2.3.2平面与平面垂直的判定


2.3.2平面与平面 垂直的判定

复习回顾
o, 90o ] ( 0 两条异面直线所成角的取值范围:

直线和平面所成角的取值范围:[ 0o, 90o ]
O

?1

?

A

B

二面角

1 半平面定义
半平面: 平面的一条直线把平面分 为两部分,其中的每一部 分都叫做一个半平面。

α

l

2.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组

成的图形叫做二面角,这条直线叫做二
面角的棱,每个半平

面叫做二面角的面. 棱为l,两个面分
别为?、?的二面角记 l

?

为 ?-l-? .

?

2.画二面角 ⑴ 平卧式:

?
l

?
A

A l

?

?
⑵ 直立式:

B B A
l B

?

?

3.二面角的大小
我们常说把门开大一些,是指哪个

角大一些?我们应该怎样刻画二面角的 大小?

l

? ?

3.二面角的大小
在二面角?-l-?的 棱l上任取一点O,如 A ? 图,在半平面 ? 和 ? 内,过点 O 分别作垂 ? 直于棱 l 的射线OA、 OB,则 ∠AOB 叫做二面角 ?-l-? 的平面角

l O

B

二面角的平面角必须满足:
? ?

A

A O

二 面 角 的 平 面 角

l
O B

?

?

B

哪个对?怎么画才对?

10

3.二面角的大小

在二面角?-l-?的 B1 A ? 棱l上任取一点O,以点O 为垂足, O1 在半平面 ? 和 ? A1 内分别作垂直于棱 l 的射线OA、 ? OB,则射线OA、OB构成的∠AOB叫做二面角 ?-l-? 的平面角 思考:∠AOB的大小与点O在l上的位置有关

l O

B

吗?为什么?

3.二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量.即二面角的平面角是多少度,就

说这个二面角是多少度.
规定:二面角的两个面重合: 0 ;
o

二面角的两个面展成一个平面:180 ;
o

A

平面角是直角的二面角叫直二面角.
O

寻找二面角的平面角

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角 的平面角:
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D; (2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B

C

寻找二面角的平面角

补充练习:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出 下列二面角的平面角:
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D; (2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B

C

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角 的平面角:
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D; (2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B

寻找二面角的平面角 寻找二面角的 平面角

C

寻找二面角的平面角

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,找出下列二面角 的平面角:
(1)二面角D’-AB-D和A’-AB-D; (2)二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B

C

4. 平面与平面垂直 两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面?与?垂直,记作?⊥?.

?

? ? ?

面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直

l ? α ? l 符号表示: ? ?α?β ? B l ?β ? ?
A 线线 垂直 线面 垂直

面面 垂直

例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. P

C
A O

B

例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于
⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 线线垂直 P

→线面垂直
→面面垂直 A

C
O

B

练习3: ABCD是正方形,O是正方形的
中心,PO⊥平面ABCD , E是PC的中点,
ABCD
是正方形,

求证:(1) PC⊥平面BDE;
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C

三、如右图: A是ΔBCD所在平面外一点,AB=AD, ∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点, 求证:平面AEC⊥平面ABD

A

B

C

E D


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