2.3.1 变量之间的相关关系&2.3.2 两个变量的线性相关


2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量 间的相关关系. 2.知道最小二乘法和回归分析的思想; 3.能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程或根 据给出的数据,应用图形计算器建立线性回归方程.

1.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一 个变量的取值被唯一确定,则这两个变量之间的关系就 是一个函数关系.

2.在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩

好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.” 我们把数
学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间 的关系是函数关系吗? 不是

相关关系 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两 个变量之间的关系,叫做相关关系.

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了

一组样本数据:
年龄
脂肪 年龄 脂肪

23
9.5 53 29.6

27
17.8 54 30.2

39
21.2 56 31.4

41
25.9 57 30.8

45
27.5 58 33.5

49
26.3 60 35.2

50
28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平
均数.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中 描出样本数据对应的图形吗?

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量 的一组数据图形,称为散点图.

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变

量的这种相关关系,我们将它称为正相关.

如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化

趋势如何?
一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点 散布在从左上角到右下角的区域.

例1

在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系?

①正方形边长与面积之间的关系;
②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. ②③④

例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积

的数据:
房屋面积 61 (平方米) 销售价格 (万元)

70

115

110

80

135

105
22

12.2 15.3 24.8

21.6 18.4 29.2

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两
个变量是正相关还是负相关.

售价 售价/万元

35 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 150 面积 /平方米

正相关

年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分
布有什么特点?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一

条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关
系,这条直线叫做回归直线,该直线所对应的方程叫回归 方程。 那么,我们该怎样来求出这个回归方程? 请同学们展开讨论,能得出哪些具体的方案?

方案1.先画出一条直线,测量出各点与它的距离,再移
动直线,到达一个使距离的和最小时,测出它的斜率和截 距,得回归方程.如图 :
脂肪含量 40 35 30

25 20 15 10 5 0

年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

方案2.在图中选两点作直线,使直线两侧的点的个数基 本相同.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案3.如果多取几对点,确定多条直线,再求出这些直

线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距而
得回归方程. 如图:
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

对一组具有线性相关关系的样本数据:(x1,y1),(x2,
y2),?,(xn,yn),如何求回归方程?

? ? ? y ? bx ? a

? ? ? y ? bx ? a

? b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )
2

? ( xi ? x )
i ?1

?x
?
i ?1

n

i

yi ? nx y ,
2

?
i ?1

n

xi

? nx

2

? ? a ? y ? bx

一组样本数据的平均数是样本数据的中心,那么散点 图中样本点的中心如何确定?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45

(x , y )
50 55 60 65 年龄

最小二乘法
求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小

的方法叫做最小二乘法.

例3

有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对

热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的饮料杯数

与当天气温的对比表:
摄氏温度 (℃ ) 热饮杯数

-5 156

0 150

4 132

7 128

12 130

15 116

19 104

23 89

27 93

31 76

36 54

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程;

(4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.767 40 温度

当x=2时,y=143.063.

热饮杯数

求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行:

第一步,计算平均数 x , y
第二步,求和 ? x ,? x y
2 i
i

,
,
n

n

n

i

i ?1

i ?1

? 第三步,计算 b ?

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nx y
i i i i i ?1

n

? ( xi ? x )
i ?1

n

?
2

i ?1

? xi ? nx
2 i ?1

n

? ? , a ? y ? bx

2

第四步,写出回归方程

1.下列关系中带有相关关系的有_____.
①光照时间与果树的亩产量的关系; ②圆柱体积与其底面直径的关系; ③自由落体的物体的质量与落地时间的关系; ④球的表面积与球半径之间的关系. 【解析】①②

2.为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同 学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归的方 法,求得回归直线分别为l1、l2,已知两人得到的试验数据 中,变量x和y的数据的平均值都相等,且分别是s,t,那

么下列说法正确的是( A )
A.直线l1和l2一定有公共点(s,t) B.直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t) C.必有直线l1∥l2 D.l1和l2必定重合

3.为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响, 在高一年级学生中随机抽取了10名学生,他们的入学成绩与 期末考试成绩如下表: 学生编号 入学成绩x 期末成绩y 1 2 3 45 52 4 5 6 7 8 9 10

63 67 65 78

88 81 71 52 99 58 76 82 92 89 73 98 56 75

(1)若变量之间具有线性相关关系,求出回归直线的方程; (2)若某学生的入学成绩为80分,试估计他的期末成绩.

解析: (1) x ?

1 10

(63 ? 67 ? 45 ? 88 ? 81 ? 71 ? 52 ? 99 ? 58 ? 76) ? 70 .

y?

1 10
n

(65 ? 78 ? 52 ? 82 ? 92 ? 89 ? 73 ? 98 ? 56 ? 75) ? 76
? nx y ? 0.76556
2 2

? ∴b ?

?x y
i i ?1 n i ?1

i

? ? a ? y ? bx ? 22.4108

? xi ? nx

y 故所求线性回归直线方程是 ? ? 22.4108 ? 0.76556 x .

y (2)某学生入学成绩为 80 分,代入上式可求得 ? ? 84 ,即这个学生期末

成绩的预测分值约为 84 分.

1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散 点图入手,对于散点图,可以作如下判断:

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,变量之
间就是函数关系; (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近,变 量之间就有相关关系;

(3)如果所有的样本点都落在某一直线的附近,变量之 间就有线性相关关系; (4)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则,则这 两个变量之间不具有相关关系,即两个变量之间是相互 独立的.

2.对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回 归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在

回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.
因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关 关系的前提下再求回归方程.

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时 间的人,生活就会冷落他。


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