《等差数列》公开课教案



《等差数列》教案
授课时间:2014.04.22 教材:人教版 课 题 授课班级: 高一(1)

等差数列





新授课

知识与技能目标: 理解等差数列的定义; 会根据等差数列的通项 公式求某一项的值; 会根据等差数列的前几项 求数列的通项公式。 教学目标 过程与方法目标:通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方 法提高学生思考问题、解决问题的能力。 情感、态度、价值观目标:培养学生的逻辑推理能力;培养学 生在探索中学习知识的精神,增强学生相互合作交流的意识。 教学重点 教学难点 教学手段 会求等差数列的通项公式。 等差数列的通项公式的推导。 多媒体辅助教学

教学过程: 一、创设情境,引入课题 ① 如图 1 所示:一个堆放铅笔的 V 形架的最下面 一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放 1 支,这个 V 形架的铅笔从最下面一层往上面排起的 铅笔支数组成数列:1,2,3,4,……

图 1 面 自 动 ②某个电影院设置了 20 排座位,这个电影院从第 1 排起各排的座位数组成数列: 注

38,40,42,44,46,……

③全国统一鞋号中,成年女鞋的各种尺码(表示以 cm 为单位的鞋底的长度)由大到小可 排列为:25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5. 二、 师生互动,探索新知 [设计说明:职校生的数学基础差,采用边教学边反馈的方式,有利于教师及时了解学生 理解新知识的程度,增强学生学好数学的信心] 教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点与变化规律。 数列①从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; 数列②从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; 数列③从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 ; 提出问题 1:上面三个数列的共同特点是什么? 学生:从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 <一>等差数列的定义:如果一个数列从它的第 2 项起每一项与它的前一项的差都等于同一

个常数,则这个数列叫做等差数列;这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表 示。等差数列的公差 d 的数学表达式为: an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) 。 基础训练:1、上面数列①的公差 d= ; 数列②的公差 d= 数列③的公差 d= [教学说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍] ;

2、下面的数列中,哪些是等差数列?若是,求出它的公差;若不是,则说明理由。 (1) 6,10,14,18,22,……;(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0. 提出问题 2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数吗? 师生讨论得出结论: (1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点: 从第 2 项起,每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数; (2)等差数列的公差 d 可能是正数、负数、零。 [设计说明:从具体数列入手,有利于较多基础差的学生理解等差数的定义,判断数列是 否为等差数列转换成具体的步骤:求后面一项与前面一项的差,看这些差是否相等] 提出问题 3:等差数列 {an } 的公差 d 的数学表达式为: an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) , 揭示了求公差 d 可以用哪些式子表示? 师生共同活动: d ? a2 ? a1 , d ? a3 ? a2 , d ? a4 ? a3 , ???, d ? an?1 ? an?2 , d ? an ? an?1 等, 变式: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d , ???, an?1 ? an?2 ? d , an ? an?1 ? d 提出问题 4: 如果等差数列 {an } 只知道首项 a1 , 公差 d, 那么这个数列的其他项如何表示?
1( 个 ) 2( 个 ) ? ? ? 师生共同活动: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? a1 ? d ? d ? a1 ? 2d ,

1( 个 )

3( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ? ? a4 ? a3 ? d ? a2 ? d ? d ? a1 ? d ? d ? d ? a1 ? 3d , …, 1( 个 )

3( 个 ) n ?1( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? an ? an ?1 ? d ? an ?2 ? d ? d ? an ?3 ? d ? d ? d ? ??? ? a1 ? d ? d ? ??? ? d ? a1 ? (n ? 1)d 1( 个 )

[设计说明:问题 3、问题 4 的提出训练学生的变形思想、递归思想,从而引出等差数列的 通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式] <二>等差数列的通项公式: 等差数列 {an } 的任一项为 an ,则它可以表示为: an 列的通项公式。 (说明:通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式,包括第一项: a1 ) 提出问题 5: d ? a2 ? a1 , d ? a3 ? a2 , d ? a4 ? a3 , ???, d ? an?1 ? an?2 , d ? an ? an?1 有
2

? a1 ? (n ?1)d

,这就是等差数

个等式?

如果将上述等式相加会得到等式:

(n ?1)d ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ???? ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) ,

(n ?1)d ? an ? a1 ,可求出等差数列的通项公式: an

? a1 ? (n ?1)d

(叠加法)

由提出问题 4 的师生活动可知通项公式的变形: 3( 个 ) 1( 个 ) 2( 个 ) 1( 个 ) 2( 个 ) ? ? ?? ? ? ? ? ? an ? an ?1 ? d ? an ?2 ? d ? d ? an ?2 ? 2d , an ? an ?1 ? d ? an ?2 ? d ? d ? an ?3 ? d ? d ? d ? an ?3 ? 3d ,

???, an ? am ? (n ? m)d
小结:等差数列的通项公式: an 变形公式: an ? am ? (n ? m)d

? a1 ? (n ?1)d

①,

( n 、 m ? N ) ②(注意 n 不一定大于 m )

公式的认识与理解: 1、通项公式含有四个量,根据公式之间的联系,由方程的思想,知三可求一; 2、与 a1 , an 两项直接相关时一般用公式①,与 am , an 两项直接相关时一般用公式② 三、 合作交流,熟练技能 例 1 求等差数列 5,7,9,11,……的通项公式与第 10 项。 [分析] 这个数列第一项(首项 a1 )是 5,知第一、二、三、四项,易求公差 d,写出通项 公式,再利用通项公求出第 10 项。 解:因为 a1 ? 5, d ? 7 ? 5 ? 2 ,所以这个等差数列的通项公式是

an ? 5 ? 2 ? (n ?1), 即 an ? 2n ? 3, a10 ? 2 ?10 ? 3 ? 23 。
例 2 数列 {an } 是等差数列. (1) 已知 d ? ?2, a16 ? 1, 求a1 ; (2)已知 a3 ? 5, a10 ? 47, 求d 。 [分析] 第(1)题与 a1 , a16 两项直接相关用公式①, 第(2)题与 a3 , a10 两项直接相关用公式② 解: (1) a16 ? a1 ? 15d , 1 ? a1 ? 15 ? (?2) ,解方程得 (2) a10 ? a3 ? 7d , 47 ? 5 ? 7d ,解方程得

a1 ? 31 。

d ?6 。

[设计说明:例 1 列出等差数列的前面四项,让学生学会观察数列的首项,学会直接求出等 差数列的公差, 增强感性认识; 例 2 的分析是理性认识等差数列的通项公式及其变形公式] 四、迁移应用,深化提高 1、等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31, 求a1 、 d 。
3

2、在 12 和 60 之间插入 3 个数,使它们与这两个数成等差数列,求这 3 个数。 [分析] 第 1 题:与 a5 , a12 两项直接相关用公式②求出 d ,与 a1 , a5 两项直接相关或与 a1 , a12 两项直接相关用公式①求出 a1 。 第 2 题:插入 3 个数,这个等差数列共有 5 个数,已知 a1 ? 12, a5 ? 60, n ? 5 ,求这 3 个数 即是求 a2 , a3 , a4 ,由等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 中的 a1 , d , n, an 四个量,将

a1 ? 12, a5 ? 60, n ? 5 代入公式看成方程,先求出公差 d,再代入通项公式可求得这 3 个数。
解: (略) 补充练习:P119 练习 A 1、2 [设计说明:目的是使学生灵活运用等差数列通项公式及其变形公式。尤其是第 2 题,不少 学生不会分析 60 是第几项,所求的 3 个数是第几项,即将语言转换成符号的能力是学生 的弱项] 五、积累与总结 1、知识梳理 (1)等差数列的定义,公差 d 的数学表达式为: an ? an?1 ? d (n ? N , 且N ? 1) ; (2)等差数列的通项公式: an

? a1 ? (n ?1)d

①,

变形公式: an ? am ? (n ? m)d

( n 、 m ? N ) ②(注意 n 不一定大于 m ).

2、方法、技巧现规律总结 如果等差数列的前面几项已列出,学会观察数列的首项,学会直接求出等差数列的公 差; 与 a1 , an 两项直接相关时用通项公式, 与 am , an 两项直接相关时用通项公式的变形公式; 如果有关等差数列的题目语言文字或数字时,学会把语言转化为符号。 六、作业 P120 习题 11-2 1、 (1) , 2(1) 。

七、 【教学反思】 :结合学生的实际情况,创设情境,引入图形,引入生活中学生熟悉
的例子,创建数学模型,将生活中的实例转化为数学问题,引出等差数列的定义,通过启 发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高了学生思考问题、解决问题的能力,避免教 师与学生的思维脱节的现象,从面提高了学生学好数学的信心。多媒体辅助教学节省不少 板书时间,提高了教学的效率。比如:数列①从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等 于 ,如果教师只是用口头表达,学生思考,可能有些注意力不太集中的学生听不 清楚,影响了学习的效果,而用多媒体辅助教学,学生耳朵、眼睛、脑一起用,学习效果 明显增强。又如图形的板书可费时间了,多媒体辅助教学一展示就达到一目了然的效果。 这节课看起来简单,只有两个公式,表面上看学生只要记住公式就行了,可是没有学生参 与探索发现的知识,对于学生来说是无法内化的知识。这节课提出四个问题,学生能参与 思考,尤其是学生能参与等差数列的通项公式的推导过程,对于培养今后良好的学习习惯 起了一定的促进作用。

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