【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十四章 选修4系列 14.3 不等式选讲课件 理 北师大版选修4-5


14.3

选修4—5

不等式选讲

-2-

考纲要求:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何 意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|cb|(a,b∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等 式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a. 3.通过一些简单问题了解 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.

-3-

1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成 立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(bc)≥0时,等号成立.

-4-

2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法: ①|x|<a?-a<x<a;②|x|>a?x>a或x<-a. (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.

-5-

3.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 2:若 a,b 为正数,则 定理 3:若 a,b,c
+ 2

≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成立. ≥
3

++ 为正数,则 3

,当且仅当 a=b=c 时,等

号成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an 为 n 个 正数,则 成立.
a1 +a2 +…+an n





1 2 … ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号

-6-

4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc时,等号成立.
2 2 2 (2)设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(1 + 2 +…+ ) 2 2 2 (1 + 2 +…+ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n) 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α· β|,当且 仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 5.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.

-71 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}. ( × ) (2)|a+b|+|a-b|≥|2a|. ( ) (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和. ( ) (4)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0. ( ) 1 (5)已知x为正实数,则1+x+ ≥3. ( )


-81 2 3 4 5

2.(2015南昌模拟)若不等式 成立,则实数a的取值范围是( A.2<a<3 B.1<a<2 C.1<a<3 D.1<a<4

+

)

1

>|a-2|+1对于一切非零实数x均

关闭

因为 + =|x|+


1

1

≥2,要使对于一切非零实数 x, +

1

>|a-2|+1 恒
关闭

成立, 则 C |a-2|+1<2,即 1<a<3.
解析

答案

-91 2 3 4 5

3.(2015西安模拟)若a>b>1,x=a+ ,y=b+ ,则x与y的大小关系是 ( ) A.x>y B.x<y C.x≥y D.x≤y

1

1

关闭

x-y=a+ ? +


1

1

=(a-b)+

-

=

( - )( -1)

,
关闭

由 a>b>1 得 ab>1,a-b>0, 所以 A
- ( -1)

>0,即 x-y>0,所以 x>y.
解析 答案

-101 2 3 4 5

4.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为

.

关闭

原不等式可化为以下三个不等式组 : ≥ 1, (1) -1 + + 2 ≥ 5; ≤ -2, (2) 1--( + 2) ≥ 5; -2 < < 1, (3) 1- + + 2 ≥ 5. 解 (1)得 x≥2;解(2)得 x≤-3;(3)无解 ,因此原不等式的解集为 {x|x≥2, 关闭 {x|x ≥2, 或 或 x≤ 3} . x≤- 3}
解析 答案

-111 2 3 4 5

5.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,则参数a的取值范 围为 .

关闭

令f(x)=|x-3|+|x-4|, 由其几何意义(数轴上距离坐标为3的A点与坐标为4的B点的两点间的距 离之和)可知,当动点P位于A,B之间时,f(x)min=1,∴要使关于x的不等式|x3 |+|xa> 1 4|<a的解集不是空集,需a>1.
解析 答案
关闭

-121 2 3 4 5

自测点评 1.对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的条件.对|a+b|≥|a||b|,当且仅当a>-b≥0时,等号成立;对|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,如果a<b<0,当且仅当|a|≥|b|,且ab≥0时左边等号成立,当且仅当ab≤0时 右边等号成立. 2.解形如|x-a|+|x-b|≥c(c>0)的不等式一般可用零点分段法求解, 利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 3.求函数y=|x-a|+|x-b|的最值问题,一般利用绝对值三角不等式, 但要找出等号成立的条件,只有等号成立,才存在最值.

-13考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点1含绝对值不等式的解法 例1(2015河北石家庄二中一模)设f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求f(x)≤x+2的解集; (2)若不等式 f(x)≥|+1|-|2-1| 对任意实数a≠0恒成立,求实数x的取 || 值范围. + 2 ≥ 0, 解 :(1)由 f(x)≤x+2 得 ≤ -1, 1---1 ≤ + 2 + 2 ≥ 0, + 2 ≥ 0, 或 -1 < < 1, 或 ≥ 1, 1- + + 1 ≤ + 2 -1 + + 1 ≤ + 2. 解得 0≤x≤2, 所以 f(x)≤x+2 的解集为{x|0≤x≤2}.

-14考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)

| +1|-|2 -1| | |

= 1+
1

1 1

- 2-

1

≤ 1 + + 2- =3,


1

1

当且仅当 1 +

由不等式 f(x)≥

| +1|-|2 -1| | |

2-

≤0 时 ,等号成立, 对任意实数 a≠0 恒成立

得 |x-1|+|x+1|≥3, ≥ 1, ≤ -1, -1 < < 1, 则 或 或 -1 + + 1 ≥ 3, 1---1 ≥ 3 1- + + 1 ≥ 3 3 3 解得 x≤- 或 x≥ .
2 2

-15考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:绝对值不等式的常见解法有哪些? 解题心得:绝对值不等式的常见解法有: (1)解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为 一元一次或一元二次不等式(组)进行求解. (2)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,其 一般步骤为: ①令每个含绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若 干个区间; ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式, 求出解集; ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.

-16考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(3)对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式, 利用实数绝对值的几何意义求解较简便,即利用数形结合法,把绝 对值转化为数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和.

-17考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练1 (2015河北衡水中学二模)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x3|,x∈R. (1)解不等式f(x)≤5; (2)若不等式m2-m<f(x),对?x∈R都成立,求实数m的取值范围.
1 2 1 3 2 3 2
关闭

解 :(1)原不等式等价于
4 2 2

< ,

4-4 ≤ 5 1 1 1 3 3 9 解得 - ≤x< 或 ≤x≤ 或 <x≤ , 因此不等式的解集为 - , .
2 2 1 9 4 4 4



2

≤ ≤ ,

2≤5



> , 4-4 ≤ 5.

(2)∵f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x- 1-(2x-3)|=2, ∴m2-m<[f(x)]min= 2?m 2-m-2<0?- 1<m<2.
答案

-18考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点2绝对值三角不等式的应用 1 例2设函数f(x)= + +|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围.
关闭

(1)证明 :由 a>0,有 f(x)= + 所以 f(x)≥2. (2)解 :f(3)= 3 + 得 3<a<
5+ 21 2 1

1

+|x-a|≥ + -(-) = +a≥2.
1

1

1

+|3-a|.当 a>3 时 ,f(3)=a+ ,由 f(3)<5
1 1+ 5 2

.
1+ 5 5+ 21 2

当 0<a≤3 时 ,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 综上 ,a 的取值范围是 ,
2

<a≤3.

.
答案

-19考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值? 解题心得:求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对 值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如 y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.

-20考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练2 如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|<a的解集不是空集, 求实数a的取值范围.

关闭

解:注意到||x-3|-|x-4||≤|(x-3)-(x-4)|=1,-1≤|x-3|-|x-4|≤1. 若不等式|x-3|-|x-4|<a的解集是空集, 则有|x-3|-|x-4|≥a对任意的x∈R都成立, 即有(|x-3|-|x-4|)min≥a,a≤-1. 因此,由不等式|x-3|-|x-4|<a的解集不是空集可得,实数a的取值范围是a>-1.
答案

-21考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混
关闭

解 :(1) 当 a=1 时 ,f(x)>1 化为 |x+1|-2|x-1|-1>0. 考点 3含参数的绝对值不等式问题 x≤-课标全国Ⅰ 1 时 ,不等式化为 x4>0,无解 ; x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. 例当 3(2015 ,理24) 已知函数 f( 2 当 1 <x< 1 时 , 不等式化为 3 x2 > 0, 解得 <x<1; (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; 3 当 x(≥ 1 时 ,不等式化为 -x+2>0,解得 1≤x<26, . 求a的取值范围. (2) 若f x)的图象与 x轴围成的三角形面积大于 2 所以 f(x)>1 的解集为 < < 2 . -1-2, < -1, (2)由题设可得 ,f(x)= 3 + 1-2 ,-1 ≤ ≤ , - + 1 + 2, > . 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A
2 -1 3 3

,0 ,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2.
2 3 3

2

由题设得 (a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为 (2,+∞).
答案

-22考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么? 解题心得:求解含参数的绝对值不等式问题时,根据绝对值的定 义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决 是常用的基本方法.

-23考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练3 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (2)设a>-1,且当x∈ - , 1 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
2 2

解 :(1)当 a=-2 时 ,不等式 f(x)<g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 1 -5, < , 则 y= --2, 1 ≤ ≤ 1, 2 3-6, > 1, 其图象如图所示,由图象可知, 当且仅当 x∈(0,2)时 ,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
2

-24考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)当 x∈ - ,

1 2 2

时 ,f(x)=1+a,
1 2 2

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, 所以 x≥a-2 对 x∈ - , 都成立,应有- ≥a-2,则 a≤ ,
4 3 2 3 4

从而实数 a 的取值范围是 -1, .

-25考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点4不等式的证明 例4(2015课标全国Ⅱ,理24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:

(1)若 ab>cd,则 + > + ; (2) + > + 是|a-b|<|c-d|的充要条件.

证明 :(1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( + )2>( + )2. 因此 + > + . (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即 (a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由 (1)得 + > + .

-26考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

②若 + > + ,则 ( + )2>( + )2,
即 a+b+2 >c+d+2 . 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此 |a-b|<|c-d|. 综上 , + > + 是 |a-b|<|c-d|的充要条件 .

-27考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:证明不等式常用的方法有哪些? 解题心得:证明不等式常用的方法有:(1)比较法证明不等式:①作 差比较法;②作商比较法. (2)用分析法证明不等式:使用分析法证明的关键是寻找推理的每 一步的充分条件. (3)用综合法证明不等式:在用综合法证明不等式时,常用到不等 式的性质和基本不等式等.

-28考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练4 (2015辽宁丹东二模)已知a,b为正实数. 1 4 (1)若a+b=2,求 1 + + 1 + 的最小值; (2)求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
解: =
1 4 1 1+

关闭

+

4 1+

=

1

1

4 1+ 4+4 1+

+ ≥

4 1+ 1 4

(1+a+1+b)
1+ 1+

5+

1+ 1+

+

5+2
4+4

·

4+4 1+

= ,
4 1 5

9

等号成立的条件为1+ = 所以所求的最小值为4.
9

1+

,而 a+b=2,故 a=3,b=3. 1+

(2)证明:由均值基本不等式得 a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2b2a, b2+a2≥2ab, 三式相加得 2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1). 所以 a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
答案

-29考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点5柯西不等式的应用 例5(2015福建,理21)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的 最小值为4. (1)求a+b+c的值; (2)求 1a2+1b2+c 2的最小值.
4 9

解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-a≤x≤b时,等号成立. 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c. 又已知f(x)的最小值为4, 所以a+b+c=4.

-30考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)由 (1)知 a+b+c=4,由柯西不等式得 + + (4+9+1)≥ 9 =(a+b+c)2=16, 1 2 1 2 8 2 即 a + b +c ≥ .
4 4 9 1 2 1 2 2 2

× 2 + × 3 + × 1
3



2

当且仅当

1 2

2 3 1 7 1 2 1 2 8 故 a + b +c 2 的最小值为 . 4 9 7

=

1 3

7

= ,即 a= ,b= ,c= 时等号成立 .
7 7



8

18

2

-31考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何利用柯西不等式证明不等式或求最值? 解题心得:1.用柯西不等式证明时,一般需要对不等式变形,使之 与柯西不等式有相似的结构,然后再根据柯西不等式的结构特征, 利用柯西不等式进行证明. 2 2 2 + 2 +…+ ) 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为 (1
1 2 1

+

1 2 2

+…+

1 2

≥(1+1+…+1)2=n2.

在使用柯西不等式时,要注

意右边为常数和等号成立的条件.

-32考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练5 (2015陕西,理24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集 关闭 为{x|2<x<4}. 解 :(1)由 |x+a|<b,得 -b-a<x<b-a, (1)求实数a,b的值; -- = 2, 则 a=3,b=1. . (2)求 + 12解得 的最大值 + - = 4,
(2) -3 + 12 + = 3 4- + ≤ [( 3 )2 + 12 ][( 4- )2 + ( )2 ]=2 4- + =4, 当且仅当
4- 3

=

1

,即 t=1 时等号成立 .

故 ( -3 + 12 + )max=4.
答案

-33考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解 决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)≤g(x)恒成立问题时,若能作出 两个函数的图象,通过图象的位置关系可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符 号,也可利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及其推广形式 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 3.不等式求解和证明中应注意的事项 (1)作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作 商比较法适用的主要是高次幂乘积结构. (2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩, 放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件.

-34考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的 几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分 段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏. 2.在利用算术-几何平均不等式或柯西不等式求最值时,要注意检 验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成 立.

-35-

思想方法——利用算术-几何平均不等式求最值 利用算术-几何平均不等式求最值是一种较为简便的数学方法, 也是不等式问题中的一个重要类型,它解决了利用基本不等式求最 值范围受限的问题,用此种方法求最值关键要抓住算术-几何平均 不等式的结构特点和使用条件.
1 + 3 + 3+abc 的最小值. 1 1 1 2 2 2 2 (2)已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c + + + ≥6 3,并确 1 典例(1)设 a,b,c 为正实数,求3 1

定 a,b,c 为何值时,等号成立.

-36-

(1)解 :因为 a,b,c 是正实数 ,由算术 -几何平均不等式可得
1 3 1 1 1 3·3 · 3, a c b 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥ . a c abc b 1 1 1 3 所以 3 + 3 + 3+abc≥ +abc. a c abc b

+

1

3 + 3≥3

1

3

3 3 而 +abc≥2 · abc=2 abc abc 1 a 1 所以 3 + a

3,

当且仅当 a=b=c 且 abc= 3时 ,取等号 . 所以 3 +
1 c b 1 1 + 3 3+abc c b 1
3 + 3+abc≥2 3,

的最小值为 2 3.

-37-

(2)证明 :因为 a,b,c 均为正数 ,由算术 -几何平均不等式得
2 a2+b2+c 2≥3(abc )3 , 1 1 1 1 + + ≥3(abc ) 3 ,





2 1 1 1 2 所以 + + ≥9(abc ) 3 ,② 2 2 1 1 1 2 2 2 2 故 a +b +c + + + ≥3(abc)3 +9(abc) 3 ≥2





27=6 3,③

所以原不等式成立 . 当且仅当 a=b=c 时 ,①式和 ②式等号成立 . 当且仅当 ③式等号成立 . 4 即当且仅当 a=b=c= 3时 ,原式等号成立 .
2 2 3(abc)3 =9(abc) 3 时 ,


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