【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 培养解题能力精讲系列 专题二 函数与基本初等函数Ⅰ课件 理 苏教版


y
方法优化 答题模板

根据函数的奇偶性求 参数值 二次函数在闭区间上 的最值问题 巧用对数函数图象解 题 导数在创新定义与不 等式中的应用

o

x
教你审题 创新突破

1、方法优化

根据函数的奇偶性求参数值

x 典例1 1 【典例 】 (2012· 辽宁卷)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( A ). ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4
[一般解法] 由题意知 f(-x)=-f(x)恒成立, -x x 即 =- , 1 1 2?-x+2??-x-a? 2?x+2??x-a? ? ? ? ? 1 1 1 即?x-2?(x+a)=?x+2?(x-a)恒成立,所以 a= . 2 ? ? ? ? [优美解法] (特值法) 由已知 f(x)为奇函数得 f(-1)=-f(1), -1 -1 即 = , ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a? 1 所以 a+1=3(1-a),解得 a= . 2

已知函数的奇偶性求参 数值一般思路是:利用 函数的奇偶性的定义转 化为f(-x)=±f(x),从 而建立方程,使问题获 得解决,但是在解决选 择题、填空题时还显得 较麻烦,为了使解题更 快,可采用特值法.

【自主体验 1】 1.(2014· 永康适应性考试)若函数 f(x)=ax2+(2a2-a-1)x +1 为偶函数,则实数 a 的值为( C ). 1 1 A.1 B.- C.1 或- D.0 2 2
倒计时

1 解析 由 2a -a-1=0,得 a=1 或- . 2 答案 C
2

【自主体验 1】 2.(2014· 山东省实验中学诊断)已知定义域为 R 的函数 f(x) -2x+b 2 1 = x+1 是奇函数,则 a=________ ,b=________. 2 +a

解析 由 f(0)=0,得 b=1,再由 f(-1)=-f(1), 1 - +1 2 -2+1 得 =- ,解得 a=2. 1+a 4+a 答案 2 ,1

倒计时

2、答题模板

二次函数在闭区间上的最值问题

【典例 】 (12 分)(经典题)求函数 f(x)=-x(x-a)在 x∈[-1,1]上的最大值. 典例2 2
2 a a a 2 ? ? 规范解答 函数 f(x)=- x-2 + 的图象的对称轴为 x= , 2 ? ? 4 a a a 应分 <-1,-1≤ ≤1, >1, 2 2 2

即 a<-2,-2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨论. (1)当 a<-2 时, 由图(1)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=-1-a; (2)当-2≤a≤2 时,

(2 分)

(5 分)

2 a a 由图(2)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f ?2?= ;(8 分) ? ? 4

2、答题模板

二次函数在闭区间上的最值问题

【典例 】 (12 分)(经典题)求函数 f(x)=-x(x-a)在 x∈[-1,1]上的最大值. 典例2 2
(3)当 a>2 时,由图(3)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(1)=a-1.(11 分)

综上可知,f(x)max

? ?a =? 4 ,-2≤a≤2, ? ?a-1,a>2.
2

-a-1,a<-2, (12 分)

答题模板 第一步:配方,求对称轴. 第二步:分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论. 第三步:求最值 . 第一步 配方,求对称轴 . 第四步:下结论.

第二步 第三步

分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论.
求最值. 下结论.

第四步

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间 定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系, 当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. (2)部分学生易出现两点错误:①找不到分类的标准,无从入手;②书写

格式不规范,漏掉结论 f(x)max

? ?a =? 4 ,-2≤a≤2, ? ?a-1,a>2.
2

-a-1,a<-2,

【自主体验 2】 已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有一个 最大值-5,求 a 的值.

a?2 a a ? ? 解 f(x)=-4 x-2 -4a,对称轴为 x= ,顶点为 2,-4a?. 2 ? ? ? ? a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)在区间[0,1]上递增. 2 ∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5,∴a=± 1<2(舍去). a ②当 0< <1,即 0<a<2 时, 2 a? 5 ? ymax=f 2 =-4a,令-4a=-5,∴a= ∈(0,2). 4 ?? a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上递减, 2 此时 f(x)max=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5,即 a2+4a-5=0, 5 ∴a=-5 或 a=1(舍去).综上所述,a= 或 a=-5. 4

倒计时

3、教你审题
1

巧用对数函数图象解题
8
1

典例 3 【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与
函数 y=|log2x|的图象 从左至右相交于点 A,B,l2 与函数=|log2x|的图象 从 2 左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. 3 当 m 变化时,a的最小值为
b
4

(

).A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

3

3

? ?log2x,x>1, 一审条件 1:转化函数 y=|log2x|为 y=? 得到图象,如图. ? - log x , 0 < x < 1. ? 2

二审条件 2:见上图.

审 的解,求出 A,B,C,D 点的横坐标., 题 的横坐标即是方程|log2x|=2m8 +1
四审问题 4:把a转化为关于 m 的函数, 利用导数或不等式求解即可.
b

三审条件 3:转化为 a 是 A,C 两点横坐标之差的绝对值,b 是 B,D 两 点横坐标之差的绝对值.A,B 的横坐标即是方程|log2x|=m 的解,C,D

3、教你审题

巧用对数函数图象解题
8

【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与 典例 3 函数 y=|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A,B,l2 与函数=|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. 3 当 m 变化时,a的最小值为
b
4

(

).A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

3

3

[解析] 数形结合可知 A,C 点的横坐标在区间(0,1)上, B,D 点的横坐标在区间(1,+∞)上, b |xB-xD| xB-xD 而且 xC-xA 与 xB-xD 同号,所以 = = . a |xC-xA| xC-xA - 根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以 xA=2 m.
8 8 ,xB=2m,xD=2 , 2m+1 2m+1 8 8 8 2m-2 2m-2 2m-2 2m+1 2m+1 2m+1 b 8 所以 = = = = 2 +m . 8 1 1 8 a 2m+1 -m m 2- -2 - m 2 -2 8 2 2m+1 2m+1 2 2m+1 8 2 2m 2m+1

同理可得 xC=2-

3、教你审题

巧用对数函数图象解题
8

【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与 典例 3 函数 y=|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A,B,l2 与函数=|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. 3 当 m 变化时,a的最小值为
b
4

(

).A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

3

3

8 只要求出 +m 的最小值即可. 2m+1 8 法一 构造函数 g(m)= +m, 2m+1 (2m+5)(2m-3) 16 则 g′(m)=- + 1 = , (2m+1)2 (2m+1)2 3 由于 m>0,显然可得 g(m)在(0,+∞)上有唯一的极小值点,也是最小值点 m= , 2 3? 7 b ? 故 g(m)min=g 2 = ,即 的最小值为 22=8 2. a ? ? 2
7

3、教你审题

巧用对数函数图象解题
8

【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与 典例 3 函数 y=|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A,B,l2 与函数=|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. 3 当 m 变化时,a的最小值为
b
4

(

).A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

3

3

8 4 法二 +m= +m 1 2m+1 m+ 2 4 1 1 1 7 = +m+ - ≥4- = , 1 2 2 2 2 m+ 2 4 1 3 当且仅当 =m+ ,即 m= 时等号成立, 1 2 2 m+ 2 b 故 的最小值为 22=8 2. a 答案 B
7

3、教你审题

巧用对数函数图象解题
8

【典例 3 】 (2012· 湖南卷)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y=2m+1(m>0),l1 与 典例 3 函数 y=|log2x|的图象 1 从左至右相交于点 A,B,l2 与函数=|log2x|的图象 1 从 2 左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b. 3 当 m 变化时,a的最小值为
b
4

(

).A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4

3

3

1.利用对数函数的图象研究与对数有关 的图象问题要时注意对称变换的应用; 2.本题是以函数图象为载体,AC和BD 在x轴上的投影长度用坐标表示是解决 问题的切入点,再转化为求函数的最值 问题,难度稍大.

【自主体验 3】 已知函数 f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线 y=a(a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别是 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小 x2<x3<__ x1 关系是____ __.

解析 分别作出三个函数的图象,如图所示:
倒计时

由图可知,x2<x3<x1. 答案 x2<x3<x1

4、创新突破 导数在创新定义与不等式中的应用 典例 【典例 44 】 (2013· 安徽卷)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间
I={x|f(x)>0}.(1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α);? (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.?

突破
由?理解区间长度的意义,转化为求不等 式f(x)>0的解集.

由?求 I 的长度最小值,即求以 a 为自变量 a 的区间长度 da= 2,a∈[1-k,1+k],构 1+a 成的函数的最小值,利用导数求解.

4、创新突破 导数在创新定义与不等式中的应用 典例 【典例 44 】 (2013· 安徽卷)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间
I={x|f(x)>0}.(1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α);? (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.?
解 (1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0,x2= a , 1+a2

故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}. a ? a ? 因此区间 I= 0,1+a2 ,区间 I 的长度为 2. 1 + a ? ? 1-a2 a (2)设 d(a)= ,则 d′(a)= (a>0). 1+a2 (1+a2)2 令 d′(a)=0,得 a=1. 由于 0<k<1,故 当 1-k≤a<1 时,(1-k)2≤a2<1,d′(a)>0,d(a)单调递增; 当 1<a≤1+k 时,a2>1,d′(a)<0,d(a)单调递减.

4、创新突破 导数在创新定义与不等式中的应用 典例 【典例 44 】 (2013· 安徽卷)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间
I={x|f(x)>0}.(1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α);? (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.?
所以当 1-k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得. 1-k 2 d(1-k) 1+(1-k) 2-k2-k3 而 = = <1, d(1+k) 1+k 2-k2+k3 1+(1+k)2 故 d(1-k)<d(1+k). 1-k 因此当 a=1-k 时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值 . 2-2k+k2

4、创新突破 导数在创新定义与不等式中的应用 典例 【典例 44 】 (2013· 安徽卷)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间
I={x|f(x)>0}.(1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α);? (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.?

(1)本题以不等式的解集构成的区间长度 为命题背景,将导数求最值和含参数的 不等式解法交汇,命题情境创新. (2)解法创新,从不等式出发,构造函数 利用导数判断函数的单调性,根据单调 性确定最值d(1-k)与d(1+k),并借助不 等式性质比较二者的关系,体现了转化 与化归的思想.

【自主体验 4】已知函数 f(x)=x2e x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.




易知 f(x)的定义域 R,且 f ′(x)=

-x?x-2? .① ex

倒计时

令 f ′(x)=0,得 x=0 或 2. 当 x 变化时,f ′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f ′(x) f(x) (-∞,0) - ↘ 0 0 0 (0,2) + ↗ 2 0 4e
-2

(2,+∞) - ↘


由以上表知,f(x)的极小值为 f(0)=0;f(x)的极大值为 4e 2. (2)设切点为(t,f(t)),则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). f?t? t 2 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=t- =t+ =t-2+ +3. f ′?t? t-2 t-2

【自主体验 4】已知函数 f(x)=x2e x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.


由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 2 令 h(x)=x+ (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围是[2 2,+∞); x 当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).


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