工完成后, 现在实测得 ? ? 38.12? , 求 CD
的长(结果精确到 0.01 米). 【解析】 : (1)设 CD 的长为 x 米,则 tan ? ?

x x ? , tan ? ? ,∵ ? ? ? 2 ? ? 0 , 35 80 2

x 2 tan ? x 80 ? 160 x , ∴ tan ? ? tan 2? ,∴ tan ? ? ,∴ ? 2 1 ? tan ? x2 35 6400 ? x 2 1? 6400 2
解得 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 ,∴ CD 的长至多为 28.28 米 (2)设 DB ? a, DA ? b, DC ? m , ?ADB ? 180? ? ? ? ? ? 123.43? , 则

a AB 115sin 38.12? ? ? 85.06 , ,解得 a ? sin ? sin ?ADB sin123.43?

15

∴ m ? 802 ? a2 ?160a cos18.45? ? 26.93 ,∴ CD 的长为 26.93 米

32.【2014 年湖北卷(理 17) 】某实验室一天的温度(单位: C )随时间 (单位;h)的变 化近似满足函数关系: f (t) ? 10 ? 3 cos (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 11 C ,则在哪段时间实验室需要降温?
o

o

?
12

t ? sin

?
12

t , t ? [0, 24).

(Ⅰ)因为 f (t) ? 10 ? 2(

3 ? 1 ? ? ? cos t ? sin t) ? 10 ? 2sin( t ? ) 2 12 2 12 12 3
t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 。 12 3 12 3
o o

又 0 ? t ? 24 当 t ? 2 时, sin(

?

?

?

?

于是 f (t) 在[0,24)上取得最大值 12 C ,取得最小值 8 C . 故实验室这一天最高温度为 12 C ,最低温度为 8 C ,最大温差为 4 C 。
o o o

(Ⅱ)依题意,当 f (t) ? 11时实验室需要降温 由(1)得 f (t) ? 10 ? 2sin( 即 sin(

? 1 t? ) ? ? 。 12 3 2 7? ? ? 11? ? t? ? 又 0 ? t ? 24 ,因此 ,即 10 ? t ? 18 。 6 12 3 6
在 10 时至 18 时实验室需要降温。

?

t ? ) ,故有 10 ? 2sin( t ? ) ? 11 12 3 12 3

?

?

?

?

33.【2014 年广东卷(理 16) 】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? 且 f(

?
4

), x ? R ,

5 3 ?) ? , 12 2 (1)求 A 的值;
16

(2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ?

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

(1)∵ f ( x ) ? A sin( x ?

?
3

) , x? R, f (

5? 3 2 . )? 12 2

∴ A sin(

5? ? 3 2 3? 3 2 ,即 A sin ,∴ A ? 3 ; ? )= = 12 3 2 4 2

(2)由(1)知 f ( x) ? 3sin( x ? ∴ 3sin(? ?

?

) ,又∵ f (? ) ? f (?? ) ? 3 , ? ? (0, ) , 3 2

?

?

? ? ? 3 ) ? 3sin(?? ? ) ? 3 ,∴ sin(? ? ) ? 3sin(? ? ) ? , 3 3 3 3 3



? 3 1 3 1 3 3 , 所以 sin ? ? , 又∵ ? ? (0, ) , sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 2 3 2 2 2 2 3
6 3 2 , ) = 3 3
) = 3cos ? = 6 .

∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? = 1 ? ( ∴ f(

?
6

? ? ) = 3sin(

?
6

?? ?

?
3

34.【2014 年北京卷(理 15) 】如图,在 ?ABC 中, ?B ? 且 CD ? 2, cos ?ADC ? (1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

?
3

, AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,

1 7

解: (I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ?

1 4 3 ,所以 sin ?ADC ? 。 7 7

所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

17

?

4 3 1 1 3 3 3 。 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得

3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7
在 ?ABC 中,由余弦定理得

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B
? 82 ? 5 2 ? 2 ? 8 ? 5 ?
所以 AC ? 7

1 ? 49 2

35.【2014 年江苏卷(理 15) 】已知 ? ? ? (1)求 sin(

5 ?? ? 。 ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

?
4

? ? ) 的值; (2)求 cos(

5? ? 2? ) 的值。 6

(1)∵α ∈(错误!未找到引用源。 ,π ) ,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1 错误!未找到引用源。2 错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )=错误!未找到引用源。

36.【2014 年四川卷(理 16) 】已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?
4

)。

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 5 4

18

解: (1)由 2k? ?

2 k? ? 2 k? ? ? ?x? ? 2 4 2 3 4 3 12 2 k? ? 2 k? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ ? , ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12 ? 3x ? ? 2 k? ?

?

?

?

?

(2)由 f ( ) ?

?

3

4 ? ? 4 ? cos(? ? ) cos 2? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? 5 4 4 5 4

因为 cos 2? ? sin(2? ? 所以 sin(? ?

?

?

8 ? ? ) ? cos 2 (? ? ) sin(? ? ) 4 5 4 4

) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) 2 4 4 4

?

?

?

又 ? 是第二象限角,所以 sin(? ?

?

? 5 ) ? 0 或 cos 2 (? ? ) ? 4 4 8
3? (k ?Z ) 4

①由 sin(? ?

?
4

) ? 0?? ?

?
4

? 2 k ? ? ? ? ? ? 2 k? ?

所以 cos ? ? sin ? ? cos ②由 cos (? ?
2

3? 3? ? sin ?? 2 4 4

?
4

)?

5 ? 5 1 5 ? cos(? ? ) ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 8 4 2 2 2 2 2
5 2 5 2

所以 cos ? ? sin ? ? ?

综上, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ?

37.【2014 年全国大纲卷(17) 】 (本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?
B.

1 ,求 3

解:根据正弦定理,由 3a cos C ? 2c cos A ? 3sin A cos C ? 2sin C cos A

sin A sin C ? 2? ? 3 tan A ? 2 tan C cos A cos C 1 1 1 因为 tan A ? ,所以 3 ? ? 2 tan C ? tan C ? 3 3 2 ? 3?
19

1 1 ? tan A ? tan C 3 2 ?1 所以 tan( A ? C ) ? ? 1 ? tan A tan C 1 ? 1 ? 1 3 2 ? 因为 0 ? A ? C ? ? ,所以 A ? C ? 4 ? 3? 由三角形的内角和可得 B ? ? ? ? . 4 4

38.【2014 年辽宁卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边 a, b, c, 且a ?c, 已知 BA ? BC ? 2 ,cos B ? 求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. (Ⅰ)由 BA ? BC

1 ,b ? 3 , 3

1 ? 2 得, c ? a cos B ? 2 ,又 cos B ? ,所以 ac=6. 3
2

由余弦定理,得 a

? c ? b ? 2ac cos B .

2

2

又 b=3,所以 a

2

? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 .

2

解? 2

? ?ac ? 6 ? ?a ? c ? 13
2

,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因为 a>c,∴ a=3,c=2.

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ?

1 2 2 2 2 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ? . 3 3

由正弦定理,得 sin C

c 2 2 2 4 2 ,又因为 a ? b ? c ,所以 C 为锐角, ? sin B ? ? ? b 3 3 9
2

因此 cos C

? 1 ? sin C ? 1 ? (

4 2 2 7 ) ? . 9 9

20

于是 cos( B ? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C =

1 7 2 2 4 2 23 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27

39.【2014 年湖南卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2 , AC ? 7 . (1) 求 cos ?CAD 的值; (2) 若 cos?BAD ? ?

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

解: (1)在 ?ADC 中,则余弦定理,得 cos?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 . 2 AC ? AD

由题设知, cos?CAD ?

7 ?1? 4 2 7

?

2 7 . 7

(2)设 ?BAC ? ? ,则 ? ? ?BAD ? ?CAD 因为 cos ?CAD ?

2 7 7 , cos?BAD ? ? , 所以 7 14

sin ?CAD ? 1 ? cos2 ?CAD ? 1 ? (

2 7 2 21 , ) ? 7 7
7 2 3 21 . ) ? 14 14

sin ?BAD ? 1 ? cos2 ?BAD ? 1 ? (?

于是 sin ? ? sin(?BAD ? ?CAD) ? sin ?BADcos?CAD ? cos?BADsin ?CAD

?

3 21 2 7 7 21 3 ? ? (? )? ? . 14 7 14 7 2
BC AC ? ,故 sin ? sin ?CBA

在 ?ABC 中,由正弦定理,

21

BC ?

AC ? sin ? ? sin ?CBA

7?

3 2 ? 3. 21 6

40.【2014 年福建卷(理 16) 】已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α < ,且 sinα = ,求 f(α )的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解: (1)∵0<α <

,且 sinα =

,∴cosα =

, ×( + )﹣ = .

∴f(α )=cosα (sinα +cosα )﹣ ,=

(2) f (x) =cosx (sinx+cosx) ﹣ . =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x=

2

sin (2x+

) ,

∴T=

=π ,由 2kπ ﹣

≤2x+

≤2kπ +

,k∈Z,得 kπ ﹣

≤x≤kπ +

,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

,kπ +

],k∈Z

41.【2014 年安徽卷(理 16) 】 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c ,且 b ? 3, c ? 1, A ? 2 B . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin( A ?

) 的值. 4 b sin A 3 sin 2 B ? ? 6 cos B , a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 10 ? 6 cos A (Ⅰ) a ? sin B sin B

?

36 cos 2 B ? 18 ? 18 cos 2 B ? 18 ? 18 cos A ? 10 ? 6 cos A ? cos A ? ?

1 3

a ? 10 ? 6 cos A ? 12 ? 2 3

22

(Ⅱ)已求出 cos A ? ?

1 2 2 ,由 A 是 ?ABC 的内角,得 sin A ? 3 3

? 2 2 2 sin( A ? ) ? (sin A ? cos A) ? ? 4 2 3 6

42.【2014 年重庆卷(理 17) 】已知函数 f ?x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? 像关于直线 x ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图 2?

?
3

对称,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? .

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ?

3? ? 3 ?? 2? ? ? ?? ? ? 的值. ?? ? ?? ? ? ,求 cos? ? ? 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6

(1)由已知 f ( ) ? ? 3 ,周期 因为 ? ? [ ?

?

2?

? ?

3

, ) ,故只有 ? ? ? 6 2 2

? ?

? ? ,解出 ? ? 2, ? ? k? ?

?
6

,k ?Z

(2)因为 f ?

? 3 ? 1 ?? ? ? sin(? ? ) ? ? ? 3 sin(? ? ) ? 6 4 6 4 ?2?
?
6 ?

由已知 0 ? ? ?

? ? 15 ? ,故 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 4 2

3? ? cos ? ? ? 2 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? )sin 6 6 6 6 6 6 ?

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? ? 4 2 4 2 8

23


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