高三数学(理科)周周练1(有答案)


高三数学(理科)周周练 1
2 5 3 10 , sin ? ? , ? , ? 都为锐角,则 ? ? ? =__________. 5 10 ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b ? c ,则 a ? c 的值为__________. f 2 ( x) 3. 若一次函数 f ( x ) 满足 f [ f ( x)] ? x ? 1 , 则 g ( x) ? ( x ? 0) 的值域为__________. x ? x 2 ? 4 x ? 6x , ? 0 4 . 设 f ( x) ? ? 若 存 在 互 异 的 三 个 实 数 x1 , x2 , x3使 , x?0 ?2 x ? 4
1.若 sin ? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是__________. 5 . 已 知 ?ABC 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 , D 、 P 是 ?ABC 内 部 两 点 , 且 满 足 ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? AD ? ( AB ? AC ), AP ? AD ? BC ,则 ?APD 的面积为__________. 4 8 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB AC ??? AB AC 1 ? ? ??? ? ) ? BC ? 0且 ??? ? ? ??? ? ? , 6、在△ABC 中,已知向量 AB与AC满足( ??? | AB | | AC | | AB | | AC | 4
若△ABC 的面积是 2 15 ,则 BC 边的长是
__________.



7 、已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根,但没有正根,则实数 a 的取值范围是 8、抛掷一颗骰子的点数为 a,得到函数 f ( x) ? sin
aπ x ,则“ y ? f ( x) 在[0,4]上至少 3

有 5 个零点”的概率是__________. 9、对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) 为偶函数; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则f ( x) 的周期为 2; ④函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称. 其中正确命题的序号是__________. x ?x 10.设 a ? R , 函数 f ( x) ? e ? a ? e 的导函数 y ? f '( x) 是奇函数, 若曲线 y ? f ( x) 的一

3 ,则切点的横坐标为__________. 2 2 11. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos x ?1 , 将 f ( x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2
条切线斜率为 倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移

y ? g ( x) 的解析式为__________. x y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是__________. 12.已知实数 x, y 满足 ? 5 3 13.数列 ?an ? 满足下列条件: a1 ? 1 ,且对于任意的正整数 n ,恒有 a2 n ? nan ,则 a2100 的
值为__________.

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 4

14.以原点为圆心且过

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左右焦点的圆,被双 曲线的两条渐近线 a 2 b?

分成面积相等的四个部分,则双曲线的离心率为__________. 15、若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合 为__________. 16、若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可取值组成 的集合为________________________________________________________________. x-1? 17、已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且非 p 是非 q 的必要而不充分 3 ? ? 条件,求实数 m 的取值范围.

1 ? 18、 已知 c>0, 且 c≠1, 设 p: 函数 y=cx 在 R 上单调递减; q: 函数 f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞? 上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围.

19、已知 p:|3x-4|>2,q:

1 >0,r:(x-a)· (x-a-1)<0. x -x-2
2

(1)非 p 是非 q 的什么条件? (2)若非 r 是非 p 的必要非充分条件,求实数 a 的取值范围.

? ?x +bx+c(x≤0) 20、设函数 f(x)=? ,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于 x 的方程 f(x) ?2 (x>0) ?

2

=x 的解.

21、已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],试求函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域.

22、函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数;(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

23、函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

24、设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

-2x+b 25、已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围

26、已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

答案: 1、

3? 1 3 ;2、 ;3、 [2, ??) ;4、 (3, 4) ;5、 4 2 4
2 ;9、答案:① ② ③ 3

6、 2 6 ;7、a≥1;8、
10、ln2;11、 y ?

3 2 sin(4 x ? ? ) ;12、 ?10 ;13、 24950 ;14、 2 4

1 1? ? 15、?0,3,-2?;16、{m|m≤3}; ? ? 17、解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}, x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. m>0, ? ? ∴A?B,即?1-m<-2, ? ?1+m≥10, 即 m≥9 或 m>9 即 m≥9. 方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, ∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x -2x+1-m ≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, x-1? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, m>0, ? ? ∴P?Q,即?1-m<-2, ? ?1+m≥10, 即 m≥9 或 m>9 即 m≥9. 18、解 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1.[2 分] 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1.[4 分] 1 1 ,+∞?上为增函数,∴c≤ . 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2 ? 2 m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10, [14 分] [5 分]
2 2

[2 分]

[6 分] [8 分]

m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10, [14 分] [2 分]

[8 分]

1 1 即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1,∴綈 q:c> 且 c≠1.[6 分] 2 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.[8 分] 1 ? ? ? 1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?.[10 分]
? ? ? 1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?.[12 分] ? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?.[14 分] ? ? ?

19、解 (1)p:|3x-4|>2,∴3x-4>2 或 3x-4<-2, 2 2 ∴x>2 或 x< ,∴非 p: ≤x≤2. 3 3 分] 1 q: 2 >0,即 x2-x-2>0, x -x-2 令 x2-x-2=0,得 x1=-1,x2=2. ∴x2-x-2>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}. 分] ∴非 q:{x|-1≤x≤2}, ∴非 p 是非 q 的充分不必要条件. 分] (2)r:(x-a)(x-a-1)<0,∴a<x<a+1. ∴非 r:x≤a 或 x≥a+1. ∵非 r 是非 p 的必要非充分条件. ∴非 p? 非 r 且非 rD? /非 p, 2 1 ∴2≤a 或 a+1≤ ,∴a≥2 或 a≤- . 3 3 1? ? ∴a 的取值范围是?a|a≥2或a≤-3?. ? ? [8 分] [10 分] [12 分] [14 分]

[2

[4

[6

20、解 当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,因为 f(-2)=f(0), ?(-2)2-2b+c=c ?b=2, ? ? f(-1)=-3, ∴? , 解得? 2 ? ? ?(-1) -b+c=-3 ?c=-2,
? ?x +2x-2(x≤0) ∴f(x)=? ?2 (x>0) ?
2

[4 分] [6

分] 当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去. 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2, [12 [8 分]

分] 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2. 21、解 ∵f(x)=2+log3x 的定义域为[1,9], 要使[f(x)]2+f(x2)有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x2≤9, ∴1≤x≤3, ∴y=[f(x)] +f(x )的定义域为[1,3]. 又 y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x+3)2-3. ∵x∈[1,3],∴log3x∈[0,1], ∴ymax=(1+3)2-3=13,ymin=(0+3)2-3=6. ∴函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为[6,13]. 22、(1)证明 设 x1<x2,∴x2-x1>0, 当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数. (2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1, f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1?-3<a<2, 即 a∈(-3,2). 23、解 (1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). (*)
2 2 2 2

[14 分]

[4 分] [8 分] [12 分] [14 分] [2 分] [4 分] [6 分] [8 分]

[12 分] [14 分] [2 分]

[8 分] [10 分]

∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 24、解 (1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0, 即 a<0,由 a2≥1 知 a≤-1, 因此,a 的取值范围为(-∞,-1].[3 分] (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有 f (x)=2x2+(x-a)|x-a| a ? 2a2 x- ?2+ ,x>a =?3? 3? 3 ? ? ①?(x+a)2-2a2,x≤a ② [5 分] [12 分]

[16 分]

(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2.[7 分] a? 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f? ?3?=3a , 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2. 3 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2, 3 3 2 2 a ? 2 综上,得 g(a)=?-2a ,a≥0? 3 ,a<0 .[10 分] ? 6 2 (3)(ⅰ)当 a∈?-∞,- ?∪? ,+∞?时,解集为(a,+∞); 2? ?2 ? ? 2 2 ?a+ 3-2a2 ? (ⅱ)当 a∈?- , ?时,解集为? ,+∞?; ? 2 2? 3 ? ? 6 2 (ⅲ)当 a∈?- ,- ?时,解集为 2? ? 2 2 a - 3 - 2 a a ? ?∪? + 3-2a2 ? ?a, ? ? ,+∞?.[16 分] 3 3 ? ? ? ? 25、解 (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 2+a x -2 +1 从而有 f(x)= x+1 . 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.

[4 分]

[7 分]

?2 x ? 1 , 2 x ?1 ? 2 2 2?k ?2t ?2t ? 1 ?22t ? 1 又由题设条件得 2 <0, ? 2 2t ?2t ?1 ? 2 22t ? k ?1 ? 2
(2)方法一 由(1)知 f(x)= 即 2

?

2t 2 ? k ?1

? 2 ?2t

??

2

? 2t

? 1 ? 2t

? ?

2

?2t ?1? 2

?? ?2

2t 2 ? k

? 1 <0.

?

[9 分] [12 分] [14 分]

整理得 2

3t 2 ?2t ?k

>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0.

上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- . 3 -2x+1 1 1 方法二 由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +2 2 +1 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 1 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 26、证明 (1)由 ax-1>0,得 ax>1, 分] ∴当 a>1 时,x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(-∞,0), 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧. ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧. (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数 f(x)图象上的任意两点,且 x1<x2, y1-y2 则直线 AB 的斜率 k= . x1-x2 y1-y2=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga
2

由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又因为 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

[12 分] [14 分] [1

[3 分] [5 分] [6 分]

[8 分] [10 分]

a x1 ? 1 , a x2 ?1

当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2,∴1<ax1<ax2, ∴0<ax1-1<ax2-1.∴0< 又 x1-x2<0,∴k>0. 当 0<a<1 时,由(1)知 x1<x2<0,∴a >a >1, ∴ax1-1>ax2-1>0.
x1 x2

a x1 ? 1 <1,∴y1-y2<0. a x2 ?1
[12 分]



a x1 ? 1 >1,∴y -y <0.又 x -x <0,∴k>0. 1 2 1 2 a x2 ?1
[14 分]

∴函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.


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