高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.1离散型随机变量的期望》导学案


2.3.1 离散型随机变量的期望
课前预习学案
一、预习目标 1.了解离散型随机变量的期望定义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望. 2.理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,熟记若 ξ ~Β (n,p),则 Eξ =np”.能熟 练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望
二、预习内容
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1.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

则称 E? ? _________________ 为 ξ 的数学期望,简称_______________. 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了____________ 3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 1 p1 ? p2 ? ? ? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ? , E? ? ,所以 ξ 的数学期望又称为 n ____________
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4. 期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机 变量,它们的分布列为 ξ η P
E? ? ____________
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x1

x2

? ? ?

xn

? ? ?

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

5.若 ξ ~Β (n,p),则 Eξ =____________

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课内探究学案
学习目标: 1 了解离散型随机变量的期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期 望. ⒉理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,以及“若 ξ ~Β (n,p),则 Eξ =np”.能熟 练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 学习重点:离散型随机变量的期望的概念 学习难点:根据离散型随机变量的分布列求出期望
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学习过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果_________________,那么这样的变量叫做随 机变量 随机变量常用_________________等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以_________________,这样 的随机变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以________________,这样 的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型 随机变量都是________________;但是离散型随机变量的结果可以按 ________________,而连续性随机变量的结果________________
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若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量 并且不改变其属性
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(离散型、连续型) 5. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,
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ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ? xi ? P ? Pi ? 为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 6. 分布列的两个性质: ⑴_______________; ⑵________________. 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发 生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一 次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 ξ
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x1 P1

x2 P2

________________,(k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ).
于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 ?

k
k Cn p k q n ? k

? ?

n
n Cn p n q 0

P

0 Cn p0qn

1 Cn p1q n?1

?

称这样的随机变量 ξ 服从________________,记作 ξ ~B(n,p),其中 n,p 为
k k n?k 参数,并记 Cn p q

合作探究一:期望定义 某商场要将单价分别为 18 ,24 ,36 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例

混合销售,,如何对混合糖果定价才合理? 1 上述问题如何解决?为什么 2 如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗?

二.概念形成 一般地,若离散型随机变量 的概率分布为

? ?

? ?

则称____________ 为 的数学期望或均值,数学期望又简称为____________
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合作探究二:你能用文字语言描述期望公式吗? E = · + · +?+ ·
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+?

即:________________________

即学即练: 练习 1:离散型随机变量 的概率分布

1 P 求 的期望。 0.01

100 0.99

练习 2:随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 的期望。 练习 3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中 的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ? 的期望
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合作探究三:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量, 你能求出 E? ? ____________ 吗?
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即学即练:1、随机变量ξ 的分布列是 ξ P 1 0.5
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3 0.3

5 0.2

(1)则 Eξ = ____________ (2)若 η =2ξ +1,则 Eη =____________ 熟记若 ξ ~Β (n,p),则 Eξ =np 例 1 一次英语单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且

仅有一个选项是正确答案, 每题选择正确答案得 5 分, 不作出选择或选错不得分, 满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析:甲乙两生答对的题目数这个随机变量是 20 次实验中“答对”这个事件发 生的次数 k,服从二项分布。 解:
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点评:分数与答对个数之间呈一次函数关系,故应用到“E(aξ +b)=aEξ +b” , 这个公式。 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是 90 分吗?他的均值为 90 分的含义是 什么? 即学即练:在数字传输通道中,发生一个错误的概率是 0.2(p),当然,每次传 输试验独立。 令 X 为在每 10 位传输中(n)发生错误的位数,求 X 的数学期望。
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例 2 见课本例三 即学即练:统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2 万元;商场外促 销活动如不遇下雨可获利 10 万元;如遇下雨可则损失 4 万元。6 月 19 日气象预 报端午节下雨的概率为 40%,商场应选择哪种促销方式?

四、课堂练习: 1. 口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 ? 表示取出球的 最大号码,则 E? ? (
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) A.4;

B.5;

C.4.5;

D.4.75

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2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚 球命中的概率为 0.7,求⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望;⑵他罚球 2 次的 得分 η 的数学期望; ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望. 归纳总结 :⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤:①理解 ξ 的意义, 写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率, 写出分布列; ③根据分布列, 由期望的定义求出 Eξ ;若 ξ ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算 即可.

课后练习与提高
1.若随机变量 X 的分布列如下表,则 EX 等于:( ) X 0 1 2 3 P 2x 3x 7x 2x 4 3x 5 x

A.1/18 B.1/9 C.20/9 2.随机变量 X 的分布列为 X 1 P 0.4

D.9/20 2 0.3 4 0.3

3.两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 EX=_________. 4.(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中,有道把我国四大文学名著《水浒 传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目,每连 对一个得 3 分,连错不得分,一位同学该题的 X 分。(1)求该同学得分不少于 6 分的概率;(2)求 X 的分布列及数学期望。


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