抛物线拱桥问题


26.3 实际问题与二次函数(2)

探究3

l 图中是抛物线形拱桥,当水面在 时,拱 顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时, 水面宽度增加了多少?

例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑 物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度 为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货 物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加 以说明;若不能,请简要说明理由.

解一 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 y轴,建立平 面直角坐标系,如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? ax

2

当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
? a ? ?0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:

? ?2 ? a ? 2 2

? 这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

? 3 ? ?0.5 x 2 x?? 6

解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线 的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? ax 2 ? 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)

?0 ? a ? 22 ? 2

? a ? ?0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5 x 2 ? 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:

? 1 ? ?0.5 x 2 ? 2 x ? ? 6 ? 这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中 的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ? a ( x ? 2 )2 ? 2

? a ? ?0.5

? 0 ? a ? ( ?2 )2 ? 2

∵抛物线过点(0,0)

∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y ? ?0.5( x ? 2 )2 ? 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:

x1 ? 2 ? 6 , x 2 ? 2 ? 6
∴这时水面的宽度为:

x 2 ? x1 ? 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 ? 4 )m 返回

? 1 ? ?0.5( x ? 2 )2 ? 2

解:如图,以AB所在的直线为x轴, 以AB的垂直平分线为y轴,建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为

y ? ax 2 ? 4.4

? 4a ? 4.4 ? 0 ? a ? ?1.1

∵抛物线过A(-2,0)

∴抛物线所表示的二次函数为 y ? ?1.1 x 2 ? 4.4
当x ? 1.2时,y ? ?1.1 ? 1.2 2 ? 4.4 ? 2.816 ? 2.7

∴汽车能顺利经过大门.

一般步骤: (1).建立适当的直角系,并将已知条件 转化为点的坐标, (2).合理地设出所求的函数的表达式, 并代入已知条件或点的坐标,求出关系 式, (3).利用关系式求解实际问题.

作业: 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横 截面为抛物线的隧道,如图1,已知沿底部宽AB为4m,高 OC为3.2m;集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m;集装箱 顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗?请说明理由.

2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手 时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水 平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线 为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? (选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?


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