【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第7节 函数的图象课件 理


第7节

函数的图象

最新考纲 1.在实际情境中,会根据不 同的需要选择图象法、列表 法、解析法表示函数.

2.会运用函数图象理解和研 究函数的性质,解决方程解的 个数与不等式的解的问题.

编写意图 函数的图象的识别、函数图象的变换法则以及利用函数 的图象研究函数的性质、方程、不等式的解,是高考考查的热点内 容,难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出给 出函数的解析式画出函数的图象、给出函数的解析式判断函数的图 象,难点突破利用函数图象求函数零点的个数、利用函数图象确定 参数的取值(范围)、函数与方程思想、转化与化归思想及数形结合 思想的应用.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.利用描点法作函数图象

抓主干

固双基

其基本步骤是列表、描点、连线.首先:①确定函数的定义域;②化 简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对 称性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 ①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) ④y=a (a>0 且 a≠1) (3)翻折变换
①y=f(x) ②y=f(x)
x

y= -f(x) y= f(-x)

; ; y= logax(a>0且a≠1) .

y= -f(-x) ;

y=|f(x)|. y=f(|x|).

(4)伸缩变换 ①y=f(x) y=f(ax).

②y=f(x)

y=af(x).

质疑探究:若函数 y=f(x+a)是偶函数(奇函数),那么 y=f(x)的 图象的对称性如何? (提示:由 y=f(x+a)是偶函数可得 f(a+x)=f(a-x),故 f(x)的

图象关于直线 x=a 对称(由 y=f(x+a)是奇函数可得 f(x+a)=-f(a-x),故 f(x)的图象关于点(a,0)对称)

基础自测
1 1.函数 y=1的图象是( B x ?1

)

解析:≧x≠1,?可排除选项 C、D. 又 x=0 时,y=2,可排除选项 A.故选 B.

2.函数 f(x)= (A)y 轴对称 (C)原点对称

1 -x 的图象关于( C x

)

(B)直线 y=-x 对称 (D)直线 y=x 对称

解析:函数 f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦), f(-x)=
1 1 -(-x)=-( -x)=-f(x), ?x x

所以 f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称. 故选 C.

3.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应 的函数为( C )

(A)y=f(|x|)

(B)y=|f(x)|

(C)y=f(-|x|) (D)y=-f(|x|)
? ? f ? ? x ? , x ? 0, 解析:y=f(-|x|)= ? 故选 C. ? ? f ? x ? , x ? 0.

4.(2014 兰州模拟)为了得到函数 f(x)=log2x 的图象,只需将函 数 g(x)=log2
x 的图象向 8

平移

个单位.

x 解析:g(x)=log2 =log2x-3=f(x)-3, 8

因此只需将函数 g(x)的图象向上平移 3 个单位即可 得到函数 f(x)=log2x 的图象.
答案:上 3

5.给出下列命题: ①函数 f(x)=
x ?1 与 g(x)= x ? 1 的图象相同. x ?1

②函数 y=f(x)的图象关于原点对称与函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象 关于原点对称一致. ③当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同. ④函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同. ⑤若函数 y=f(x+a)是偶函数,那么 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. 其中正确的是 .(写出所有正确命题的序号)

解析:①错误,因为两个函数的定义域不相同;②错误,前者 是函数 y=f(x)图象本身的对称,而后者是两个图象间的对称; ③错误,例如函数 y=|log2x|与 y=log2|x|,当 x>0 时,它们的 图象不相同.④错误,函数 y=af(x)与 y=f(ax)分别是对函数 y=f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换,故函数图象不同;⑤ 正确,由 y=f(x+a)是偶函数可得 f(a+x)=f(a-x),故 f(x)的图 象关于直线 x=a 对称.
答案:⑤

考点突破
考点一
ln x

剖典例

找规律

函数图象的画法

【例 1】 作出下列函数的图象 (1)y=e ; (2)y=|log2(x+1)|; |x| (3)y=a (0<a<1); (4)y=
2x ? 1 . x ?1

解:(1)≧函数的定义域为{x|x>0}, 且 y=eln x=x(x>0), ?其图象如图(1)所示.

(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的 部分沿 x 轴翻折上去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如 图(2)所示.

?a x , x ? 0, ? (3)≧y= ?? 1 ? x (0<a<1), ?? ? , x ? 0 ?? a ?

?1? ?只需作出 0<a<1 时函数 y=ax(x≥0)和 y= ? ? (x<0)的图 ?a?
象,合起来即得函数 y=a|x|(0<a<1)的图象.如图(3)所示.
(4)≧y=2+
1 , x ?1 1 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 x

x

?函数图象可由 y=

2 个单位而得,如图(4)所示.

反思归纳

画函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的 基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本初等函数的图
象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但 要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本初等函数的

要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单
位及解析式的影响. 提醒:可先化简函数解析式,再利用图象的变换作图.

【即时训练】 作出下列函数的图象:
(1)y=sin |x|; (2)y=
x?2 . x?3

解:(1)当 x≥0 时,y=sin |x|与 y=sin x 的图象完全相同, 又 y=sin |x|为偶函数,其图象关于 y 轴对称,其图象如图.

x?2 1 1 (2)y= =1,该函数图象可由函数 y=- 的图象向左 x?3 x?3 x

平移 3 个单位再向上平移 1 个单位得到,如图所示.

考点二 函数图象的识别
【例 2】 (1)(2013 高考福建卷)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是 ( )

(2)(2014 杭州模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x-1|)-1 的图象可能是( )

解析:(1)由函数解析式可知,f(x)为偶函数,可排除选项 C;又 函数满足 f(0)=0,即图象过原点,可排除选项 B、D,故选 A.
(2)根据题意,由于函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,那么可知 函数 y=f(|x-1|)-1 的图象先是保留在 y 轴右侧的图象不变为 增函数,再作关于 y 轴对称的图象,再整体向右平移一个单位, 再整体向下平移一个单位,那么可知为先减后增,同时关于直 线 x=1 对称,故选 B.

反思归纳

(1)知式选图的策略

①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象 的上下位置; ②从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图象的变化趋势; ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;

④从函数的周期性,判断图象的循环往复;
⑤从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等 ),排 除不合要求的图象.

提醒:注意联系基本初等函数的图象,当选项无法排除时,代特殊值,
或从某些量上寻找突破口.

(2)知图选式或选性质的策略

①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域.
②从图象的变化趋势,观察函数的单调性.

③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性.
④从图象的循环往复,观察函数的周期性.

利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.

? ??2 x, ?1 ? x ? 0, 【即时训练】 (1)已知 f(x)= ? 则下列函数的图象 ? ? x ,0 ? x ? 1,

错误的是(

)

(2)已知函数 f(x)=x-

ln x x
2

,则函数 y=f(x)的大致图象为(

)

解析:(1)先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图 象向右平移 1 个单位长度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此选项 A 正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因 此选项 B 正确; y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,选项 C 正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x ,相应这部分图象不是一条线段,因此选项 D 不正确. 故选 D.
(2)可判断 f(x)是非奇非偶函数,故排除选项 B、C,又当 0<x<1 时,f(x) =xln x >0,排除选项 D.故选 A. 2 x

考点三 函数图象的应用
【例 3】 (1)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 . (2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围 是 .

解析:(1)f(x)=min{2 ,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图. 令 x+2=10-x,得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6.

x

2 ? ? x ? x ? a, x ? 0, (2)y= ? 2 作出图象,如图所示. ? ? x ? x ? a, x ? 0,

1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a- , 4 1 要使 y=1 与其有四个交点,只需 a- <1<a, 4 5 ?1<a< . 4
答案:(1)6
5 (2)(1, ) 4

【变式 1】 将本例(2)中“四”改为“三”,则 a 的取值 是 .

提示:由图可知,a=1.

答案:1

【变式 2】 将本例(2)中“四”改为“二”,则 a 的取值范围 是 .
提示:由图可知,a∈(-≦,1).

答案:(-∞,1)

反思归纳 函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点, 分析函数的最值、极值.②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.③从 图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.④从图象与x轴的交点 情况,分析函数的零点等. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值 (范围):构造 函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出 两函数的图象,数形结合求解. (3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数 的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问 题,从而利用数形结合求解. 提醒:利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合 ,因此作 出的函数图象一定要准确.

助学微博
1.作图 (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析 几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分) 时,就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接 作出.(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等 作出;(3)可通过方程的同解变形作出,如作函数 y= 1 ? x 2 的图象.
2.识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性, 注意图象与函数解析式中参数的关系.

3.用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了 “形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具. 要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象研究含参数的方 程或不等式解集的情况.

思想方法

融思想

促迁移

数形结合思想在函数问题中的应用

1 【典例】 函数 y= 的图象与函数 y=2sin π x(-2≤x≤4)的 1? x

图象所有交点的横坐标之和等于( (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

)

解析:由题意知 y=

1 ?1 = 的图象是双曲线, 1 ? x x ?1

且关于点(1,0)成中心对称,又 y=2sin πx 的 周期为 T=
2π =2,且也关于点(1,0)成中心对称, π

因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心 对称,再结合图象(如图所示)可知两图象在 [-2,4]上有 8 个交点,因此 8 个交点的横坐标 之和 x1+x2+…+x8=4×2=8.故选 D.

方法点睛

数形结合思想的主要方面是“以形助数”

寻找解决问题的途径,在函数问题中数形结合思想的应 用非常广泛.本题利用两个函数图象具有相同的对称中 心,成对得出两个函数图象交点的横坐标之和,以形助 数得到问题的答案,堪称数形结合的一个完美体现.

【即时训练】 (2014 黄冈调研)设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,
对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围 是 .

解析:如图,要使 f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1, ?a≥-1.

答案: [-1,+∞)


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