甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试数学(文) 试题 Word版含答案


兰州市 2017 年高考诊断考试 数学(文科)
第Ⅰ卷 一、选择题
1.已知集合 M ? x ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 , N ? x (?2 ? x ? 2 ,则 M ? N ? ( )

?

?

?

?

, 2? A. ? ?1

B. ? ?2, ?1?

C. ??1,1?

D. ?1, 2?

2.设复数 Z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位) , Z 的共轭复数为 Z ,则 Z ?Z ? ( ) A.1 B. 2 C.2 D. 10 )

3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 , a4 +a10 ? 28 ,则 S9 ? ( A.45 B.90 C.120 D.75

4.已知某种商品的广告费支出 x (单位:万元)与销售额 y (单位:万元)之间有如下对 应数据:

x
y

2 30

4 40

5 50

6

8 60

m

? 根据表中的全部数据, 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5 ,则表中

m 的值为( )
A.45 B.50 C.55 ) D.60 5.下列命题中,真命题为( A. ?x0 ? R , e x0 ? 0 B. ?x ? R , 2 x ? x 2 C.已知 a,b 为实数,则 a+b=0 的充要条件是

a ? ?1 b

D.已知 a,b 为实数,则 a ? 1 , b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件 6. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

1

A. (9 ? 5)?

B. (9 ? 2 5)?

C. (10 ? 5)?

D. (10 ? 2 5)?

?x ? y ? 3 ? 7.设变量 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+3y 的最小值是( ) ?2 x ? y ? 3 ?
A.5 B.7 C.8 D.23

8.如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》 “更相减损术” .执 行该程序框图,若输入 a, b, i 的值分别为 6,8,0 时,则输出的 i ? ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

(t>0) 9.已知圆 C:(x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1和两点 A(-t,0) , B(t,0) ,若圆 C 上存在点 p ,
使得 ?APB=90? ,则 t 的取值范围是( ) A. ? 0, 2? B. ?1, 2? C. ? 2,3? D. ?1,3?

n (x ?? 10 . 函 数 f ( x)? s i?

( x) ?R , ? ? 0?, ?

?
2

) 如 果 x1 , x2 ? (? ,

? ?

, ) ,且 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? ( )

2

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

11.已知双曲线 C :
2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双曲线 a 2 b2

支上一点,若 PF1 ? 8a PF2 ,则双曲线 C 的离心率取值范围为( ) A. ?1,3? B. ?3, ?? ? C. (0,3) D. ? 0,3?

12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) .当

0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象有两个不同的公共点,
则实数 a 的值是( ) A. n(n ? Z ) C. 2 n 或 2n ? B. 2n(n ? Z )

1 (n ? Z ) 4

D. n 或 n ?

1 (n ? Z ) 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答,第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. cos 2 15 ? sin 2 15 ? .

14.已知菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ?

?
3

CD ? ,则 BD?



15.已知球 O 的半径为 13,其球面上有三点 A, B, C ,若 AB ? 12 3 , AC ? BC ? 12 , 则四面体 OABC 的体积为 .

16.已知数列 ?an ? , ?bn ? ,若 b1 ? 0 , an ?

1 ,当 n ? 2 时,有 bn ? bn?1 ? an?1 ,则 n(n ? 1)

b2017 ?
三、解答题



3

17.已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a sin B ? b cos A ? 0 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 18.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,及“凑够一撮人就 可以走了,和红绿灯无关”,某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯” “从不 闯红灯” “带头闯红灯”等三种形式进行调查获得下表数据: 跟从别人闯红灯 男生 女生 980 340 从不闯红灯 410 150 带头闯红灯 60 60

用分层抽样的方法,从所有被调查的人中抽取一个容量为 n 的样本,其中在“跟从别人闯红 灯”的人中抽取了 66 人, (Ⅰ) 求 n 的值; (Ⅱ)在所抽取的“带头闯红灯”的人中,任选取 2 人参加星期天社区组织的“文明交通”宣 传活动,求这 2 人中至少有 1 人是女生的概率. 19.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2 , AA 1 ? 3 ,点 D 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证: A 1B // 平面 AC1 D ; (Ⅱ)若点 E 为 AC 1 上的点,且满足 A 1E ? mEC (m ? R) ,三棱锥 E ? ADC 的体积与三棱柱

ABC ? A1B1C1 的体积之比为 1:12,求实数 m 的值.
20.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? b , g ( x) ? a1nx . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 [ ?

1 3 ,1) 上的最大值为 ,求实数 b 的值. 2 8

(Ⅱ)若对任意的 x ??1, e? ,都有 g ( x) ? ? x2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 21.已知椭圆 C:

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 ( 2,1) ,且离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M , N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON ( O 为坐标原点)的斜率之积为 ?

1 . 若动点 P 满 2

足 OP ? OM ? 2ON ,试探究是否存在两个定点 F1 , F2 ,使得 PF 1 ? PF 2 为定值?若存在,
4

求 F1 , F2 的坐标;若不存在,请说明理由.

请考生在 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做选定的题目,如果多做,则 按做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x ?? t?2 ? ? 5 ( t 为参数,t ? R ),以原点 O 为极 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? 4 ?y ? t ? 5 ?
点, x 正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为

? ? a sin ? (a ? 0) .
(1)求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设直线 l 截圆 C 的弦长为半径长的 3 倍,求 a 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 3 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,解关于 x 的不等式: x ? 3 ? 2x ? 2n ? 4 .

5

试卷答案 一、选择题
1-5:ACBDD 6-10:ABBDC 11、12:AC

9.D 详细分析:设点 P 的坐标为 ( 3 ? cos θ,1+sin θ) , A(?t, 0) , B(t, 0)

??? ? ??? ? AP ? ( 3 ? cos θ+t,1+sinθ) , BP ? ( 3 ? cos θ ? t,1+sinθ)
??? ? ??? ? 2 AP?BP ? ?t ? 2sin? ? 2 3cos? ? 5 ? 0
即 t 2 ? 2sin? ? 2 3cos? ? 5 ? 4sin(? ? 所以 1 ? t ? 3 答案:D 10.C 11. A 详细分析: 根据双曲线定义, PF1 ? PF2 ? 2a , 且点 P 在左支, 则 PF 1 ? PF 2 ? 2a , 设 PF1 ? m , PF 2 ? n ,则 m ? n ? 2 a , 中, m ? n ? 2c ,则离心率 e ? 3 . ∴1 ? e ? 3 . 12.C 详细分析:依题意,函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的偶函数,在 0 ? x ? 2 上,由图像可得

?
3

) ? 5 ? 0 (0 ? θ ? 2π)

n2 ? 8a ,则 n ? 4a , m ? 2 a ,在 ?PF1F2 n ? 2a

1 时,直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象有两个不同的公共点,所以 a 的值为 4 1 2n 或 2n ? ( n ? Z ) . 4
a ? 0或?

二、填空题
13.

3 2 3 2

14.

3 2 a 2

15. 60 3

16.

2016 2017

13.答案:

6

详细分析: cos 2 15 ? sin 2 15 ? cos 30 ? 14.答案:

3 2

3 2 a . 2

详细分析:由菱形性质得 BD ? 3a , CD ? a ,且夹角为 15.答案: 60 3 16.答案:

? 3 CD ? a 2 . ,所以 BD? 2 6

2016 2017

详细分析:由 bn ? bn?1 ? an?1 得 bn ? bn?1 ? an?1 ,所以 b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 ,?, 所以

b2 ? b1 ? b3 ? b2 +?+bn ? bn?1 ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ?
即 bn ? b1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 ( n ?1) ? n

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n ?1 n n n n ?1 2016 由于 b1 ? 0 ,所以 bn ? ,故 b2017 ? n 2017

三、解答题
17.解: (Ⅰ)∵ a sin B ? b cos A ? 0 ∴ sin A sin B ? sin B cos A ? 0 由于 B 为三角形内角, 所以 sin A ? cos A ? 0 ∴ 2 sin( A ? ∴A? 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0

?
4

) ? 0 而 A 为三角形内角

3? 4

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由余弦定理得 a 2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A 即 20 ? 4 ? c 2 ? 4c(?

2 ) ,解得 c ? ?4 2 (舍)或 c ? 2 2 2

∴S ?

1 1 2 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 ? ?2 2 2 2

7

18.解: (Ⅰ)由题意得: 解得 n ? 100 .

66 n ? , 980 ? 340 980 ? 340 ? 410 ? 150 ? 60 ? 60

(Ⅱ)因为所有参与调查的人数为 980+340+410+ 150+60+60=2000 ,所以从在“带头

(60+60) ? 闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为
其中男生为 60 ?

100 =6 , 2000

100 100 =3 人,女生为 60 ? =3 人,设从“带头闯红灯”中抽取的 6 人 2000 2000

A3 表示,女生分别用 B1 , B2 , B3 表示,则从这 6 人中任选取 2 人所有的基本 中男生用 A1 , A2,
事件为:(A1 A2 ) , ( A1 A3 ) , ( A2 A3 ) , ( A1B1 ) , ( A1B2 ) ,

( A1B3 ),( A2 B1 ),( A2 B2 ), ( A2 B3 ),( A3 B1 ),( A3 B2 ),( A3 B3 ),( B1B2 ) ( B1B3 ),( B2 B3 ) 共有 15 个. 这
两人均是男生的基本事件为 ( A 1 A2 ),( A 1A 3 ),( A 2A 3 ) ,则至少有一个是女生的基本事件共有 12 个.故从这 6 人中任选取 2 人,至少有一个是女生的概率 P ? 19.解: (Ⅰ)证明,连接 AC 1 交 AC1 于 F ,则 F 为 AC1 的中点 连接 DF ,则 A1B // DF ,而 DF ? 平面 AC1D 所以 A 1B // 平面 AC1 D ; (Ⅱ)∵ AE ? mEC1 ∴ AE ? mEC1 过 E 作 EM ? AC 于 M ,则 EM ? 平面 ABC ,设 EM ? h ,则

12 4 ? 15 5

1 1 1 1 ? CD ?AD ?h ? ? BC ?AD?AA1 3 2 12 2 3 解得 h ? 2
所以此时 E 为 AC1 的中点,故 m ? 1 . 20.解:(Ⅰ) f '( x) ? ?3x2 ? 2 x ? ? x(3x ? 2) ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 . 3

1 , 0) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为减函数; 2 2 当 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增函数; 3 2 当 x ? ( ,1) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减函数; 3
当 x ? (?
8

3 2 4 1 2 ? b, f ( ) ? ? b ,∴ f (? ) ? f ( ) . 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? , 2 8 8
∵ f (? ) ? ∴b ? 0. (Ⅱ)由 g ( x) ? ? x2 ? (a ? 2) x ,得 ( x ?1nx)a ? x2 ? 2x ∵ x ??1, e? , ∴ 1nx ? 1 ? x ,由于不能同时取等号,所以 1nx ? x ,即 x ? 1nx ? 0 . ∴a ?

1 2

x2 ? 2x ( x ??1, e?) 恒成立. x ? 1nx ( x ? 1)( x ? 2 ? 21nx) x2 ? 2 x , x ??1, e? ,则 h '( x) ? ( x ? 1nx)2 x ? 1nx

令 h( x ) ?

当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 21nx ? x ? 2(1 ? 1nx) ? 0 ,从而 h '( x) ? 0

x2 ? 2 x 所以函数 h( x) ? 在 x ??1, e? 上为增函数,所以 h( x)min ? h(1) ? ?1 x ? 1nx
所以 a ? ?1 . 21.解:(Ⅰ)∵ e ?

2 2



b2 1 ? a2 2


又∵椭圆 C 经过点 ( 2,1) 解得: a 2 ? 4 , b2 ? 2 所以椭圆 C 的方程为

2 1 ? ?1 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(Ⅱ)设 P( x, y) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? OM ? 2ON 得 即 x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 +2 y2 , 因为点 M , N 在椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1 上, 4 2
2 2

所以 x1 ? 2 y1 ? 4 , x2 ? 2 y2 ? 4 故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4x1x2 ? 4x2 ) ?2( y1 ? 4 y1 y2 +4 y2 )
2 2 2 2 2 2

? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x22 ? 2 y22 ) ?4( x1x2 ? 2 y1 y2 )
9

? 20 ? 4( x1x2 ? 2 y1 y2 )
设 kOM , kON 分别为直线 OM 与 ON 的斜率,由题意知,

kOM ?kON ?

y1 y2 1 ? ? ,因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 x1 x2 2

所以 x2 ? 2 y 2 ? 20 , 所以点 P 是椭圆

x2 y 2 + ? 1 上的点, 20 10

所以由椭圆的定义知存在点 F , F2 ,满足 PF1 ? PF2 ? 2 20 ? 4 5 为定值 又因为 F1F2 ? 2 20 ? 10 ? 2 10 , 所以 F , F2 坐标分别为 (- 10,0) 、 ( 10,0) . 22.解:(Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? )2 ? 直线 l 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 . (Ⅱ)圆 C : x ? ( y ? ) ?
2 2

a 2

a2 ; 4

a 2

1 2 a ,直线 l : 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 , 4

∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,

3a ?8| 1 a , ∴圆心 C 到直线的距离 d? 2 ? ? 5 2 2 32 解得 a ? 32 或 a ? . 11 |
23.解: (Ⅰ)因为函数的定义域为 R ,所以 x ? 1 ? x ? 3 ? m ? 0 恒成立, 设函数 g ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ,则 m 不大于函数 g ( x) 的最小值, 又 x ?1 ? x ? 3 ? ( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 g ( x) 的最小值为 4 所以 m ? 4 . (Ⅱ)当 m 取最大值 4 时,原不等式等价于 x ? 3 ? 2x ? 4 所以有 ?

?x ? 3 ?x ? 3 ,或 ? , ?x ? 3 ? 2x ? 4 ?3 ? x ? 2 x ? 4
10

解得 x ? 3 或 ?

1 ? x ? 3. 3

所以,原不等式的解集为 ? x x ? ? ? .

? ?

1? 3?

11


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