2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第3课时


第七章

立体几何

第3课时

空间点、直线、平面的位置 关系

第七章

立体几何

1.四个公理 两点 在一个平面内,那么这 公理1:如果一条直线上的 ________ 条直线在此平面内.

不在一条直线上 的三点,有且只有一个平面. 公理2:过________________
公理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线. _______________

互相平行 . 公理4:平行于同一条直线的两条直线__________
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温馨提醒: (1)公理中的 “有且只有 ”一个平面的含义是:平
面存在,而且唯一,“有且只有”有时说成“确定”.

(2)公理1的作用是判断直线是否在某个平面内;公理 2 给出
了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;公理3的作用是 如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据; 公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.

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2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 平行 ?_______ ? ?共面直线 ? 相交 ?_______ ?

? ? 异面直线:不同在 任何 一个平面内
(2)异面直线所成的角

① 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O
作直线 a′∥ a,b′∥ b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角 )叫做 异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ). ②范围: ____________.
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?0,π ? ? 2?

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(3)定理 空间 中如 果两 个角 的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 . ______________ 温馨提醒:(1)异面直线不同在任何一个平面内,没有公共 点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异 面直线. (2)异面直线不具有传递性,即若直线a与b异面,b与c异面, 则a与c不一定是异面直线.

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3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点

相交
平行 直 线 在平面内 与 平 平行 面 相交

a∩α=A
a∥α a?α α∥ β

1 个 ______
0 个 ______ 无数 个 ______ 0 ______ 个

α∩β=l

无数 个 ______
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1.已知 A,B,C 表示不同的点,l 表示直线,α,β 表示 不同的平面,则下列推理错误的是 ( C ) A. A∈ l, A∈ α, B∈ l, B∈ α? l? α B. A∈ α, A∈ β, B∈ α, B∈ β? α∩β= AB C. l? α, A∈ l? A? α D. A∈ α, A∈ l, l? α? l∩α= A

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2.若直线a∥b,b∩c=A,则直线a与c的位置关系是( D ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交

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3.下列命题正确的个数为( C ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合 A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

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解析:经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面, ∴②正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面, ∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.

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4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 60° . ________ 解析:连接B1D1,D1C(图略), 则B1D1∥EF,

故 ∠D1B1C 为 所 求 . 又 B1D1 =
B1C=D1C, ∴∠D1B1C=60°.

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5.平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的 5 棱的条数为________ .

解析:如图,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与
CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有 CD,C1D1,故符合条件的棱共有5条.

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平面的基本性质 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的 中点 , G , H 分别在 BC , CD 上 , 且 BG∶GC = DH∶HC = 1∶2.

(1)求证:E,F,G,H四点共面;

(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.

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[证明 ](1)∵ E, F 分别为 AB, AD 的中点, ∴ EF∥ BD. BG DH 1 在△ BCD 中, = = , GC HC 2 ∴ GH∥ BD,∴ EF∥ GH. ∴ E, F, G, H 四点共面. (2)∵ EG∩ FH= P,P∈ EG, EG? 平面 ABC, ∴ P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴ P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点. 又平面 ABC∩平面 ADC= AC, ∴ P∈ AC, ∴ P, A, C 三点共线.
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(1)证明四点共面的基本思路:一是直接证明,即利用公理或 推论来直接证明;二是先由其中不共线的三点确定一个平 面,再证第四个点也在这个平面内即可. (2)要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直 线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上.或者 选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.
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1.如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F 在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证: EF,GH,BD交于一点.

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证明:如图,连接 GE, FH. 因为 E, G 分别为 BC, AB 的中点, 1 所以 GE∥ AC, GE= AC. 2 又因为 DF∶ FC= DH∶ HA=2∶ 3,

2 所以 FH∥ AC, FH= AC. 5 所以 FH∥ GE, GE≠ FH. 所以 E, F, H, G 四点共面. 所以四边形 EFHG 是一个梯形.
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设 GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. 因为这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, 所以点 O 在直线 BD 上. 这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上, 所以 EF, GH, BD 交于一点.

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空间两直线的位置关系 如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是 A1B1、B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

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[解 ](1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、 A1C1、 AC. ∵ M、 N 分别是 A1B1、 B1C1 的中点, ∴ MN∥ A1C1. 又∵ A1A C1C, ∴ A1ACC1 为平行四边形, ∴ A1C1∥ AC, ∴ MN∥ AC, ∴ A、 M、 N、 C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线.

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(2)是异面直线.证明如下: ∵ ABCD? A1B1C1D1 是正方体, ∴ B、 C、 C1、 D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α, CC1? 平面 α, ∴ D1、 B、 C、 C1∈ α ,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.

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异面直线的判定方法: (1)定义法:依据定义判断(较为困难). (2)定理法: 过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经 过该点的直线为异面直线. (此结论可作为定理使用). (3)反证法: 先假设两条直线不是异面直线, 即两直线平行或 相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从 而否定假设,肯定两条直线异面.
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2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1, C1C的中点,有以下四个结论: ①直线AM与CC1是相交直线;

②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线.

③④ 注:把你认为正确的结论的序号 其中正确的结论为________(
都填上). 解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直

线,故①②错误.
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异面直线所成的角
(2012· 高考上海卷)如图,在四

棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB= 2, AD= 2 2,PA= 2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
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[解 ](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥ CD. 又 AD⊥ CD, PA∩ AD= A,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+(2 2) 2= 2 3, CD= 2, 1 所以三角形 PCD 的面积为 × 2×2 3= 2 3. 2

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(2)如图,取 PB 的中点 F,连接 EF, AF,则 EF∥BC,从 而∠ AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△ AEF 中, 由 EF= 2, AF= 2, AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形, π 所以∠AEF= . 4 π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4

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(1)找异面直线所成的角的三种方法: ①利用图中已有的平行线平移. ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. ③补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤: ①作:通过作平行线,得到相交直线. ②证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. ③算:通过解三角形,求出该角.

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3.(2014· 武汉市部分学校高三调研测试)在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点. (1)求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;

(2)求证:平面 ABM⊥平面A1B1M.
解:(1)因为 C1D1∥ B1A1,所以∠ MA1B1 为 异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角, 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠ A1B1M= 90° . 2 而 A1B1= 1, B1M= B1C2 1+ MC 1= 2, B1M 故 tan∠ MA1B1= = 2,即异面直线 A1M 与 C1D1 所成 A1B1 角的正切值为 2.
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(2)由 A1B1⊥平面 BCC1B1, BM? 平面 BCC1B1,得 A1B1⊥ BM.① 由 (1)知, B1M= 2,又 BM= BC2+ MC2= 2, B1B= 2, 所以 B1M2+ BM2= B1B2,从而 B1M⊥ BM.② 又 B1M∩ A1B1= B1,再由①②得 BM⊥平面 A1B1M,而 BM ? 平面 ABM, 因此平面 ABM⊥平面 A1B1M.

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因对平面概念理解不清致误
(2013· 高考江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的 底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六

4 个面所在的平面相交的平面个数为________ .

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[解析 ]

取 CD 的中点 G, 由题意知平面 EFG 与正方体的左、

右侧面所在平面重合或平行,从而 EF 与正方体的左、右侧 面所在的平面平行或 EF 在平面内,所以直线 EF 与正方体 的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直 线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4.

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本题易答为 2,其原因认为直线 EF 只与正方体的上、下底 面相交,而不与前、后侧面相交.

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(1)要明确平面、直线的内涵,增强空间想象能力. (2)要分清空间中的点、直线、平面的位置关系与平面中的 点、直线、平面的位置关系是不同的.

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已知A、B、C、D是空间四个点,命题甲:A、B、C、D四点 不共面,命题乙:直线AB和直线CD不相交,则甲是乙成立 的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为A、B、C、D四点不共面,则直线AB和直线CD不 相交,反之,直线AB和直线CD不相交,A、B、C、D四点不

一定不共面.故甲是乙成立的充分不必要条件.
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