湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷


湖南省益阳市箴言中学 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学 试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则(?RA)∩B=() A.{x|x>2} B.{x |x>1} C.{x|2< x<3} D . {x|1<x≤2} 2. (5 分)下列四组函数中,表示同一个函数的是() A. B.

C.

D.

3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1
2

D.y=lg|x|

4. (5 分)一平面截球 O 得到半径为 的体积是() A.12πcm
3

cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm,则球 O C.64 πcm
3

B.36πcm

3

D.108πcm

3

5. (5 分)函数 A. B.

的零点所在区间() C.(1,2) D.(2,3)

6. (5 分)三角形 ABC 的底边 BC=2,底边上的高 AD=2,取底边为 x 轴,则直观图 A′B′C′ 的面积为() A. B. C. 2 D.4

7. (5 分)若函数 是() A.(﹣∞,2) B.

是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围

C.(0,2)

D.

8. (5 分)圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是()

A.

π

B. 2

π

C.

π

D.

π

9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为 ()

A.

B.

C. 1

D.

10. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间 17. (12 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求证: (1)平面 A1BD∥平面 CB1D1; (2)M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,求异面直线 AC 和 MN 所成的角.

18. (12 分)如图,已知三棱锥 A﹣PBC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中 点,且 AB=2MP. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

19. (13 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

20. (12 分)已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,并且当 x >0 时,f(x)> 1 (1)求证:f(x)为 R 上的单调递增函数; (2)若 f(4)=5,求解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3.
2

21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; 2 2 (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

湖南省益阳市箴言中学 2014-2015 学年高一上学期 12 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则(?RA)∩B=() A.{x|x>2} B.{x|x>1} C.{x|2<x<3} D.{x|1<x≤2}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由补集概念结合已知求得?RA,然后直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A={x|x>2},B={x|1<x<3}, 则?RA={x|x≤2}, ∴(?RA)∩B={x|x≤2}∩{x|1<x<3}={x|1<x≤2}. 故选:D. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础的计算题. 2. (5 分)下列四组函数中,表示同一个函数的是() A. B.

C.

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 常规题型. 分析: 表示同一个函数要从三方面来判断,一是定义域,二是对应法则,三是值域,B、C、 D 的定义域都不同,得到只有 A 所给的两个函数是同一函数. 解答: 解:A 是同一函数, B 的定义域不同,f(x)定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x>0}, C 的定义域不同,g(x)定义域是 R,f(x)的定义域是{x|x≠1}, D 的定义域不同,g(x)定义域是 R,f(x)的定义域是{x|x≠0}, 故选 A. 点评: 本题考查同一函数的概念,从三个方面考查函数,这是函数的三要素,是一个基础 题,这种题目可以作为选择和填空出现. 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是() A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1
2

D.y=lg|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减,D 在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论. 解答: 解:根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减, D 在区间(0,+∞)上单调递增, 故选:C. 点评: 本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 4. (5 分)一平面截球 O 得到半径为 的体积是() 3 3 A.12πcm B.36πcm cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm,则球 O C.64 πcm
3

D.108πcm

3

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据条件求出截面圆的半径,根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径. 解答: 解:作出对应的截面图, ∵截面圆的半径为 ,即 BC= , ∵球心 O 到平面 α 的距离为 2, ∴OC=2, 设球的半径为 R, 2 2 2 2 在直角三角形 OCB 中,OB =OC +BC =4+( ) =9. 2 即 R =9, 解得 R=3, ∴该球的体积为 πR = ×π×3 =36π, 故选:B.
3 3

点评: 本题主要考查球的体积的计算,根据条件求出球半径是解决本题的关键.

5. (5 分)函数 A. B.

的零点所在区间() C.(1,2) D.(2,3)

考点: 专题: 分析: 理可求 解答: f( )=

函数零点的判定定理. 计算题. 由题意可知函数在(0,+∞)单调递增,且连续 f(1)?f(2)<0,由根的存在性定 解:由题意可知函数在(0,+∞)单调递增,且连续 ,f(1)=log21﹣1<0,

由根的存在性定理可得,f(1)?f(2)<0 故选:C 点评: 本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理:若函数 f(x)在区间上连续, 且 f(a)?f(b)<0,则函数 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点,函数与方程的思想得到 了很好的体现. 6. (5 分)三角形 ABC 的底边 BC=2,底边上的高 AD=2,取底边为 x 轴,则直观图 A′B′C′ 的面积为()

A.

B.

C. 2

D.4

考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用平面图形与直观图形面积的比是 2 ,求出平面图形的面积,即可求解直观图 A′B′C′的面积. 解答: 解:三角形 ABC 的底边 BC=2,底边上的高 AD=2, 所以平面图形的面积: =2,

取底边为 x 轴,则直观图 A′B′C′的面积为:

=



故选:A. 点评: 本题考查平面图形与直观图形的面积的比,考查计算能力.

7. (5 分)若函数 是() A.(﹣∞,2) B.

是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围

C.(0,2)

D.

考点: 函数单调性的性质;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由函数是单调减函数,则有 a﹣2<0,且注意 2(a﹣2)≤ .

解答: 解:∵函数

是 R 上的单调减函数,



∴ 故选 B 点评: 本题主要考查分段函数的单调性问题,要注意不连续的情况.

8. (5 分)圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是() A. π B. 2 π C. π D. π

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 通过圆台的底面面积,求出上下底面半径,利用侧面积公式求出母线长,然后求出 圆台的高,即可求得圆台的体积. 解答: 解:S1=π,S2=4π,∴r=1,R=2, S=6π=π(r+R)l,∴l=2,∴h= . ∴V= π(1+4+2)× = π.

故选 D 点评: 本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点,考查 计算能力,常考题. 9. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为 ()

A.

B.

C. 1

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由三视图可知:该几何体是如图所示的三棱锥,其中侧面 PAC⊥面 ABC,△ PAC 是 边长为 2 的正三角形,△ ABC 是边 AC=2,边 AC 上的高 OB=1,PO= 为底面上的高.据此可计算出答案. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是如图所示的三棱锥, 其中侧面 PAC⊥面 ABC,△ PAC 是边长为 2 的正三角形,△ ABC 是边 AC=2, 边 AC 上的高 OB=1,PO= 为底面上的高. 于是此几何体的体积 V= 故选 D. = .

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键. 10. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间 ③若 m∥α,n?α,则 m∥n; ④若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α. 其中真命题的序号是④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由空间中平面平行的性质定理,面面平行的判定定理,我们逐一分析已知中的四个 结论,即可得到答案. 解答: 解:①若 α∥β,m?α,n?β,则 m 与 n 平行或异面,故①错误; ②m,n 不一定相交,故当 m,n?α,m∥β,n∥β 时,α∥β 不一定成立,故②错误; ③若 m∥α,n?α,则 m∥n 或 m,n 异面,故③错误; ④若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α,是线面垂直的判定定理,故④正确; 故答案为:④. 点评: 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关 系, 熟练掌握空间线面之间关系的判定和性质, 建立良好的空间想象能力是解答此类题的关键.

14. (5 分)设函数 ﹣1 或 x>1.

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 x≤

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 解满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围,这时需考虑 f(x)选用哪段解析式,故讨论 x≤1 与 x>1 两种情形,分别进行求解即可. x+2 1 解答: 解:当 x≤1 时,f(x)≤2,即 2 ≤2=2 ,解得 x≤﹣1; 当 x>1 时,f(x)≤2,即 1﹣log2x≤2,

则 log2x≥﹣1=log2 ,解得 x≥ ,而 x>1,则 x>1; 综上所述:满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是:x≤﹣1 或 x>1. 故答案为:x≤﹣1 或 x>1. 点评: 本题主要考查了根据函数值求变量范围,该题是分段函数故需讨论用哪段解析式, 同时考查了利用函数单调性解不等式,属于基础题. 15. (5 分) 一个空间几何体的三视图如图所示 (单位: m) , 则该几何体的表面积为 48+8 m.
2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中的三视图,可得该几何体是一个以左视图为底面的四棱柱,且底面是一个 上底为 2,下底为 4,高为 4 的梯形,又由棱柱的高为 4,代入多面体表面积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以左视图为底面的四棱柱 且底面是一个上底为 2,下底为 4,高为 4 的梯形,则梯形的腰长为 又由棱柱的高为 4 ∴该几何体的底面积为 (2+4)×4=12 该几何体的侧面积(2+4+2 )×4=24+8 ∴该几何体的表面积为 2×12+24+8 =48+8 故答案为:48+8 点评: 本题考查的知识点是由三视图求面积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的 关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设集合 A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m}. (1)若 A∩B={x|2≤x≤4},求实数 m 的值; (2)若 A?(?RB) ,求实数 m 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 探究型.

分析: (1)根据集合的运算 A∩B={x|2≤x≤4},求实数 m 的值. (2)根据 A?(?RB) ,建立条件关系,求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)因为 A={x|﹣2≤x≤4},B={x|m﹣3≤x≤m}.所以若 A∩B={x|2≤x≤4}, 则 ,即 ,所以 m=5.…6 分

(2)因为 B={x|m﹣3≤x≤m},所以?RB={x|x>m 或 x<m﹣3}, 要使 A?(?RB) ,则 m﹣3>4 或 m<﹣2,即 m>7 或 m<﹣2. 即 m 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(7,+∞) …12 分. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,以及利用集合的关系确定参数的取值问题,利用数 轴是解决此类问题的基本方法. 17. (12 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求证: (1)平面 A1BD∥平面 CB1D1; (2)M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,求异面直线 AC 和 MN 所成的角.

考点: 平面与平面平行的判定;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 连接 B1C 和 D1C, 由 A1D∥B1C, A1B∥D1C, 能证明平面 CB1D1∥平面 A1BD. (2)利用正方体的性质容易得到 AD1∥MN,所以∠CAD1 为异面直线所成的角,连接 CD1, 得到△ CAD1 为等边三角形,得到所求. 解答: (1)证明:连接 B1C 和 D1C, ∵A1D∥B1C,A1B∥D1C, A1D∩A1B=A1, A1D?平面 A1BD,A1B?平面 A1BD, B1C?平面 CB1D1,D1C?平面 CB1D1, ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1. (2)解:因为几何体为正方体,连接 AD1,D1C,所以∠CAD1 为异面直线所成的角, 又△ CAD1 为等边三角形, 所以异面直线 AC 和 MN 所成的角 60° 点评: 本题考查两平面平行的证明,考查异面直线所成的角的求法,关键是将面面平行转 化为线线平行解答,将空间角转化为平面角解答,注意转化能力和空间思维能力的培养. 18. (12 分)如图,已知三棱锥 A﹣PBC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中 点,且 AB=2MP. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 MD 为三角形 PAB 的中位线,可得 MD∥AP.再根据直线和平面平行的判 定定理证得 DM∥平面 APC. (2)由条件证得 PA⊥平面 PBC,可得 PA⊥BC;再由 BC⊥PC,证得 BC⊥平面 PAC.利用 平面和平面垂直的判定定理证得平面 ABC⊥平面 APC. 解答: 解: (1)由于 M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,故 MD 为三角形 PAB 的中位线,故 MD∥AP. 而 AP?平面 APC,MD 不在平面 APC 内,故有 DM∥平面 APC. (2) ∵M 为 AB 中点, 且 AB=2MP, 故有 MA=MB=MP, 故 M 为△ PAB 的外心, 故有 PA⊥PB. 再由 AP⊥PC,PB∩PC=P,可得 PA⊥平面 PBC,故 PA⊥BC. 再由 BC⊥PC,PA∩PC=P,可得 BC⊥平面 PAC. 而 BC?平面 ABC,故有平面 ABC⊥平面 APC. 点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、性质定理, 以及平面和平面垂直的判定定理的应用,属于中档题. 19. (13 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 应用题. 分析: (1)根据图象可知此函数为分段函数,在(0,20]和因为 Q 与 t 成一次函数关系, 根据表格中的数据,取出两组即可确定出 Q 的解析式; (3)根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知 y=PQ,可得 y 的解析式,分别在各段上 利用二次函数求最值的方法求出即可.

解答: 解: (1)

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数) ,将(4,36)与(10,30)的坐标代入, 得 .
*

日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=40﹣t,0<t≤30,t∈N .

(3)由(1) (2)可得



当 0<t≤20 时,当 t=15 时,ymax=125; 当 上是减函数,y<y<y(15)=125.

所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元. 点评: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,理解分段函数的能力. 20. (12 分)已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,并且当 x >0 时,f(x)>1 (1)求证:f(x)为 R 上的单调递增函数; 2 (2)若 f(4)=5,求解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数单调性的定义,结合抽象函数之间的关系进行证明.

(2)利用条件 f(4)=5,求 f(2) ,利用函数的单调性解不等式. 解答: 解: (1)在 R 上任取 x1,x2,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)﹣f(x2﹣x1+x1)=f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+1=1﹣f(x2﹣ x1) , ∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1, 故 f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) 所以 f(x)为 R 上的单调递增函数. (2)f(4)=f(2)+f(2)﹣1=5,解得 f(2)=3, 2 2 则不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3,等价为 f(3m ﹣m﹣2)<f(2) . 由(1)可知 f(x)为 R 上的单调递增函数. 所以 3m ﹣m﹣2<2,即 3m ﹣m﹣4<0 解得: .
2 2

点评 : 本题主要考查抽象函数的应用,以及利用定义法证明函数的单调性,综合性较强.

21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; 2 2 (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 奇函数定义 f(x)=﹣f(x)中的特殊值求 a,b 的值; (2)按按取点,作差,变形,判断的过程来即可. (3)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k) <0 转化为关于 t 的一 元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (1)因为 f(x)是奇函数,函数的定义域为 R, ∴f(x)=0, 即 =0,
2 2

解得:b=1, f(﹣1)=﹣f(1) , 即 解得:a=2 证明: (2)由(1)得:f(x)= , =﹣ ,

设 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=
x



=



∵y=2 在实数集上是增函数且函数值恒大于 0, 故 >0, >0, >0.

即 f(x1)﹣f(x2)>0. ∴f(x)在 R 上是单调减函数; (3)由(2)知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数, 2 2 所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0, 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上 式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式△ =4+12k<0?k<﹣ . 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问 题的解决策略.


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