二元一次不等式与简单的线性规划问题 5(教师用)


二元一次不等式组与简单的线性规划问题
一、知识归纳: 1.二元一次不等式表示的平面区域: 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧 所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 对于在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x, y ) ,实数 Ax ? By ? C 的符号相同,所 以 只 需 在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 特 殊 点 ( x0 , y0) , 从 Ax0 ? By0 ? C 的 正 负 即 可 判 断

Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)
2.线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使 目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。 3.线性规划问题应用题的求解步骤: (1)先设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数; (2)作出相应的图象(注意特殊点与边界) (3)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(小)值; 二、例题分析: 例 1①画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域. 解:先画直线 2 x +y-6=0(画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 2 x +y-6,∵2×0+0-6=-6<0, ∴原点在 2 x +y-6<0 表示的平面区域内,不等式 2 x +y-6<0 表示的区域如图: ②点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是__(t>2/3)______.

?x ? y ? 5 ? 0 ? ③画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域. ?x ? 3 ?
解:不等式 x -y+5≥0 表示直线 x -y+5=0 上及右下方的点的集 合, x +y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直 线 x=3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角 形区域:

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2.设 x, y 满足约束条件: ?3 x ? 5 y ? 25 , ?x ? 1 ?
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分别求:(1) z ? 6 x ? 10 y ; (2) z ? 2 x ? y ; (3) ? ? 值与最小值。

x 2 ? y 2 ; (4) ? ?

y 的最大 x ?1 22 ) 5

解: (1)先作可行域,如下图所示中 ?ABC 的区域,且求得 A(5,2) 、 B(1,1) 、 C (1,

作出直线 l0 : 6 x ? 10 y ? 0 , 再将直线 l 0 平移, l 0 的平行线 l1 过点 B 时, 当 可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最小值;当 l 0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最大值。 故 zmin ? 6 ?1 ? 10 ?1 ? 16 , zmax ? 6 ? 5 ? 10 ? 2 ? 50 (2)同上,作出直线 l 0 : 2 x ? y ? 0 ,再将直线 l 0 平移,当 l 0 的平行线 l1 过点 C 时,可使

z ? 2 x ? y 达到最小值;当 l 0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大值。
则 z min ? ?

12 , z max ? 8 5

(3) ? 表示区域内的点 ( x, y ) 到原点的距离。则 ( x, y ) 落在点 B(1,1) 时, ? 最小, ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最大,故 ?min ?

2 , ?max ? 25 ? 4 ? 29

(4)? 表示区域内的点 ( x, y ) 与点 D(?1,0) 连线的斜率。 ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时,? 最小, 则

( x, y ) 落在点 C (1,

22 1 11 ) 时, ? 最大,故 ? min ? , ?max ? 5 3 5

例 3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨 乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超 过 18 吨.求该企业可获得最大利润。 例 3.解析 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 A 原料 3x B 原料 2x 3y

y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ,目标函数 z ? 5 x ? 3 y 3 x ? y ? 13 ? ?2 x ? 3 y ? 18 ?
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标, 经验证知: 当 x =3, y =4 时可获得最大利润为 27 万元。

y
13

(0, 6) O

(3,4)



不等式

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13 9 , 0) 3

x

三、练习题: 1.不等式 x ? 2 y ? 0 表示的平面区域是

A.
2 2

B.

C.

D.

2.满足不等式 y ? x ? 0 的点 ( x, y ) 的集合(用阴影表示)是

A.

B.

C.

D.

?x ? y ? 4 ? 3.已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最小值等于 ? x ?1 ? ___ 2 ____,最大值等于__ 10 __________. ?x ? y ?1 ? 0 ? 4.如果实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x ? y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ? A. 2 B. 1 C. ?2 D. ?3

? x ? 2 ? 0, ? 5.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是 A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6.已知满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是 ?x ? 3 ?
A.5 B.-6
不等式

C.10
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D.-10

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
A.4 2 B.4 C.2 2 D.2

8. 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, ?? ? ,部分对应值如下表,

x
f

-2
? x?

0 -1

4 1

f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,函数 y ? f ' ? x ? 的图像如图所示.若两正 .
数 a, b 满足 f ? 2a ? b ? ? 1,则 .

1

b?3 的取值范围是(根据题意可以 a?3

画出函数的图像,然后画出可行域) A. ?

?6 4? ?3 7? ?2 6? , ? B. ? , ? C. ? , ? ?7 3? ?5 3? ?3 5?

D. ? ? ,3 ?

? 1 ? 3

? ?

9.点 P (a,4) 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离为 2 5 ,且 P 在 3x ? y ? 3 ? 0 表示的区域内,则

a ? __16___
?x ? 0 ? 10.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 ?y ? x ? 2 ?
x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为
15 8

? y?x ? 11.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为__3_____ ? y ? 3x ? 6 ? ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 12.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?


若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的是最大值为 12,则

2 3 25 ? 的最小值为__ _____ a b 6

解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6, 而

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? ) ? ?2 ? a b a b 6 6 a b 6 6

不等式

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13.某厂生产 A 与 B 两种产品,每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A 产品需要电力 2 千瓦、 4 煤 吨;而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该厂 的电力供应不得超过 100 千瓦,煤最多只有 120 吨.问如何 安排生产计划以取得最大产值?

y

x-y+2= 00 z=ax+b y 2 3x-y-6=0 x

2 -2 O

解:设生产 A 与 B 两种产品分别为 x 公斤,y 公斤,总产值

?2 x ? 3 y ? 100 ? 为 Z 元。则 ?4 x ? 2 y ? 120 ? x ? 0, y ? 0 ?
且 z ? 600 x ? 400 y 作可行域: 作直线 l:600x+400y=0,即直线 l:3x+2y=0,把直线 l 向右上方 平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A,且与原点距离最大, 此时 z=600x+400y 取最大值.解方程组

?2 x ? 3 y ? 100 ,得 A 的坐标为 x=20,y=20 ? ?2 x ? y ? 60

新疆 学案

王新敞

答:生产 A 产品 20 公斤、B 产品 20 公斤才能才能使产值最大。 14.某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成。已 知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元, 每份进取型组合投资每年可获利 15 万元。 若 可作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,那么这两 种组合投资应注入多少份,才能使一年获利总额最多? 解:设稳健型投资 x 份,进取型投资 y 份,利润总额为 z (×10 万元) , 则目标函数为 z ? ( x ? 1.5 y) (×10 万元) ,

?20 x ? 40 y ? 160 ?x ? 2 y ? 8 ? ? 线性约束条件为: ?30 x ? 30 y ? 180 ,即 ? x ? y ? 6 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?
作出可行域 (图略)解方程组 ? ,

?x ? 2 y ? 8 , 得交点 M (4,2) ?x ? y ? 6

作直线 x ? 1.5 y ? 0 ,平移 l ,当 l 过点 M 时, z 取最大值: zmax ? (4 ? 3) ?10 万元=70
不等式 第 5 页(共 6 页)

万元。 15.某公司计划 2009 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不 超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该 公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间, 才能使公司的收益最大, 最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由 题意得 500 x ? 200 y ? 90000 即 5 x ? 2 y ? 900 y
500 400

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y . 或

? x ? y ≤ 300, ? 线性约束条件为 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取 得最大值. 联立 ?
l

300 200 100 M

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

0

100

200300

x

200) ?点 M 的坐标为 (100, .

? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

不等式

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