高一数学教案:两条直线的位置关系3


两条直线的位置关系(夹角)
教学目的: 1. 明确理解直线 l1 到 l 2 的角及两直线夹角的定义. 2.掌握直线 l1 到 l 2 的角及两直线夹角的计算公式. 3.能根据直线方程求直线 l1 到 l 2 的角及两直线夹角. 教学重点:两条直线的夹角. 教学难点:夹角概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 教学过程: 一、复习引入: 1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: 二、讲解新课: 1.直线 l1 到 l 2 的角的定义: 两条直线 l1 和 l 2 相交构成四个角 ,它们是两对对顶角,我们把直线 l1 按逆时针方向旋转到与 l 2 重合时 所转的角,叫做 l1 到 l 2 的角. 在图中,直线 l1 到 l 2 的角是 ? 1 , l 2 到 l1 的角是 ? 2 .
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王新敞
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具:多媒体

?2 ?1

l2

l1 到 l 2 的角 ? :0°<θ <180°.
2.直线 l1 到 l 2 的夹角定义:

l1

如图,l1 到 l 2 的角是 ? 1 , l 2 到 l1 的角是π - ? 1 ,当 l1 与 l 2 相交但不垂直时, ? 1 和π - ? 1 仅有一个角是锐 角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角. 补充:当直线 l1 ⊥ l 2 时,直线 l1 与 l 2 的夹角是 夹角 ? :0°< ? ≤90°. 说明: ? 1 >0,

? . 2

? 2 >0,且 ? 1 + ? 2 =π
k 2 ? k1 . 1 ? k 2 k1

3.直线 l1 到 l 2 的角的公式: tan? ?

推导:设直线 l1 到 l 2 的角 ? , l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 .

如果 1 ? k1 k 2 ? 0, 即k1 k 2 ? ?1, 则? ?

?
2

.

如果 1 ? k1k 2 ? 0 ,设 l1 , l 2 的倾斜角分别是 ?1 和 ? 2 , 则 tan?1 ? k1 , tan? 2 ? k 2 .
y

l2 ? ?1

l1 ?2

y

l2 ? ?2 ?1 l1
x

由图(1)和图(2)分别可知
o

x o (1)
(2)

? ? ? 2 ? ?1或? ? ? ? (?1 ? ? 2 ) ? ? ? (? 2 ? ?1 )
? tan? ? tan( ? 2 ? ?1 )或 tan? ? tan[ ? ? (? 2 ? ?1 )] ? tan( ? 2 ? ?1 )
于是 tan? ?

tan? 2 ? tan?1 k ? k1 ? 2 1 ? tan? 2 tan?1 1 ? k 2 k1

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4.直线 l1 , l 2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

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根据两直线的夹角定义可知,夹角在(0°,90°]范围内变化,所以夹角正切值大于或等于 0. 故可以由 l1 到 l 2 的角取绝对值而得到 l1 与 l 2 的夹角公式.这一公式由夹角定义可得 三、讲解范例: 例 1 求直线 l1 : y ? ?2 x ? 3, l 2 : y ? x ?
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3 的夹角(用角度制表示) 2

例 2 求过点 P(-5,3)且与直线 x+2y-3=0 的夹角为 arctan2 的直线 l 的方程. 说明:上两例应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握. 例 3 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,底边所在直线 l 2 的方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,点 (-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线 l 3 的方程 例 4 三角形的三个顶点是 A(6,3),B(9,3),C(3,6),求它的三个内角的度数. 四、课堂练习: 1.求下列直线 l1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角: (1) l1 : y =

1 x +2; l 2 : y =3 x +7; 2
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(2) l1 : x - y =5; l 2 : x +2 y -3=0 2.求下列两条直线的夹角: (1) y =3 x -1, y =-

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1 x +4; 3

(2) x - y =5; y =4. (3)5 x -3 y =9,6 x +10 y +7=0. 3.已知直线 l 经过点 P(2,1) ,且和直线 5 x +2 y +3=0 的夹角等于 45°,求直线 l 的方程. 五、小结 :通过本节学习,要求大家掌握两直线的夹角公式,并区分与 l1 到 l 2 的角的联系与区别, 能够利用它解决一定的平面几何问题 六、课后作业: 七、板书设计(略)
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