第3讲 不等式的综合应用


不等式的综合应用
一、知识热点及复习策略 运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时,关键 在于把非不等式问题转化为不等式问题;在化归与转化中,要注意等价性;在应用均值不等式处理相 关问题时,有时要对式子的结构进行调整,创造所需形式。 二、例题分析 例题 1、设 a > b > 0 ,证明:

( a ? b) 2 a + b ( a ? b) 2 < ? ab < . 8a 2 8b

例题 2、设 a, b, c ∈ R ,证明: (1)

+

a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a+b 2

(2) 2(

a+b a+b+c 3 ? ab ) ≤ 3( ? abc ) . 2 3

第 1页

例题 3、设 x, y ∈ R + ,a、b 是正常数,且

a b + = 1 ,求证: x + y ≥ a + b + 2 ab . x y

例题 4、a,b ∈ R 且 a + b < 1 ,求证: a ? 2ab ? b
2 2
2

2

< 2.

例题 5、某粮食批发市场每天随行情定价,某甲、乙两名采购员在每月同一天去该市场购买同一种大 米,甲每次购买 a 公斤,乙每次购买 b 元,问该方案实施三次后,谁的购买方式平均价格更低.

例题 6、四边形 ABCD 对角线交于 O 点,△ AOB 面积为 4,△ COD 面积为 16,求四边形 ABCD 面 积的最小值.

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参考答案(部分)

例题 1.

( a ? b) 2 a + b ( a ? b) 2 < ? ab < 8a 2 8b

?

( a ? b) 2 ( a ? b ) 2 ( a ? b) 2 a?b a? b a?b < < ? < < 8a 2 8b 2 2 a 2 2 2 b
a+ b a <2< a+ b b

?

?

b a <1< ?a>b>0 a b

?b + c = x ? 例题 2. (1)设: ?c + a = y ?a + b = z ?

y+z?x ? ?a = 2 ? z+x? y ? ?b = 2 ? x+ y?z ? ?c = 2 ?

原式左边=

? 6 y+z?x x+z? y x+ y?z 1?y+z x+z x+ y + + = ? + + ? 3? ≥ y z 2x 2y 2z 2? x ? 2

(2 )

证明:原式 ? a + b-2 ab ≤ a + b + c ? 3 3 abc ? 3 3 abc ≤ c + 2 ab ? 3 3 cab ≤ c + ab + ab ? 3 cab ≤ 得证
?a b? bx ay ≥ a + b + 2 ab 例题 3.x+y=(x+y) ? + ? = a + b + + y x ?x y?
例题 4.∵a2+b2<1

c + ab + ab 3

?a = r cos θ (0 < r < 1) ,则 可设 ? ?b = r sin θ
1 2 cos θ ? 1 2 sin θ

a 2 ? 2ab ? b 2 = r 2 cos 2 θ ? 2r 2 cos θ sin θ ? r 2 sin 2 θ = r 2 cos 2θ ? sin 2θ = 2r 2
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?π ? = 2r 2 sin ? ? 0 ? ≤ 2r 2 < 2 ?4 ?
例题 5.设三次平价为 x,y,z(元/kg) x甲 =
3b 3 ax + ay + az x + y + z = = , x乙 = 1 1 1 b b b 3a 3 + + + + x y z x y z

?1 1 1? 1 又(x+y+z) ? + + ? ≥ 3 3 xyz ? 3 3 xyz ?x y z?



3 x+ y+z ≥ ∴ x甲 ≥ x乙 1 1 1 3 + + x y z

答:若三次单价不全相同,则乙的均价低.若三次单价完全相同,则甲乙均价一样. 例题 6.设 OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,∠AOB= θ

1 1 解法 1:S=4+16+ bc sin θ + ad sin θ 2 2
≥ 20 + 2

1 1 bc cos θ ? ad sin θ 2 2

?1 ?? 1 ? = 20 + 2 ? ab sin θ ?? cd sin θ ? = 20 + 2 4 × 16 = 36 2 2 ? ?? ? (当且仅当 ab = cd 时) ∴Smin=36
解法 2:∵

SΔBOC c SΔAOD a = ; = 4 4 a c

∴ S=4+16+

4c 16a + a c

≥ 20 + 2 4 × 16 = 36

(当且仅当

4c 16a 时) = a c

∴Smin=36

例题 7.Z=ax+by(a ? b>0)

a Z 表示斜率为 ? 的截距的 b 倍,由 3x ? y ? 6 = 0 x? y+2=0 b
联立解得 B(4,6),Zmax=4a+6b=12 则 2a+3b=6 1 3 ? 2 3 ? 2a + 3b 1 ? 6b 6a ? + =? + ? = ?4 + 9 + + ? a b ?a b? 6 a b ? 6?

{

1 25 ≥ (13 + 2 62 ) = 6 6

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例题 8.(1)证明:∵y=xk ∴y′=kxk?1
k k ?1 则切线 PnQn+1 方程:y? an +1 = k ? an +1 (x?an+1)

k k ?1 过点 Pn(an,0) ∴ 0- an +1 = kan +1 ( an ? an +1 )

∴?an+1=k(an?an+1) 则

an +1 k = (常数) an k ?1

又切线 PQ1︰y?ak1= ka1k ?1 ( x ? a1 ) 过点 P(1,0)︰0? a1k = ka1k ?1 (1 ? a1 ) ∴a1=

k k 故{ an}是首项与公比为 的等比数列 k ?1 k ?1
n

? k ? ∴an= ? ? ? k ?1?

1 ? ? k ? ? k ?1+1? ? (2)由(1)an= ? ? =? ? = ?1 + ? ? ? ?1? 1 1 k k k ? ? ? ? ?
n

n

n

n

0 1 + Cn = Cn

1 1 n ? 1 ? 0 1 + ... + Cnn ? =1+ ? ≥ Cn + Cn k ?1 k ?1 k ?1 ? k ?1?
2 3 n

i k ?1 ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1? (3) ∑ = 1 × + 2? ? + 3? ? + ... + n ? ? k ? k ? ? k ? ? k ? i =1 ai
n 2 3

k ?1 n i ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1? ∑ = ? ? + 2? ? + ... + (n ? 1) ? ? + n? ? k i =1 ai ? k ? k k ? ? ? ? ? k ?
1 n i k ?1 ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1? ? k ?1? = +? ∑ ? +? ? + ... + ? ? ? n? ? i k i =1 a k ? k ? ? k ? ? k ? ? k ?
n k ? 1 ?? k ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? n +1 k ? k ? ? ? ? ? k ?1? ? = ? n? ? k ?1 ? k ? 1? k

n

n +1

2

3

n

n +1

? ? k ? 1 ?n ? < (k ? 1) ?1 ? ? ? ? < k ?1 ? ? k ? ? ? ?

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∴∑
i =1

n

i < k2 ? k ai

例题 9. (1)解:由题如图 Pn ?1 Pn = Pn Pn +1 (n ? 1) ∴an?1=an(n?1) a 1 ∴ n = an ?1 n ? 1 ∴ ∴

a a2 1 a3 1 1 = , = ...... n = a1 1 a2 2 an ?1 n ? 1 an 1 = 且a1 = 1 a1 (n ? 1)! 1 (n ? 1)! 1 =1 (2 ? 1)!

∴ an = ∴ a2 =

a3=

1 2 1 1 ≤ (n ? 1)! (n ? 1)(n ? 2)

(2)当 n≥3 时,

Sn=1+1+

1 1 1 + + ... + 2 ×1 3 × 2 ×1 (n ? 1)! 1 1 1 1 + + + ... + 2 ×1 3 × 2 4 × 3 (n ? 1)(n ? 2)

≤1 + 1 +

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 =1+1+ ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ... + ? ? ? 2 2 3 3 4 n 1 n 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 =3? <3 n ?1
当 n=1 时,S1=a1=1<3 当 n=2 时,S2=a1+a2=1+1=2<3 * 综上 n∈N ,有 a1+a2+a3+…+an<3 (3)假设存在两点 P(p,ap)、Q(q,aq) 同时在 y =

( p≠q,

p、q>2 且 p, q ∈ N )

k 图象上 ( x ? 1) 2

∴ ap =

k k ,且 aq = 2 (q ? 1) 2 ( p ? 1)

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∴ a p ( p ? 1) 2 = aq (q ? 1) 2 ∴ p ?1 q ?1 = ( p ? 2)! (q ? 2)!



( p ? 1)2 (q ? 1)2 = ( p ? 1)! (q ? 1)!

? (n + 1) ? 构造数列: ? ? (n ∈ N*) ? n! ?
an +1 = an (n + 2) (n + 2) n+2 n+2 (n + 1)! = = < =1 (n + 1) (n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 n + 2 n!



? n + 1? ∴ ? ? ↓ ? n! ? 不存在 p、q(p、q>2 且 p, q ∈ N ) ∴ an +1 < an
使得……

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