直线、平面垂直的判定和性质


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直线、平面垂直的判定和性质
生成时间:2013.07.30 14:01:18

[第 168 页 第 1 题] (2013 北京, 8,5 分) 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点, P 到各顶点的距离的不同取值有( )

A. 3 个

B. 4 个

C. 5 个

D. 6 个

[答案] B [解析] 本题解析暂未开放 [第 168 页 第 2 题] (2012 浙江, 5,5 分) 设 l 是直线, α , β 是两个不同的平面. ( A. 若 l∥α , l∥β , 则α ∥β B. 若 l∥α , l⊥β , 则α ⊥β C. 若α ⊥β , l⊥α , 则 l⊥β D. 若α ⊥β , l∥α , 则 l⊥β [答案] B [解析] 本题解析暂未开放 )

[第 168 页 第 3 题] (2012 安徽, 15,5 分) 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等, 即 AB=CD, AC=BD, AD=BC, 则 (写出所有正确结论的编号). ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180° ④连结四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 [答案] ②④⑤ [解析] 本题解析暂未开放 [第 168 页 第 4 题] (2013 四川, 19,12 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底 面 ABC, AB=AC=2AA1=2, ∠BAC=120°, D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异 于端点的点. (1) 在平面 ABC 内, 试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l, 说明理由, 并证明直线 l⊥平 面 ADD1A1; (2) 设(1) 中的直线 l 交 AC 于点 Q, 求三棱锥 A1-QC1D 的体积. 中 S 为底面面积, h 为高 锥体体积公式: V= Sh, 其

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[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 168 页 第 5 题] (2013 江西, 19,12 分) 如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB∥CD, AD ⊥AB, AB=2, AD= , AA1=3, E 为 CD 上一点, DE=1, EC=3. (1) 证明: BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 168 页 第 6 题] (2013 北京, 17,14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点. 求证: (1) PA⊥底面 ABCD; (2) BE∥平面 PAD; (3) 平面 BEF⊥平面 PCD.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 7 题] (2013 辽宁, 18,12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的 平面, C 是圆 O 上的点. (1) 求证: BC⊥平面 PAC;

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(2) 设 Q 为 PA 的中点, G 为△AOC 的重心, 求证: QG∥平面 PBC.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 8 题] (2013 课标全国Ⅰ, 19,12 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB, AB=AA1, ∠BAA1=60°. (1) 证明: AB⊥A1C; (2) 若 AB=CB=2, A1C= , 求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 9 题] (2012 课标全国, 19,12 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直底 面, ∠ACB=90°, AC=BC= AA1, D 是棱 AA1 的中点. (1) 证明: 平面 BDC1⊥平面 BDC; (2) 平面 BDC1 分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 10 题] (2012 浙江改编, 20,15 分) 如图, 在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD∥BC, AD⊥AB, AB= , AD=2, BC=4, AA1=2, E 是 DD1 的中点, F 是平面

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B1C1E 与直线 AA1 的交点. 证明: (i) EF∥A1D1; (ii) BA1⊥平面 B1C1EF.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 11 题] (2012 安徽, 19,12 分) 如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 A1B1C1D1 是正方形, O 是 BD 的中点, E 是棱 AA1 上任意一点. (1) 证明: BD⊥EC1; (2) 如果 AB=2, AE= , OE⊥EC1, 求 AA1 的长.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 169 页 第 12 题] (2012 天津改编, 17,13 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AD⊥PD, BC=1, PC=2 , PD=CD=2. (1) 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2) 证明平面 PDC⊥平面 ABCD.

[答案] (详见解析)

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[解析] 本题解析暂未开放 [第 170 页 第 13 题] (2011 广东, 18,13 分) 如图所示的几何体是将高为 2, 底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后, 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A, A', B, B' 分 别为 , , , 的中点, O1, O'1, O2, O'2 分别为 CD, C' D', DE, D' E'的中点.

(1) 证明: O'1, A', O2, B 四点共面; (2) 设 G 为 AA' 中点, 延长 A' O'1 到 H', 使得 O'1H' =A' O'1. 证明: BO'2⊥平面 H' B'G.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放

[第 170 页 第 14 题] (2010 广东, 18,14 分) 如图,

是半径为 a 的半圆, AC 为直径, 点

E 为 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED, FB= a. (1) 证明: EB⊥FD; (2) 求点 B 到平面 FED 的距离.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 172 页 第 1 题] (2013 广东湛江一模, 17) 底面是正方形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, 侧棱 AA1⊥底面 ABCD, E 是 CC1 的中点, O 是 AC、BD 的交点. (1) 求证: AC1∥平面 BDE; (2) 求证: 平面 BDE⊥平面 ACC1.

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[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 172 页 第 2 题] (2013 广东肇庆一模, 18) 如图, PA 垂直于☉O 所在平面 ABC, AB 为 ☉O 的直径, PA=AB=2, BF= BP, C 是弧 AB 的中点. (1) 证明: BC⊥平面 PAC; (2) 证明: CF⊥BP; (3) 求四棱锥 C-AOFP 的体积.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 173 页 第 3 题] (2013 广东肇庆一模, 17) 如图, 已知三棱锥 P-ABC 的侧面 PAB 是等 边三角形, D 是 AB 的中点, PC=BC=AC=2, PB=2 (1) 证明: AB⊥平面 PCD; (2) 求点 C 到平面 PAB 的距离. .

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放

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[第 173 页 第 4 题] (2012 广东惠州一调, 18) 如图所示的几何体中, AB⊥平面 ACD, DE ⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形, AD=DE=2AB=2, F 为 CD 的中点. (1) 求证: AF∥平面 BCE; (2) 求证: 平面 BCE⊥平面 CDE.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 173 页 第 5 题] (2012 广东湛江二模, 18) 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2a 的正方形, 各侧棱均与底面边长相等, E、F 分别是 PA、PC 的中点. (1) 求证: PC∥平面 BDE; (2) 求证: 平面 BDE⊥平面 BDF; (3) 求四面体 E-BDF 的体积.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 173 页 第 6 题] (2011 广东三校联考) 如图, 已知三棱锥 A-BPC 中, AP⊥PC, AC⊥BC, M 为 AB 中点, D 为 PB 中点, 且△PMB 为正三角形. (1) 求证: DM∥平面 APC; (2) 求证: 平面 ABC⊥平面 APC; (3) 若 BC=4, AB=20, 求三棱锥 D-BCM 的体积.

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[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 173 页 第 1 题] (2013 广东佛山一模, 18) 如图所示, 已知圆 O 的直径 AB 长为 4, 点 D 为线段 AB 上一点, 且 AD= DB, 点 C 为圆 O 上一点, 且 BC= 的正投影为点 D, PD=BD. (1) 求证: CD⊥平面 PAB; (2) 求点 D 到平面 PBC 的距离. AC, 点 P 在圆 O 所在平面上

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 173 页 第 2 题] (2013 广东深圳宝安月考, 19) 如图, 在四棱锥 S-ABCD 中, 平面 SAD ⊥平面 ABCD. 四边形 ABCD 为正方形, 且 P 为 AD 的中点, Q 为 SB 的中点. (1) 求证: CD⊥平面 SAD; (2) 求证: PQ∥平面 SCD.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 174 页 第 3 题] (2013 广东东莞一模, 19) 在等腰梯形 PDCB(见图 a) 中, DC∥PB, PB=3DC=3, PD= , DA⊥PB, 垂足为 A, 将△PAD 沿 AD 折起, 使得 PA⊥AB, 得到四棱锥 P-ABCD(见图 b). 在图 b 中完成下面问题: (1) 证明: 平面 PAD⊥平面 PCD; (2) 点 M 在棱 PB 上, 平面 AMC 把四棱锥 P-ABCD 分成两个几何体(如图 b), 当这两个几何体 的体积之比 VPM-ACDVM-ABC=5∶4 时, 求 的值; (3) 在(2) 的条件下, 证明: PD∥平面 AMC.

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[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 174 页 第 4 题] (2012 广东六校第三次联考, 18) 如图, 一空间几何体的一个面 ABC 内接于圆 O, AB 是圆 O 的直径, 四边形 DCBE 为平行四边形, 且 DC⊥平面 ABC. (1) 证明: 平面 ACD⊥平面 ADE; (2) 若 AB=2, BC=1, tan∠EAB= , 试求该空间几何体的体积 V.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放 [第 174 页 第 6 题] (2011 广东茂名一模, 19) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为 菱形, ∠BAD=60°, Q 为 AD 的中点. (1) 若 PA=PD, 求证: 平面 PQB⊥平面 PAD; (2) 点 M 在线段 PC 上, PM=tPC, 试确定 t 的值, 使 PA∥平面 MQB.

[答案] (详见解析) [解析] 本题解析暂未开放

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