高考数学大一轮复习配套课时训练:第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数的简单应用(含答案)


第 11 节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 函数的单调性与导数 函数的极值与导数 函数的最值与导数 优化问题 综合应用

导数的简单应用 练题感 提知能

题号 2、5、9、15 1、3、6、10、16 4、7、8 11、13 12、14 A组

一、选择题 1.函数 f(x)=4x3-3x2-6x+2 的极小值为( (A)3 (B)-3 (C) (D)B )

解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1), 因此 f(x)在(-∞,- ),(1,+∞)上为增函数, 在(- ,1)上为减函数, 所以函数 f(x)在 x=1 处取到极小值 f(1)=-3.故选 B. 2.(2013 广东省六校质检)已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 是 R 上的单调增 函数,则 b 的取值范围是( D )

(A)b<-1 或 b>2 (B)b≤-1 或 b≥2

(C)-1<b<2

(D)-1≤b≤2

解析:函数 y= x3+bx2+(b+2)x+3 是 R 上的增函数,即为其导函数 y′ =x2+2bx+b+2≥0,x∈R 恒成立,所以Δ =4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2, 故选 D. 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于 ( C )

(A)11 或 18 (B)11 (C)18 (D)17 或 18

解析:∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f′(1)=0, 即 解得 而当 或 时,函数在 x=1 处无极值,故舍去.

∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故选 C. 4.函数 f(x)=x+2cos x 在[0, ]上取得最大值时 x 的值为( (A)0 (B) (C) (D) B )

解析:由于 f′(x)=1-2sin x, 令 f′(x)=0 得,sin x= ,

又 x∈[0, ], 所以 x= . 且 f( )= + , 又 f(0)=2,f( )= , 所以 f( )为最大值. 故选 B. 5.(2013 济宁模拟)若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是( A )

(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞) (C)(-∞,-2] (D)(-∞,2] 解析:因为 h′(x)=2+ , 若 h(x)在(1,+∞)上是增函数, 则 h′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立, 故 2+ ≥0 恒成立, 即 k≥-2x2 恒成立. 又 x>1, ∴-2x2<-2, 因此,需 k≥-2,故选 A.

6.(2013 湛江毕业班调研)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个 公共点,则 c 等于( (A)-2 或 2 (C)-1 或 1 A )

(B)-9 或 3 (D)-3 或 1

解析:∵y′=3(x+1)(x-1), ∴当 x=-1 或 x=1 时取得极值, 由题意得 f(1)=0 或 f(-1)=0, 即 c-2=0 或 c+2=0, 解得 c=2 或 c=-2.故选 A. 7.若函数 f(x)= ( D ) (B) (C) +1 = (D) -1 , (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为

(A)

解析:f′(x)=

当 x> 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当- <x< 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x= 时, 令 f(x)= = , = <1,不合题意. ∴f(x)max=f(1)= a= -1,故选 D. 二、填空题 = ,

8.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数 在[-2,2]上的最小值为 .

解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减, 因此,当 x=0 时,f(x)取得最大值, 即 f(0)=m=3, 然而 f(-2)=-37,f(2)=-5, 因此 f(x)min=f(-2)=-37. 答案:-37 9.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减,则实数 m= 解析:由已知得,m2-4=0, ∴m=±2. 若 g(x)在(-∞,+∞)内单调递减, 则 g′(x)≤0 恒成立, 即-3x2+4x+m≤0 恒成立, 亦即 3x2-4x-m≥0 恒成立. ∴Δ =16+12m≤0, 解得 m≤- , 故 m=-2. 答案:-2 .

10.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值 范围是 .

解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令 f′(x)=0 得,x2+2ax+a+2=0, 若 f(x)有极大值和极小值, 则方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不等实数根, ∴Δ =4a2-4(a+2)>0. 解得 a>2 或 a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 11.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格 为 a 元,侧面的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的 底面直径与高的比为 .

解析:设圆柱底面半径为 R,高为 h, 则 V=π R2h, 则总造价 y=2π R2a+2π Rhb =2π R2a+2π Rb· =2π aR2+ , 故 y′=4π aR- , 令 y′=0 得 = . 故当 = 时 y 取最小值.

答案: 三、解答题 12.(2013 浙江五校联考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且 函数 f(x)在 x=1 和 x=- 处都取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由于 f′(x)=3x2+2ax+b, 依题意知,f′(1)=0 且 f′(- )=0, 所以 解得 (2)由(1)知,f(x)=x3- x2-2x+c, f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). f′(x)>0 得,x>1 或 x<- . 又 x∈[-1,2], 所以 f(x)的单调增区间为[-1,- ),(1,2]. 13.(2013 汕头市金山中学第一学期期中考试)某种商品的成本为 5 元/ 件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件,为了获得最大利润,商 家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:实际销售

价 x(元)每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件;而降价后,日销售量 Q(件)与实际销售价 x(元)满足关系: Q= (1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价 x(元)的函数 关系式; (2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大. 解:(1)依题意得 y=

= (2)由(1)得,当 5<x<7 时,y=39·(2x3-39x2+252x-535) y′=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7), 当 5<x<6 时,y′>0,y=f(x)为增函数, 当 6<x<7 时,y′<0,y=f(x)为减函数, 所以 f(x)max=f(6)=195. 当 7≤x<8 时,y=6(33-x)∈(150,156], 当 8≤x≤13 时,y=-10(x-9)2+160, 当 x=9 时,ymax=160. 综上知,当 x=6 时,总利润最大,最大值为 195 元. 14.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间;

(2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.(注:e 为自 然对数的底数) 解:(1)因为 f(x)=a2ln x-x2+ax,其中 x>0, 所以 f′(x)= -2x+a=由于 a>0, 所以 f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞). (2)由题意得 f(1)=a-1≥e-1, 即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 只要 解得 a=e. B组 15.(2013 潮州市质检)定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0) 时,f(x)+xf′(x)<0 恒成立,若 a=3f(3),b=(logπ 3)·f(logπ 3),c=-2f(-2),则( A (A)a>c>b (B)c>b>a (C)c>a>b (D)a>b>c 解析:设 g(x)=xf(x),依题意得 g(x)是偶函数.当 x∈(-∞,0) 时,f(x)+xf′(x)<0 恒成立,即 g′(x)<0 恒成立,故 g(x)在(-∞,0) 上单调递减,则 g(x)在(0,+∞)上单调递增,a=3f(3)=g(3), ) .

b=(logπ 3)·f(logπ 3)=g(logπ 3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又 logπ 3<1<2<3,故 a>c>b.故选 A. 16.(2013 中山市期末统考)已知函数 f(x)的导数 f′ (x)=a(x+1)(x-a), 若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取值范围 为 .

解析:若 a>0 时,则 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以 f(x)在 x=a 处取得极小 值,不适合题意,舍去.若-1<a<0 时,则 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,f(x) 单调递增;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以 f(x)在 x=a 处取得极大值,适合题意.若 a=-1 时,函数没有极值点,不适合题意. 若 a<-1 时,则 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,-1) 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,不适合 题意.故适合题意的 a 的取值范围是-1<a<0. 答案:(-1,0)


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