讲座4、恒成立问题常见类型及解法


讲座4、恒成立问题常见类型及解法

在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问

题求解的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基
本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合法

等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数
形结合、函数与方程等思想方法,另外不等式恒成立问

题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型: (1)一次函数型; (2)二次函数型;

(3)变量分离型;
(4)利用函数的性质求解; (5)直接根据函数的图象求解;

(6)反证法求解。
下面分别举例示之。

一、一次函数型
【理论阐释】 给定一次函数 y ? f ( x) ? kx ? b ( k ≠ 0),若 y ? f ( x) 在 [m,n]内恒有 f ( x) >0, 则根据函数的图象(线段)可得 ?k ? 0 ?f (m) ? 0 ?k ? 0 ①? 或② ? ,也可合并成 ? , f ( n ) ? 0 f (n) ? 0 f ( m ) ? 0 ? ? ?
?f (m) ? 0 同理,若在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 ,则有 ? . ?f (n) ? 0
y y

o

m

n

x

o m

n

x

典例导悟
若不等式 2 x ? 1> m ? x 2 ? 1? 对一切 m ? ? ?2, 2? 都成立,求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) =( x 2 ? 1 )m - 2 x +1,则上述问题即可转化为关于 m 的 一次函数 y ? f (m) 在区间[-2, 2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区 间端点,只要
? f (?2)<0 7 ?1 3 ?1 ,解得 <x< , ? 2 2 ? f (2)<0

即 x 的取值范围是(

7 ?1 3 ?1 , ). 2 2

二、二次函数型
【理论阐释】 若二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0, x ? R) 的函数值大于 (或小于)
ì a< 0 ?a ? 0 ? ? 0 恒成立,则有 ? (或 í ) ,若是二次函数在指定区间上的 ? ?? ? 0 ? ?D < 0

恒成立问题,还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。

典例导悟
关于 x 的方程 9 +(4+ a )3 +4=0 恒有解,求 a 的取值范围。
x x

【解析】方法 1(利用韦达定理) 设 3 =t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t +(4+ a )t+4=0 有正根。
?Δ ? 0 ?(4 ? a) 2 ? 16 ? 0 ? ? ? x1 ? x2 ? ?(4 ? a ) ? 0 ,即 ? , ? a ? ?4 ? x ?x ? 4 ? 0 ? 1 2
x 2

? a ? 0 或 a ? ?8 ?? ,解得 a ? -8. ? a ? ?4

方法 2(利用根与系数的分布知识) 即要求 t +(4+ a )t+4=0 有正根。 设 f(t)= t +(4+ a )t+4. 当 ? =0 时,即(4+ a ) -16=0,
2 2 2

y 4 o x

∴ a =0 或 a =-8. 当 a =0 时,f(t)=(t+2) =0, 得 t=- 2<0,不合题意; 当 a =- 8 时,f(t)=(t-2) =0, 得 t=2>0,符合题意。∴ a =-8。
2 2

当 ? >0,即 a <-8 或 a >0 时, 4?a ? 0 ,即 a <-4. ∵ f(0)=4>0,故只需对称轴 ? 2 ∴ a <- 8.
综上可得 a ? - 8.

三、变量分离型
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量 的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可

将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

典例导悟
(2010·天津高考理科·T16)设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,
2

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?



x2 3 【解析】依据题意得 2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4(m2 ? 1) 在 x ? [ , ??) m 2
上恒定成立, 即

1 3 2 3 2 ? 4 m ? ? ? ? 1 x ? [ , ??) 上恒成立。 在 m2 x2 x 2

3 3 2 5 时函数 取得最小值 ? y ? ? 2 ? ?1 ? , 2 x x 3 1 5 2 2 2 所以 2 ? 4m ? ? ,即 (3m ? 1)(4m ? 3) ? 0 , m 3
当x 解得 m ?

?

3 2

或m

?

3 2



四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】
若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x,f(-x)=

-f(x),(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对
一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立;若函数图象平移前后

互相重合,则函数解析式相等。

典例导悟
(2010·福建高考文科·T10)将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像向左平移

? 个单位。若所得图象与原图象重合,则 ? 的值不可能 等于( ... 2
A.4 B.6 C.8 D.12



【解析】选 B,把图象向左平移

? 个单位得 2

? ? ?? ? ? ? ? y ? sin ? ? ? x ? ? ? ? ? ? s in ? ?x ? ? ? ? ? , 2? 2 ? ? ? ? ?

又该函数图像与原函数图像重合,所以 s in ? ?x ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? sin ? ?x ? ? ? 2 ?

? 恒成立,? ? ? ? ? 2k? ? ? ,?? ? 4k ? k ? Z ? ,所以 k 不可能为 6。 2

五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出不等

号两边对应函数的图象,这样就把一个很难解决的不等式的
问题转化为利用函数图象解决的问题,然后从图象中寻找条

件,就能解决问题。

典例导悟
若不等式 log a x ? sin 2 x (a ? 0且a ? 1) 对于任意 x ∈ (0, ] 都成立, 求a 4 的取值范围.

?

【解析】作出函数 y ? sin 2 x 的图

? 象,由题意知 在 x ∈ (0, ]上, 4
函 数 y ? log a x 的 图 象 总 在 函 数
y ? sin 2 x 的图象的上方 .

? 0 ? a ? 1。
作直线 x =

? , 与 y ? log a x 和 4

y ? sin 2 x 的图象分别交于 A、B 两

点,为保证 y ? log a x 在区间

? (0, ]上的图象在 y ? sin 2 x 图象的上方,不难从图中得到其条件 4 是点 A 在点 B 的上方。

? 当 x = ? 时 , log
? < a <1。 4 4

?
a

? sin(2 ? ) ? 1 ? log a a , 又 0 ? a ? 1 , 得 4 4

?

六、采用逆向思维,考虑使用反证法
【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手,这时如果考虑 问题的反面,有时会有“柳暗花明又一村”的效果,所 谓“正难则反”就是这个道理。

典例导悟
设 y ? f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x1、x2 都 有
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,且存在实数 a ,使 f (a) ? 0 。求证:对任意实数 x ,
f ( x) ? 0 恒成立。

【解析】这是一个抽象函数的证明题,由 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,只要
x x x x x ? x 令 x1 ? x2 ? ,就能得到 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? ? f ( ) ? ? 0 ,接下来 ? 2 2 2 2 ? 2 ? 2
2

要证明对任意实数 x , f ( x) 都不等于 0 。这是一个恒成立问题。从正 面直接证明比较困难, 所以可以考虑反证法, 即如果找到一个 x0 ? R 使 f ( x0 ) ? 0 ,能推出矛盾就行了。事实上,若存在 x0 ? R 使 f ( x0 ) ? 0 , 则对任意实数 x ,有 f ( x) ? f [( x ? x0 ) ? x0 ] ? f ( x ? x0 ) f ( x0 ) ? 0 ,显然这与 题设“存在实数 a ,使 f (a) ? 0 ”矛盾。


相关文档

更多相关文档

恒成立问题常见类型及解法
4、恒成立问题常见类型及解法
函数、不等式恒成立问题解法(老师用)
高三数学含参不等式恒成立问题的解法 新课标 人教版
恒成立问题常见类型及解法
电脑版