2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题09 函数(一次函数等)模型及其应用


第 09 讲:函数模型及其应用
【考纲要求】 1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义 2、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用。 【基础知识】

1、一次函数的一般形式为 y ? kx ? b , 当 k ? 0 时,函数单调递增,当 k ? 0 时,函数单调递 减,当 k ? 0 时,函数是常数函数。 2、二次函数的一般形式是 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,当 a ? 0 时,函数的图像抛物线开口向
2

上,顶点坐标为 ( ?

b 2a

,

4ac ? b 4a

2

) ,函数在 ( ? ? , ?

b 2a

) 单调递减,在 ( ?

b 2a

, ? ? ) 单调递增。

当x ? ?

b 2a

时,函数有最小值

4ac ? b 4a

2

。当 a ? 0 时,函数的图像抛物线开口向下,顶点

坐标为 (?

b 2a

,

4ac ? b 4a

2

) ,函数在 (?? , ?

b 2a

) 单调递增,在 (?

b 2a

, ?? ) 单调递减。当

x ? ?

b 2a

时,函数有最大值

4ac ? b 4a
a

2



3、幂函数的一般形式为 y ? x

( a ? R , a 是 常 数 , x是 自 变 量 ) ,其特征是以幂的底为自

变量,指数为常数,其定义域随着常数 a 取值的不同而不同。所有幂函数都在 (0, ? ? ) 有定 义,并且图像都过点(1,1) a ? 0 , 幂函数在 (0, ? ? ) 是增函数, a ? 0 ,幂函数在 (0, ? ? ) ; 是减函数。 四.解决实际问题的解题过程

(1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、 被动关系,并用 x 、 y 分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型

五.解应用题的一般程序 (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础; (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型 .熟悉基本数 学模型,正确进行建“模”是关键的一关; (3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要 注意巧思妙作,优化过程; (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果. 六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂 函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型 等。

解:1) ( 由表观察知, 沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象 近似地为一次函数 y=kx+b 的图象。 将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。

(2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减 少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。

(1)设从乙地调运 x 台至 A 地,求总运费 y 关于 x 的函数关系式。 (2)若总运费不超过 9000 元,问共有几种调动方案? (3 )求出总运费最低 的调运方案及最低的费用。 函数的模型二 二次函数模型 解题步骤 先建立二次函数的模型,再解答。 例 2 某租赁公司拥有汽车 1 0 0 辆.当每辆车的月租金为 3 0 0 0 元时,可全部租出.当每辆 车的月租金每增加 5 0 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 1 5 0 元,未租出的车每辆每月需要维护费 5 0 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 6 0 0 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解: (1)当每辆车的月租金定为 3 6 0 0 元时,未租出的车辆数为: 这时租出了 8 8 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:
f

3600 ? 3000 50

? 1 2 ,所以

? x ? ? ?100 ?
?

?

x ? 3000 ? x ? 3000 ? 50 , ? ? x ? 150 ? ? 50 50 ?

整理得: f ? x ? ? ?

x

2

? 162 x ? 21000 ? ?

1 50

50

? x ? 4050 ?

2

? 307050 .

所以,当 x ? 4050 时, f ? x ? 最大,其最大值为 f ? 4 0 5 0 ? ? 3 0 7 0 5 0 .即当每辆车的月租 金定为 4 0 5 0 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元.

无)与年产量 x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y ?

x

2

? 4 8 x ? 8 0 0 0 ,已知此

5

生产线年产量最大为 210 吨。 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品平均成本最低,并求最低成本。 (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

函数的模型三 幂函数模型 解题步骤 先建立幂函数模型,再解答。 例 3.有一片树林现有木材储蓄量为 7100 cm3,要力争使木材储蓄量 20 年后翻两番,即达 到 28400 cm3. (1)求平均每年木材储蓄量的增长率; (2)如果平均每年增长率为 8%,几 年可以翻两番?

【点评】 (1) 增长率 (降低率) 的问题一般是指数或幂函数模型, 如果已知时间求增长率 (降低率) , 多是幂函数模型。 “翻两番” (2) 指现在是原来的 4 倍, n 番” “翻 指的是现在是原来的 2 倍。 【变式演练 3】 (1)在 1975 年某市每公斤猪肉的平均价格是 1 .4 元,而到了 2005 年,该市 每公斤猪肉的平均价格是 15 元, 假定这 30 年来价格年平均增长率相同, 求猪肉价格的年平 均增长率. (2)另一方面,1975 年时该市职工月平均工资是 40 元,而到了 2005 年,该市职工月 平均工资是 860 元,通过猪肉价格的增长和工资增长的对比,试说明人们的生活水平是日 益提高,并计算若按这种速度,到 2020 年,估计该市职工月平均工资是多少元. 【高考精选传真】 2012 年高考没有此类考题。 【反馈训练】 1、一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流出,如
[来源:学科网]

n

果水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v ? f ( h ) 的大致图象是(



A B C D 2、一等腰三角形周长为 20,则底边长 y 关 于腰长 x 的函数解析式是( ) A. y=20-2x (x≤10) B.y=20-2x (x<10) C.y=20-2x (5≤x≤10) D.y=20-2x (5<x<10) 3、用一根长为 12 米的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能折成的框架的最大面积是(

)

A.9 平方米 B.36 平方米 C.4.5 平方米 D.最大面积不存在 4、某种商品 2009 年提价 25%,2010 年要恢复原价,则应降价 ( ) A.30% B.25% C.20% D.15% 5. 某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其 关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单 位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问: 怎样分配这 10 万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元) 。 6.如 图所示,有一块半径为 R 的半圆形 纲板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状, 它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端 点在圆周上,写出这个梯形周长 y 和腰长
x 间的函数式 ,并求出它的定义域。

7、有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗 框, 已知上框架与下框架的高的比为 1∶2, 问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框 面积最大(中间木档的面积可忽略不计. 8.将进货单价为 8 元的商品按单价 10 元销售,每天可卖出 100 个。若该 商品的单价每涨 1 元,则每天销售量就减少 10 个。如何确定该商品的销售单价,使利润最大? 9. 一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关系如表所 示,则客车的运输年数为多少时该客车的年平均利润最大? 4 6 8 x年 ? x
y ?ax ?bx c ? (万元)
2
[来源:学+科+网]

7

11

7

?

2x

【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】

D

C

A

E

O

B

[来源:Zxxk.Com]

【变式演练 2 详细解析】

【变式演练 3 详细解析】 (1)设猪肉价格的年平均增长率是 x % ,则有
1 5 ? 1 .4 (1 ? x % )
30

.利用计算器可得 x ? 8 .2 .

(2)该市职工月工资和年平均增长率是 x % ,则有
8 4 0 ? 4 0 (1 ? x % ) ,利用计算器可得 x ? 10.8 .
30

因为 10.8 ? 8.2 ,因此人们的生活水平是日益提高. 照这样的速度到 2020 年,职工月平均工资是
860(1 ? 10.8% )
15

? 4000 元.

【反馈训练详细解析】 1.D【解析】由题得当 h 较大时,随着 h 的减少,水的体积会减少的较慢,当 h 在鱼缸正中 间时,随着 h 的减少,水的体积会减少的较快,接着有减 少的较慢,所以选择 D.
? 0 ? x ? 20 ? ? ? 20 ? 2 x ? 0 ? x ? x ? 20 ? 2 x ?

2.D【解析】? 2 x ? y ? 20 ,? y ? 20 ? 2 x

? 5 ? x ? 10

所以选

D.

由图知 f (1) ? 从而 f ( x ) =
1 4

1 4

? k1 ?

1 4

,又 g ( 4 ) ?
5 4

5 2

? k2 ?

5 4

x, ( x ? 0) , g ( x) =

x , ( x ? 0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x ) + g (10 ? x ) =
x 4 ? 5 4
10 ? t 4
2

1 0 ? x , 0 ? x ? 10 ) ( ,
5 4 1 4 5 2 25 16

令 10 ? x ? t, 则 y ? 当t ?
5 2

?

t ? ?

(t ?

) ?
2

, (0 ? t ?

1 0 ),

, y m ax ? 4 ,此时 x ? 1 0 ?

25 4

=3.75

? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元。

? ?x ? 0 ? 2 ?x 再由 ? ? 0 ?2R 2 ? x 2R ? ? 0 ? R ?

解得 0 ? x ?

2R

∴周长 y 与腰长 x 的函数式为: y ? ?

1 R

x ? 2 x ? 4 R ,定义域为: ( 0 ,
2

2R)

7、 【解析】 :如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x

∴ 窗框的高为 3x,宽为 即窗框的面积 y = 3x · 配方:y = ? 7 ( x ? ∴ 当x= 大.
3 7
3 7

6 ? 7x 6 7

3 6 ? 7x 3
9 7

= ?7x2 + 6x ( 0 < x < (0<x<2)
3 7

)

) ?
2

米时,即上框架高为

米、下框架为

6 7

米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最

?7 ? a ? 4 2 ? b ? 4 ? c, ? 2 ?11 ? a ? 6 ? b ? 6 ? c , ? 2 ? 7 ? a ? 8 ? b ? 8 ? c. 。

解得 a=-1,b=12,c=-25, 即 y ?? 2 ? x?25 。 x 12

而取“=”的条件为 x ?

25 x

, 即 x=5 。


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