一元二次不等式解法


课题:一元二次不等式解法 课标要求:

课时安排:1 课时

感受实际问题中解一元二次不等式的模型,从一元二次函数来理解一元二次方程与一元二次不等 式,一会函数、方程、不等式的相互转化,会解一元二次不等式,并进行算法的总结,一元二次不等式 的应用,含参不等式的讨论. 知识与技能: 感受实际问题中解一元二次不等式的模型,理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数 的关系, 掌握图像法解一元二次不等式的方法, 培养数形结合的能力, 培养分类讨论的思想方法, 培养抽象概括能力和逻辑思维能力. 三维 目标 过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式 与相应函数、方程三者之间的联系,获得一元二次不等式的解法. 情感、态度与价值观: 激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的 辩证思想. 教学重点: 从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型,会解一元二次不等式. 教学难点: 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的内在联系 教学辅助手段: 黑板、粉笔 教学过程: §3. 2. 1 一元二次不等式解法(一) 一、新知引入 从实际问题出发,利用课本中 P76 的引例导出解一元二次不等式. 某同学要把自己的计算机接入因特网. 现有两家 ISP 公司可供选择. 公司 A 每小时收费 1. 公司 B 的收费原则如图所示,即在用户上网的第 1 小时内收费 1. 后每小时减少 0. 7 元,第 2 小时内收费 1. 5 元;

6 元,以

1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算).

一般来说, 一次上网时间不会超过 17 小时, 所以, 不妨假设一次上网时间总小于 17 个小时. 那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少? 假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1. 5 x (元) ,

公司 B 收取的费用为 (分析:

x ? 35 ? x ? 20

(元)

公司 B 的收费原则可抽象成一个首项为 1.

7、公差为-0. 1 的等差数列模型.

建立一个等差数列 ? an ? ,表示上网第 n 个小时所需费用,其中 a1 ? 1.7, d ? ?0.1 . 那么第 x 小时所需费用为 ax ? 1.7 ? 0.1( x ? 1) (元) ,依题意得,一次上网 x 小时,则公司 B 收取

的费用为 )

?1.7 ? 1.7 ? 0.1( x ? 1)? x ? x ? 35 ? x ? (元)
2 20 x ? 35 ? x ? 20

如果能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少,则 整理得 x ? 5 x ? 0 ? 0 ? x ? 17 ?
2

? 1.5 x ? 0 ? x ? 17 ? ,

①.

由此引出“一元二次不等式”的概念: 把只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式. ① 式是一个关于 x 的一元二次不等式. 只要求得满足不等式①的解集,就得到了问题的答案. 【设计意图】从实际问题出发,从中抽象出一元二次不等式,使学生感受实际问题中解一元二次不等式 的模型. 二、新知探究. 1. 求解不等式 x 2 ? 5 x ? 0 “横看成岭侧成峰” ,我们换个角度来看待求解一元二次不等式的问题. 从下面这个角度进行考虑: 不等式 方程

函数 分析: ① 画出 y ? x ? 5 x 的图象(如右图) ,图象与 x 轴交于哪?
2

y
5

( (0,0)与(5,0). ) ② x 取何值时, y ? 0 ?( x ? 0或x ? 5 . )

O

5

x
O

x 取何值时, y ? 0 ?(取 x 轴以上部分的图象,即 x ? 0或x ? 5 . )

x 取何值时, y ? 0 ?(取 x 轴以上部分的图象,即 0 ? x ? 5 . )
③ 引导学生总结分析得到: “不等式、函数、方程”三者之间是有内在联系的,且“二次方程的两 根是二次函数的零点”. ④ 画图象时,我们主要关注的是“开口、分界点(即一元二次函数图象与 x 轴的交点) ”. 故在今 后的画图过程中,我们只画草图,即要注意函数图象的开口 及方程 x 2 ? 5 x ? 0 的根的情况 ,不 .. .... 用关注图象的对称轴. 画图时只需画出 x 轴,不用画 y 轴. 具体操作: 解:画出 y ? x ? 5 x 的草图:
2

0

5

x

?原不等式的解集为 ?x 0 ? x ? 5?.
所以,当一次上网时间在 5 小时以内时,选择公司 A 的费用少;超过 5 小时,选择公司 B 的费用少. 2. 初步归纳解一元二次不等式的步骤. 在教师的引导下由学生自行归纳出下列解题步骤: ① 画对应的一元二次函数的草图; 注意:此处只画草图,要注意函数图象的开口 及对应方程的根的情况 ,不用关注图象的对称轴. .. .... 画图时只需画出 x 轴,不用画 y 轴. ② 结合图像写出解集. 3. 变式练习 1) 变式 1:求不等式 x 2 ? 5 x ? 8 ? 0 的解集. 分析: ? ? (?5) ? 4 ? 1 ? 8 ? ?7 ? 0 ,所以函数 y ? x ? 5 x ? 8 的图象与 x 轴无交点,且图象
2
2

开口向上,故图象全在 x 轴上方. 故该不等式的解集为 ? . 2) 变式 2:求不等式 2 x 2 ? 4 x ? 2 的解集. 分析: 原不等式可化为 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ? 2( x ? 1) ? 0 , 所以函数 y ? 2( x ? 1) 的图象与 x 轴
2 2 2

有且仅有一个交点,且图象开口向上,故图象除了 x ? 1点外,全在 x 轴上方. 故该不等 式的解集为 (??,1) ? (1,??) . 4. 知识小结

结合书 P77 的讲述及前面三道题的解法,由学生自行完成表格.

? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c
(a ? 0) 的图象

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ? ? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

没有实数根

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集
2

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

若 y ? ax ? bx ? c 中 a ? 0 的情况,可以通过适当的变形将其转换成 a ? 0 的情况再进一步分析. 5. 归纳解一元二次不等式的步骤 由学生自行归纳出解一元二次不等式的步骤: ① 建议化为 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式;
2

② 画出二次函数 y ? ax ? bx ? c 的草图;
2

注意:此处只画草图,要注意函数图象的开口 及方程 x 2 ? 5 x ? 0 的根的情况 ,不用关注图象的 .. .... 对称轴. 画图时只需画出 x 轴,不用画 y 轴. 强调解一元二次不等式时定要画简图. ③ 结合图象写出解集. 【设计意图】从一元二次函数来理解一元二次方程与一元二次不等式,体会函数、方程、不等式的内在 联系. 并在特殊到一般的过程中,让学生经历从具体到抽象的过程. 通过观察、归纳,得出解一元二 次不等式的解题步骤,有利于学生认知结构的形成. 三、巩固练习 1. P80 练习 1 . 求下列不等式的解集:

(1) 3x2 ? 7 x ? 10 分析:原式等价于 3x2 ? 7 x ? 10 ? 0 ,又 ? ? ? ?7 ? ? 4 ? 3 ? ? ?10 ? ? 169 ? 0
2

原式 ? ? x ? 1?? 3 x ? 10 ? ,画出简图知原不等式的解集为 ? x ?1 ? x ?

? ?

10 ? ?. 3?

(2) ?2 x2 ? x ? 5 ? 0 分析: ? ? 1 ? 4 ? ? ?2 ? ? ? ?5 ? ? ?39 ? 0 ,且其图象的开口向下,
2

画出草图知原不等式的解集为 x ? R . 【设计意图】通过习题的巩固,加深学生对一元二次不等式解法的理解,为下一课时中“一元二次 不等式的应用”奠定基础. 2. 《三维设计》S46. 《题组集训》4

关于 x 的不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 2或x ? 3 } ,则 b =, c =. 分析:可以利用韦达定理进行求解. 在解题前先复习韦达定理的内容: 若一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个根,分别为 x1 、 x 2 ,则有
2

x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? c a

b a

解: ?

?? b ? 2 ? 3 ?b ? ?5 ?? ?c ? 2 ? 3 ?c ? 6

【设计意图】通过例题,拓宽学生学习一元二次函数的思维,让学生进一步体会一元二次不等式、 一元二次函数、一元二次方程这三者之间的关系. 四、课堂小结 (一)理解三者间的联系: 不等式 方程

函数 (二)总结一元二次不等式的步骤: 1. 建议化为 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式,这样可以利用“小于在中间,大于在两边”的口诀;
2

2. 画出二次函数 y ? ax ? bx ? c 的草图;
2

注意:此处只画草图,要注意函数图象的开口 及方程 x 2 ? 5 x ? 0 的根的情况 ,不用关注图象的 .. .... 对称轴. 画图时只需画出 x 轴,不用画 y 轴. 3. 结合图象写出解集. 【设计意图】总结归纳本节课的知识点. 五、课后作业 1. 科作业纸:书 P80 A 组 2、3、4、6 B 组 1 2. 自觉完成《三维设计》P44-46 【设计意图】通过适当的作业以巩固本节课所学的知识. 板书设计: §一元二次不等式解法(一) 一、三者间的联系 不等式 方程 例题解析

函数 二、步骤: 1. 化为 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式
2

2. 画草图(开口、根的情况) 3. 根据图象写出解集 课后反思: 本节课的难点在于理解“不等式—函数—方程”这三者之间的内在联系,只有弄清这三者的联系,对解 一元二次不等式的解法才能从更高的程度上进行理解把握,才能真正弄透其解法的本质含义 . 但在讲

这个难点时,我第一节课讲得不是很清楚,且误将“不等式—函数—方程”这三者之间的内在联系讲成 了三者之间可以“相互转换” !这是一个科学性的错误. 在讲这个难点时要注意逻辑上的联系,三者是 通过函数联系起来的. 逻辑首先要理清楚,这样讲课思路才会清晰,学生也更容易跟着老师的思路走, 更易听懂并接受新学的知识. 在讲课时要注意详细得当,讲就讲关键的地方,一些废话可以少讲. 并

且在请学生上台板演之后,定要注意对其进行批改,有错误时要点出其错误的地方及不足之处,这样既 是对学生劳动成果的一种尊重,更可加深学生的印象,起到强调或警示的效果.


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