抚州市2012—2013学年度下学期期末考试高一数学试卷(一)


2012—2013 学年度下学期期末考试 高一数学模拟试卷(教师用卷)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 150 分, 共 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写 在试题卷上的无效. 2.答题前,考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上. 3.考试结束,只交答题卷.

第Ⅰ卷

(选择题,共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. nπ nπ 1.集合 M={x|x=sin ,n∈Z},N={x|x=cos ,n∈N},则 M∩N 等于 3 2 A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{0} D.? 【答案】C 2.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足 ab=4,则该三角形的面积为 A.1 B.2 C. 2 D. 3 【答案】D 3.已知 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A.7 【答案】D B.5 C.-5 D.-7

4.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 【答案】B B.15 C.20 D.25

? 1 ? 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为 ? n n+1? 100 99 99 101 A. B. C. D. 101 101 100 100 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项求 和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项 求和。

【解析】由 a5 ? 5, S5 ? 15 ,得 a1 ? 1, d ? 1 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,所以

1 1 1 1 ,又 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ,选 A. ?? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? a1a2 a100 a101 1 2 2 3 100 101 101 101
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6.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 A.相离 【答案】C B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

【解析】圆心 C (0, 0) 到直线 kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 ? ? 2 ? r ,且圆心 1 1? k
2

1

C (0, 0) 不在该直线上.
法二:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C. 【考点定位】 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位 置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用 d 与 r 的大小为判断.当 0 ? d ? r 时,直线与圆相交,当 d ? r 时,直线与圆相切,当 d ? r 时,直线与圆相离. 7.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一 个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A.

2 2

B.

3 2

C. 2

D. 3

【答案】C 【解析】棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为 ?ABF ,则图中 AB ? 2 , E 为 D F C A ∴EF= 2 ,∴三角形 ABF 的面积是 2 ,选 C. E B

AB 中点,则 EF⊥DC,在△DCE 中,DE=EC= 3 ,DC=2,

?x? y?0 ? 8.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 5 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 1 ?
A.5 【答案】A B.6 C.7 D.8

【解析】如图,由图象可知目标函数 z ? 5 x ? y 过点 A(1, 0) 时

z 取得最大值, zmax ? 5 .
9.若直线
2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ? ) ,则 sin a b
2

A. a ? b 【答案】D

≤1

B. a ? b
2

2

≥1

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

高一数学模拟试卷

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【解析】由题意知直线

1 1 ? a 2 b2 1 1 cos ? sin ? ? ?1 另解:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 a b a b cos ? sin ? 1 1 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ? ? ≤ ? a b a 2 b2 π? ? π 10.函数 y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 的图象是 2? ? 2
y y y

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b

1

≤1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

y

π ? 2

O

π 2

x

π ? 2

O

π 2

x

π ? 2

O

π 2

x

π ? 2

O

π 2

x

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】本小题主要考查复合函数的图像识别。 y ? ln cos x(? 除 B、D,由 cos x 的值域可以确定.选 A.

?
2

?x?

?
2

) 是偶函数,可排

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______. 【答案】 27? 【解析】 d ? 3 3 ? R ?

3 3 ? S ? 4?R 2 ? 27? 2
a b ? =1,x+y 的最小值为________. x y

12.已知 x、y 是正变数,a、b 是正常数,且 【答案】a+b+2 ab

2 2 13.直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得的弦长为_____________.

【答案】 2 2 【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为

l ,圆心到直线的距离 2

d?

2 1 ? (?1)
2 2

? 2 ,以及圆半径 r ? 2 构成了一个直角三角形,因此

高一数学模拟试卷

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l ( )2 ? r 2 ? d 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? l 2 ? 8 ? l ? 2 2 . 2
【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆, 对于学生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题. 14. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 点 D 是 斜 边 AB 的 中 点 , 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 , 则

PA ? PB
2

2

PC

2

=

.

【答案】10 15.给出下列四个命题: ①直线 l 平行于平面 α 内的无数直线,则 l ∥α ②若直线 l 在平面 α 外,则 l ∥α ③若直线 l ∥b,直线 b ? α,则 l ∥α ④若直线 l ∥b,直线 b ? α,那么直线 l 就平行平面 α 内的无数条直线 以上说法正确的是 .(将正确说法的序号填在横线上) 【答案】④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 5 在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 sinA= ,sinB 5 = 10 . 10

(1)求 A+B 的值; (2)若 a-b= 2-1,求 a、b、c 的值. 解:(1)∵ A、B 为锐角,sinA= 3 10 cosB= 1-sin2B= , 10 2 5 3 10 5 10 2 ∴ cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= × - × = . 5 10 5 10 2 ∵ 0<A+B<π, (2)由(1)知 C= π ∴ A+B= . 4 5 10 ,sinB= , 5 10 2 5 ∴ cosA= 1-sin2A= , 5

3π α b c 2 ,∴ sinC= .由正弦定理 = = 得 4 2 sin A sin B sinC

5a= 10b= 2c,即 a= 2b,c= 5b,∵ a-b= 2-1, ∴ 2b-b= 2-1,∴ b=1,∴ a= 2,c= 5.

17.(本小题满分 12 分)
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某物流公司购买了一块长 AM ? 30 米,宽 AN ? 20 米的矩形地块 AMPN ,规划建设占地 如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上, B 、 D 分别在边 AM 、 AN 上,假设 AB 长度为 x 米,要使仓库占地 ABCD 的面积不 少于 144 平方米, AB 长度应在什么范围内? N P
D C

A

B

M

解:依题意三角形 NDC 与三角形 NAM 相似,

2 DC ND x 20 ? AD ? ? ,即 , AD ? 20 ? x , AM NA 30 20 3 2 2 矩形 ABCD 的面积为 S ? 20 x ? x ,定义域为 0 ? x ? 30 , 3 2 2 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米即 20 x ? x ? 144 , 3
所以
2 化简得 x ? 30x ? 216 ? 0 ,解得 12 ? x ? 18 所以 AB 长度应在 ?12,18? 内.

18.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB=

1 DC, 2
D

E为PD中点.
A (1)求证:AE∥平面 PBC; (2)求证:AE⊥平面 PDC. 解:(1)证明:取 PC 的中点 M,连接 EM, 则 EM∥ CD,EM= E B

P 则四边形 ABME 是平行四边形.所以 AE∥ BM, 因为 AE 不在平面 PBC 内,所以 AE∥ 平面 PBC. (2) 因为 AB⊥ 平面 PBC,AB∥ CD,所以 CD⊥ 平面 PBC, CD⊥ BM.由(1)得,BM⊥ PC, 所以 BM⊥ 平面 PDC, 又 AE∥ BM,所以 AE⊥ 平面 PDC 19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC ? (cos A ? sin A) cos B ? 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围 20.(本小题满分 13 分)
2 2 已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0

1 DC,所以有 EM∥ 且 EM=AB, AB 2

C

(1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

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解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则直线 l 恒通过点 (4,3) ,把 (4,3) 代入 圆 C 的方程,得 (4 ? 3) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 2 ? 4 ,所以点 (4,3) 在圆的内部,又因为直线 l 恒过点

(4,3) , 所以直线 l 与圆 C 总相交.
(2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则

d?

| 3k ? 4 ? 4k ? 3 | 32 ? 4 2
L 2
2 2

?

| k ?1| 5
L 2 (k ? 1) 2 . 25

2 又设弦长为 L ,则 ( ) ? d ? r ,即 ( ) ? 4 ?
2

2 ∴ k ? ?1 时, ( ) min ? 4 ? Lmin ? 4 当

L 2

所以圆被直线截得最短的弦长为 4.

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 S n 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn. 2n

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 2 2 2 9 7 9 故 k ? 4 ,从而 an ? S n ? S n ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 (2)因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
? 【答案】解: (1)当 n ? k ? N 时, S n ? ?

【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利 用 an ? ?

? S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意 ? Sn ? Sn ?1

an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减法求数
列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项 是等比数列.

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