第三章 导数及其应用3.2


3.2

导数与函数的单调性、 极值、最值

第三章

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -2-

考纲要求 1.了解函数单调性和导数 的关系,能利用导数研究函 数的单调性,会求函数的单 调区间(其中多项式函数一 般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极 值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大 值、极小值(其中多项式函 数一般不超过三次);会求 闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数不 超过三次).

题 型

五年考题统计

命题规律 导数与函数的单 调性、极值、最值问 题是高考考查的重点 内容,主要考查导数的 相关知识,知识的载体 主要是基本初等函数, 综合“把关题”是其考 查的主要题型.考查的 角度主要有:(1)利用 导数研究函数的单调 性、极值、最值问 题;(2)函数、导数与 不等式、方程等的综 合问题;(3)以函数为 载体的实际应用题.

选 择 题 解 答 题

2010 全国,文 21 2011 全国,文 21 2012 全国,文 21 2013 全国Ⅰ,文 20 2013 全国Ⅱ,文 21 2014 全国Ⅰ,文 12 2014 全国Ⅰ,文 21 2014 全国Ⅱ,文 11 2014 全国Ⅱ,文 21

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 3 -3-

1.函数的单调性与导数 函数 y=f(x)在(a,b)内可导,则 f'(x)>0?f(x)在(a,b)上为 增函数 ; f'(x)<0?f(x)在(a,b)上为 减函数 . 2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值: 若函数 y=f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函 数值 都小 ,且 f'(a)=0,而且在点 x=a 附近的左侧 f'(x)<0 ,右 侧 f'(x)>0 ,则点 a 叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. (2)函数的极大值: 若函数 y=f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函 数值 都大 ,且 f'(b)=0,而且在点 x=b 附近的左侧 f'(x)>0 ,右 侧 f'(x)<0 ,则点 b 叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值, 极大值 和 极小值 统称为极值.

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 4 -4-

3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x),在[a,b]上必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数 f(x) 不一定 有最大值 与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的 ②将 f(x)的各 极 最小的一个是最小值.
极 值;

值与

f(a),f(b)

比较,其中最大的一个是最大值,

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 5 -51 2 3 4 5 6

1.判断下列结论的正误,正确的请打“”,错误的打“×”. (1)若函数 f(x)在(a,b)内恒有 f'(x)>0,那么 f(x)在(a,b)上单调递增;反之, 若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f'(x)>0.( (2)函数 y= x2-ln x 的单调减区间为(-1,1).(
1 2

) ) )

(3)在函数 y=f(x)中,若 f'(x0)=0,则 x=x0 一定是函数 y=f(x)的极值.( (4)函数的极大值不一定比极小值大.( 值.( )
(5)√

)

(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小
关闭

(1)× (2)× (3)× (4)√

答案

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 6 -61 2 3 4 5 6

2.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调减区间是( A.(2,+∞) B.(0,2) C.( 2,+∞)

4

) D.(0, 2)

关闭

f'(x)=1- 2 .令 f'(x)<0, ∴ 1 > 0, ∴0<x<2,
4 < 0, 2
关闭

4

B ∴ f(x)的单调减区间为(0,2).
解析 答案

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 7 -71 2 3 4 5 6

3.已知函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f'(x)在(a,b)内的图象如 图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

关闭

导函数 f'(x)的图象与 x 轴的交点中,左侧图象在 x 轴下方,右侧图象在 x 轴上方的只有一个, 故选 A. 关闭

A
解析 答案

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 8 -81 2 3 4 5 6

4.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点

)

关闭

∵f(x)=xex, ∴f'(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴当 f'(x)>0,即 ex(1+x)>0 时,x>-1,∴当 x>-1 时,函数 y=f(x)为增函数. 同理可求,当 x<-1 时,函数 f(x)为减函数.
关闭

D ∴当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值.
解析 答案

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 9 -91 2 3 4 5 6

5.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值是( A.0 B.
1 2

1 2

) D.不存在

C.1

关闭

1 2 -1 f'(x)=x- = ,且 x>0.

令 f'(x)>0,得 x>1;令 f'(x)<0,得 0<x<1.

关闭

B f(x)在 x=1 时取得最小值 f(1)= -ln 1= . 故
解析 答案

1 2

1 2

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知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 10 -101 2 3 4 5 6



6.若函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围 .

关闭

f'(x)=3x2+a,且 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 则 f'(x)=3x2+a≥0 在(1,+∞)上恒成立,
关闭

[-3, )2 在(1,+∞)上恒成立.故 a≥-3. 即 a+ ≥∞ -3x

解析

答案

第三章
知识梳理 双击自测

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 11 -111 2 3 4 5 6

自测点评 1.“f'(x)>0 在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的
充分不必要条件. 2.对于可导函数 f(x),“f'(x0)=0”是“函数 f(x)在 x=x0 处有极值”的必要不 充分条件. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类 讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值 之间没有必然的大小关系.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 12 -12-

考点一利用导数研究函数的单调性
(2014 大纲全国,文 21)函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -13-

解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0 的判别式 Δ=36(1-a). ①若 a≥1,则 f'(x)≥0,且 f'(x)=0 当且仅当 a=1,x=-1. 故此时 f(x)在 R 上是增函数. ②由于 a≠0,故当 a<1 时,f'(x)=0 有两个根:x1= 故 f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数; 当 x∈(x2,x1)时,f'(x)<0,故 f(x)在(x2,x1)上是减函数; 若 a<0,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f'(x)<0, 故 f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减函数; 当 x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,故 f(x)在(x1,x2)上是增函数.
-1+ 1-

,x2=

-1- 1-

.

若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞)时,f'(x)>0,

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -14-

(2)当 a>0,x>0 时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时,f(x)在区间(1,2)上是增函 数. 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)上是增函数当且仅当 f'(1)≥0 且 f'(2)≥0,解得 - ≤a<0. 综上,a 的取值范围是 - ,0 ∪(0,+∞).
5 4 5 4

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -15-

方法总结 1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域 → 求导数 f'(x) → 求 f'(x)=0 在定义域内的根 → 用求得的根划 分定义区间 → 确定 f'(x)在各个开区间内的符号 → 得相应开区间上的单调 性 提醒:当 f(x)不含参数时,也可通过解不等式 f'(x)>0(或 f'(x)<0)直接得到 单调递增(或递减)区间. 2.导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求 f'(x); (2)确认 f'(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:当 f'(x)>0 时为增函数;当 f'(x)<0 时为减函数.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -16-

3.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件得 f'(x)≥0(或 f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解. 提醒:函数 f(x)在(a,b)内单调递增(减),则 f'(x)≥(≤)0;“f'(x)>0”是“f(x)在 (a,b)内单调递增”的充分不必要条件.

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考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -17-

对点练习 设 f(x)=a(x-5) +6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))
2

处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
解:(1)因 f(x)=a(x-5)2+6ln x, 故 f'(x)=2a(x-5)+ . 令 x=1,得 f(1)=16a,f'(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在 切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= .
1 2 6

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -18-

(2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), f'(x)=x-5+ =
6 (-2)(-3) .

1 2

令 f'(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f'(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时,f'(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3.
9 2

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -19-

考点二利用导数研究函数的极值
已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范 围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f'(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f'(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -20-

(2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f'(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=t由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)=x+ (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2 2,+∞); 当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+∞).
2 () 2 =t+ =t-2+ +3. '() -2 -2

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -21-

方法总结 利用导数研究函数的极值的一般流程:

提醒:导函数的零点并不一定就是函数的极值点,即“f'(x0)=0”是“可导 函数 f(x)在 x0 处取得极值”的必要不充分条件.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -22-

对点练习 设
4 3

e f(x)= ,其中 1+2

a 为正实数.

(1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
解:对 f(x)求导得
4 3
2 x 1+ -2ax f'(x)=e · .① (1+2 )2

(1)当 a= 时,令 f'(x)=0, 则 4x2-8x+3=0, 解得 x1= ,x2= .结合①,可知
3 2 1 2

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -23-

x f'(x) f(x)
3 2

1 -∞, 2 + ↗
1 2

1 2 0 极大 值 -

1 3 , 2 2 0

3 2

3 ,+∞ 2 + ↗



极小 值

所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f'(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 1+ax2-2ax≥0 在 R 上恒成立,即 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 所以 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -24-

考点三利用导数研究函数的最值
(2014 浙江,文 21)已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若 f(x)在[-1,1]上的最 小值记为 g(a). (1)求 g(a); (2)证明:当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.
(1)解:因为 a>0,-1≤x≤1,所以 ①当 0<a<1 时, 若 x∈[-1,a],则 f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0, 故 f(x)在(-1,a)上是减函数; 若 x∈[a,1],则 f(x)=x3+3x-3a,f'(x)=3x2+3>0,故 f(x)在(a,1)上是增函数. 所以 g(a)=f(a)=a3.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -25-

②当 a≥1 时,有 x≤a, 则 f(x)=x3-3x+3a, f'(x)=3x2-3<0. 故 f(x)在(-1,1)上是减函数, 所以 g(a)=f(1)=-2+3a. 3 ,0 < a < 1, 综上,g(a)= -2 + 3, ≥ 1.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -26-

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(a), ①当 0<a<1 时,g(a)=a3. 若 x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得 h'(x)=3x2+3,则 h(x)在(a,1)上是增函数, 所以,h(x)在[a,1]上的最大值是 h(1)=4-3a-a3,且 0<a<1,所以 h(1)≤4. 故 f(x)≤g(a)+4. 若 x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3,得 h'(x)=3x2-3,则 h(x)在(-1,a)上是减函数,所 以,h(x)在[-1,a]上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3. 令 t(a)=2+3a-a3, 则 t'(a)=3-3a2>0. 知 t(a)在(0,1)上是增函数. 所以,t(a)<t(1)=4,即 h(-1)<4. 故 f(x)≤g(a)+4.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -27-

②当 a≥1 时,g(a)=-2+3a, 故 h(x)=x3-3x+2,得 h'(x)=3x2-3, 此时 h(x)在(-1,1)上是减函数, 因此 h(x)在[-1,1]上的最大值是 h(-1)=4. 故 f(x)≤g(a)+4. 综上,当 x∈[-1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -28-

方法总结 1.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如
下: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值. 2.若函数中含有参数,要具有分类讨论的思想意识.

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -29-

1 对点练习 已知定义在正实数集上的函数 f(x)= x +2ax,g(x)=3a ln 2
2 2

x+b,其中 a>0.设两曲线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. 试用 a 表示 b,并求 b 的最大值.
32 解:f'(x)=x+2a,g'(x)= ,

由题意知 f(x0)=g(x0), f'(x0)=g'(x0),即
1 2 2 0

+ 2a0 = 32 ln 0 + b, 0 + 2a =
32 . 0

32 由 x0+2a= ,得 x0=a 或 x0=-3a(舍去). 0 1 5 则有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a. 2 2

第三章
考点一 考点二 考点三

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -30-

令 h(t)= t2-3t2ln t(t>0), 则 h'(t)=2t(1-3ln t). 于是当 t(1-3ln t)>0, 即
1 0<t<e3 时,h'(t)>0;

5 2

当 t(1-3ln t)<0, 即 h'(t)<0. 故
1 t>e3 时, 1 h(t)在(0,e3 )上为增函数,

1 在(e3 ,+∞)上为减函数,

于是 h(t)在(0,+∞)上的最大值为

1 3 2 h(e3 )= e3 ,即

2

3 2 b 的最大值为 e3 . 2

第三章
核心规律 满分策略

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -31-

1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值,可列表观察函数的变化情 况,直观而且条理,减少失分. 2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的 大小.

第三章
核心规律 满分策略

3.2

导数与函数的单调性、极值、最值 -32-

1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的 定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比 较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f'(x)=0 时 的情况,正确区分极值点和导数为 0 的点.

请做《考点规范练 14》


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