江苏省扬州市高三2016—2017学年度第一学期期末检测数学试题(含答案)


2017 届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题(I 卷)
0 1 2} ,则 A ? B ? 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,

. .

2.设 1 ? i ? a ? bi ( i 为虚数单位, a , b ? R ),则 ab ? 1? i

3.某学校共有师生 3200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本,已知从学生中抽取的 人数为 150,那么该学校的教师人数是 . 4.如图是一个求函数值的算法流程图,若输入的 x 的值为 5,则输出的 y 的值为 . 5.已知直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C : x 2 + y2 = 4 交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度为 6.已知 A, B . .

???3, ?1,1,2?

且 A ? B ,则直线 Ax ? By ? 1 ? 0 的斜率小于 0 的概率为

?x ? y ?1 ? 0 7.若实数 x, y 满足 ? ? y ? x ? 1 ? 0 ,则 z ?x ? 1 ?

? 2 x ? 3 y 的最大值为
2


(第 4 题 图) cm ). (单位:
3

8.若正四棱锥的底面边长为 2 (单位: cm ) ,侧面积为 8 (单位: cm ) ,则它的体积为 9.已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点恰好是双曲线 10.已知 cos(

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点,则双曲线的渐近线方程为 12 b




?
3

? ?) ?

1 ? (0 ? ? ? ) ,则 sin(? ? ? ) ? 3 2

11.已知 x ? 1, x ? 5 是函数 f ? x ? ? cos ?? x ? ? ??? ? 0? 两个相邻的极值点,且 f ? x ? 在 x ? 2 处的导数 f ? ? 2? ? 0 , 则 f ? 0? ? . .

12.在正项等比数列 {an } 中,若 a4 ? a3 ? 2a2 ? 2a1 ? 6 ,则 a5 ? a6 的最小值为

???? ???? 2 ??? ? 1 ???? 13. ?ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 P 是以 A 为圆心的单位圆上一动点,点 Q 满足 AQ ? AP ? AC ,则 BQ 的最 3 3

小值是


2

14.已知一个长方体的表面积为 48(单位: cm ) ,12 条棱长度之和为 36(单位: cm ) ,则这个长方体的体积的取值 范围是 (单位: cm ) .
3

15. (14 分)在 ?ABC 中, AB ? 6 , AC ? 3 2 , AB ? AC ? ?18 . (1)求 BC 的长; (2)求 tan 2 B 的值. 16. (14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,点 E、F 分别是棱 PC 和 PD 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)若 AP=AD,且平面 PAD ? 平面 ABCD,证明:AF ? 平面 PCD.

??? ? ????

17. (14 分)如图,矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图,点 E 在 AB 上,在梯形 BCDE 区域内部展示文物, DE 是玻璃幕墙,游客只能在 ? ADE 区域内参观.在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头, ?MPN 为监控角,其 中 M、N 在线段 DE(含端点)上,且点 M 在点 N 的右下方.经测量得知:AD=6 米,AE=6 米,AP=2 米,?MPN ? 记 ?EPM ? ? (弧度) ,监控摄像头的可视区域 ? PMN 的面积为 S 平方米. (1)求 S 关于 ? 的函数关系式,并写出 ? 的取值范围; (参考数据: tan (2)求 S 的最小值.

?
4

.

5 ? 3) 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l : y ? kx ? b 分别交 a 2 b2 ??? ? ??? ? 圆 O 、椭圆 C 于不同的两点 P 、 Q ,设 AP ? ? PQ .
18. (16 分)如图,椭圆 C : (1)若点 P(?3, 0), 点 Q(?4, ?1), 求椭圆 C 的方程; (2)若 ? ? 3 ,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围.

x A P Q O y

19. (16 分)已知数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且对任意 n ? N? , an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 恒成立. (1)若 An ? n2 , b1 ? 2 ,求 Bn ; (2)若对任意 n ? N? ,都有 an ? Bn 及
b b b2 b 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? 成立,求正实数 b1 的取值范围; a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 3 A1 As At , , 成等差数列?若存在,求出 s, t 的值; B1 Bs Bt

(3)若 a1 ? 2, bn ? 2n ,是否存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使 若不存在,请说明理由.

x 2 20. (16 分)已知函数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中函数 g ( x) ? e , h( x) ? x ? ax ? a .

(1)求函数 g ( x) 在 ?1, g (1) ? 处的切线方程; (2)当 0 ? a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在 x ?[?2a, a] 上的最大值; (3)当 a ? 0 时,对于给定的正整数 k ,问函数 F ( x) ? e ? f ( x) ? 2k (ln x ? 1) 是否有零点?请说明理由. (参考数据

e ? 2.718, e ? 1.649, e e ? 4.482,ln 2 ? 0.693 )

2017 届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题(II 卷) 21. (10 分)已知 a, b ? R ,若点 M (1, ?2) 在矩阵 A ? ?

?a 1? ? 对应的变换作用下得到点 N (2, ?7) ,求矩阵 A 的特征值. ?b 4? ? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以直角坐标系原点 O 为极 2 ? y ? 1 ? sin ?

22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
4

,试求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标.

23. (10 分)为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》 、 《生活中的数学》 、 《数学与哲 学》 、 《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人 选择课程时互不影响,且每人选择每一课程都是等可能的. (1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率; (2)设 X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .
1 1 n n ? 24. (10 分) 已知 Fn(x)? (?1)0 C0 其中 f i ( x) (i ??0,1,2,?, n?) n f 0 ( x) ? (?1) Cn f 1 ( x) ? ? ? (?1) Cn f n ( x),(n ? N ) ( x ? 0) ,

是关于 x 的函数.
i (1)若 f i ( x )=x (i ? N) ,求 F2(1), F2017(2)的值;

(2)若 f i ( x)=

n! x (n ? N? ) . (i ? N) ,求证: Fn(x)= ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n) x+ i

2017 届江苏省扬州市高三第一学期期末检测数学试题答案 1. {?1,0} 6. 2. 0 7. 8
2 2

3. 200 8.
4 3 3

4. ? 15 9. y ? ?
3 x 3

5. 2 3 10.
3?2 2 6

1 3

11.

12. 48

13. 7 ?

2 3

14. [16, 20]

15.⑴因为 AB?AC ? AB ? AC ? cos A ? ?18 ,且 AB ? 6 , AC ? 3 2 ,

??? ? ??? ?

BC = AB 2 ? AC 2 - 2 AB ? AC ? cos A = 62 ? (3 2) 2 - 2 ? (?18)=3 10 . ---------------6 分
⑵方法一:在 ?ABC 中, AB ? 6 , AC ? 3 2 , BC =3 10 ,

cos B=

BA2 ? BC 2 - AC 2 62 ?(3 10)2 -(3 2)2 3 10 , = = 2BA ? BC 10 2 ? 6 ? 3 10
2

--------------------9 分

又 B ? (0,? ) ,所以 sin B = 1 ? cos B =

sin B 1 10 ? ,-------------11 分 ,所以 tan B ? cos B 3 10

2 2 tan B 3 = 3 ? . 所以 tan 2 B ? 2 1 - tan B 1 ? ( 1 )2 4 3
??? ? ??? ?

---------------------14 分

方法二:由 AB ? 6 , AC ? 3 2 , AB?AC ? AB ? AC ? cos A ? ?18 可得 cos A= ?

2 , 2

又 A ? (0,? ) ,所以 A ?

3? . 4
3 2?

---------------------8 分

BC AC AC ? sin A ? ? 在 ?ABC 中, ,所以 sin B ? sin A sin B BC
又 B ? (0,

2 2 ? 10 ,-----------10 分 10 3 10

?
4

) ,所以 cos B= 1 ? sin 2 B =

sin B 1 3 10 ? , ,所以 tan B ? cos B 3 10

2 2 tan B 3 ?3 = 所以 tan 2 B ? . 1 - tan 2 B 1 ? ( 1 )2 4 3

---------------------14 分

16. (1)证明:因为点 E、F 分别是棱 PC 和 PD 的中点,所以 EF∥CD,又在矩形 ABCD 中,AB∥CD,所以 EF∥AB, ---------------------3 分 又 AB ? 面 PAB,EF ? 面 PAB,所以 EF∥平面 PAB. ---------------------6 分 ⑵证明:在矩形 ABCD 中,AD⊥CD,又平面 PAD ? 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 面 ABCD,所 以 CD ? 平面 PAD, ---------------------10 分 又 AF ? 面 PAD,所以 CD ? AF.① 因为 PA=AD 且 F 是 PD 的中点,所以 AF ? PD,② 由①②及 PD ? 面 PCD,CD ? 面 PCD,PD∩CD=D,所以 AF ? 平面 PCD. -----------------14 分

17.⑴方法一:在 ? PME 中, ?EPM ? ? ,PE=AE-AP=4 米, ?PEM ?

?
4

, ?PME ?

3? ?? , 4

PM PE ? 由正弦定理得 , sin ?PEM sin ?PME
所以 PM ?

PE ? sin ?PEM 2 2 4 ? ? , 3? sin ?PME sin ? ? cos ? sin( ? ? ) 4
PN PE ? , sin ?PEN sin ?PNE

---------------------2 分

同理在 ? PNE 中,由正弦定理得

所以 PN ?

PE ? sin ?PEN 2 2 2 2 ? ? , ? sin ?PNE sin( ? ? ) cos ? 2

- --------------------4 分

所以 ? PMN 的面积 S ?

?

8 , ? ? sin 2? ? cos 2? ?? 2 sin(2? ? ) ?? 4

1 4 4 PM ? PN ? sin ?MPN ? ? 2 2 cos ? ? sin ? cos ? 1 ? cos 2? 1 ? sin 2? 2 2 8
--------------------8 分

当 M 与 E 重合时, ? ? 0 ;当 N 与 D 重合时, tan ?APD ? 3 ,即 ?APD ? 综上可得: S ?

5 3? 5 3? 5 ? ,所以 0 ? ? ? ? . ,? ? 4 4 4 4 4

8

2 sin(2? ? ) ?? 4

?

, ? ? ?0,

? 3? 5 ? ? . ? 4 4? ?

---------------------10 分

方法二:在 ? PME 中, ?EPM ? ? ,PE=AE-AP=4 米, ?PEM ? 由正弦定理可知:

?
4

, ?PME ?

3? ?? , 4
---------2 分

ME PE ? ,所以 ME ? PE ? sin ? ? sin ? sin ?PME sin ?PME NE PE ? , sin ?EPN sin ?PNE

4sin ? 4 2 sin ? , ? 3? sin( ? ? ) sin ? ? cos ? 4

在 ? PNE 中,由正弦定理可知:

PE ? sin(? ? ) 4sin(? ? ) 4 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ,---------------------4 分 所以 NE ? ? cos ? cos ? sin( ? ? ) 2
所以 MN ? NE ? ME ? 所以 ? PMN 的面积 S=

?

?

? 2 2 ,又点 P 到 DE 的距离为 d ? 4sin ? 2 2 , ---------------------6 分 4 cos ? ? sin ? cos ?
2

1 4 4 MN ? d ? ? 2 1 ? cos 2 ? 1 2 cos ? ? sin ? cos ? ? sin 2? 2 2 8 8 , ---------------------8 分 ? ? ? sin 2? ? cos 2? ?? 2 sin(2? ? ) ?? 4 5 3? 5 3? 5 ? ,所以 0 ? ? ? ? . 当 M 与 E 重合时, ? ? 0 ;当 N 与 D 重合时, tan ?APD ? 3 ,即 ?APD ? , ? ? 4 4 4 4 4

综上可得: S ?

8

2 sin(2? ? ) ?? 4
即? ?

?

, ? ? ?0,

? 3? 5 ? ? . ? 4 4? ?

---------------------10 分

⑵当 2? ?

?
4

?

?
2

?

8 ? 3? 5 ? ? 8( 2 ? 1) .---------13 分 ? ?0, ? ? 时, S 取得最小值为 8 ? 4 4? 2 ??
---------------------14 分

所以可视区域 ? PMN 面积的最小值为 8( 2 ?1) 平方米.
2 2 2

(?4) 2 (?1) 2 ? 2 ? 1, 解得 a2 ? 18, 18.(1)由 P 在圆 O : x ? y ? b 上得 b ? 3, 又点 Q 在椭圆 C 上得 2 a 3

? 椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 18 9

--------------------------------------5 分

? y ? kx ? b 2kb (2)由 ? 2 得 x ? 0 或 xP ? ? 2 2 1? k2 ?x ? y ? b
? y ? kx ? b 2kba2 ? 由 ? x2 y 2 得 x ? 0 或 xQ ? ? 2 2 a k ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

--------------------------------------7 分

--------------------------------------9 分

??? ? ??? ? ??? ? 3 ???? 2kba2 3 2kb a2 3 1 即 ? AP ? ? PQ , ? ? 3 ,? AP ? AQ ,? 2 2 ? ? ? ? 4 k a ? b2 4 1 ? k 2 a 2 k 2 ? b2 4 1 ? k 2 1 1 ? k 2 ? 0 ? 4e2 ? 1 ,即 e ? ,又 0 ? e ? 1 ,? ? e ? 1. ----16 分 2 2
19. (1)因为 An ? n 2 , ,所以 an ? ?

?k 2 ?

3a2 ? 4b2 ? 4e2 ? 1 a2

1, n ? 1 即 an ? 2n ? 1 --------------------------------------2 分 2 2 ?n ? (n ? 1) , n ? 2 ?

1 故 bn?1 ? bn ? (an ?1 ? an ) ? 1,所以数列 {bn } 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, 2 1 1 3 所以 Bn ? n ? 2 ? ? n ? (n ? 1) ? 1 ? n2 ? n 2 2 2
--------------------------------------4 分
bn ?1 ? 2, bn

(2)依题意 Bn?1 ? Bn ? 2(bn?1 ? bn ) ,即 bn?1 ? 2(bn ?1 ? bn ) ,即

所以数列 {bn } 是以 b1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? Bn ? 所以
bn ?1 2n ? an an ?1 b1 (2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1)

1 ? 2n ? b1 ? b1 (2n ? 1) , 1? 2

--------------------------5 分

因为

bn ?1 b1 ? 2n 1 1 1 ? ? ( n ? n ?1 ) n n ?1 an an ?1 b1 (2 ? 1) ? b1 (2 ? 1) b1 2 ? 1 2 ? 1

--------------------------8 分

所以

b b 1 1 1 1 b2 b 1 1 1 ? n ?1 ) ? 恒成立, ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? ( 1 ? n ?1 ) ,所以 ( 1 b 2 ? 1 2 ? 1 3 a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 b1 2 ? 1 2 ? 1 1

即 b1 ? 3(1 ?

1 2
n ?1

) ,所以 b1 ? 3 。 ?1

--------------------------------------10 分

(3)由 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 得: an?1 ? an ? 2n?1 ,

所以当 n ? 2 时, an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n ? 2n ?1 ? ? ? 23 ? 22 ? 2 ? 2n ?1 ? 2 , 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 An ? 2n? 2 ? 4 ? 2n ,又 Bn ? 2n?1 ? 2 , 所以
An 2n ? 2 ? 4 ? 2n n ? ? 2? n , n ?1 Bn 2 ?2 2 ?1

------------------------------------12 分
A1 As At 1 s t , , 成等差数列,等价于 1 , s 成等差数列, , B1 Bs Bt 2 ? 1 2 ? 1 2t ? 1

假设存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使 即 即

2s 1 t ? ? 2s ? 1 21 ? 1 2t ? 1

---------------------13 分 ------------14 分

2s t t 2s ,因为 1 ? t ?1? t ? 1,所以 s ? 1 ,即 2s ? 2s ? 1 2s ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

令 h(s) ? 2s ? 2s ? 1(s ? 2, s ? N? ) ,则 h(s ? 1) ? h(s) ? 2s ? 2 ? 0 ,所以 h (s) 递增, 若 s ? 3 ,则 h(s) ? h(3) ? 1 ? 0 ,不满足 2s ? 2s ? 1 ,所以 s ? 2 ,代入 当 t ? 3 时,显然不符合要求; 当 t ? 4 时,令 ? (t ) ? 2t ? 3t ? 1(t ? 3, t ? N? ) ,则同理可证 ? (t ) 递增,所以 ? (t ) ? ? (4) ? 3 ? 0 ,所以不符合要求. 所以,不存在正整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使
A1 As At , , 成等差数列. B1 Bs Bt

2s 1 t 得 2t ? 3t ? 1 ? 0 (t ? 3) , ? 1 ? t 2 ?1 2 ?1 2 ?1
s

----------------------16 分

x 20. 解:(1) g ?( x) ? e ,故 g ?(1) ? e , 所以切线方程为 y ? e ? e( x ? 1) ,即 y ? ex ---------------------3 分

(2) f ( x) ? e ? ( x ? ax ? a) , 故 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? a)e ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? ?2 .
x 2 ' x '

①当 ?2a ? ?2 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [?2a, ?a] 上递减,在 [?a, a] 上递增, 所以 f ( x)max ? max ? f (?2a), f (a)? , 由于 f (?2a) ? (2a2 ? a)e?2a , f (a) ? (2a2 ? a)ea ,故 f (a) ? f (?2a) ,所以 f ( x)max ? f (a) ; ---------------------5 分 ②当 ?2a ? ?2 ,即 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [?2a, ?2] 上递增, [?2, ?a] 上递减,在 [?a, a] 上递增,
?2 2 a 2) ,-----------7 分 所以 f ( x)max ? max ? f (?2), f (a)? ,由于 f (?2) ? (4 ? a)e , f (a) ? (2a ? a)e ,故 f (a) ? f ( ?

所以 f ( x)max ? f (a) ; 综上得, f ( x)max ? f (a) ? (2a2 ? a)ea ----------8 分

(3)结论:当 k ? 1 时,函数 F ( x) 无零点;当 k ? 2 时,函数 F ( x) 有零点 ------------9 分 理由如下:
2 x ①当 k ? 1 时,实际上可以证明: ex e ? 2ln x ? 2 ? 0 .

方法一:直接证明 F ( x) ? ex e ? 2ln x ? 2 的最小值大于 0,可以借助虚零点处理.
2 x

F ?( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x ?1 ?

2 2 2 x ?1 ,显然可证 F ?( x ) ? ( x ? 2 x )e ? 在 ? 0, ??? 上递增, x x

因为 F ? ? ? ? e e (

?1? ?e?

1

?1

3 ? 1 ? 1 2 1 2 ?1? 5 2 e ? ? ) ? 2 e ? e e ( ? ) ? 2 ? 0 , F ? e ?4 ? 0, ? ? ? ? 2 e2 e ?2? 4 ? e e ?

所以存在 x0 ? ( , ) ,使得 F ? ? x0 ? ? 0 , 所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ( x) 递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, F ( x) 递增, 所以 F ? x ?min ? F ? x0 ? ? 2( 而 ? ? x ? ? 2(

1 1 e 2

1 1 1 ? ln x0 ? 1) ,其中 x0 ? ( , ) , e 2 x0 ? 2

1 3 ?1? ? ln x ? 1) 递减,所以 ? ? x ? ? ? ? ? ? 2(ln 2 ? ) ? 0 , x?2 5 ?2?
---------------------14 分

所以 F ? x ?min ? 0 ,所以命题得证。 方法二:转化为证明 e

e x 2(ln x ? 1) ? ,下面分别研究左右两个函数. x x3

令 p ? x? ? e

ex 2 ,则可求得 p ? x ?min ? p ?1? ? e , x

令 q ? x? ?

? ?2 ? 2 2 2(ln x ? 1) 3 q x ? q ,则可求得 ? ? ? e ? ? e ,所以命题得证。----------14 分 3 max x ? ? 3

方法三:先放缩,再证明. 可先证明不等式 e x ? ex (参考第 1 小题,过程略) ,所以只要证 e2 x3 ? 2ln x ? 2 ,

? 2 1 ? 2 3 3 p x ? p 令 p ? x ? ? e x ? 2ln x ? 2 ,则可求得 ? ? min ? ( 2 ) ? ? ln ? 0 , ? 3e ? 3 2
2 3

所以命题得证.
2 x ②当 k ? 2 时, F ( x) ? ex e ? 2k (ln x ? 1) ,

--------------14 分

此时 F ? ? ? 下面证明 F e
x

?1? ?2?

k 1 3 1 3 e 2 ? 2k (1 ? ln 2) ? e 2 ? 4(1 ? ln 2) ? 0 , F ? ek ? ? ee ? 2 k ?1 ? (2k 2 ? 2k ) , 4 4

? ? ? 0 ,可借助结论 e
k

x

? x2 ( x ? 2) 处理,首先证明结论 e x ? x2 ( x ? 2) :
x x

令 ? ? x ? ? e ? x ,( x ? 2) ,则 ?? ? x ? ? e ? 2x ,故 ??? ? x ? ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以 ?? ? x ? ? e ? 2x 在 [2, ??) 上递增,所以 ?? ? x ? ? ?? ? 2? ? 0 ,
x

所以 ? ? x ? ? e ? x 在 [2, ??) 上递增,所以 ? ? x ? ? ? ? 2? ? 0 ,得证。
x 2

借助结论得 e 所以 F e .
k

ek ?2k ?1

? ek

2

?2k ?1

? (k 2 ? 2k ?1)2 ? (k ?1)4 ? (k ?1)(k ?1)3 ? 2k (k ?1) ,
k

1 ? ? ? 0 ,又因为函数 F ( x) 连续,所以 F ( x) 在 ? ? ,e 2 ?

? ? 上有零点 -- ------------16 分 ?

21.解:由题意得 ?

?4 1? ?a 1? ?1 ? ? 2 ? ?a ? 2 ? 2 ,解得 ?a ? 4 ,所以 A?? ? ? ? ,即 ? ? ?, ? ? ? ?1 4 ? ?b ? 1 ?b 4? ? ?2? ? ?7? ?b ? 8 ? ?7
? ? 4 ?1 ? ? 2 ? 8? ? 15 , ?1 ? ? 4
---------------------10 分 --------------------2 分

--------------------5 分

所以矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

令 f (? ) ? 0 ,解得 ? ? 5 或 ? ? 3 ,即矩阵 A 的特征值为 5 和 3. 22.解:将直线 l 的极坐标方程化直角坐标系方程为 y ? x

将曲线 C 的参数方程化为普通方程可得: y ? 2 ? x2 (?1 ? x ? 1) --------------------5 分 由?

?y ? x
2 ?y ? 2? x

2 得 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x =1 或 x = ? 2 ,又 ?1 ? x ? 1 ,所以 x =1 ,

所以直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为(1,1). 注:结果多一解的扣 2 分
3

--------------------10 分

23.解:⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有 4 ? 64 种不同的选法,记“甲、乙、丙三人选择的课程互

P(M ) ? 不相同”为事件 M ,事件 M 共包含 A3 4 ? 24 个基本事件,则
相同的概率为

24 3 ? ,所以甲、乙、丙三人选择的课程互不 64 8

3 . 8

--------------------3 分 --------------------4 分

⑵方法一: X 可能的取值为 0,1, 2,3 ,
2 C1 27 33 27 3 ?3 P ( X ? 1) ? ? ? , , 3 3 3 64 4 64

P( X ? 0) ?

2 C3 ?3 9 C3 1 3 P( X ? 2) ? ? ? , P( X ? 3) ? 3 . 3 4 64 4 64

--------------------8 分

所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3

27 9 1 64 64 64 27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . -------------10 分 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? 64 64 64 64 4 方法二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验, X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》 1 k 1 k 3 3? k 的人数,则 X ? B (3, ) ,所以 P( X ? k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3 , 4 4 4 X 所以 的分布列为:

P

27 64

X

0

1

2

3

27 64 1 3 所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 3 ? ? . 4 4

P

27 64

9 64

1 64

i 0 1 1 1 n n n n 24.解:⑴因为 f i ( x )=x (i ? N) ,所以 Fn(x)? (?1)0 C0 n x ? (?1) Cn x ? ? ? (?1) Cn x ? (1 ? x) ,

所以 F2(1)=0 , 所以 F2017(2)? (1 ? 2)2017 ? ?1 . ⑵因为 f i ( x)=

---------------------1 分 ---------------------3 分

x ( x ? 0,i ? N) , x+ i

n x ? ? 1 1 n n i i ( n ? N? ) . 所以 Fn(x)=(?1)0 C0 n f 0 ( x) ? ( ?1) C n f 1 ( x) ? ? ? ( ?1) C n f n ( x) ? ? ?( ?1) C n ? x+i ? i ?0 ?

1 x ? x 1 ? i ①当 n ? 1 时, Fn(x)= ? ?(?1)i C1 ? ? 1 ? x +1 ? x +1 ,所以 n ? 1 时结论成立. ----4 分 x + i ? i ?0 ?

k x ? k! ? ②假设 n ? k (k ? N? ) 时结论成立,即 Fk(x)=? ?(?1)i Cik , ? ? x + i ? ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) i ?0 ?

k ?1 k x ? x ? x ? ? k ?1 则 n ? k ? 1 时, Fk ?1(x)=? ?(?1)i Cik ?1 =1+ (?1)i Cik ?1 ? (?1) k ?1 Ck ? ?1 ? ? ? x+i ? x+i? x + k ?1 i ?0 ? i ?1 ?

k k x ? x ? x ? k ?1 ? x ? ? k ?1 ? 1 ? ? ?(?1)i (Cik + Cik?1 ) ? (?1) k ?1 Ck ? ? ?(?1)i Cik ? ? ?(?1)i Ci-1 ?1 k ? ? x + i x + k ? 1 x + i ? i ?1 ? x+i ? ? ? i ?1 ? i ?0 ?

k ?1 k x ? x ? ? ? ? F ( x )(?1)i Cik = Fk(x)-? ?(?1)i-1 Ci-1 ? k k ? ? x+i ? x + i ? 1? ? i ?1 ? i ?0 ?

k x +1 ? x x ? ? Fk(x)-? ?(?1)i Cik ? Fk(x)? Fk(x +1) ? x +1+i ? x +1 x +1 i ?0 ?

?

k! k! x ? ? ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) ( x ? 2)( x ? 3)?( x ? 1+k ) x +1 ( x ? 1+k )?k !? x?k ! (k +1)! = , ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k )( x ? 1+k ) ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)?( x ? 1+k )

=

所以 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②可知, Fn(x)=

n! (n ? N? ) . ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n)

---------------------10 分


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