浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


2015学年
慈溪中学

第一学期

期中检查高三(理科)班数学试卷

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? Z ,集合 A ? {1, 2} , A U B ? {1, 2,3, 4} ,那么 (CU A) I B =( A. ? B. )

{x ? Z x ? 3}

C .

{1, 2}

D. {3, 4} ( )

2.给出下列 3 个命题,其中正确的个数是 ①若“命题 p ? q 为真”,则“命题 p ? q 为真”; ②命题“ ?x ? 0, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? 0, x0 ? ln x0 ? 0 ”; ③“tanx>0”是"sin2x>0"的充要条件 . A.1 个 B.2 个 C. 3个 D.0 个

3.若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 A.大于 5 4. 若函数 f ?x ? ? sin 则 ? 的取值范围为 A. ? ? 2 5.已知正实数 a , b 满足 B. ? ? 2 C. ? ? 3 D. ? ? 3
2

( D. 至多等于 3



B. 等于 5

C. 至多等于 4

??x?? ? 0? 的图象在区间 ?0, ? 上至少有两个最高点,两个最低点, ? 2?
( )

? 1?

1 2 ? ? 3 ,则 ?a ? 1??b ? 2? 的最小值是 ( ) a b 16 49 50 A. B. C. D. 6 9 3 9 ?x ?2 ?a, a ? b ? 6.定义 max{a, b} ? ? , 设实数 x , y 满足约束条件 ? , 则z ?m a x { 4 x? , 3y x }? y y ? 2 ?b, a ? b ? ?
的 取值范围是 A. ( B.
?



[?7,10]

[?8,10]

C.

[?6,8]

D.

[?7,8]
?

7.已知异面直线 a , b 成 60 角, A 为空间中一点,则过 A 与 a , b 都成 45 角的平面 ( A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个



? x 2 ? 2 x, x?0 1 ? 8.已知函数 f(x)= ? ,当 x∈时,关于 x 的方程 f(x)=x ? 的所有解 5 ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
的和为 A.9801 B. 9950 C.10000 D.10201 ( )

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分. 9. 已知双曲线 C 的离心率为 2, 它的一个焦点是 (0,2) , 则双曲线 C 的标准方程为 渐近线的方程是 . ,

? 1 ln , x ? 0 ? ? x 10. 已知 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (e)) ? ?1 , x ? 0 ? ?x

;不等式 f ( x) ? ?1 的解集为

11.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角 为 120 ; 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120 ;??;依此规律得到 n 级分形图.
? ?

1 的 3

(I) 4 级分形图中共有

_ _ 条线段;

(II) n 级分形图中所有线段长度之和为_ _ _ 12.已知非零向量 a, b, c 满足 a ? 1, a ? b ? a ? b ? 2 , (c ? a) ? (c ? b) ? 3 ,则 c 的最小值 是 ,最大值是

13.已知某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则该几何体表 . 面积 是 ..

cm 2 。
2

14.设 F 是抛物线 C :y ? 4 x 的焦点, 过 F 的直线 l 交抛物线 C 于

A , B 两点,当 AB ? 6 时,以 AB 为直径的圆与 y 轴相交所得弦
长是

15.已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c 满足 b ? c ? 2a , c ? a ? 2b ,则

b 的取值范围是 a



三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 15 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

cosC ? (cos A?
(1)求角 B 的大小;

3 sin A ) cos B?

0

(2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围.

17.(本题满分 15 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,底

?ADC ? 60 ,点 P 在底面 ABCD 上的射影为 Δ ACD 的重心, 面 ABCD 是菱形, 点 M 为线段 PB
?

上的点. (1)当点 M 为 PB 的中点时,求证:PD//平面 ACM; (2)当平面 CDM 与平面 CBM 所成锐二面角的余弦值为

2 BM 时,求 的值. 3 BP
P

M D A C B

18. (本题满分 15 分)设椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 , F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,过椭圆右焦 4 3

点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交于 M , N 两点.

???? ? ???? (I)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理
由;

(II)若 AB 是椭圆 C1 经过原点 O 的弦,且 MN // AB ,求证:

| AB |2 为定值. | MN |

19(本题满分 15 分)设函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? x ?1 ? a ? x ? 2 ? 4 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最小值 (II)对 ?x ? R, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2 20(本题满分 14 分)设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,
*

与曲线 y ?

1 x 的交点为 N ( , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . n

(Ⅰ)求证: an ? an?1 ? 2 ; (Ⅱ)设 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , Tn ? 1 ?

1 1 1 7 S ? 2n 3 ? ? ? ? ,求证: ? n ? . 2 3 n 5 Tn 2

高三数学(理科)评分标准与参考答案 一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C

二、填空题(9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9. y ﹣
2

y ? ? 3x
2 9 ? 9( ) n 3
14. 2 5

10. ?1 12. 1

(??, ?1) ? (0, e)
3

11. 45

13. 124? 2 34

15.

? 2 3? ? , ? ? 3 2?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.解(1)由已知得 ? cos(A ? B) ? cos Acos B ? 3sin Acos B ? 0 ,即

sin Asin B ? 3sin Acos B ? 0 .因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,
所以 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2 2 2

? . 3

??7 分

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B ,因为 a ? c ? 1 , cos B ?

1 ,所以 2

1 1 1 1 b 2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? b 2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . ??15 分 2 4 4 2

18.解: (1)设AC、BD的交点为I,连结MI, 因为I、M分别为BD、BP 的中点,所以PD//MI, 又 MI 在平面 ACM 内,所以 PD//平面 ACM; ????5 分
D A C B P

M

(2)设 CD 的中点为 O,分别以 OA、OC 为 x 轴、y 轴, 过 O 点垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则

3 2 6 ), A( 3,0,0) , B( 3,2,0) , C (0,1,0) , D(0,?1,0) , P( ,0, 3 3
设 BM ? ? BP(0 ? ? ? 1) , 则 CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? ( 3 ? ??7 分

2 3 2 6 ? ,1 ? 2? , ?) , 3 3

DC ? (0,2,0) , BC ? (? 3,?1,0)

??10 分

? 设平面 CBM 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 n ? CM 且 n ? CB ,

{

( 3?

2 3 2 6 ? ) x2 ? (1? 2 ? ) y2 ? ? z2 ? 0 3 3 3x2 ? y2 ? 0

令 x2 ? 1, 则 n ? (1, ? 3, ? 2)

?

???????12 分

所以 | cos ? m, n ?|?

| m?n | | m || n |

?

3 2 2? ? 24?2 ? 24? ? 18 3 6? 4?
??15 分

1 3 解得? ? 或 4 4

, ?

BM 1 3 ? 或 BP 4 4

19、解:(I)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ???? ? ???? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
=
2 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ? k ( ? ? 1) ? ? ?2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) 或 y ? ? 2( x ? 1) ??????8 分 (II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) 由(II)可得: |MN|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]

= (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) . ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x2 ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?

48(1 ? k 2 ) | AB | 3(1 ? k ) 3 ? 4k 2 ? 4 为定值????15 分 |AB|= 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 ,∴ ? | MN | 12( k 2 ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2
2

2 ? ?x ? 4x ? 8 2 a ? 1 19、解(Ⅰ)当 时, f ? x ? ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 ? 4 ? ? 2 ? ?x

x?2 x?2

?3 分

x ? 2 时 f ? x ? ? x2 ? 4x ? 8 ? ( x ? 2)2 ? 4 ? 4 x ? 2 时 f ? x ? ? x2 ? 0 ,? 当 x ? 0 时 f ? x ? 的最小值为 0?????7 分
(II)由 f ? 0? ? 0 , f ?1? ? 0 即 1 ? a ? 2 , a ? 2 ,得 ?2 ? a ? 1 又当 ?2 ? a ? 1 时, ⅰ)若 x ? 2 , f ? x ? ? x2 ? 4x ? a ? 7 ? ( x ? 2)2 ? 3 ? a ? 3 ? a ? 0
2 2 ⅱ)若 1 ? a ? x ? 2 , f ? x ? ? x ? 2x ? a ? 3 ? ( x ?1) ? 2 ? a ? 2 ? a ? 0

?????9 分 ????11 分

ⅲ)若 x ? 1 ? a , f ? x ? ? x ? a ?1 ? 1 ? a ? 0
2

综上可知 ?2 ? a ? 1 时,对 ?x ? R, f ? x ? ? 0 恒成立。故 a ?? ?2,1? ????15 分 解: (Ⅰ)由点 N 在曲线 y ?

1 1 ), x 上可得 N ( , n n
1 n ?1 n ?1 , ? 2 , Rn ? n n n

????????1 分

又点在圆 Cn 上,则 Rn ? ( ) ?
2 2

1 n

????????2 分

从而直线 MN 的方程为

x y ? ?1, an Rn

????????4 分

由点 N ( ,

1 n

1 1 1 n ?1 ? ? 1 ,将 Rn ? ) 在直线 MN 上得: 代入 n nan n n ? Rn 1 1 ? 1? . n n
????????6 分

化简得: an ? 1 ?

?1 ?

1 1 1 1 ? 1, 1 ? ? 1 ,??n ? N * , an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 n n n n 1 1 1 1 , ? 1? , 1? ? 1? n n ?1 n n ?1

????????7 分

又?1 ?

1 1 1 1 ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1? ? an?1 n n n ?1 n ?1
(Ⅱ)先证:当 0 ? x ? 1 时, 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ? 事实上, 不等式 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

????????8 分

x . 2

x 2

x ? [1 ? ( 2 ? 1) x]2 ? 1 ? x ? (1 ? ) 2 2

? 1 ? 2( 2 ? 1) x ? ( 2 ? 1) 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? x2 ? (2 2 ? 3) x ? ( 2 ? 1) x ? 0 ? 4
2 2

x2 4

后一个不等式显然成立,而前一个不等式 ? x ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1.
2

故当 0 ? x ? 1 时, 不等式 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

x 成立. 2
????????11 分

1 1 1 , ?1 ? ( 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 ? n n 2n

1 1 1 3 (等号仅在 n=1 时成立) ? 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? n n n 2n
求和得: 2n ? 2 ? Tn ? S n ? 2n ?

3 ? Tn 2
????????14 分

S ? 2n 3 7 ? ? 2? n ? 5 Tn 2


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