【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.3.2.3


阶 段 一

阶 段 三

1.3 1.3.2
阶 段 二

三角函数的图象和性质 三角函数的图象与性质 正切函数的图象与性质
学 业 分 层 测 评

第 3 课时

1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.(重点) 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.(难点、易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 正切函数的图象与性质 阅读教材 P32~P33 的全部内容,完成下列问题.
解析式 图象
? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

y=tan x

定义域

值域 周期 奇偶性 单调性 对称性

R π 奇函数
? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ? 在开区间___________________ 上都是增函数
?kπ ? 无对称轴,对称中心为? 2 ,0?(k∈Z) ? ?

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数在定义域上是单调递增函数.( π (2)正切函数的对称轴方程为 x=kπ+ ,k∈Z.( 2 (3)正切函数的对称中心为(kπ,0),k∈Z.( ) ) )

【解析】

? π ? π ? (1)×.正切函数在?- +kπ, +kπ? ?,k∈Z 2 2 ? ?

上是单调递增函数.

(2)×.正切函数不是轴对称图形.
? kπ ? ? (3)×.正切函数的对称中心为? 2 ,0? ?,k∈Z. ? ?

【答案】 (1)× (2)× (3)×

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
正切函数的定义域

求下列函数的定义域. (1)y= ; ? ? π? ? 1+tan?2x-4?
? ?

1

(2)y=

3tan x-3.

【精彩点拨】

(1)分母不为 0,且

? π? ? tan?2x-4? ?有意义; ? ?

(2)被开方数非负,且 tan x 有意义.

【自主解答】

(1)若使得 y= 有意义, ? ? π? ? 1+tan?2x-4?
? ?

1

π π ? ?2x-4≠kπ+2?k∈Z?, 则? ?2x-π≠kπ-π?k∈Z?, 4 4 ? ? kπ 3π ?x≠ 2 + 8 ?k∈Z?, ∴? ?x≠kπ?k∈Z?, 2 ?

∴函数 y= 的定义域为 ? ? π? ? 1+tan?2x-4?
? ? ? ? ? kπ kπ 3π ? ?x x≠ 且x≠ + ,k∈Z ? 2 2 8 ? ? ? ? ? ?. ? ?

1

(2)由题意得 3tan x-3≥0, ∴tan x≥ 3, π π ∴kπ+ ≤x<kπ+ (k∈Z), 3 2 ∴y= 3tan x-3的定义域为
? ? ?. ? ? ? ? ? π π ?x?kπ+ ≤x<kπ+ ,k∈Z ? 3 2 ? ? ?

求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的 π 一般要求外,还要保证正切函数 y=tan x 有意义,即 x≠kπ+ ?k 2 ∈Z?,而对于构建的三角函数不等式,常利用三角函数的图象求 解.

[ 再练一题] 1 1.求函数 y= 的定义域. 【导学号:06460027】 1+tan x

1 【解】 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x ? ?1+tan x≠0, 则有? π x≠ +kπ,k∈Z, ? ? 2 tan x≠-1, ? ? ∴? π x≠ +kπ,k∈Z, ? ? 2

π ? ?x≠-4+kπ,k∈Z, ∴? ?x≠π+kπ,k∈Z. ? 2 1 ∴函数 y= 的定义域为 1+tan x
? ? ? π π ?x?x≠- +kπ且x≠ +kπ,k∈Z ? 4 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

正切函数的单调性及应用

(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空). 2π 10π ①tan ________tan ; 7 7
? 13π? 6π ? - ②tan ________tan? ? ?. 5 5 ? ?

(2)求函数

?1 π? ? y=tan?2x+4? ?的单调增区间. ? ?

【精彩点拨】 比较.

(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行

1 π (2)把 x+ 视为一个整体,利用 y=tan x 的单调区间求解. 2 4

【自主解答】

? 3π? 10π 3π ? ? (1)①tan =tan?π+ ?=tan , 7? 7 7 ?

? π? 2π 3π π ? ∵0< < < ,且 y=tan x 在?0, ? ?上是增函数, 2 7 7 2 ? ?

2π 10π ∴tan <tan . 7 7
? ? 13π? π? 6π π 2π ? ? ? ? ②tan =tan?π+5?=tan ,tan?- 5 ?=tan , 5 5 5 ? ? ? ? ? ? 13π? π? π 2π π 6π ? ? ? - ∵0< < < ,且 y=tan x 在?0,2?上是增函数,∴tan <tan? ? ?. 5 5 5 2 5 ? ? ? ?

【答案】 ①< ②<

π 1 π π 3π π (2)由 kπ-2<2x+4<kπ+2,k∈Z 得 2kπ- 2 <x<2kπ+2,k∈Z, 所以函数
?1 ? π? 3π π? y=tan?2x+4?的单调增区间为?2kπ- 2 ,2kπ+2?(k∈Z). ? ? ? ?

1.求 y=Atan(ωx+φ)的单调区间,可先用诱导公式把 ω 化 π π 为正值,由 kπ- <ωx+φ<kπ+ 求得 x 的范围即可.比较两个 2 2 同名函数的大小,应保证自变量在同一单调区间内. 2.运用正切函数单调性比较大小时,先把各角转化到同一 个单调区间内,再运用单调性比较大小.

[ 再练一题] 2.求函数
【解】
? 1 π? ? y=3tan?- x+ ? ?的单调区间. 2 4 ? ?

? 1 ?1 π? π? ? ? ? y=3tan?- x+ ?=-3tan? x- ? ?. 2 4 2 4 ? ? ? ?

π 1 π π 由 kπ- < x- <kπ+ (k∈Z), 2 2 4 2 π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π(k∈Z), 2 2 ∴函数
? 1 π? ? y=3tan?- x+ ? ?的单调递减区间是 2 4 ? ?

? π 3 ? ? ? 2 k π - , 2 k π + π ? ?(k∈Z). 2 2 ? ?

[ 探究共研型]
正切函数的图象及应用

探究 1 如何由 y=tan x 的图象画出 y=|tan x|的图象?
【提示】 只须保持 y=tan x 的图象在 x 轴上方的不动,x 轴下方的关于 x 轴对称便可得出 y=|tan x|的图象.

探究 2 如何由 y=tan x 的图象画出 y=tan|x|的图象. 【提示】 把 y=tan x(x≥0)的图象关于 y 轴对称便可以得出 y=tan|x|的图象.

根据函数 y=|tan x|的图象,判断其单调区间、奇偶性、周期性.

【精彩点拨】
【自主解答】

画y=tan x图象 → y=|tan x|图象 → 研究性质
由 y=|tan x|得,

π ? ?tan x, kπ≤x<kπ+2?k∈Z?, y=? ?-tan x, -π+kπ<x<kπ?k∈Z?, 2 ?

其图象如图.

由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数,
? ? π ? 单调递增区间为?kπ, +kπ? ?(k∈Z), 2 ? ? ? π ? ? 单调递减区间为?- +kπ,kπ? ?(k∈Z),周期为 2 ? ?

π.

作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法: ?1?直接描点法,要注意定义域; ?2?图象变换法, 即以 y=tan x 的图象为基础, 采用反转对称 平移等变换,作出函数的图象.

[ 再练一题] 3.将本例中的函数 y=|tan x|改为 y=tan |x|解答同样的问题.
【解】 由 y=tan |x|得

π ? ?tan x, x≥0且x≠kπ+2,k∈Z, y=? ?-tan x, x<0且x≠kπ+π,k∈Z, 2 ?

根据 y=tan x 的图象,作出 y=tan |x|的图象如图:

由图象可知, 函数 y=tan (k=0,1,2,?);

? ? π? π 3 ? ? ? ? ? k π + , k π + π |x|是偶函数, 单调增区间为?0,2?, ? 2 2 ? ? ? ? ?

? π ? ? 3 π? ? ? ? 单调减区间为?-2,0?,?kπ-2π,kπ-2? ? (k=0,-1,-2,?),不具有周 ? ? ? ?

期性.

[ 构建· 体系]

1.函数

? x? ? - y=4tan? ? 2?的最小正周期为________. ? ?

π 【解析】 T=? =2π. ? ? 1? ?-2? ? ?

【答案】 2π

2.函数

? π? ? y=tan?x-4? ?的定义域是________. ? ?

π π 【解析】 解 x- ≠kπ+ (k∈Z)得 4 2 3 x≠kπ+ π(k∈Z). 4
【答案】

? ? ? 3π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z ? 4 ? ? ?

? ? ? ? ?

3.函数 y=tan x 【解析】

? π π? ? - , 在? ? 4 3?上的值域为________. ? ?

π π ∵- ≤x≤ ,∴-1≤tan x≤ 3. 4 3

【答案】 [-1, 3]

4.不等式 tan x≥1 的解集是________.
【解析】 由正切函数图象(图略)可知, π π kπ+ ≤x<kπ+ (k∈Z). 4 2
【答案】
? π π? ? ? k π + , k π + ? ?(k∈Z) 4 2 ? ?

5.求下列函数的单调区间:
? π? ? (1)y=tan?x- ? ?; 4 ? ?

1 (2)y= tan 2x+1. 【导学号:06460028】 3 π π π 【解】 (1)由- +kπ<x- < +kπ(k∈Z), 2 4 2
π 3 解得- +kπ<x< π+kπ(k∈Z), 4 4 ∴函数
? π? π 3π ? ? y=tan?x-4?的单调增区间是- +kπ, +kπ(k∈Z). 4 4 ? ?

π π (2)令- +kπ<2x< +kπ(k∈Z), 2 2 π kπ π kπ ∴- + <x< + (k∈Z), 4 2 4 2 1 π kπ π kπ ∴函数 y= tan 2x+1 的单调增区间是- + , + (k∈Z). 3 4 2 4 2

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

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