广西桂林十八中2013届高三上学期第一次月考试题数学文


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桂林十八中 10 级高三第一次月考试卷

数 学(文 科)
注意:①本试卷共 4 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上,否则不得分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? x 2 x ? 1 ? 5 , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? ?CR B ? ?
2

?

?

?

?

A. ? ?2, ?1? 2.函数 y ? ln A.

B.

? ?1,3?

C.

??2, ?1? ? ?3?

D.

? ?1,3? ? ??2?

?x

2

? 2 x ? 的单调增区间是
B.

? ??,1?

? ??,0?

C. ?1, ?? ?

D.

? 2,???

2 3.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? x ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4.双曲线 4 9
A. y ? ?

4 x 9
x

B. y ? ?

9 x 4

C. y ? ?

2 x 3

D. y ? ?

3 x 2

5.函数 y ? 2 ? 3? x ? 0? 的反函数为 A. y ? log 2

x ?3 ? x ? 4? 2

B. y ? log2 ?3 ? x ?? x ? 3? D. y ? log 2

C. y ? log2 ? x ? 3?? x ? 4? 6.函数 f ( x) ? A. (1, ??)
3

3? x ? x ? 3? 2

x( x ? 1) 的定义域为 ln( x ? 1)
B. [?1,1)
2

C. (1, 2) ? (2, ??)

D. (0,1,) ? (1, ??)

7.函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3 在区间 ?0,3? 上的值域是 A.

??7, ?3?

B.

??3?

C.

??5, ?3?

D.

? ?10, ?3?

8.已知函数 f ? x ? ? ?

?0 ?log2 x, x第 1 页(共 ? 页) ?? 4 ?1 ,则 f ? f ? ?? ? x ? ? 4 ?? ? 3 ,x ? 0
·1·

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A. ?

1 9

B.

1 9

C. ?9

D. 9

9.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 A. y ? cos 2 x

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的解析式是 4
C. y ? 1 ? sin ? 2 x ?

B. y ? 2cos2 x

? ?

??
? 4?

D. y ? 2sin 2 x

10.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10

?x ? 1 2x ? y ? 5 ? 11.若实数 x, y 满足 ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为 x?2 ?x ? y ? 3 ?
A. 2 B.

8 3

C. 3

D.

10 3

12.设函数 f ? x ? ? g ? x ? ? x2 ,曲线 y ? g ? x? 在点 1 g ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 ,

?

?

y ? f ? x ? 在点 ?1 f ?1?? 处的切线的斜率为 ,
A. 4 B. ?

1 4

C. 2

D.

1 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 tan x ?
6

1 ,则 cos 2x ? _________. 3

1 ? ? 14. ? x ? ? 的展开式中,常数项为_________. x? ?
15.函数 y ?

x ? x ? 0? 的最大值是_________. x ? x?9
2

16.函数 y ? ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4 ? ? 5 在 ? ?3,3? 上的最小值_________.

第 2 页(共 22 题每题 12 分,共 70 分. 三.解答题:本大题共 6 小题;17 题 10 分,17 至 4 页) 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin C 的值.
·2·

1 . 4

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18.甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校 2010 年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料 和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已 知甲、乙两人审核过关的概率分别为

3 1 、 ,审核过关后,甲、乙两人文化测试合格的概率分别为 5 2

3 4 、 . 4 5
(Ⅰ)求甲获得自主招生入选资格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人通过审核的概率.

19.已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求通项 an ;

1 3 1 2 x ? x ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? f ? ? n? ? n ? N ? ? . 6 4

(Ⅱ)令 bn ? 2n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

,

PA ? 底面ABCD , PA ? 2 , M 为 PA 的中点, N 为 BC 的中点.
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面PCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

第 3 页(共 4 页)

P
M

A D
·3·

B

N

C

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21.已知函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 在 x ? 1 处取得极值 ?1 . (Ⅰ)求 b、c 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? t ? 0 在区间 ??11? 上有实根,求实数 t 的取值范围. ,

22.已知离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 M a b 2

?

6, , O 是坐标原点. 1

?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 A、B 为椭圆 C 上相异两点,且 OA ? OB ,判定直线 AB 与圆 O : x ? y ?
2 2

??? ?

??? ?

8 3

的位置关系,并证明你的结论.

桂林十八中 10 级高三第一次月考答案(12-08-26)

数 学(文 科)
一、选择题 CDADC CABBB CA 二.填空题 13.

4 5

14. 15

15.

1 7

16. 4

三.解答题 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin C 的值.
·4·

1 . 4

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17.解:(Ⅰ)由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ,???2 分
2 2 2

? 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 , 4

? b ? 10 .???3 分
a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 10 ? 9 10 (2)由余弦定理,得 cos C ? ???2 分 ? ? 2ab 8 2 ? 2 ? 10
∵ C 是 ?ABC 的内角,∴ sin C ? 1 ? cos C ?
2

3 6 .???3 分 8

18.甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校 2010 年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料 和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已 知甲、乙两人审核过关的概率分别为

3 1 、 ,审核过关后,甲、乙两人文化测试合格的概率分别为 5 2

3 4 、 . 4 5
(Ⅰ) 求甲获得自主招生入选资格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人通过审核的概率. 解:(Ⅰ) 设 A ? “ 甲获得自主招生入选资格”,则

3 3 9 p ? A? ? ? ? ????? 4分 5 4 20
(Ⅱ)设 B ? “甲,乙两人至少有一人通过审核”,则

? 3 ?? 1 ? 4 p ? B ? ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? ? ????? 7分 ? 5 ?? 2 ? 5
答:(1) 甲获得自主招生入选资格的概率为

9 ; 20 4 . ?????1分 5

(2) 甲,乙两人至少有一人通过审核的概率为 19.已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? x ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 6 4
?

且 Sn ? f ? ? n? n ? N (Ⅰ)求通项 an ;

?

?.

(Ⅱ)令 bn ? 2 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

·5·

HLLYBQ 整理 19.解:(Ⅰ) S n

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? f ??n? ?

1 2 1 n ? n ?? 2分 2 2

?an ? n ? n ? N *? ?? 4分
(Ⅱ) bn ? n ? 2n

?Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ,可得 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 , ??1分
两式相减得: ??1分

?Tn ? 2 ? ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? n ? 2n?1 ??1分
? 2 ? ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n ? 2n ?1 ??1分

? ?1 ? n? ? 2n?1 ? 2 ??1分 ?Tn ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ??1分

? 20.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ABC ?
PA ? 2 , M 为 PA 的中点, N 为 BC 的中点.
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面PCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的大小. 20.解:(Ⅰ)取 PD 的中点 E , ??1分
则 ME /

?
4

, PA ? 底面ABCD ,

P
M

/

1 1 AD ,又 NC / / AD , ? ME / /NC , 2 2

A D B
N

? 四边形 MNCE 是平行四边形, ?? 2分
? MN‖ 平面PCD ??1分
(Ⅱ)作 AF ? AD 交 BC 于 F ,
分别以

C

AF , AD, AP 为 x, y, z 轴建立如图空间直角坐标系 ??1分



? 2 2 ? A ? 0, ?,P ? 0, 2 ? , C ? 0, 0, ,1, 0 ? , D ? 0,0 ? 1, ? 2 ? 2 ? ?

??? ???? ??? ? 2 ? ? ? ??? 2 AP= ? 0, 2 ? , AD ? ? 0,0 ? , PC = ? 0, 1, ,1, ?2 ? , PD ? ? 0,-2 ? , 1, ? 2 ? 2 ? ?
·6·

HLLYBQ 整理 设 平面PAD 的一个法向量为 m=

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??

? x,y, z ?

??? ?? ? AP ? m ? 0 ? 由 ? ???? ?? , ??1分 ? AD ? m ? 0 ?
得?

?? ?2 z ? 0 ,? m= ?1,0,0 ? ??1分 ? y?0 ?

同理求得 平面PCD 的一个法向量为 n=

? 2,2,1? ??2分

?? ? ?? ? m?n ? cos m, n = ?? ? ??1分 m?n
? 2 ??1分 3 2 ??1分 3

? 二面角 A ? PD ? C 的大小为 arc cos

21.已知函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 在 x ? 1 处取得极值 ?1 . (Ⅰ)求 b、c 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? t ? 0 在区间 ??11? 上有实根,求实数 t 的取值范围. , 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c ?????1分
2

由已知得: ?

? f ? ?1? ? 3 ? 2b ? c ? 0 ? ????? 2分 ? f ?1? ? 3 ? b ? c ? ?1 ?

解得: ?

? b ?1 ?????1分 ?c ? ?5
3 2

(Ⅱ) 设 g ? x ? ? f ? x ? ? t ? x ? x ? 5x ? 2 ? t ,则

g? ? x ? ? 3x2 ? 2x ? 5 ? ?3x ? 5?? x ?1? ?????1分
5? ? ? g ? x? 的单调增区间是 ? ??, ? ? , ?1, ?? ? 3? ? ? 5 ? g ? x ? 的单调减区间是 ? ? ,1? ? 3 ?

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? g ? x? 在区间 ??11? 上递减 ?????3分 ,
要使关于 x 的方程 f ? x ? ? t ? 0 在区间 ??11? 上有实根,只需 ? , 解得: ?7 ? t ? 1 ????? 2分

? g ? ?1? ? 0 ? , ????? 2分 ? g ?1? ? 0 ?

22.已知离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 M a b 2

?

6, , O 是坐标原点. 1

?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 A、B 为椭圆 C 上相异两点,且 OA ? OB ,判定直线 AB 与圆 O : x ? y ?
2 2

??? ?

??? ?

8 的位置关 3

系,并证明你的结论.

? c 2 ? ? ?a 2 ? 8 ? a 2 ? 2 ? 2 2 2 解:(Ⅰ) (Ⅱ)由 ? a ? b ? c ,解得: ?b ? 4 ?c 2 ? 4 ? 2 ? ? 6 12 ? 2 ?1 ? 2 b ? a

? ?

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????? 4分 8 4

(Ⅱ) 设 A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? ,直线 AB 的方程为: y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,得: ?1 ? 2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ?????1分 ?1 ? ? 4 ?8
2 2 2 2 则 ? ? 8 8k ? m ? 4 ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

?

?

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ?????1分 由韦达定理得: ? 2 ? x ? x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
m2 ? 8k 2 则 y1 ? y2 ? ? kx1 ? m ? ? ? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? 1 ? 2k 2
2 2

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由 OA ? OB 得: x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 , ?????1分 即

??? ?

??? ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,化简得: 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ?????1分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

因为圆心到直线的距离 d ?

m 1? k 2

, ?????1分

m2 d ? ? 1? k 2
2

m2 8 ? 2 3m ? 8 3 1? 8

8 2 2 ,? d ? r ,即 d ? r ?????1分 3 此时直线 AB 与圆 O 相切 当直线 AB 的斜率不存在时,
而r ?
2

由 OA ? OB 可以计算得 A,B 的坐标为 ?

??? ?

??? ?

?2 6 2 6? ? 2 6 2 6? ? ? ? 3 , 3 ?或?? 3 , 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

此时直线 AB 的方程为 x ? ?

2 6 3

满足圆心到直线的距离等于半径,即直线 AB 与圆 O 相切 ?????1分 综上,直线 AB 与圆 O 相切 ?????1分

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