第二章函数知识点总结


第二章函数 1. 函数三要素: (1)解析式 (2)定义域 (3)值域 2. 函数定义域的求法: (1)分式的分母不得为零; (3)对数函数的真数必须大于零; (5) (2) 偶次方根的被开方数不大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1;

y ? [ f ( x)]0,要求f ( x) ? 0 ; (6)抽象函数求定义域:
①f[g(x)]的定义域为[a,b],指的是 x 的取值范围为[a,b],而不是 g(x)的范围为[a,b], 如 f(3x-1)的定义域为[1,2],指的是 f(3x-1)中的范围是 1 ? ②f[g(x)]与 f[h(x)]联系的纽带是 g(x)与 h(x)的值域相同。

x ? 2.

(7)对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。 3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型 形式; ②逆求法(反求法) :通过反解,用 用来解,型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的

y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常

y?

ax ? b , x ? (m, n) ; cx ? d

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:

y ? x?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 3、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 ⑴单调性:定义(注意定义是相对与某个具体的区间而言) 增函数: 对任意的 x1, x2 ?[a, b], x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 减函数: 对任意的 x1, x2 ? [a, b], x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 注:① 函数上的区间 I 且 x1,x2∈I.若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0(x1≠x2) ,则函数 f(x)在区间 I 上是增函数;
x1 ? x2

若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0(x1≠x2) ,则函数 f(x)是在区间 I 上是减函数。 x1 ? x2 ② 用定义证明单调性的步骤:<1>设 x1,x2∈M,且 x1 <3>判断差的符号; ③ 增+增=增 减+减=减 ④ 复合函数 y=f[g(x)]单调性:同增异减

? x2 ;则

<2>

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 作差整理;

<4>下结论;

u

(y ? f ( u) ,u ? ? ( x) ,则y ? f ?? ( x)? (外层) (内层)

如:求y ? log1 ? x2 ? 2 x 的单调区间
2

?

?

(设u ? ? x2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2 )

O
1

1

2

x

且y ? log1 u ? ,u ? ??x ? 1? ? 1 ,如图:
2 2

当x ? (0, 1]时,u ? ? x2 ? 2x ? ,又y ? log1 u ? , ∴ y ? log1 (? x2 ? 2 x) ?
2 2

当x ?[1 , 2)时,u ? ? x ? 2x ? ,又y ? log1 u ? , ∴ y ? log1 (? x2 ? 2x) ?
2 2 2

⑵奇偶性:定义(注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系) f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x) f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x)

? f(x)为偶函数; ? f(x)为奇函数。

注:①若 f(x)为偶函数,则 f(x) =f(-x)= f(|x|);②若 f(x)为奇函数且定义域中含 0,则 f(0)=0.

如:若f ( x) ?

a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1
2 ?1

0 (∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0 即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1)

⑶周期性: ①若 f(x+T)=f(x)且 T≠0 的常数,则 T 是函数 f(x)的周期; ②若 f(x+a)=f(x+b) ,a、b 为常数且 a≠b,则 b- a 是函数 f(x)的周期。 ⑷对称性:①若 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x)关于直线 x= a ? b 对称;( 即:‘一均二等’的原则) 2 ②若函数 y=f(x+a)和函数 y=f(b-x),则函数 y=f(x+a)和函数 y=f(b-x)关于直线 x= ③你还知道函数 y=f(x)关于直线 x=0(即 y 轴),直线 y=0(即 x 轴),原点。 ⑸函数图象的变换

b ? a 对称. 2

y ? f ( x) ? b
平移变换:

? y ? f ( x ? a) ? y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b ? y ? f ( x ? a)

(a>0,b>0) 左加右减 上加下减

对称变换:(1)y=f(-x) 与 y=f(x)关于 y 轴对称. (3)y=-f(-x) 与 y=f(x)关于原点对称.

(2)y=-f(x) 与 y=f(x)关于 x 轴对称. (4) y ? f ?1 ( x) 与 y=f(x)关于直线 y=x 对称.

(5)y=|f(x)| 的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方, 其余部 分不变.(下翻上) (6)y=f(|x|) 的图象:可将 y=f(x),x ? 作出 x<0 的图象。 (右翻左) 伸缩变换: (1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变而得到. (2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不变而得到
a

0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性,

4. 求反函数的步骤: (1) 反解 x; (2)对调 x,y; (3)写反函数的定义域(即原函数的值域).
-1 注:函数与反函数之间:f (a)=b ? f(b)=a y ? x ? k ( k ? 0)

x

5. 常用的初等函数:一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,的图象和性质(重点掌握!!) (1)一次函数:

y ? kx ? b(k ? 0) ,

2

当k

? 0 时,是增函数;当 k ? 0 时,是减函数;
2

b ? 4ac ? b 2 ? (2)二次函数y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 2a ? 4a ?
? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a

开口方向:a ? 0,向上,函数y min ?

4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴
2

的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
两点式: 顶点式:

y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;对称轴方程是
y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是

;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ;



(3)反比例函数:

y?

mx ? b a c ( x ? 0) ? y ? a ? (遇 y= 的函数一般用反比例函数来解决) nx ? a x x?b
指数运算法则 a
m

(4)指数函数: y

? a x (a ? 0, a ? 1)

bn =



an bm

=

; ( ab) =

n

;a

0

= 。

(5)对数函数: log a Mn= (换底公式) ;

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
;log a
n

对数运算法则:log a MN= Mn= ; log a

;log a

M N

= log a b=



M

=

;log

am

a =1;

log a 1=0;

a

log

a

N

=N(对数恒等式)注意: (1 ) ;

y ? a x 与 y ? loga x 的图象关系
(0<a<1)

y y=ax(a>1) y=logax(a>1) 1 O 1 (0<a<1)
y



由图象记性质!

(注意底数的限定! )

( 6)“对勾函数” y ? x ?

k ?k ? 0? x

x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?


y ? x?

k (k ? 0) 的图象:定义域: x
; 单调性:

;值域: 是增函数;

; 是减

奇偶性: 函数。

(7)幂函数 y ? x (会做 ? =1,2,3,
?

1 2

,-1 的图象)

? k
O

注:①图象都过(1,1)点。 ②在第四象限无幂函数图象。

k

x

3

③ ? >0 时,幂函数在第一象限是增函数。 ④ ? <0 时,幂函数在第一象限是减函数。 6. 函数与方程:

(1)函数 y ? f ( x) 的零点 ? 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点。 (2)一般地,如果函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)<0 那么,函数
y ? f ( x ) 在 (a,b)内有零点,即 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0, 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

注:①解决了存在性问题(有且至少有 1 个) 。 ②在(a,b)内只有 1 个零点,说明函数是单调的。 步骤: 8. 解应用问题的一般 (1)审题; (2)建模; (3)解模; (4)作

7.二分法步骤:
(1)确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度 ? ; 答 (2)求区间(a,b)中点 c; (3)计算
f (c ) ① f (c) ? 0, c 是函数零点。②f(a)f(c)<0, x0 ? (a, c) .③f(c)f(b)<0,

(4) a ? b ? ?

否则重复 2~4.

4


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