上海高三高中数学专题复习-解析几何题型与方法


2013 届高三数学二轮专题:解析几何题型与方法
一、填空题 1.双曲线
y2 x2 两渐近线夹角为 。 ? ? 1 的渐近线为 9 4 2. 已知直线 l : y ? kx ? 1 与两点 A(?1, 5)、B(4, ? 2) ,若直线 l 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是
2 2



3.若直线 l : ax ? by ? 1 与圆 C : x ? y ? 1 有两个不同的交点,则点 P?a, b ? 与圆 C 的位置关系是 4.已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为它的短轴的一个端点,若该椭圆的长轴长为 4 ,则△ AF1 F2 面积的最大 值为 . 5.抛物线 y ? ?16 x 2 的焦点为 ,准线方程为 。
1 sin A , 则 A 点的轨迹方程为 2

6. ?ABC 中, A 为动点, B ( -2 , 0 ) , C ( 2 , 0 )且满足 sinC ? sin B ? 。 7.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么
2 2

y 的最大值是 x

.

8.若动点 P(x,y)到点 A(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 P 的轨迹 方程为 。 9. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 . a2 9

设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 ? 3 ,则 PF1 ? 10.点 P 是双曲线
y2 x2 o ? ? 1 上一点,F1、F2 是双曲线焦点,若?F1PF2=120 , 4 3 则?F1PF2 的面积 。
2

11.若方程 x+k- 1 ? x =0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是______________。 12.如果直线 y ? kx ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m



13. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5, 该抛物线的顶点到直线 MF 的距离为 d, 则 d 的值为
2 2



14、椭圆

?FAB 的面积是____________.
二、选择题

x y ? 2 ? 1?a ? 0? 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, 2 4a 3a

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,∠ F1 PF2 = 60? ,则 P 到 x 轴的 15.若 F1 、 F2 为双曲线 C : 4
距离为 ………( )

( A)

5 . 5
2

( B)

15 . 5
2

(C )

2 15 . 5

( D)

15 . 20


16. A ? B ? 0 是方程 Ax ? By ? Dx ? Ey ? C ? 0 表示双曲线的 (A)充分但非必要条件 (B)必要但非充分条件 -1-



(C)充要条件
2 2

(D)不充分也非必要条件
2 2

17、圆 x ? y ? ax ? by ? 0 与直线 ax ? by ? 0(a ? b ? 0) 的位置关系是 ( A.直线与圆相交但不过圆心.
2

)

B. 相切. C.直线与圆相交且过圆心. D. 相离.
2

18、若直线 ax ? by ? 4 ? 0 和圆 x ? y ? 4 没有公共点,则过点 (a , b) 的直线与椭圆 个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2
2

x2 y2 ? ? 1 的公共点 9 4

D.需根据 a , b 的取值来确定 ) D. ?

19、曲线 y ? ? 4 ? x ( x ? 0) 的长度为( A.

2? 3

B.

3? 2

C. 2?

20. 经过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F2 作直线 l 交双曲线与 A 、 B 两点,若|AB|=4, 2
( (C)2; (D)1 ( ) )

则这样的直线存在的条数为 (A)4; (B)3; 21.过点 P(3,4)与双曲线 c : A.4 B. 3
2

x2 y2 ? ? 1 只有一个交点的直线的条数为 9 16
C.2 D. 1

22.已知点 P(4,-1) ,F 为抛物线 y ? 8 x 的焦点,在此抛物线上求一点 Q, 使 |QP|+|QF|的值最小,则点 Q 的坐标 ( (A) (0,0) ; (B) (4, 4 2 ) ; ( C) (4,- 4 2 ) ; (D) ( ,-1)
1 8



23. F1、F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨 迹为 ( ) (A)圆; (B)椭圆 ; (C)双曲线 ; (D)抛物线

三、解答题 题型一.轨迹方程 1.设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直 线 l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1).当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;

2. 设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M ( 0 , 1 )的直线 l 交椭圆于点 A 、 B , O 是坐标原点,点 P 满足 4

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 1 OP ? ( OA ? OB ) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程; 2 2 2

-2-

3. 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线

x2 y2 ? ? 1于 a2 b2

y P A1 O A2

M x N

M 、 N 两点, A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与
A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

△ 2 二.弦长与面积: | A B | ? 1 ? k · | x ? x | ?1 ? k 2· A B |a|
4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角 a2 b2

形,直线 l 经过点 F2 ,倾斜角为 45? ,与椭圆交于 A , B 两点.

|F1 F2 |? 2 2 ,求椭圆方程; (1)若
(2)对(1)中椭圆,求 ?ABF1 的面积;

x2 y 2 2 )在 椭 圆 C 上 , 点 T 满 足 5 . 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 一 个 焦 点 为 F (1, 0 ) , 点 ( ? 1, 2 a b
??? ? OT ? a2 a 2 ? b2 ??? ? ? OF (其中 O 为坐标原点) ,过点 F 作一直线交椭圆于 P 、Q 两点 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)

求 ?PQT 面积的最大值;

-3-

三. 韦达定理:
①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” ? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ? “直角、锐角、钝角问题”

??? ? ??? ?

? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” ? x1 x2 ? y1 y2 >0;
6、已知直线 y=kx+1 与曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点。 (1)如 A、B 两点都在右支上,求 k 的范围?(2)如果 | OA? OB
? ?

|?| AB | ,则 k 为何值?

?

x2 7.设 F1、F2 分别是椭圆 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

???? ???? ?

-4-

四.向量与最值问题
8.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

??? ? ??? ?

x2 y2 a2 → → 9.设椭圆 M: 2+ =1(a> 2)的右焦点为 F1,直线 l:x= 2 与 x 轴交于点 A,若OF1+2AF1=0(其中 O 为 a 2 a -2 坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直径(E,F 为直径的两个端点), → → 求PE· PF的最大值.

10..已知曲线 C 上动点 P( x, y) 到定点 F1 ( 3,0) 与定直线 l1 : x ? (1)求曲线 C 的轨迹方程;

4 3 3 的距离之比为常数 . 3 2

1 (2)若过点 Q(1, ) 引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程; 2
? ? ?? ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) , (3) 以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : 设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与点 N , 求T MT N ?

的最小值,并求此时圆 T 的方程.

-5-

11. 已知点 F1 , F2 为双曲线 C : x ?
2
0

y2 ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交双 b2
2 2 2

曲线于点 M ,且 ?MF1 F2 ? 30 ,圆 O 的方程为 x ? y ? b . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若双曲线 C 上的点到两条渐近线的距离分别为 d1 , d 2 ,求 d1 ? d 2 的值; (3)过圆 O 上任意一点 P( x0 , y0 ) 作切线 l 交双 曲线 C 于 A, B 两个不同点,求 OA ? OB 的值.

uur uu u r

[来源:学科网 ZXXK]

五.定点与定值
1.“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2 ? 0 或 K 1 ? K 2 ) ; 2.“共线问题” (如: AQ ? ? QB ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ; (如:A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; 12. 已知定点 F (2,0) ,直线 l : x ? ?2 ,点 P 为坐标平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 ??? ? ??? ? ??? ? FQ ? ( PF ? PQ) .设动点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,求证:

????

??? ?

1 1 1 ? ? ; | AF | | BF | 2

-6-

13. 已知椭圆 C :

? 6 x2 y2 3? ? ? 两点, , ( ) 经过 与 过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 ? ? 1 a ? b ? 0 ( 1 , 1 ) ? 2 ? 2 a2 b2 ? ?

B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 | MA |?| MB | .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: y M A O B x

1 1 2 为定值. ? ? 2 2 | OA | | OB | | OM | 2

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1的两焦点分别为 F1、F2 , P 是椭圆在第一象限内的一点,并满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 4 2 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标 ; (2)当直线 PA 经过点 (1 , 2) 时,求直线 AB 的方程; (3)求证直线 AB 的斜率为定值.
14.已知椭圆

2 13.已知点 N 为曲线 y ? 4 x ( x ? 0) 上的一点, 若 A(4,0) , 是否存在垂直 x 轴的直线 l

被以 AN 为直径的圆

截得的弦长恒为定值?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,

请说明理由.

八、求参数范围问题

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 t 的取值范围为_______. 5 t 2 2 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
16.若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证: OP ? OQ ;
2 2

-7-

(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 ,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求证: O 到直线 MN
2 2

的距离是定值.
18.已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1. 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程;

OB ? 3 时,求实数 m 的值. (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 OA?

??? ? ??? ?

21.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值;
2 2

(3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。 解:

1 x 对称?若存在, 2

23. 已知 i , j 是 x, y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足 b ? i ? a . (1) 求点 P ? x, y ? 的轨迹方程; (2) 过点

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

3, 0 的直线 l 交上述轨迹于 A, B 两点,且 AB ? 8 3 ,求直线 l 的方程.

?

[来源:Zxxk.Com]

24 . 已 知 椭 圆 C :

2 x2 y 2 )在 椭 圆 C 上 , 点 T 满 足 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 一 个 焦 点 为 F (1,0) , 点 (? 1, 2 2 a b

??? ? OT ?

a2 a 2 ? b2

??? ? ? OF (其中 O 为坐标原点) ,过点 F 作一直线交椭圆于 P 、 Q 两点 . (1)求椭圆 C 的方程;

(2)求 ?PQT 面积的最大值;

-8-

x2 y2 15、 (16 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 与椭圆 C a b
相交于 A , B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (1)求证: AB ?

4 a ;(2)若直线 l 的斜率为 1,且点 (0,?1) 在椭圆 C 上,求椭圆 C 的方程. 3

26.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 ,记动点 P 的轨迹为 W 。 (1)求 W 的方程; (2)过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,使得 | AB |? 2 2 ,求直线 l 的方程。 (3)若从动点 P 向圆 C : x ? ( y ? 4) ? 1 作两条切线,切点为 A 、 B ,令|PC|=d,
2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 试用 d 来表示 PA ? PB ,并求 PA ? PB 的取值范围。

27.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分.

???? ???? ? x2 y2 ? ? 1的两焦点分别为 F1、F2 ,P 是椭圆在第一象限内的一点, 并满足 PF1 ? PF2 ? 1 , 过P 4 2 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标 ; , 2) 时,求直线 AB 的方程; (2)当直线 PA 经过点 (1 (3)求证直线 AB 的斜率为定值.
已知椭圆

-9-

28.椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) . 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 N、 P. (1)求椭圆 T 的方程;

k 2 、k 3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、
若直线 OM 、 ON 、OP 的斜率之和为 0,求证:

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

- 10 -


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