计数原理复习教案


北京梦飞翔教育个性化辅导教案
学生: 教学内容 教学重点 教学难点 教学计划 教师: 时间: 年 月 日_____段 课时:

计数原理复习
用排列,组合解决实际问题和二项式定理 用排列,组合解决实际问题和二项式定理的应用 本次课内容对应教学计划中第 1 2 了解二个计数原理 掌握用排列,组合解决实际问题 掌握二项式定理的应用 次课

教学目标 3 4 一、教学过程:
计数原理复习【知识结构】 加法原理、乘法原理 排列数 排列 排列数应用 组合数 排列组合综合应用 组合 合数应用 二项式定理

【知识点】
一、两个计数原理 二、排列与组合 三、二项式定理

注意事项: 相邻问题,常用“捆绑法” 不相邻问题,常用 “插空法”
【热身练习】
【综合问题解析】 【课后作业】

二、课堂小结:

三、课后反思:

四、学生对于本次课的评价: ○ 差 五、教师评定: 1、 学生上次作业评价: 差或一般的原因 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 差或一般的原因 教师签字: 学管师签字: ___________ ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 一般 ○ 满意 ○ 特别满意 学生签字:

计数原理复习

【知识结构】
加法原理、乘法原理 排列数 排列 排列数应用 组合数 排列组合综合应用 组合 合数应用 二项式定理

【知识点】
一、两个计数原理

3、两个计数原理的区别

二、排列与组合 1、排列: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素 m An 中取出 m 个元素的排列数。用符号 表示. 3、排列数公式: m An m

An ? n?n ? 1??n ? 2 ?? ?n ? m ? 1?

其中 * ? ? ?! n ? m 4、组合: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合。 5、组合数: 从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式: m Cn ? ?? ? ? n n ? 1 n ? 2 ? n ? m ? 1? m Cn ? m ! n ! ? m!?n ? m ? !

n, m ? N , 并且m ? n.

n!

其中

n, m ? N * , 并且m ? n.

注意:判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无 关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 7、性质: m n?m m m ?1 m Cn ? Cn Cn ? Cn ? Cn ?1 三、二项式定理

如果在二项式定理中,设 a=1,b=x,则可以得到公式:

2、性质:

奇数项二项式系数和 ? 偶数项二项式系数和:
1 Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ? ? ? Cn ? Cn3 ? Cn5 ? ? ? 2n ?1

注意事项:

相邻问题,常用“捆绑法” 不相邻问题,常用 “插空法”
【热身练习】 1 . 5 位高中毕业生,准备报考 3 所高等院校,每人报且只报一所,不同的报 名方法共有多少种? 解:5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都 有 3 种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种) 2. A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 A、B 必须相邻且 B 在 A 的右边, ) B.48 种 C.36 种

那么不同的排法有( A.60 种 D.24 种

解:根据题的条件可知,A、B 必须相邻且 B 在 A 的右边,所以先将 A、B 两人 捆起来看成一个人参加排列,即是 4 个人在 4 个位置上作排列,故总的排法有 P44=4×3×2×1=24(种). 可知此题应选 D. 3. 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格填一个

数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解:将数字 1 填入第 2 方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法 有 3 种,即 2143,3142,4123;同样将数字 1 填入第 3 方格,也对应着 3 种填法; 将数字 1 填入第 4 方格,也对应 3 种填法,因此共有填法为 3P13=9(种). 解:抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14·C25 种;甲型 2 台乙 型 1 台的取法有 C24·C15 种 根据加法原理可得总的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70(种) 可知此题应选 C. 4. 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1

项,丙、丁公司各承包 2 项,问共有多少种承包方式? 解:甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C38 种; 乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C15 种; 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C24 种; 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有

C22 种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有 C38 × C15 × C24 × C22= 1=1680(种). 5. 在(x2+3x+2)5 的展开式中 x 的系数为( B.240 ) C.360 D.800
8? 7 ? 6 4?3 ×5× × 3 ? 2 ?1 2 ?1

A.160 解:∵(x2+3x+2)5

=C05(x2+3x)5+C15(x2+3x)4 ×2 +C25(x2+3x)3 × 22+C35(x2+3x)2 × 23+C45(x2+3x) ×24+C55×25. 在展开式中只有 C45(x2+3x)×24 才含有 x,其系数为 C45×3×24=5×3×16=240. 故此题应选 B. 6. (x-1)-(x-1)2 + (x-1)3-(x-1)+(x-1) 5 的 展 开 式 中 的 x 2 的 系 数 等 于

___________ 解:此题可视为首项为 x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和,则其和 为
( x ? 1) 1 ? ( x ? 1) 5 (x - 1) ? (x - 1) 6 = 1 ? (x - 1) x

?

?

在(x-1)6 中含 x3 的项是 C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中 x2 的系数是-20. 【综合例题赏析】 1. A.1 若(2x+ 3 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为( B.-1 C.0 D.2 )

解:A. 2. 把 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法共有 ( ) A.126 种 B.84 种 C.35 种 D.21 种

解:此种排法相当于 6 个元素的全排列,6!=720. ∴应选 C. 3. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型与乙型电 视机各 1 台,则不同取法共有( ) A.140 种 种 解:取出的 3 台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形. ∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70. ∴应选 C. 4.由数学 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于 十位数字的共有( A.210 个 个 解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P15·P55=600 个. 由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一 半. ). B.300 个 C.464 个 D.600 B.84 种 C.70 种 D.35

∴有 ×600=300 个符合题设的六位数. 5.

1 2

应选 B. ). D.52 个

以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( B.64 个 C.58 个

A.70 个

解:如图,正方体有 8 个顶点,任取 4 个的组合数为 C48=70 个. 其中共面四点分 3 类:构成侧面的有 6 组;构成垂直底面的对角面的有 2 组; 形如(ADB1C1)的有 4 组. ∴能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组)? 应选 C. 6. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么六棱锥的棱所在的 12 条 直线中,异面直线共有( A.12 对 D.48 对 解:设正六棱锥为 O—ABCDEF. 任取一侧棱 OA(C16)则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对. ∴共有 C16×4=24 对异面直线. 应选 B. 7. 正六边形的中心和顶点共 7 个点, 以其中三个点为顶点的三角形共___个(以 数字作答). 解:7 点中任取 3 个则有 C37=35 组. 其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3 条直径). ∴三角形个数为 35-3=32 个. ). B.24 对 C.36 对

8.

有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人 ). C.2520 种

中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法共有( A.1260 种 D.5040 种 解:先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C210) 再从剩余 8 人中选 1 人承担任务乙(C18) 又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C17) ∴有 C210·C18C17=2520(种). 应选 C. B.2025 种

9 用 1,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 ( ). A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个

解:末位数字只能是 2 或 4(P12) 剩下四个数字考虑顺序任取其 2(P24), ∴共有 P12·P24=24 个偶数. 应选 A. 10. 7 人并排站成一行, 如果甲、 乙必须不相邻, 那么不同排法的总数是 ( A.1440 B.3600 C.4320 D.4800 ) .

解:7 人的全排列数为 P77. 若甲乙必须相邻则不同的排列数为 P22P66. ∴甲乙必须不相邻的排列数为 P77-P22P66=5P66=3600.

应选 B.

八.平均分组问题除法 例8. 6本不同的书平均分成 3堆,每堆2本共有 11.例 多少分法? 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 1234 种方法 ,但这里出现 12 .用 1,2,3,4,四个数字组成的比 大的数共有_____个(用具体数字作答). 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 解:若无限制,则可组成 4!=24 个四位数,其中 1234 不合题设 . 若第一步取AB,第二步取 CD,第三步取 EF 2 2 2 该分法记为 (AB,CD,EF), 则 中还有 C C C 6 4 2 ∴有 24-1=23 个符合题设的数. (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 13. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素, ∩B 含 4 个元素,试求同时满足 3 种取法 ,而 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有AA 这些分法仅是 (AB,CD,EF)一种分法 ,故共 下面两个条件的集合 C 的个数: 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是 3 2 2 2 n A3 种分法。 2 有 C 6C 4C 一种情况 , 所以分组后要一定要除以 (n A n (1)C ? A∪B,且 C 中含有 3 个元素; 为均分的组数)避免重复计数。
(2)C∩A≠ ? ( ? 表示空集). 解:∵A∪B 含有 12+12-4=20 个元素; B 含 12 个元素, ∴ A ∩B 含 20-12=8 个元素, 若 C 中恰含 A 中 1 个元素,则有 C112·C28 个, 若 C 中恰含 A 中 2 个元素,则有 C212·C28·C28 个, 若 C 中恰含 A 中 3 个元素,则有 C312 个, ∴符合题设的集合 C 的个数为 C112C28+C212C18+C312=1084 个. 14. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的 取法共有( )

A.150 种 D.141 种

B.147 种

C.144 种

解:从 10 点中任取 4 点的组合数为 C410=210. 其中有 4·C46=60 组点,每组中的四点恰为一个侧面上的点. 其中任取同一棱上 3 点它们和相对棱的中点共面,即有 6 组这种情况应排除. 其中还有底面两棱中点和对面两棱中点共面,即有 3 组这种情况应排除. ∴符合题设的取法有 150-6-3=141 种. 应选 D. 15. 已知( 解:Tk+1 =Ck9(
k

a x

x 9 9 ) 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为_______. 2 4

x a 9-k ) ( )k 2 x
9-k
? k 2 k ?9? k 2

=C 9·a 2 ·x 令 k-9+ =3,得 k=8,
k 2

∴x3的系数为 C89·a·2-4= . 即
9 9 a= ,得 a=4. 16 4
2 x

9 4

16.( x A.-160

)6 的展开式中的常数项为( B.-40
2 x

) C.40 D.160

解:Tk+1 =Ck6( x )6-k(-

)k
6?k k ? 2 2

=Ck6·(-2)k·x



6?k k - =0,得 k=3 2 2

∴常数项为 C36·(-2)3=--160 应选 A. 17. (ax+1)7 的展开式中,x3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项,若系 数 a>1,那么 a=_______. 解:Tk+1=Ck7(ax)7-k=Ck6a7-k·x7-k. ∴T6=C57a2x2,T5=C47a3x3,T4=C37a4x4, 由已知有 2C47a3=C57a2+C37a4, 由 a>1,得 2C47a3=C57a2+C37a4, 即 35a2-70a+21=0. 解得 a=1+
10 10 (舍去 a=1). 5 5

18. (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4 展开式中 x2 的系数等于_________. 解:(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4 =(x-1)-(x-1)2〔1-(x-1)+(x-1)2〕 =(x-1)-(x2-2x+1)(x2-3x+3) =??-(3+6+1)x2+?. ∴x2 的系数为-10. 19. 9192 除以 100 的余数_________. 解:9192=(100-9)92≡992(mod 100). 992=(10-1)92=1092-?+C9092·100-C919210+1

≡-C9192·10+1(mod 100) -C9192·10+1=-920+1=-919≡-19(mod 100), -19≡81(mod 100). ∴9192 除以 100 的余数是 81. 20. 由( 3 x+ 3 2 )100 的展开所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有( A.50 项 项 解:Tk+1=Ck100( 3 )100-k( 3 2 )k =Ck100·( 3 )100-k( 3 2 )k·x100-k(k=0,1,2,?,100) 由 ∈N, ∈N,k∈{0,1,2,?,100} ,得 k=0,6,12,18,?,96,共 17 项. ∴应选 B. 21. 在(1-x3)(1+x)10 的展开式中,x5 的系数是( A.-297 解:(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(?+C550x5+?+C210x2+?) ∴x5 的系数为+C550-C210=207. 应选 D. 22. 在(1-x2)20 的展开式中,如果第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数相等, B.-252 C.297 ). D.207
k 2 k 3



B.17 项

C.16 项

D.15

(1)求 r 的值; (2)写出展开式中的第 4r 项和第 r+2 项.

解:(1)第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数分别是 C4r-120 和 Cr+120 C4r-120=Cr+120 ? 4r-1=r+1 或 4r-1+r=1=20, 得 r=4 和 r= (舍去) ∴r=4 (2)T4r=T16=C1520·(-x2)15=-15504x30, Tr+2=T6=C520(-x2)5=-15504x10 23. 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7;那么 a1+a2+?+a7=________.
2 3

解:令 x=1,代入已知式,得-1=a0+a1+?+a7, 将 x=0 代入已知式,得 1=a0 ∴a1+a2+?+a7=-1-a0=-2. 【课后作业】 1.有多少个整数 n 能使(n+i)4 成为整数( A.0 2.在( 3 B.1 ) C.2 D.3

1 5 1 n + 2 ) 的展开式中,所有奇数项二项式系数之和等于 1024,则中间 x x

项的二项式系数是( A.330
1 2

) B.462 C.682 ) D.第八项 D.792

3.若 x= ,则(3+2x)10 的展开式中最大的项为( A.第一项 B.第三项

C.第六项

4.从 0,1,2,3,4,5 六个数中任取四个互异的数字组成四位数,个位,百 位上必排偶数数字的四位数共有( )

A.52 个

B.60 个

C.54

D.66 个

5.从 1,2,3,4,5,6 六个数字中,任取两个不同数作为一个对数的底数和 真数,得到的不同的对数值的方法有( ) A.20 种 B.17 种 C.25 种 D.21 种

6.要排一张 5 个独唱节目和 3 个合唱节目的演出节目表, 如果合唱节目不排头, 并且任何两个合唱节目不相邻,则不同排法的种类是( A.P88 B.P55·P33 C.P55·P35 ) D.P55·P38 )

7.3 人坐在一排 8 个座位上, 若每人左右两边都有空座位, 则坐法种数是 ( A.12 B.6 C.24 D.120

8.设 A,B 分别为(1+x)n 展开式中的奇数项之和及偶数项之和,那么 A2-B2 的值 为( ) B.(1+x)n C. (1-x2)n D. 不 是 以

A.(1+x)2n 上结果

课后作业参考答案

1.D

2.B 3.B

4.D

5.D

6.C 7.C

8.C


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