2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质课件文


第五节 抛物线及其性质

知识点一 抛物线的定义与方程 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F(点F不在直线l上)和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直

线叫做抛物线的准线.
(2)满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 ①在平面内; ②动点到定点F距离与到定直线l的距离相等; ③定点不在定直线上.

2.抛物线的方程 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F 到准线l垂线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴所在直线为 坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线的四种不同形式的标准

方程y2=±2px,x2=±2py,其中p>0.

?一个易错点:忽略定义中的限制条件致误. (1)[抛物线的定义中要求定点在定直线外,利用抛物线的定义 求解时要注意判断]若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l: 3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹方程为________.
|3x+y-4| 解析 设 P(x,y),则 (x-1) +(y-1) = , 10 整理得 P 轨迹方程为 x-3y+2=0.
2 2

答案 x-3y+2=0

(2)[一个做题技巧:把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点
到准线的距离,或者把某点到准线的距离转化为该点到焦点 的距离,然后根据平面几何的相关知识求解 ]已知 P为抛物线 y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到 直线l1,l2的距离之和的最小值为(
A.2 2 C. 2 B.4 3 2 D. 2 +1

)

解析 将 P 点到直线 l1:x=-1 的距离转化为 P 到焦点 F(1,0)的距离,过点 F 作直线 l2 的垂线,交抛物线于点 P,此即为所求最小值点,∴P 到两直线的距离之和的最 |1+0+3| 小值为 2 2 =2 2,故选 A. 1 +1

答案 A

知识点二

抛物线的几何性质
y2=2px (p>0) y2=-2px x2=-2py (p>0) (p>0) x2=2py (p>0)

标准 方程

图形

对称 轴

x轴

x轴

y轴

y轴

顶点坐标

O(0,0) p F(2,0) e =1

O(0,0) p F(-2,0) e=1

O(0,0) p F(0,-2) e=1

O(0,0) p F(0,2) e=1

焦点坐标

离心率 e

准线 方程

p x=-2

p x=2

p y=2

p y=-2

焦半径 公式

p p p |PF|=x0+2 |PF|=-x0+2 |PF|=-y0+2

p |PF|=y0+2

范围

x≥0

x≤0

y≤0

y≥0

?两个易错点:不把抛物线方程标准化;忽略p的符号.

(3)[把抛物线方程化成标准方程y2=mx或x2=ny的形式再进行
相关求解 ] 若抛物线 y = ax2 的准线方程是 y = 2 ,则 a 的值为 ______.
解析 1 1 1 由 y=ax 得 x =ay,所以-4a=2,a=-8.
2 2

1 答案 - 8

(4)[参数p表示抛物线的焦点到准线的距离,值大于0,当抛物
线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误] 抛物线x2+2py=0的焦点到顶点的距离为 1,则抛物线标准方 程为________. 解析 焦点到准线的距离p=2×1=2,则标准方程为:

x2=-4y. 答案 x2=-4y

(5)[ 六个常见结论:直线 AB 过抛物线 y2 = 2px(p>0) 的 焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图.
2 p ①y1y2=-p2,x1x2= 4 . p p ②|AF|=x1+2,|BF|=x2+2.

|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2 x1x2=p, 即当 x1=x2 时,弦长最短为 2p. 1 1 2 ③|AF|+|BF|为定值p. 2p ④弦长 AB= 2 (α 为 AB 的倾斜角). sin α

⑤以 AB 为直径的圆与准线相切. ⑥焦点 F 对 A, B 在准线上射影的张角为 90°]若抛物线 y2=2x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 中点的横坐 标是________.

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 p=1,则|AB|=x1+x2+p =x1+x2+1=5,所以 x1+x2=4.线段 AB 中点的横坐标为 x1+x2 2 =2.

答案 2

(1)求抛物线方程时,若由已知条件可知所求曲线是抛物线,

一般用待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹,
一般用轨迹法. (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方 向 ) ,又要定量 ( 即确定参数 p 的值 ). 解题关键是定位,最好结 合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解.

(3) 解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把 |PF| 转
化为点P到准线的距离,这种“化斜为直”的转化方法非常有 效,要注意领会和运用.

【例1】 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上 一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程 和准线方程.

设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), p p 则焦点为 F(0,-2),准线方程为 y=2. ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, m2=6p, ? ? ? ?p=4, ? ∴? 解得? p?2 2 ? 2 6. m +?-3+2? =5, ?m=± ? ? ? ? 解 法一 ∴抛物线方程为 x2=-8y,m=± 2 6,准线方程为 y=2.

如图所示,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), ? p? 则焦点 F?0,-2?, ? ? p 准线 l:y=2,作 MN⊥l,垂足为 N. 则|MN|=|MF|=5, p p 而|MN|=3+2,∴3+2=5,∴p=4. ∴抛物线方程为 x2=-8y,准线方程为 y=2. 法二
由 m2=(-8)×(-3),得 m=± 2 6.

[ 点评 ]

如果问题中涉及抛物线的焦点和准线 ,又能

与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.

抛物线的几何性质求解方略

(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可 以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质, 体现了数形结合的思想.

(2)涉及抛物线的切线问题,要考虑应用导数来解决,这是不
同于椭圆和双曲线的一点.

【例 2】 (1)(2016· 云南玉溪一中第四次月考)过抛物线:y2=2px(p >0)的焦点 F 作倾斜角为 60° 的直线 l,若直线 l 与抛物线在第 x2 y2 一象限的交点为 A,并且点 A 也在双曲线: 2- 2=1(a>0,b a b >0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )

21 A. 3 B. 13 2 3 C. 3 D. 5 (2)(2016· 五岳联考质量检测)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准 线为 l,P 是抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.若直线 PF 的倾 斜角为 120° ,则|PF|=________.

p 解析 (1)如图,设 A(x0,y0),则|AF|=2(x0-2), ? p? p p ? ? 又|AF|=x0+2,∴2 x0-2 =x0+2 ? ? 3 3 3 ∴x0=2p.y0= 2 |AF|= 2 ·2p= 3p.

?3 A?2p, ? ? 3p?在双曲线的一条渐近线上. ?

4 2 b 3 2 ∴ 3p=a·2p,∴b =3a , 4 2 2 2 2 2 2 由 a +b =c 得 a +3a =c , c2 7 21 c ∴ 2= .∴离心率 e=a= ,故选 A. a 3 3 数形结合和转化数学思想方法.

(2)设 P(x,y),取 l 与 x 轴的交点为 B,在 Rt△ABF 中, 4 16 ∠AFB=30°,|BF|=4,则|AB|=|y|= ,即有 8x= 3 , 3 2 2 8 ∴x= ,|PF|=2+ = . 3 3 3 8 答案 (1)A (2) 3

[ 点评 ]

根据题意画出图形 ,利用抛物线的定义及性

质结合平面几何知识求解.

直线与抛物线位置关系解题方略

(1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系

类似,一般要用到根与系数的关系;
(2) 有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的 焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若 不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根

与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中
点、斜率时,一般用“点差法”求解.

【例3】 已知平面内一动点 P到点F(1,0)的距离与点 P与y轴 的距离的差等于1.
(1)求动点 P 的抛迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 → ·EB → 的最小值. AD



(1)设动点 P 的坐标为(x,y),

由题意有 (x-1)2+y2-|x|=1. 化简得 y2=2x+2|x|.当 x≥0 时,y2=4x; 当 x<0 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0).
(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为
? ?y=k(x-1), y=k(x-1).由? 2 ? ?y =4x

得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1, 4 x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=2+k2,x1x2=1.

1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为-k .设 D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1. → → → → → → 故AD·EB=(AF+FD)· (EF+FB) → ·EF → +AF → ·FB → +FD → ·EF → +FD → ·FB → =AF → |·|FB → |+|FD → |·|EF → |=(x +1)(x +1)+(x +1)(x +1) =|AF 1 2 3 4 =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 ? 4? =1+?2+k2?+1+1+(2+4k2)+1 ? ? ? 2 1? 1 2 ? ? =8+4 k +k2 ≥8+4×2 k ·k2=16. ? ? 1 → → 2 当且仅当 k =k2,即 k=± 1 时,AD·EB取最小值 16.

[点评]

1.设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线Ax+By+C=0,

将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ ny+q=0. (1)若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个公共点; 当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;

当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.
(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物 线的对称轴平行.

2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线 的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程 ,但涉及抛

物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求 ”、
“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.

?弦的中点问题求解策略 【示例】 (2014· 银川质量检测 ) 已知一条过点 P(2 , 1) 的直线 与抛物线 y2= 2x 交于A, B两点,且P是弦 AB的中点,则直 线AB的方程为________.

解析

依题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y2 1=2x1, y 1 -y 2 2 2 2 y1-y2=2(x1-x2),即 = x 1 -x 2 y 1 + y 2

y2 2=2x2,两式相减得

=1,直线 AB 的斜率为 1,直线 AB 的方程是 y-1=x- 2,即 x-y-1=0.

答案 x-y-1=0

[方法点评] 弦中点问题的解决方法 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求

解,在使用根与系数的关系时,要注意,使用条件Δ>0,在
用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.

(2)用“点差法”求解步骤


相关文档

更多相关文档

大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质课件理
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质AB卷文
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质模拟创新题文
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第5节抛物线及其性质模拟创新题理
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质课件文
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第四节双曲线及其性质课件文
2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程课件文
非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第7节抛物线课件
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第四节双曲线及其性质课件理
大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质课件理
电脑版