艺术生专用数学第一章集合与常用逻辑用语第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学生用


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第一章

集合与常用逻辑用语

第三讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、必记 3 个知识点 1.简单的逻辑联结词 命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词. 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词: “所有的”“任意一个”,用符号“?”表示. (2)存在量词: “存在一个”“至少有一个”,用符号“?”表示. (3)全称命题: 含有全称量词的命题,叫做全称命题;“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符 号简记为:?x∈M,p(x). (4)特称命题: 含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符 号简记为:?x0∈M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M, ? p(x0) ?x∈M, ? p(x)

二、必明 2 个易误区 1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式, 再写出命题的否定. 2.p 或 q 的否定易误写成“ ? p 或 ? q”;p 且 q 的否定易误写成“ ? p 且 ? q”. 三、必会 3 个方法 1.含逻辑联结词命题真假判断: (1)p∧q 中一假即假. 信心+细心
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(2)p∨q 中一真必真. (3) ? p 真,p 假; ? p 假,p 真. 2. 含量词的命题的否定方法是“改量词, 否结论”, 即把全称量词与存在量词互换, 然后否定原命题的结论. 3.判断命题的真假要注意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;特称命题为真 需举一个例子,为假则要证明全称命题为真. 考点一 全称命题与特称命题的真假判断 )

1.(2014· 皖南八校联考)下列命题中,真命题是( x0 x0 1 A.存在 x0∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 C.任意 x∈(0,+∞),x2+1>x 考点二

B.任意 x∈(0,π),sin x>cos x
2 D.存在 x0∈R,x0 +x0=-1

含有一个量词的命题的否定 )

[典例] 已知命题 p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)≥0,则 ? p 是( A. ?x1, x2∈R, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 [针对训练] 写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论 m 取何实数值,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:?x0∈N,x2 0-2x0+1≤0. 考点三 含有逻辑联结词的命题

B. ?x1, x2∈R, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0

[典例] 已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y =2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范围是( ) B.[-12,-4]∪[4,+∞) D.[-12,+∞)

A.(-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4)

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[针对训练]已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题 q:“?x0∈R,x2 0+4x0+a =0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.[e,4] B.[1,4] D.(-∞,1] )

课后练习
[试一试] 1.设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则( A. ? p:?x∈A,2x∈B C. ? p:?x∈A,2x?B B. ? p:?x?A,2x∈B D. ? p:?x?A,2x?B )

2.若 ab=0,则 a=0 或 b=0,其否定为________. [练一练] 1.命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x <0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0
2

)

B.不存在 x∈R,使得 x2<0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

1 2.已知命题 p:?x0∈R,x2 0+ 2≤2,命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p∧q、 x0 p∨q 中是真命题的是________. 做一做 1.命题“?x∈R,都有 ln(x2+1)>0”的否定为( A.?x∈R,都有 ln(x2+1)≤0 C.?x∈R,都有 ln(x2+1)<0 2.有下列四个命题,其中真命题是( A.?n∈R,n2≥n C.?n∈R,?m∈R,m2<n )

B.?x0∈R,使得 ln(x2 0+1)>0 D.?x0∈R,使得 ln(x2 0+1)≤0 )

B.?n∈R,?m∈R,m· n=m D.?n∈R,n2<n )

3. “p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的( A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 在一次跳伞训练中, 甲、 乙两位学员各跳一次. 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 信心+细心 第 3 页 共 4 页

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(

) A. ( ? p)∨( ? q) C. ( ? p)∧( ? q) B.p∨( ? q) D.p∨q )

5.已知 p:2+3=5,q:5<4,则下列判断正确的是( A.“p 或 q”为真,p 为假 C.“p 且 q”为假,p 为假

B.“p 且 q”为假,q 为真 D.“p 且 ? q”为真,“p 或 q”为真

6.)已知命题 p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题 q:?x∈(0,1),log2x<0,则下列 命题为真命题的是( A.p∧q ) B.p∨( ? q) C.( ? p)∧q ) D.p∧ ? (q)

7.将 a2+b2+2ab=(a+b)2 改写成全称命题是( A.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2 B.?a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 C.?a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 D.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2

8.已知命题 p:所有指数函数都是单调函数,则 ? p 为( A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数

)

?1 ? x 9 已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数.命题 q:当 x∈? ,2?时,函数 f(x)= ?2 ?
x+ > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. x c
1 1

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