广东省汕头市2017届高三数学上学期期末考试试题文


广东省汕头市 2017 届高三数学上学期期末考试试题 文
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {?2, 0, 2, 4} , N ? {x | x2 ? 9} ,则 M ? N ? ( ) A. {0, 2} B. {?2, 0, 2} C. {0, 2, 4} D. {?2, 2} 2.已知 a ? 3, b ? 5 , a 与 b 不共线,向量 k a ? b 与 ka ? b 互相 垂直,则实数 k 的值为 A.

?

?

?

?

? ?

? ?

5 3

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

5 3

3.如图, 在底面边长为 1, 高为 2 的正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点, 则三棱锥 P ? BCD 的正视图与侧视 图的面积之和为( A.2 B.3 ) C.4 D.5
a b

4.己知命题 p:“a>b”是“2 >2 ”的充要条件;q: ?x ? R, e x ? ln x ,则( A.¬p∨q 为真命题 B.p∧¬q 为假命题



C.p∧q 为真命题 D.p∨q 为真命题 5.已知 a ? ?1,?2?和b ? ?? m,6? 共线,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为 m

A.

6 B.2 3

C.

6 2 D. 或2 3 3

6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给 五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 A.

5 3

B.

10 3

C.

5 6

1 是较小的两份之和,问最小 1 份为 7 11 D. 6
)

7 . sin(? ? A. ?

?

2? ? 4 3 ? ) 等于( ) ? cos(? ? ) ? ? , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 3 2 5 2
B. ?

4 5

3 5

C.

4 5

D.

3 5
1

8.函数 象,则只需将 f(x)的图象( A.向右平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度 ) B.向右平移 D.向左平移

的图象如图所示,为了得到 g(x)=cos2x 的图

个单位长度 个单位长度

?y ? x ? 9.已知( x, y )满足? y ? 2 , z ? x ? ay, 若z取得最大值的最优解有无数个,则a ? () ?y ? 2 ? x ?
A.1 B.-1 C.1 或-1 D.无法确定

10.在 ? ABC 中,点 D 满足 BD =

? ???? ? ??? ? 3 ??? ??? ? ??? BC ,当 E 点在线段 AD 上移动时,若 AE = ? AB + ? AC ,则 4

t ? (? ?1)2 ? ? 2 的最小值是()
A.

3 10 10

B.

82 4

C.

9 10

D.

41 8

11.已知函数 f ? x ? 的定义域为 R,对于 x1 ? x2 ,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1 ,且 f ?1? ? 1 ,则不等式 x1 ? x2

f (log 2 3x ? 1) ? 2 ? log 2 3x ? 1 的解集为 ( )
A. ?1,??? B. (??,1) C. (?1, 0) ? (0,3) D. (??, 0) ? (0,1)

12 . 已 知 集 合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) }, 若 对 于 任 意 ( x1 , y1 ) ? M , 存 在 ( x2 , y2 ) ? M , 使 得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
①M={ ( x, y )| y ?

1 };②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 };③M={ ( x, y )| y ? log 2 x }; x
( D.②④

④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} .其中是“垂直对点集”的序号是 A.①② B.②③ C.①④

第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题?第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2

13 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = 14.均值不等式已知 x ? 3 y ? 4 xy, x ? 0, y ? 0 则 x ? y 的最小值是 15.如图 在?ABC中, D为线段AB上的点, 且AB ? 3 AD, AC ? AD, CB ? 3CD ,
A

则 cos B = 16.已知函数 f ( x) ? ?



D B C 第15 题图

?sin ?x(0 ? x ? 1), 若 a , b, c 互不相等,且 ? log2014 x( x ? 1),

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,且满足 an?1 ? Sn ? 2n?1 (n ? N ) .
*

(Ⅰ)证明数列 {

Sn } 为等差数列; 2n

(Ⅱ)求 S1 ? S2 ? ... ? Sn . 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,

?DAB ? 60? , PD ? 平面 ABCD , PD ? AD ? 1 ,



E , F 分别为 AB 和 PD 的中点.
(1)求证:直线 AF / / 平面 PEC ; (2)求三棱锥 P ? BEF 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润 60 元,若供大于求,剩余商品 全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利 40 元.

n? N ) (1) 若商品一天购进该商品 10 件, 求当天的利润 y(单位: 元) 关于当天需求量 n (单位: 件,
的函数解析式; (2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n (单位:件, n ? N ) ,整理得下表:

3

若商店一天购进 10 件该商品,以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的 利润在区间 [500, 650] 内的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴,离心率为 (1)求椭圆 ? 的标准方程; ( 2 )设 P?2,0? 过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 A, B 两点 , 若对满足条件的任意直线 l , 不等式

2 ,且长轴长是短轴长的 2 倍. 2

PA? PB ? ?

?? ? R? 恒成立,求 ? 的最小值.
a ? (a ? 1) ln x (a ? R) . x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得至少有一个 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,若存在,求出实数 a 的 取值范围;若不存在,说明理由.. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? =4sin(? ? 标系 xOy . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 在曲线 C 上,点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) (其中 ? ? R ) ,求 | PQ | 的最大值.

?
3

) ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ? | 2 x ? t | , t ? R . (Ⅰ)当 t ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若存在实数 a 满足 f (a)? | a ? 3 |? 2 ,求 t 的取值范围.

4

高三文科数学期末考试答案 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 A 7 C 8 D 9 B 10 C 11 D 12 D

二、填空题:

13.1

2? 3 14. 2

7 6 15. 18

16.

(2,2015 )

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)证明:由条件可知, Sn?1 ? Sn ? Sn ? 2n?1 ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 2n?1 ,┄ ┄┄2 分

Sn ?1 Sn ? ? 1 , ┄┄4 分 2n ?1 2n Sn } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 所以数列 { n 2 Sn ? 1 ? n ? 1 ? n ,即 Sn ? n ? 2n ,┄┄┄┄┄┄7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, n 2
整理得 令 Tn ? S1 ? S2 ? ?? Sn

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n 2Tn ???????????1? 22 ?? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

①┄┄┄┄┄┄8 分 ②┄┄┄┄┄┄┄9 分

① ? ②, ?Tn ? 2 ? 22 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ,┄┄┄┄┄┄10 分 整理得 Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 . ┄┄┄┄┄┄┄12 分 18. 解: (1)作 FM / / CD 交 PC 于 M ,连接 ME . ∵点 F 为 PD 的中点,∴ FM / / ┄┄┄┄1 分

1 1 CD ,又 AE / / CD ,∴ AE / /FM , 2 2
┄┄┄┄3 分

∴四边形 AEMF 为平行四边形,∴ AF / / EM ,

∵ AF ? 平面 PEC , EM ? 平面 PEC ,∴直线 AF / / 平面 PEC .┄┄┄┄5 分

5

1 , ?DAE ? 60? , 2 1 2 1 1 3 2 2 2 ? 2 ∴ ED ? AD ? AE ? 2 AD ? AE ? cos 60 ? 1 ? ( ) ? 2 ?1? ? ? ,┄┄6 分 2 2 2 4
(2)连接 ED ,在 ?ADE 中, AD ? 1 , AE ? ∴ ED ?

3 2 2 2 ,∴ AE ? ED ? AD ,∴ ED ? AB .┄┄┄┄7 分 2

PD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PD ? AB ,

PD ? ED ? D , PD ? 平面 PEF , ED ? 平面 PEF ,∴ AB ? 平面 PEF .┄┄┄┄9 分

1 1 1 3 3 , S?PEF ? ? PF ? ED ? ? ? ? 2 2 2 2 8
∴三棱锥 P ? BEF 的体积 ? VP? BEF ? VB? PEF ? 19.解: (1)当日需求量 n ? 10 时, 利润为 y ? 60 ?10 ? (n ? 10) ? 40 ? 40n ? 200 ; 当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 60 ? n ? (10 ? n) ?10 ? 70n ? 100 . 所以利润 y 关于需求量 n 的函数解析式为

1 1 3 1 3 ? S ?PEF ? BE ? ? .12 分 ? ? 3 3 8 2 48

?40n ? 200(n ? 10, n ? N ) .┄┄┄┄6 分 y?? ?70n ? 100(n ? 10, n ? N )
(2)50 天内有 4 天获得的利润为 390 元,有 8 天获得的利润为 460 元,有 10 元获得的利润为 530 元,有 14 天获得的利润为 600 元,有 9 天获得的利润为 640 元,有 5 天获得的利润为 680 元. 若利润在区间 [500, 650] 内,日需求量为 9、10、11,其对应的频数分别为 10、14、9. 则利润在区间 [500, 650] 内的概率为

10 ? 14 ? 9 33 ? . 50 50

6

?a ? 2b ? 2 ?c 20. 【解析】 (1)依题意, ? ? , 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
x2 ? y2 ? 1 2 2 a ? 2 b ? 1 解得 , ,∴椭圆 ? 的标准方程为 2 .
(2)设

??1 分

?3 分

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

??? ? ??? ? PA ? PB ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 , ∴
当直线 l 垂直于 x 轴时,

x1 ? x2 ? ?1, y1 ? ? y2 且

y12 ?

1 2,

??? ? ??? ? 17 ??? ? ??? ? PA ? PB ? (?3) 2 ? y12 ? PA ? ( ? 3, y ) PB ? ( ? 3, y ) ? ( ? 3, ? y ) 2 .?6 分 1 , 2 1 ,∴ 此时
当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,



? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2

,得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2



x1 ? x2 ? ?

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? 1 2 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2 ,

??8 分

??? ? ??? ? PA ? PB ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ∴
? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2
? (1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 4k 2 2 ? ( k ? 2) ? ? 4 ? k2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

13 17 17k 2 ? 2 17 ? ? ? 2 2 2 2(2k ? 1) 2 . 2k ? 1

??11 分

要使不等式 PA ? PB ? ? ( ? ? R )恒成立,

??? ? ??? ?

只需

? ? ( PA ? PB)max ?

??? ? ??? ?

17 17 2 ,即 ? 的最小值为 2 .

??12 分

21.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,

7

f ' ? x? ? 1?

a a ? 1 ? x ? a ?? x ? 1? ? ? ??????????2 分 x2 x x2
'

(1)当 0 ? a ? 1 时,由 f

? x? ? 0 得, ? ? x ? a 或 x ? 1 ,由 f ' ? x? ? 0 得, a ? x ? ?

故函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, a ? 和 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? a,1? ????4 分
' (2)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, ??? ??????????5 分

(Ⅱ)先考虑“至少有一个 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? x0 成立”的否定“ ?x ? (0, ??) , f ? x ? ? x 恒 成立” 。即可转化为 a ? ? a ? 1? x ln x ? 0 恒成立。 令 ? ? x ? ? a ? ? a ? 1? x ln x ,则只需 ? ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ??? 恒成立即可,???6 分

? ' ? x? ? ? a ?1??1? ln x ?
当 a ? 1 ? 0 时,在 x ? ? 0, ? 时, ? ? x ? ? 0 ,在 x ? ? , ?? ? 时, ? ? x ? ? 0
' '

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1? ?1? ? ? x ? 的最小值为 ? ? ? ? ,由 ? ? ? ? 0 得 a ? e ? 1 , ?e? ?e?
故当 a ?

1 时 f ? x ? ? x 恒成立,??????????????9 分 e ?1

当 a ? 1 ? 0 时, ? ? x ? ? ?1 , ? ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ??? 不能恒成立,?????10 分 当 a ? 1 ? 0 时,取 x ? 1, 有 ? (1) ? a ? ?1, ? ? x ? ? 0 在 x ? ? 0, ??? 不能恒成立,?11 分 综上所述,即 a ?

1 或 a ? ?1 时,至少有一个 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? x0 成立。12 分 e ?1

22.【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 4 sin(? ?

?

1 3 ) 得 ? ? 4( sin ? ? cos ? ) ,??2 分 3 2 2

即 ? 2 ? 2? sin ? ? 2 3? cos? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 .?4 分 (Ⅱ)因为曲线 C : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 是圆心为 C(? 3,1) ,半径为 2 的圆,??5 分 点 Q 在曲线 ?

? x ? cos ? 2 2 即圆 O : x ? y ? 1 上,????7 分 y ? sin ? ?

所以 | PQ |?| QC | ?1 ? 2 ? 5 ,即 | PQ | 的最大值为 5.??????????10 分 23.【解析】 (Ⅰ)当 t ? 1 时, f ( x) ?| x ? 3 | ? | 2 x ? 1| .由 f ( x) ? 5 得 | x ? 3 | ? | 2 x ? 1|? 5 .
8

当 x ? 3 时,不等式等价于 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 当?

7 ,所以 x ? 3 ;???1 分 3

1 ? x ? 3 时,不等式等价于 3 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 3 ;?2 分 2 1 当 x ? ? 时,不等式等价于 3 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ?1 ,所以 x ? ?1 ;??3 分 2
综上,原不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, ??) .????5 分 (Ⅱ) f ( x)? | x ? 3|? 2 | x ? 3| ? | 2 x ? t |?| 2 x ? 6 | ? | 2 x ? t | ? | 2 x ? t ? (2 x ? 6) |?| t ? 6 | .?7 分 因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 3|)min ? 2 ,??????9 分 所以 | t ? 6 |? 2 ,解得 ?8 ? t ? ?4 ,即 t 的取值范围为(-8,-4).???10 分

9


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