四川省普通高中新课程数学学科教学基本要求


附件 1-2 四川省普通高中新课程数学学科 教学基本要求(征求意见稿) 目录
说 明 ??????????????????????2 一、必修模块 数学 1??????????????????????3 数学 2??????????????????????8 数学 3??????????????????????17 数学 4??????????????????????24 数学 5??????????????????????30 二、选修模块(IA) 选修 1-1?????????????????????37 选修 1-2?????????????????????48 选修 2-1?????????????????????53 选修 2-2?????????????????????61 选修 2-3?????????????????????67

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《四川省普通高中新课程数学学科教学基本要求 (征求意见稿) 》 以教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》为依据,根据我 省普通高中数学学科教学实际,遵照《四川省普通高中新课程数学学 科教学实施指导意见(试行)》的具体要求,以知识点为单位,对课 程标准的各个模块的“内容标准”提出比较明确的、具体的教学“基 本要求”和“发展要求”以及相应的“教学建议”。 “内容标准”罗列了《普通高中数学课程标准(实验)》中该模 块的所有知识点,“基本要求”则对“内容标准”中的知识点按照三 维课程目标的要求进一步细化,并对学习目标提出具体、明确的学习 要求,是四川省普通高中毕业生数学学科学业水平考试的命题依据。 “发展要求”则对“内容标准”中部分知识点针对对数学学习有更高 兴趣和学习需求的学生提出较高的学习要求, 可以作为高中毕业生参 与选拔性考试的命题参考。“教学建议”是对教学策略、教学方式、 教学活动以及在教学中如何落实相关知识点、怎样把握教学的深度、 广度等提出相应的建议,希望教师们认真学习,遵照执行。 (说明:其中注有“*”的内容,是《四川省普通高中新课程数 学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容,不作为我省 普通高中毕业生学业水平考试和高考的考试内容, 供同学们和教师们 选学选教。)

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四川省普通高中新课程数学学科 教学要求(征求意见稿)
一、必修模块 数 学 1
本模块的内容包括集合、 函数概念与基本初等函数Ⅰ (指数函数、 对数函数、 幂函数) 作 . 为高中数学课程五个必修模块的第一个模块,它是学生学习其他模块的基础. 集合是数学的基本语言,是高中数学的基础.使用集合语言,可以简洁、准确地表达数 学的一些内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习,学生将学会使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言交流的能力. 函数是高中数学的核心概念,是描述客观世界变化规律的重要数学模型.研究函数的基 本性质不仅是解决实际问题的需要,也是数学本身的自然要求.研究函数性质过程中体现出 来的方法,也是数学学习和研究中经常使用的方法.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始 终.在本模块中,学生学习的指数函数、对数函数、幂函数是三类基本的、重要的典型初等 函数.通过学习基本初等函数,要求学生进一步深化函数概念的理解,熟悉函数性质的具体 应用,掌握研究函数性质的过程与方法;利用函数的图象和性质,了解函数的零点与方程根 的联系,学会用二分法求方程近似解的方法,体会函数与方程的有机联系;能初步运用函数 思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题, 结合实际问题, 感受运用函数建立函数模型 的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性和广泛应用. 学习要求 内容标准 1. 集 合 1. 集 基本要求 1. 通过实例,了解 集合的含义,体会元素 与集合的“属于”关系, 感受集合语言的意义和 作用. 2. 能 选 择 自 然 语 言、图形语言、集合语 言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 发展要求 教学建议 1. 教学中应注意只将集合作为一种 语言来学习,使学生感受用集合表示数 学内容的简洁性、准确性;帮助学生学 会用集合语言表示数学对象,培养学生 运用数学语言进行表达和交流的能力. 2.通过生活实例帮助学生直观了解 集合的涵义和有关概念,对集合元素的 “确定性、互异性、无序性”的教学不 宜编制繁、难、偏、怪的问题进行过分 的训练。 3.通过实例,帮助学生感悟、领会 集合的几种表示方法;如借助数轴表示 数的集合,借用平面直角坐标系表示有
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合的含 义与表 示

序实数对的集合. 4. 逐渐熟悉自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法)的特点及 相互转换,并能描述不同的具体问题. 2. 集 1.理解集合之间包 含与相等的含义,能识 别给定集合的子集. 2.在具体情境中, 了解空集的含义. 3.能使用 Venn 图表 达集合的关系,体会直 观图示对理解抽象概念 的作用. 3. 合 的基 本运 算 集. 3.能使用 Venn 图表 达集合的运算,体会直 观图示对理解抽象概念 的作用. 2. 函数 概念 与基 本初 等函 数I 1. 数 函 1. 通过丰富实例, 进一步体会函数是描述 变量之间的依赖关系的 重要数学模型,在此基 础上学习用集合与对应 的语言来刻画函数,体 会对应关系在刻画函数 概念中的作用;了解构 成函数的要素,会求一 些简单函数的定义域和 2.在实际情境中, 会根据不同的需要选择 恰当的方法 (如图象法、 列表法、解析法)表示 函数. 3.通过具体实例, 了解简单的分段函数, 1.能用 定义判断或 证明简单函 数的单调性 与奇偶性. 2. 通 过 函数的单调 性与奇偶性 的学习, 体会 自然语言、 图 语言的相互 转化. 3.能通 过函数图象 研究函数的 性质, 并能解 决一些具体 1.函数概念的教学应通过实例,体 会两个变量的依赖关系,引导学生用集 合与对应的语言刻画函数概念(强化概 念形成过程,形成丰富的函数例证). 2.利用初等方法求函数定义域和值 域须弱化. 3.强化学生的画图技能,会正确画 出一些简单函数的图象. 4.对于分段函数,应限制在规定的 几类简单分段函数上(在定义域的子集 上的函数为常数、一次函数、反比例函 数、二次函数的分段函数). 5.对单调性的概念教学,引导学生 会用数学符号语言将自然语言的描述提 升到形式化的定义; 强调函数的单调区 间是其定义域的子集. 6.函数在某区间上的最大(小)值 仅限于一次函数、二次函数、简单的分 集 1.理解两个集合的 并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集 与交集. 2. 理 解 补 集 的 含 义,会求给定集合的补 能使用 集合语言表 述、 解决一些 简单的数学 问题, 渗透数 形结合、 化归 与转化的思 想. 用图形 语言、 符号语 言、 文字语言 理解相关概 念的本质、 联 系及区别. 1.在集合间的包含关系的教学时, 应结合具体例子,建议先让学生自己观 察、发现相应的共同特点,然后再给出 包含关系的定义. 2. 尽量创设使学生运用集合语言进 行表达和交流的情境,使学生逐步掌握 集合语言. 3.要求学生能写出给定集合的子 集,但不要求证明. 1.借助图形(Venn 图和数轴)直观, 帮助学生理解集合的运算律及性质. 2.集合的基本运算只要求简单的 交、并、补运算,不要求拓展运算公式. 3. 集合的学习是一个循序渐进的过 程, 高一教学不宜一开始就拓展加深, 应该在以后各章节的教学中不断进行巩 固和深化. 合间的 基本关 系

值域; 了解映射的概念. 形语言、 符号

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并能简单应用. 4.通过已学过的函 数特别是二次函数,理 解函数的单调性、最大 (小) 值及其几何意义; 结合具体函数,了解奇 偶性的含义. 5.学会运用函数图 象理解和研究函数的性 质. 1. 通 过 具 体 实 例 (如细胞的分裂,考古 中所用的 14C 的衰减, 药物在人体内残留量的 变化等) 了解指数函数 , 模型的实际背景. 2. 理 解 有 理 指 数 幂的含义,通过具体实 例了解实数指数幂的意 义,掌握幂的运算. 3. 理 解 指 数 函 数 的概念和意义,能借助 计算器或计算机画出具 体指数函数的图象,探 索并理解指数函数的单 调性与特殊点. 4. 在 解 决 简 单 实 际问题的过程中,体会 指数函数是一类重要的 函数模型. 1.理解对数的概念 及其运算性质,知道用 换底公式能将一般对数 转化成自然对数或常用 对数;通过阅读材料, 3. 对 数函数 了解对数的发现历史以 及对简化运算的作用. 2.通过具体实例, 直观了解对数函数模型 所刻画的数量关系,初 步理解对数函数的概 念,体会对数函数是一 类重要的函数模型;能

的问题.

段函数、分式型函数或易知单调性的简 单函数.

借助指 数函数的图 象, 认识图象 的平移变换.

2. 指数 函数

1.在指数幂的教学中,要注意控制 分数指数幂运算的难度. 2.教学中要让学生体会“用有理数 逼近无理数”的思想. 3.指数函数定义中对底数 a(a>0, 且 a≠1)规定的合理性要做出解释 (也是一 种正难则反的数学策略和意识). 4.能熟练画出指数函数的图象,通 过图象加深对其性质的理解与掌握. 5.结合教材中的实际问题,充分体 现数学的应用价值,逐步加深数形结合 思想、分类与整合思想的渗透与应用. 6.进一步渗透研究函数的一般思路 和方法。

1. 借 助 对数函数的 图象, 认识图 象的平移、 对 称变换. 2. 通 过 对数函数与 指数函数的 对比学习, 渗 透“类比”的 思想和方法. 3. 通 过 对函数概念,

1.对数概念的学习要注意与指数概 念的联系,它们是同一关系从不同角度 的刻画,要让学生能熟练进行指数式与 对数式的互化. 2.对数运算法则的探究,可通过具 体实例,猜想、归纳出运算法则,进而 引导学生利用指数式与对数式的关系来 完成证明. 3.认识对数运算的优越性,强化使 用对数运算法则的条件,加强对数的运 算训练(教学中应加强对数的符号运算 和逻辑推理运算); 对数换底公式的运用 被明确提出,要求能用换底公式将一般

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借助计算器或计算机画 出具体对数函数的图 象,探索并了解对数函 数的单调性与特殊点. 3. 知 道 指 数 函 数 y=a 与对数函数 y=loga x 互为反函数(a > 0, a≠1) .
x

指数函数和 对数函数的 学习,体会和 总结研究与 学习函数的 一般方法.

对数转化成自然对数或常用对数. 4.强化函数定义域对函数性质的影 响; 注意对底数 0 ? a ? 1 和 a ? 1 的分类 讨论. 5.不强化利用初等方法研究复合函 数的性质. 6. 指数函数与对数函数的性质都是 通过图象直观展现、归纳出来的,教学 中要深化分类讨论、数形结合的数学思 想.

1. 通过实例, 了解 幂函数的概念. 2.结合函数 4. 幂 函数
y ? x, y ? x ,
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仅学习教材上内容即可,不需做扩 展或补充.

y ? x ,y ?
3

1 x

1

, y ? x2

的图象,了解它们的变 化情况. 1.体会二 1.结合二次函数的 图象,判断一元二次方 程根的存在性及根的个 数,从而了解函数的零 5. 函数 与方程 点与方程根的联系. 2.根据具体函数的 图象,能够借助计算器 用二分法求相应方程的 近似解,了解这种方法 是求方程近似解的常用 方法. 分法所涉及 的近似的思 想、 逼近的思 想、 算法的思 想. 2. 了 解 函数与相应 方程之间的 联系与区别, 体会化归于 转化、 数学相 结合、 函数与 方程的思想. 1.利用计算工具, 比较指数函数、对数函 数以及幂函数增长差 6. 函数 模型及 其应用 异;结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数 增长等不同函数类型增 长的含义. 2.收集一些社会生 活中普遍使用的函数模 型(指数函数、对数函
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1. 对函数与方程的关系可先从一元 二次方程与相应的二次函数入手,利用 二次函数的图象建立一元二次方程的根 与二次函数的零点的联系,然后推广到 一般情形. 2. 要注意引导学生加强知识之间的 联系,如函数、方程、不等式等内容之 间的关联,渗透函数与方程的思想.

掌握建 立函数模型 解决实际问 题的一般方 法和过程.

1.在教学中通过对具体实例的探 究,归纳概括所发现的结论或规律,并 能用准确的数学语言进行表达,有意识 的渗透算法思想. 2.根据图表数据信息,建立拟合函 数解决实际问题,逐步提高学生数据处 理的能力,渗透数学建模的思想. 3.对于函数的应用可分为三类, 一 是已知函数模型;二是根据题设建立函 数模型;三是根据数据选取函数类型进

数、幂函数、分段函数 等)的实例,了解函数 模型的广泛应用.

行拟合.函数的应用还应注意检验是否 符合客观实际.对于拟合函数模型的教 学要求,教师可以通过计算机演示,让学 生知道、了解拟合函数模型在解决实际 问题中的意义及模型化过程,不做更深 入的探讨.

根据某个主题,收 集 17 世纪前后发生的 一些对数学发展起重大 作用的历史事件和人物 (开普勒、伽利略、笛 卡儿、牛顿、莱布尼茨、 7. 实 习 作业 欧拉等)的有关资料或 现实生活中的函数实 例,采取小组合作的方 式写一篇有关函数概念 的形成、发展或应用的 文章,在班级中进行交 流.具体要求参见数学 文化的要求.

通过实习作业,让学生了解数学发 展的历史,体现数学的文化价值.

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数 学2
本模块的内容包含立体几何初步、平面解析几何初步. 在立体几何初步部分, 学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间 图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数 学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证.学生还将了 解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法. 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质, 体现了数形结合的重要 数学思想.在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程, 运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系. 体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力.
内容标准 1.立 体几 何初 步 1. 空 间 几 何 体 学习要求 基本要求 1.利用实物模型、 计算机软件观察大量空 间图形,认识柱、锥、 台、球及其简单组合体 的结构特征;能运用这 些结构特征描述现实生 活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间 图形(棱柱、棱锥、圆 柱、圆锥、球等的简易 组合)的三视图,能识 别上述的三视图所表示 的立体模型;能使用纸 板等材料制作简单空间 图形(例如长方体、圆 柱、圆锥等)的模型, 会用斜二测法画出它们 的直观图. 3.通过观察用平行 投影与中心投影这两种 方法画出的视图与直观 图,了解空间图形的两 种不同表示形式(三视 图和直观图) 了解三视 , 图、直观图与它们所表 示的立体模型之间的内 在联系. 4.完成实习作业, 发展要求 1. 学 会 用 运 动、变化、联 系的观点了 解柱、锥、台 的联系和区 别. 2.了解和正方 体、球有关的 简单组合体; 3.能根据条件 判断几何体 的类型, 提高 观察、分析、 抽象、归纳等 认知能力,体 会分类、类比 等思想方法. 4.能识别长方 体、 圆柱、 球、 圆锥、棱柱以 及它们的简 单组合的三 视图所表示 的空间几何 体; 5.理解三视图 和直观图的 联系,并能进 行转化;理解
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教学建议 1.教学时注意与义务教育阶段课程 的衔接.了解了本章内容、要求与义务 教育阶段数学课程“空间与图形”部分的 内容、要求的联系与区别,教学时要注 意与平面几何的联系,可以引导学生在 与平面几何的类比过程中,提出立体几 何研究的问题及其研究方法. 2.教师在认识空间几何体的教学中 应遵循先整体后局部,先直观后抽象的 原则. “空间几何体的结构”的教学应向 学生展示大量几何体的实物、模型并利 用信息技术工具,给学生展现丰富多彩 的图形世界.在比较中形成对柱、 台、 锥、 球结构特征的直观认识,在此基础上引 导学生观察、归纳、抽象、概括出它们 的结构特征,并能运用这些特征描述现 实生活中简单物体的结构. 3.通过变式、反例,提高学生对集合 体的认识,进一步引导学生应用简单几 何体的特征,描述现实生活中的物体的 结构。 4.结合具体事例, 讲解中心投影与平 行投影的区别,重点讲平行投影;抓住 投射线与投射面的关系来区分正投影、 斜投影两类不同的平行投影.通过实验 演示,直观感知平行投影的基本性质. 5.结合几何模型,画出长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱等空间几何体及其简 单组合体的三视图,再次基础上,要求

会画某些简单实物的三 视图与直观图(在不影 响图形特征的基础上, 直观图的尺寸、线条等 不作严格要求). 5.了解球、棱柱、 棱锥、台的表面积和体 积的计算公式(不要求 记忆公式).

斜二侧画法 是一种特殊 的平行投影 画法. 6. 会 利 用 球、柱体、椎 体、台体及简 单组合体的 三视图、直观 图求球、柱 体、椎体、台 体及简单组 合体的表面 积和体积. 7. 掌握把多 面体或圆台 的侧面展成 平面图形的 方法,初步体 会把空间图 形化归为平 面图形解决 问题的思想.

识别和还原三视图所表示的立体模型. 6.通过实例教学, 归纳总结出用斜二 测画法画水平放置的平面图形的直观 图的方法和步骤. 7. “空间几何体的表面积和体积”的 教学要重在方法,根据结构特征并结合 展开图推导表面积公式,将义务教育阶 段习得的体积公式推广到一般柱体、锥 体的体积公式,并最终把他们都统一到 台体的体积公式下,了解分割的数学思 想.本章在球的表面积和体积公式的推 导过程中利用了极限的思想,但不作为 教学要求.有兴趣的同学和学有余力的 同学可以了解整个推导过程,了解极限 的思想方法在处理这方面问题的作用. 8.通过不同的方式得到有关多媒体 的展开图,进而加深对表面积的概念的 理解,体会把空间图形转化为平面图形 解决问题的思想.可以鼓励学生课后自 主探究圆台表面积公式的推导过程.相 关表面积公式不要求记忆. 9.运用类比联想的方法得到一般柱 体、 椎体的体积公式, 并通过动手实践, 利用模型装水或沙等方法获得柱体与 椎体体积之间的关系.通过柱、锥、台结 构特征之间的关系,把柱、锥、台的体 积公式统一于台的体积公式之下. 10.在本章教学中通过现代信息技术, 如计算机、网络等展示丰富的图片,让 学生感受大量的实物,抽象出空间几何 体及其结构特征,动态演示空间几何体 的三视图和直观图,认识立体图形与平 面图形的关系,帮助学生建立空间观 念, 提高空间想象能力和几何直观能力. 学好立体几何需要学生能够多动手画 一画、 做一做.从不同的角度观察空间图 形,体会空间几何体在不同的视角下的 结构特征.因此, 有条件的地方应尽可能 使用信息技术,帮助学生更好地学习, 达到较好的教学效果. 1.通过实际问题,引入平面概念,并 注意与直线的概念进行比较. 2.通过直观感知、 操作确认理解三个 公理.并加强图形语言、 符号语言和文字

2. 线、

1. 了 解 平 面 的 概 2. 借 助 长 方 体 模

点、 念。

1.会证明两条 直线是异面 直线;

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面 之 间 的 位 置 关 系

型,在直观认识和理解 空间点、线、面的位置 关系的基础上,抽象出 空间线、面位置关系的 定义,并了解如下可以 作为推理依据的公理和 定理. ◆公理 1:如果一 条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线 在此平面内. ◆公理 2:过不在 一条直线上的三点,有 且只有一个平面. ◆公理 3:如果两 个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且 只有一条过该点的公共 直线. ◆公理 4:平行于 同一条直线的两条直线 平行. ◆定理:空间中如 果两个角的两条边分别 对应平行,那么这两个 角相等或互补. 3.以立体几何的上 述定义、公理和定理为 出发点, 通过直观感知、 操作确认、思辨论证, 认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质 与判定. 通过直观感知、操 作确认,归纳出以下判 定定理. ◆平面外一条直线 与此平面内的一条直线 平行,则该直线与此平 面平行. ◆一个平面内的两 条相交直线与另一个平

2.学会将空间 问题转化为 平面问题的 思想方法. 3.发展空间想 象能力、推理 论证能力、运 用图形语言 进行交流的 能力、几何直 观能力.

语言教学的力度,提高对公理所蕴涵的 数学本质的理解, 加强数学语言的教学. 3.与以往的立体几何教学要求相比, 本章在几何推理证明的难度上有所降 低.本章淡化了几何证明的技巧, 不对直 线、平面位置关系的判定定理进行逻辑 推理证明,减少了定理的数量,删去了 一些几何证明题.同时, 通过改变知识的 逻辑顺序,把空间图形的整体认识和把 握作为立体几何的学习起点,加强了直 观感知和操作确认的过程,使合情推理 得到加强,以使学生在立体几何学习中 的认识过程完整化,这对培养学生的几 何直观能力、空间想象力,发展他们的 空间观念有好处.本章是立体几何的学 习难点,教学中要充分使用长方体模 型,为学生理解直线、平面的位置关系 提供直观工具,从而降低立体几何的学 习难度.特别是关于直线、平面的平行、 垂直的判定定理及其应用, 应当把握“直 观感知、 操作确认”的要求, 不要在证明、 应用上做过多的文章,进一步的提高可 以在选修系列的学习中完成. 4. 对于公理 2 的教学,可补充介绍 以下三个推论,以增强学生空间想象能 力,提高对平面的基本性质的理解(但 不要求证明) ⑴经过一条直线和这条直线外的 一点,有且只有一个平面. ⑵经过两条相交直线,有且只有一 个平面. ⑶经过两条平行直线,有且只有一 个平面. 5.在教学过程中, 注意加强几何建模 以及探究过程,强调几何直观. 学习时,一方面引导学生从生活实 际出发,把知识与周围的事物联系起 来,另一方面,教师要引导学生经历从 现实的生活空间中抽象出空间图形的 过程,注重探索空间图形位置关系的判 定与性质的过程.比如,在有关直线、平 面平行与垂直判定定理的教学中,要注 重引导学生通过观察、操作、有条理的 思考和推理等活动,从多种角度认识直 线、平面平行与垂直的判定方法;在性 质定理的教学中,同样不能忽视学生从 实际问题出发, 进行探究的过程.要引导 学生借助图形直观,通过归纳、类比等 合情推理来探索直线、平面平行与垂直 的性质及其证明.

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面平行,则这两个平面 平行. ◆一条直线与一个 平面内的两条相交直线 垂直,则该直线与此平 面垂直. ◆一个平面过另一 个平面的垂线,则两个 平面垂直. 通过直观感知、操 作确认,归纳出以下性 质定理,并加以证明. ◆一条直线与一个 平面平行,则过该直线 的任一个平面与此平面 的交线与该直线平行. ◆两个平面平行, 则任意一个平面与这两 个平面相交所得的交线 相互平行. ◆垂直于同一个平 面的两条直线平行. ◆两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面 垂直. 4.能运用已获得的 结论证明一些空间位置 关系的简单命题.

点、线、面的位置关系是立体几何 初步中的重点内容,教学中应以长方体 模型中的点、线、面关系作为载体,使 学生在直观感知的基础上,认识空间中 一般的点、线、面之间的位置关系;通 过对空间图形的观察、实验、操作和思 辩,使学生了解平行、垂直关系的基本 性质以及判定方法,并能解决一些简单 的推理论证及应用问题, 培养学生的 合情推理和演绎推理能力.应注意引导 学生结合实际模型,学会将自然语言转 化为图形语言和符号语言,能做到准确 地使用数学语言表述几何对象的位置 关系.例如,教材中的公理、推论和定 理,都是用自然语言叙述的,教学中, 要帮助学生学会用图形语言和符号语 言来描述. 5.在教学中,要求对有关线面平行、 垂直关系的性质定理进行证明,使学生 体会证明的过程和方法;而线面平行、 垂直关系的判定定理只要求直观感知、 操作确认,教学中不要提高要求.教材 中的例题、习题中的结论(包括三垂线 定理)等不作为推理的依据. 6.关于空间中的“角”与“距离”, 只要求了解异面直线所成的角、直线与 平面所成的角、二面角及其平面角和点 到平面的距离、平行于平面的直线到平 面的距离、两个平行平面间的距离的概 念.对于这些角与距离的度量问题,只 要在长方体模型中进行说明即可,具体 计算不作要求. 7.教学中,要注意利用类比、联想 等方法,辨别平面图形和立体图形的异 同,理解两者的内在联系,并逐渐地让 学生感悟到,将空间问题转化为平面问 题是处理立几问题的重要思想. 8.恰当使用现代信息技术, 展示丰富 的空间图形.使用信息技术的目的是通 过演示、作图、验证等帮助学生认识几 何体的结构特征;为学生理解和掌握图 形的几何性质、探究几何性质等提供支 持, 提高学生的几何直观能力.在学生的 空间概念还比较薄弱的时候,特别是在 刚开始学习立体几何的阶段,如果能够 引导学生通过信息技术观察实物模型, 并根据模型进行分析,对帮助学生树立 空间概念将有极大的帮助.

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2.平 面解 析几 何初 步

1. 直 线 与 方 程

1.在平面直角坐标 系中,结合具体图形, 探索确定直线位置的几 何要素. 2.理解直线的倾斜 角和斜率的概念,经历 用代数方法刻画直线斜 率的过程,掌握过两点 的直线斜率的计算公 式. 3.能根据斜率判定 两条直线平行或垂直. 4.根据确定直线位 置的几何要素,探索并 掌握直线方程的几种形 式(点斜式、两点式及 一般式) 体会斜截式与 , 一次函数的关系. 5.能用解方程组的 方法求两直线的交点坐 标. 6.探索并掌握两点 间的距离公式、点到直 线的距离公式,会求两 条平行直线间的距离.

1.通过直观感知过一点的直线系中 直线的倾斜程度引入倾斜角概念并用 运动变化的观点理解其取值范围. 2.直线的斜率与倾斜角是平面解析 几何初步中的两个重要概念,要让学生 正确地理解这两个概念,知道它们之间 的联系与区别.结合义务教育学过的 “坡度”“坡角”及其关系引入斜率概 念、直线的倾斜角和斜率对应关系.结 合对确定直线的几何要素的回顾以及 2.通过平行和 “坡度”与“坡角”的关系比较自然地 垂 直 问 题 的 引导学生探究过两点的直线斜率的计 解决,感受用 算公式.由于学生尚未学习任意角的三 代 数 方 法 研 角函数,教学时要尽可能地通过计算器 究 几 何 图 形 (机) ,让学生观察并体会直线的倾斜 性质的思想. 角变化时,直线斜率的变化规律,以加 3.领悟直线之 深对这两个概念的认识与理解. 间位置关系 3. 通过两直线的斜率存在与否以 的研究方法, 及关系进行分类,系统掌握根据斜率关 进 一 步 体 会 系判断平行或垂直的方法. 解析几何的 4.在探求直线方程的过程中,要使 数 形 结 合 基 学生了解直线与方程的对应关系:直线 本思想. 上点的坐标都满足方程,以方程的解为 4.通过平几 坐标的点都在直线上.满足了这两点才 问题的解决, 可以说这个方程是直线的方程,这条直 进 一 步 体 会 线是这个方程的直线. 教学时让学生 建 系 、 坐 标 意识到这一点即可,而不必展开. 结合 化、用代数方 确定直线位置的几何要素的分析,展开 法 研 究 几 何 直线的方程的点斜式、两点式的教学, 问 题 的 基 本 并引申拓展它们的特例斜截式与截距 思想与步骤. 式,但不刻意要求机械记忆. 5.直线方程的教学,通过对直线方 程的点斜式、两点式及其特例的分析, 使学生了解引入直线方程一般式的必 要性,要使学生认识到各种形式都有其 适用条件与局限性,必须学会根据具体 条件灵活地加以选择,并注意全面考虑 问题.引导学生对斜率存在性的讨论, 培养学生思维的严密性; 直线到直线 的角、两直线的夹角不做要求; 通过直线的斜截式与一次函数进 行比较,指明方程中相关参数的几何意 义,以提升对一次函数以及平行直线系 1.理解直线 的倾斜角的 取值范围. 通过引导学 生对斜率存 在性的讨 论,培养学 生思维的严 密性;

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或共点直线系的理解,初步渗透直线系 的思想. 6.通过对直线的不同位置关系(平 行、相交、重合)与联立它们方程组成 的方程组解的情况进行比较归纳,得出 直线的位置关系与方程组的解情况之 间的内在关系.可通过作图直观验证求 两直线交点的代数方法的正确性,提高 学生自觉应用解方程组的方法求交点 的意识. 7.对距离公式的推导,重在算法 的设计与转化思想的体现,可从特殊到 一般加以探究.以简单的几何证明为载 体渗透建系、坐标化解决平面几何问题 的方法,重在体会用代数方法研究几何 问题的基本思想与步骤,理解解析几何 的本质,不宜要求太高. 两平行直线间的距离公式推导可 作为求点与直线的距离的补充范例,重 在渗透化归、特殊到一般的思想,提高 思辨论证能力,不要求学生记忆这个公 式. 8.教学时关注重要数学思想方法. 首先将几何问题代数化,用代数的 语言描述几何要素及其关系,进而将几 何问题转化为代数问题; “坐标法”应贯 穿平面解析几何教学的始终,帮助学生 不断地体会“数形结合”的思想方法.在 教学中应自始至终强化这一思想方法, 这是解析几何的特点. 9.平面解析几何是一门典型的数与 形结合的学科,信息技术在加强几何直 观,促使数与形结合方面有着特殊的作 用.借助信息技术,可以形象、直观地帮 助学生认识所研究的直线.在动态演示 中,观察直线的性质,在直观了解的基 础上,寻求形成这些性质的原因以及代 数表示.通过对方程的研究, 了解直线与 直线的关系时,运用信息技术,可以进 一步验证得到的结果,为抽象的认识增 添形象的支持. 2. 圆 与 方 程 1.回顾确定圆的几 何要素,在平面直角坐 标系中,探索并掌握圆 的标准方程与一般方 程. 1. 掌握圆的 标准方程与 一般方程的 互化方法,会 求圆的圆心、 1. 通过确定圆的几何要素分析,引 入圆的标准方程,进行知识的正迁移, 用坐标法重新研究圆的问题,通过运用 多种解法求以已知三点为顶点的三角 形的外接圆的方程,渗透待定系数法的

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2. 能 根 据 给 定 直 线、圆的方程,判断直 线与圆、圆与圆的位置 关系. 3.能用直线和圆的 方程解决一些简单的问 题. 4.在平面解析几何 初步的学习过程中,体 会用代数方法处理几何 问题的思想.

半径.经历和 体会待定系 数法在求曲 线方程中的 应用,较熟练 掌握用待定 系数法求圆 的方程. 2.. 了 解 圆 上 任意点与直 线上任意点 之间距离的 最值的研究 方法,体会数 形结合、化归 转化的思想 方法;借助圆 关于直线对 称问题的研 究,促进解析 思想的运用.

教学,并加以比较分析,提高学生合理 根据条件选择适当的方程形式求圆的 方程的能力.让学生在问题解决过程中 自己总结用坐标法解决几何问题的”三 步曲”----建系、运算、翻译,让学生切 实感受到坐标法的本质就是将几何问 题代数化。 2.通过配方法,揭示特殊的二元二 次方程表示的曲线,渗透分类思想的教 学,重在要求学生理解过程与方法,不 要机械记忆相关结论. 3.通过补充一些求曲线方程的范 例,使学生初步了解曲线的方程与方程 的曲线的概念,提高学生对曲线和方程 的对应关系的理解,但不要补充一般曲 线的方程概念. 4.教学时要把直线与圆的位置关系 讲好, 为下一步学习选修内容“圆锥曲线 与方程”奠基;借处理教材“阅读与思考 坐标法与机器证明”之机, 适时介绍我国 数学家吴文俊教授的杰出贡献,激发学 生的民族自豪感. 教科书不介绍圆的切线方程 x0x+y0y =r2,这并不是说不涉及圆与直线相切 这一位置关系.与直线相切这一位置关 系的判断可以有两种方法,一种是利用 圆心到直线的距离等于半径长;另一种 是利用它们的方程组成的方程组只有 一组实数解. 5.通过研究方程组和比较相关几何 量的大小关系这两种不同途经,分别解 决直线和圆、圆与圆的位置关系的判 断,深化解析几何中的数形结合思想, 并经过比较分析,优化解决问题的途 径. 6.根据方程研究直线与圆、圆与圆 的位置关系,是平面解析几何初步的重 要内容,教学重点是即要让学生从中感 受运用代数方法处理几何问题的思想, 又要注意利用平面几何知识优化解题 思路.不要复杂化,要防止追求变形的 技巧和加大运算量来增加问题的难度. 7.教学中,要注意体现数学的应用 价值.使学生了解到利用平面解析几何

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的知识和方法能解决日常生活与生产 实际中的一些具体问题. 8.重视“数形结合”思想方法的应用. 在平面解析几何初步的教学中,教师应 帮助学生经历如下的过程:首先将几何 问题代数化,用代数的语言描述几何要 素及其关系,进而将几何问题转化为代 数问题;处理代数问题;分析代数结果 的几何含义, 最终解决几何问题.这种思 想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮 助学生不断地体会“数形结合”的思想方 法. 9.关注学生的动手操作和主动参与. 教学中,注意提供充分的数学活动和交 流的机会,引导他们在自主探索的过程 中获得知识、增强技能、掌握基本的数 学思想方法.例如,探求点的轨迹时,提 倡先用信息技术工具探究轨迹的形状, 对问题有一个直观的了解,然后再分析 轨迹形成的原因,找出解决问题的方 法,使得学生抓住问题的本质,理清思 路,制订合理的解题策略. 10.借助信息技术,可以形象、直观 地帮助学生认识所研究的曲线.在动态 演示中,观察曲线的性质,在直观了解 的基础上,寻求形成这些性质的原因以 及代数表示.通过对方程的研究, 了解曲 线与曲线的关系时,运用信息技术,可 以进一步验证得到的结果,为抽象的认 识增添了形象的支持.在探究点的轨迹 时,可以借助信息技术,探究轨迹的形 状等等. 3. 空 间 直 角 坐 标 系 1.建立空间直 角坐标系,解 系的必要性,了解空间 决正方体、长 直角坐标系,会用空间 方 体 条 件 下 直角坐标系刻画点的位 的 空 间 简 单 问题;会表示 置. 2.通过表示特殊长 一 些 对 称 性 方体(所有棱分别与坐 好 的 几 何 体 标轴平行) 顶点的坐标, 的顶点坐标. 2.知道合情推 探索并得出空间两点间 理是科学发 的距离公式. 现的有效途 径之一,逐步 养成运用类 感受建立空间直角坐标
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1.通过具体情境,

1.通过回顾直角坐标系相关内容,引 入空间直角坐标系. 2.通过类比进行空间点的位置刻画的 教学,运用类比等合情推理引入空间两 点间的距离公式.通过与平面直角坐标 系的类比,使学生在掌握知识的同时, 也拓展了思维空间. 3.可借助长方体直观模型,展开相关 内容的教学.

比方法进行 合情推理的 习惯.

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数 学3
本模块的内容包括算法初步、统计、概率. 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.算法思想已是现代人应 具备的一种数学素养.需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想.在本模块 中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验 程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的 过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力, 提高逻辑思维能力. 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据. 随机现象在日常生活中随处可见, 概率是研究随机现象规律的学科, 它为人们认识客观世界 提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础.因此,统 计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识.在本模块中,学生将在义务教育阶 段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归 的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数 据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异.学生将结合具体实例,学习概 率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机) 模拟估计简单随机事件发生的概率. 学习要求 基本要求 1.通过对解 决具体问题过程 (如二元一次方 程组求解等问 题) 体会算法的 , 思想,了解算法 的含义. 2. 通 过 模 经历通过设计程 序框图表达解决 问题的过程.在 具体问题的解决 过程中(如三元 一次方程组求解 等问题) 理解程 , 序框图的三种基 本逻辑结构:顺 序结构、条件分 发展要求 1. 通 过 对 解 决 具 体 问 题 过程 与步骤的分析, 认 识 到 算 法 是 解决 某 一 类 问 题 的步 骤, 而且能在有限 步之内完成, 并初 步 认 识 到 这 样的 步 骤 是 明 确 有效 2. 通 过 对 解 决 具 体 问 题 程序 框图的分析, 理解 其中蕴含的算法, 理 解 算 法 步 骤与 程 序 框 图 之 间的 对应关系 (数学语 言的转化). 3. 初 步 形 成 用 算 法 思 想 解决

内容标准 1. 算 法初 步 1. 算 法 的 程 序 框图

教学建议 算法教学应遵循课标、立足实际,结合案 例进行教学,让学生理解算法概念、学会算法 分析、掌握算法设计、体验算法实现、形成算 法意识进而升华为算法思想. 1.算法教学必须通过实例进行.算法的概 念没有一个统一的定义,可从丰富的实例出 发,自始至终贯彻“通过对解决具体问题过程 与步骤的分析,体会算法的思想,了解算法的 含义”的要求,使学生在解决具体问题的过程 中学习一些基本逻辑结构,并力求使学生能够 对算法本质有所认识. 2.用好教材,准确把握算法内容的教学要 求. 根据课程标准对算法的定位,教学中应当 把体会算法的基本思想、提高学生逻辑思维能 力作为重点,即教学过程中,应当以教科书中 提供的案例为载体,引导学生在设计程序框图 并转化为程序语句的实践中,体会算法的含 义,学会用程序框图表达解决问题的思路. 3.避免将算法概念泛化.

含义、 与 步 骤 的 分 析

仿、操作、探索, 的.

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支结构、循环结 构. 2. 基 本 算 法 语 句 经历将具体 问题的程序框图 转化为程序语句 的过程,理解几 种基本算法语句 ——输入语句、 输出语句、赋值 语句、 条件语句、 循环语句,进一 步体会算法的基 本思想.

问题的意识.

4.教学时既要训练学生针对实际问题设 计算法并作出程序框图的能力,也要训练根据 程序框图理解算法的逻辑思维能力.

1. 理 解 算 法 步骤、 程序框图与 程 序 语 言 之 间的 对应关系, 理解简 单 的 程 序 语 言与 算 法 语 句 之 间的 可转化性. 2. 进 一 步 形 成 用 算 法 思 想解 决问题的意识.

1.教学时让学生理解学习算法基本语句 的必要性.程序设计语言是由一些有特殊涵义 的程序语句构成,与程序框图中介绍的三种基 本逻辑结构相对应.教材介绍了输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句和循环语句,尽 管不同的程序语言有不同的语句形式和语法 规则, 但基本结构是相同的. 基于这样的原因, 教材所介绍的语句形式及程序稍加修改就可 以变为某些具体的程序设计语言形式的程序, 并可以在计算机上执行. 2.算法语句教学必须通过实例进行,使学 生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻 辑结构和算法语句.自然语言、程序框图和程 序语言是表达算法的三种形式,教学时应通过 简单的实例说明程序框图和算法语言的使用 及三种语言的相互转化,抓住了算法表示的核 心内容,不刻意追求完整. 3.算法教学只能立足于让学生认识到解 决某些问题存在算法,并能找到其中一种算 法,而不必引导学生去研究算法的多样性,更 不能去研究不同算法的优劣.同时,本模块的 主要目的是使学生体会算法的思想,提高逻辑 思维能力,因此不要将此部分内容简单处理成 程序语言的学习和程序设计. 4.本模块中的算法内容是将数学中的算 法与计算机技术建立联系,形式化地表示算 法.有条件的学校,应鼓励学生尽可能上机尝 试.

3. 算 法 案 例

通过阅读中 国古代数学中的 算法案例,体会 中国古代数学对 世界数学发展的 贡献.

1.算法案例重在对案例的算法的分析 与其他内容的学习相比较,算法学习的最 大特点就是操作实践性强.因此,了解经典的 算法案例有助于学生深入理解算法的特征和 进一步体会算法思想.教材安排了“辗转相除 法与更相减损术”、”秦九韶算法”与“进位制” 三个中国古代及西方数学中的经典算法案例, 通过栏目设置给学生提供模仿、操作、探索的 机会,从算法的典型性、与以往知识的联系性 和可接受性的角度出发,帮助学生体会其中所 蕴涵的算法思想,使学生能够通过案例的学习

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进一步理解算法的本质. 2.强化学生模仿、操作、探索经历算法设 计的过程. 只有通过学生自己的亲身实践,让学生亲 自去解决几个算法设计的问题,才能使学生体 会算法的基本思想,理解基本逻辑结构和算法 语句.在算法初步的学习中安排了许多案例, 这些案例的算法在计算机应用中所体现的一 些数学思想、思维方法都比较经典、有深度, 同时也较难以理解.通过学习使学生能理解它 们的算法原理、算法程序设计的技巧,领悟其 中的思想与智慧.这里更多的是了解与感受, 但并不是要求学生也来解决一些较难的问 题.因此,教学中要把握好教学的要求,以理 解案例的算法为重点,利用它们解决一些简单 的问题.鼓励有兴趣有能力的同学去解决某些 具有挑战性的问题. 3.突出思想方法和培养能力要有侧重点. 本章教学应该根据每一节教材内容的实 际和 《课程标准》 的要求, 在突出思想方法上, 主要以让学生不断地体会算法思想为主;在能 力培养上,应立足于通过分析解决具体问题的 算法,提高概括能力和逻辑思维能力,发展有 条理的思考和数学表达的能力.这样,学生学 习的目标和重点才明确,教和学的困难才会变 小,相关的思想方法和能力才会逐步得到提 高. 4.算法除作为本模块的内容之外,其思想 方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中, 鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题. 由于算法思想的朴实性,它可以渗透到许 多领域的问题解决中去.特别地,算法思想在 数学本身的学习与研究中有着广泛的应用.当 学生学习了算法,并能从算法的角度思考解决 问题时,他(她)们解决问题的能力将会发生 质的飞跃.因此,算法教学不仅仅是算法知识 的教学,而且更是数学思维方法与策略的教 学,它不应该也不可能在 12 课时内完成,需 要教师在整个数学教学过程中进行渗透. 2. 统 计 1. 随 机 抽 样 1.能从现实 生活或其他学科 中提出具有一定 理解随机抽 样 的 必 要 性 和重 要性, 能选择恰当 1.统计的特征之一是通过部分的数据来推 测总体数据的性质.要让学生通过具体操作, 或 对过去经验的回顾,感受抽样方法的合理性:

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价值的统计问 题. 2.结合具体 的实际问题情 境,理解随机抽 样的必要性和重 要性. 3.在参与解 决统计问题的过 程中,学会用简 单随机抽样方法 从总体中抽取样 本;通过对实例 的分析,了解分 层抽样和系统抽 样方法. 4.能通过试 验、查阅资料、 设计调查问卷等 方法收集数据. 2. 用 样 本 估 计 总体 1. 通 过 实 例 体会分布的意义 和作用,在表示 样本数据的过程 中,学会列频率 分布表、画频率 分布直方图、频 率折线图、茎叶 图,体会它们各 自的特点 2. 通 过 实 例 理解样本数据标 准差的意义和作 用,学会计算数 据标准差. 3. 能 根 据 实 际问题的需求合 理地选取样本, 从样本数据中提 取基本的数字特 征(如平均数、 标准差) 并作出 , 合理的解释. 4. 在 解 决 统

的 抽 样 方 法 解决 随机抽样问题.

既保证抽样的随机性,又保证样本的代表性. 2. 统计教学必须通过案例来进行.教学中 应通过对一些典型案例的处理,使学生经历并 掌握较为系统的数据处理全过程,在此过程中 学习一些数据处理的方法,并运用所学知识、 方法去解决实际问题、理解统计的思想,而不 是死记硬背公式和概念 3.在统计教学中,要引导学生体会统计的 作用和基本思想,使学生体会统计思维与确定 性思维的差异,注意到统计结果的随机性,统 计推断是有可能犯错误的. 4.统计是为了从数据中提取信息,教学时 应引导学生根据实际问题的需求自主探索、通 过比较选择不同的方法合理地选取样本(即能 用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种 方法,不要扩大范围) ,教师应关注三种抽样 方法的差别和不同的适用范围. 5.在可能情况下,应借助于计算机(器) 进行统计计算,减少计算量. 教学时要注意从样本数据中提取需要的 数字特征,并讲清楚这些数字特征的作用和意 义.教师不要把这部分内容讲成简单的数据的 加减乘除和它们的简便算法,不应把统计处理 成数字运算和画图表. 本章中教师不必引导学生去探究这些概 念的确切定义,不应追求严格的形式化定义.

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计问题的过程 中,进一步体会 用样本估计总体 的思想,会用样 本的频率分布估 计总体分布,会 用样本的基本数 字特征估计总体 的基本数字特 征;初步体会样 本频率分布和数 字特征的随机 性. 5.会用随机 抽样的基本方法 和样本估计总体 的思想,解决一 些简单的实际问 题;能通过对数 据的分析为合理 的决策提供一些 依据,认识统计 的作用,体会统 计思维与确定性 思维的差异. 6. 形 成 对 数 据处理过程进行 初步评价的意 识. 3. 变 量 的 相 关 关系 1. 通 过 收 集 现实问题中两个 有关联变量的数 据作出散点图, 并利用散点图直 观认识变量间的 相关关系. 2. 经 历 用 不 同估算方法描述 两个变量线性相 关的过程.知道 最小二乘法的思 想,能根据给出 的线性回归方程 系数公式建立线 1.教学时应注意知识体系的前后贯通,抽 样的操作步骤、统计分析的基本流程都体现了 算法思想;线性回归方程与函数一章中的数据 拟合相呼应. 2.在处理线性相关的内容时,教师可以鼓 励学生探索用多种方法确定线性回归直线.在 此基础上,教师可以引导学生体会最小二乘法 的思想, 根据给出的公式求线性回归方程.对感 兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性 回归方程.

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性回归方程 3. 概 率 1. 随 机 事 件 的 概率 1. 在 具 体 情境中,了解随 机事件发生的不 确定性和频率的 稳定性,进一步 了解概率的意义 以及频率与概率 的区别. 2.通过实 例,了解两个互 斥事件的概率加 法公式. 准确理解概 率的有关概念. 1.概率教学的核心问题是让学生了解随 机现象与概率的意义.教师应在学生已有知识 的基础上,通过日常生活中的大量实例,深化 对随机现象的认识.鼓励学生动手试验, 正确理 解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定 性,并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识 (如 “中奖率为 1/1 000 的彩票,买 1 000 张 一定中奖”. ) 2.教学中应该让学生了解随机试验的三 个特征:在不变的条件下是可能重复实现的; 各次试验的结果不一定相同,每次试验前不能 预先知道是哪一个结果会发生所有可能的试 验结果都是预先明确的. 3.教材中出现两个事件的“和事件”的记 号“A+B”,教学中需要控制难度,仅仅限于在 “两个互斥事件有一个发生” 的问题中用 A+B 来表示, 不考虑 A、 不互斥时的 A+B 的概率 B 计算问题. 4.教学中应结合以前学习的集合知识,使 学生重新认识互斥事件及其发生的概率:表示 互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集, 但是两个对立事件的并集是全集,而两个互斥 事件的并集不一定是全集. 5.通过概率的学习,感受数学与现实世界 的重要联系,崇尚数学的理性精神,逐步形成 辨证的思维品质;养成准确、清晰、有条理地 表述问题以及解决问题过程的习惯,提高数学 表达和交流的能力;进一步拓宽学生的视野, 逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价 值. 6.指导学生阅读有关资料,了解人类认识 随机现象的过程.结合概率的教学, 进行偶然性 和必然性对立统一观点的教育. 1.古典概型的教学应让学生通过实例理解 古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个 实验结果出现的等可能性,让学生初步学会把 一些实际问题化为古典概型. 2.由于没有计数原理的支撑,在利用等可 能事件的概率公式计算概率时,要避免用排列 组合的技巧与方法、知识进行计算的题目,把 计数的方法局限于枚举法.教学中不要把重点 放在“如何计数”上. 1.从古典概型到几何概型,是从有限到无

2. 古 典 概 型

1. 通 过 实 例,理解古典概 型及其概率计算 公式. 2. 会 用 列 举 法计算一些随机 事件所含的基本 事件数及事件发 生的概率. 1. 了 解 随 机

1. 准 确 理 解 古 典 概 型 的 相关 概念. 2.体会“用列 举 法 计 算 随 机事 件 所 含 的 基 本事 件 数 及 事 件 发生 的概率” 所蕴含的 分类与整合思想. 能求解简单
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3. 随

机 数 与 几 何 概 型

数的意义,能运 用模拟方法(包 括计算器产生随 机数来进行模 拟)估计概率. 2. 初 步 体 会 几何概型的意 义. 3. 通 过 阅 读 材料,了解人类 认识随机现象的 过程.

几何概型问题.

限的延伸,等可能的情况不仅在有限个事件时 可以说明,也能拓展到无限个事件的情形. 2.几何概型的教学应抓住其直观性较强的 特点,通过实例说明几何概型的特征是实验结 果的无限性和每一个实验结果出现的等可能 性.概率统计的定义、古典概型、几何概型的定 义都是描述性的,教师不必过分地去揣摩、探 究其用语,而应理解其实质. 3.教师应有意识的利用适当的信息技术 辅助教学,鼓励学生尽可能运用计算器、计算 机来处理数据,进行模拟活动,更好地体会统 计思想和概率的意义.例如, 可以利用计算器产 生随机数来模拟掷硬币的实验等.

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数 学4
本模块包含三角函数、平面上的向量(简称平面向量) 、三角恒等变换. 三角函数是基本初等函数, 它是描述周期现象的重要数学模型, 在数学和其他领域中具 有重要的作用.在本模块中,学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数 在解决具有周期变化规律的问题中的作用. 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一, 它是沟通代数、 几何与三角函数的一种 工具,有着极其丰富的实际背景.在本模块中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面 向量及其运算的意义, 能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题, 发展运算 能力和解决实际问题的能力. 三角恒等变换在数学中有一定的应用, 同时有利于发展学生的推理能力和运算能力. 在 本模块中, 学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式, 由此出发导出其他的三角 恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 学习要求 基本要求 任 1. 认识角扩 充的必要性, 了解 任意角的概念. 2. 了解弧度 制, 能进行弧度与 角度的互化. 3. 能用集合 和数学符号表示 终边相同的角. 4. 能用集合 和数学符号表示 象限角. 2. 三 1. 借助单位 圆理解任意角三 角函数(正弦、余 弦、 正切)的定义. 2. 能判断各 象限角的正弦、 余 弦, 正切函数值的 符号. 3. 理解终边 相同的角的同一 三角函数的值相 等. 4. 认识单位 圆中任意角的正 1. 掌握用单 位圆中三角函数 线、 图象变换研究 三角问题的方法 2. 会用“五 点法” 画正、 余弦 型函数的图像. 3. 掌握运用 平移变换和伸缩 变换把 y=sinx 的 图 象 变 换 为 y=Asin(?x+?) 的 图象的方法, 掌握 参数 A,?,? 对
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内容标准 1. 三 角 函 数 1. 弧度

发展要求 1. 认识弧长 公式、 扇形面积公 式, 并能进行简单 应用. 2. 能用集合 和数学符号表示 终边满足一定条 件的角.

教学建议 1. 教学中应根据学生实际创设情境, 引入 弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧 度制的定义, 领会定义的合理性.根据弧度制的 定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以 具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正 确使用计算器. 2. 弧度是学生比较难接受的概念, 可在后 续课程的学习中逐步理解角度制与弧度制都是 度量角的方法, 二者是辨证统一的.指出角的概 念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R 之间建立了一一对应关系,在此不必深究.

意角、

1. 根据学生的生活经验, 如海水潮汐、 月 亮的阴晴圆缺等生活情境,使学生感受周期现 象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,知 道三角函数是描述周期现象的重要模型,体会 这种函数模型的意义. 2. 通过以锐角三角函数为引子, 用单位圆 上点的坐标表示锐角三角函数,在此基础上定 义任意角的三角函数;利用已学函数概念理解 三角函数,把握其本质;还可以通过科学计算 器求三角函数值,帮助学生进一步体会三角函 数是一种特殊的函数.有条件的学校应当尽量 使用信息技术辅助教学,展示三角函数定义逐 步拓展的过程. 3. 引导学生由定义得到 “终边相同的角的

角函数

弦线、 余弦线和正 切线 5. 理解同角 三角函数的两个 基本关系式: sin α+cos α=1 ,
sin ? cos ? ? tan ?
2 2

函数图象变化的 影响规律. 4. 了解简谐 运动的振幅、周 期、频率、初相、 向位. 5. 能 够 根 据 y=Asin(?x+?) 的

同名三角函数值相等”,并利用它把求任意角 的三角函数值转化为求[0,2?)角的三角函数 值,从代数角度揭示三角函数值的周期变化规 律,渗透化归的数学思想. 4. 以单位圆中的三角函数线作为认知基 础,通过探究学习,引导学生在单位圆中构造 以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三 角形,启发学生思考其中的几何关系,从而得 的数形结合思想. 5. 对于 “已知一个角的某个三角函数值求 其余两个三角函数值”问题,应要求学生先判 断角所在的象限,进而确定所求三角函数值的 符号,再求值. 6. 对于“恒等式证明”,只要让学生学会 遵循“由繁到简”、“等价转化”的原则进行 变形,能证明一些简单的三角恒等式即可. 7. 通过学生亲自动手或教师做演示实验 方式完成单摆的简谐振动实验,使学生对三角 函数图象产生直观认识,引出正弦函数、余弦 函数的图象.启发学生根据正弦线的变化规律, 思考如何更快地画正弦函数的图象,注意其自 变量要用弧度制表示. 8. “五点法”是画正弦函数、余弦函数简 图的基本方法.在教学中应引导学生观察图象, 得出五个关键点;可先让学生动手作图,借助 图象了解三角函数的周期性. 9. 正弦函数、 余弦函数的奇偶性由图象观 察得到或用诱导公式进行证明都较容易,可由 学生自主完成. 10. 对于正切函数,可引导学生类比正、 余弦函数图象与性质来研究. 11. 引导学生用“五点法”或借助计算器 (机)等信息技术工具画出 y=Asin(ωx+φ)的 图象.通过对参数 φ、ω 、A 的赋值,从具体到 抽象,分别考察参数 φ、ω 、A 对函数图象的 影响,研究函数 y=sin x 的图象到 y=Asin

,并

能进行简单应用. 6. 能 借 助 单 位圆中的三角函 数线推导诱导公 式 ( 2kπ+α

图象, 确定 A, , 出同角三角函数基本关系,渗透“以形助数” ?

? 的值.
6. 掌握函数 y=Acos(?x+?) 的 图 象 与 函 数

( k ? Z ) ? ? , y=Asin(?x+?) 的 , π π±α, ±α 的正弦、 图象的联系. 2 7. 能 运 用 三 余弦、正切) ,能 角函数知识分析 进行简单地应用. 和处理实际问题. 7. 能 画 出 8. 掌握一种 y=sinx , y=cosx, 用计算机软件绘 y=tanx 的图象,了 制函数图象的方 解三角函数的周 法. 期性. 8. 借助图象 理解正弦函数、 余 弦函数在[0, 2?], 正 切 函 数 在 (-π/2,π/2)上的 性质 (单调性、 最 大和最小值、 图象 与 x 轴交点等). 9. 结合具体 实 例 , 了 解 y=Asin(?x+?) 的 实际意义; 能借助 计算器或计算机 画出它的图象, 观 察参数 A,?,? 对函数图象变化 的影响. 10. 初 步 学 会由图象求出解 析式的方法, 会用
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(ωx+φ)的图象变换过程.
12. 通过图象引导学生认识 y=Asin(?x+?)图象的五个关键点, 由此得出 “五 点法”画 y=Asin(?x+?)图象的方法; y=Asin(?x+?)的图象也可以通过周期变换、振

三角函数解决一 些简单的实际问 题. 11. 体 会 三 角函数是描述周 期变化现象的重 要函数模型. 体 验实际问题抽象 为数学问题的过 程. 2. 平 面 向 量 1. 平 1. 通过力和 了解向量的实际 背景. 2. 通过力和 力的分析等实例, 理解平面向量和 向量相等的含义. 3. 理解向量 的几何表示. 掌握平面向 应用.

幅变换、相位变换等方法,由图象变换得到, 鼓励学生选择不同的变换途径,要求能用准确 数学语言描述不同的变换过程,培养学生从不 同角度分析问题解决问题的能力. 13. 在教学中引导学生从实际问题中发现 周期变化规律,分析问题中数量关系,将实际 问题抽象为与三角函数有关的模型. 14. 重视学科渗透,运用三角函数分析理 解其他学科的相关内容,开展数学探究或数学 建模活动,知道三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型. 1.本节可按照: 创设问题情境——探索研 “ 究新概念——巩固认识新概念” 来设计, 向量 概念的教学应从物理背景和几何背景入手,物 理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景 是有向线段.教学中所设计的问题贴近学生生 活, 从中抽象出既有大小又有方向的量—向量, 并说明向量与数量的区别.教学中不妨让学生 列举向量的实例,以便观察他们对向量概念属 性的领悟,形成对概念的初步认识,为进一步 抽象概括做准备. 2.在问题中培养学生比较、鉴别、归纳的 思维能力,系统有序地“组织”看似零散的一 堆相关概念,针对本节概念多的特点,教学中 要设计一定数量的练习达到重点概念重点掌 握,并且注重概念辨析,可做一些必要的变式 训练,理解平面向量几何表示,向量的长度 (模) 、零向量、单位向量、相等向量、共线向 量等基本概念,以突出概念的本质特征,消除 非本质因素对概念学习的负面影响. 3.明确零向量的意义与作用,不过分纠缠 于细节. 4.本节内容重要的不是向量的形式化定义 及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认 识数学新对象的基本方法.为了帮助学生建立 向量的概念,与数、形的相关概念(数及其运 算、直线的平行关系等)类比与联系是值得重 视的.

面向量 的实际 背景及 基本概 念

力的分析等实例, 量的几何意义及

2.



1.通过实例, 掌握向量加、 减法 的运算, 并理解其 几何意义.

掌握向量的 运算律以及向量 的线性运算的几 何意义

1.在本节的教学中与数的运算进行类比是 一种重要的教学方法.教学中可采取引导发现 法,通过探究引导学生自己类比数的加法交换 律和结合律,通过画图验证的实验方法加强理

量的线 性运算

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2.通过实例, 掌握向量数乘的 运算, 并理解其几 何意义, 以及两个 向量共线的含义. 3. 了 解 向 量 的线性运算性质 及其几何意义. 3. 平 1. 了解平面 向量的基本定理 及其意义. 2. 掌握平面 向量的正交分解 及其坐标表示. 3. 会用坐标 表示平面向量的 加、减与数乘运 算. 4. 理解用坐 标表示的平面向 量共线的条件. 重视类比思 想的培养.

解向量加法的交换律和结合律. 2. 对向量的线性运算的法则教学必须重 视新知识与学生熟悉的背景的联系, 通过实 例,掌握向量加法(三角形法则、平行四边形 法则)及其几何意义、加法运算律. 利用相反 向量帮助学生掌握向量减法运算及其几何意 义.借助向量加法帮助学生正确理解数乘的运 算及几何意义, 帮助学生掌握向量共线的条件, 在建立概念过程中进行能力的培养. 1.平面向量基本定理是平面向量的核心内 容之一,教学中可采用合作学习法,先让学生 分析向量 e1 , e 2 可能的位置关系,区分出共线、 不共线两种情况,在此基础上验证共线时
? 1 e1 ? ? 2 e 2 ( ?1 , ? 2 ? R ) 不能表示平面内任意向
? ?

面向量 的基本 定理及 坐标表 示

量, 不共线时能表示平面内任意向量的结论. 通 过探究活动,引导学生自主得出平面向量基本 定理. 2.在平面向量坐标表示的教学中要渗透求 简意识的培养,让学生体悟到向量坐标表示是 一种更简约的表示方式,向量的坐标表示的引 入可使向量运算完全代数化和程序化,就可以 使很多几何问题的解答转化为简单的数量运 算. 能应用平面 问题 1.从学生熟知的功的概念出发,引出平面 向量数量积的概念及其几何意义,体会平面向 量的数量积与向量投影的关系(向量投影的概 念只要求了解,不必展开). 2. 向 量 的 数 量 积 是 向 量 的 一 种 重 要 运 算.教学中建议采用探究法,要求学生会利用 向量的数量积定义推导有关结论,这些结论可 以看成是定义的一个推论,教学中应当让学生 独立完成,教师作适当点评. 3.注重平面向量数量积的运算及应用,突 出向量的共线(平行) 、垂直、长度、夹角、判 断三角形的形状等,以及和其它数学知识结合 起来,充分发挥向量作为代数和几何的桥梁作 用, 培养学生逻辑推理能力与综合应用的能力.

4.



1. 通 过 物 理 理解平面向量数 量积的含义及其 物理意义. 体会平 面向量的数量积 与向量投影的关 系. 2. 掌 握 数 量 积的坐标表达式, 会进行平面向量 数量积的运算. 3. 能 运 用 数 量积表示两个向 量的夹角, 会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关 系.

面向量 的数量 积

中“功”等实例, 向量数量积解决

5.



经历用向量

能将实际问
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1. 用向量方法解决某些简单的平面几何

量的应 用

方法解决某些简 单的平面几何问 题、 力学问题与其 他一些实际问题 的过程, 体会向量 是一种处理几何 问题、 物理问题等 的工具, 发展运算 能力和解决实际 问题的能力.

题转化为数学问 题, 能将几何图形 的性质转化为向 量关系, 能将物理 量之间的关系抽 象为向量关系.

问题,要特别强调用向量解决几何问题的“三 步曲” ,即(1)建立平面几何与向量的联系,用 向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何 问题转化为向量问题; (2)通过向量运算, 研究 几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2. 平面向量应用的教学可以按照 “创设问 题情境------探索研究----讨论交流”思路设 计,注重向量模型的建立,强调分析问题的重 要性,选取贴近学生生活的实际问题让学生讨 论交流,亲自体验用向量方法解决物理及实际 问题的过程,培养学生的探索精神和合作研究 能力. 3.平面向量的应用主要在平面几何和简单 的物理学这两个方面,不在其它方面拓展.

3. 三 角 恒 等 变 换

1. 两 角 和与差 的 正 弦、余 弦和正 切公式

1. 了解学习 两角和与差三角 函数公式的必要 性. 2. 经历用向 量的数量积推导 出两角差的余弦 公式的过程, 进一 步体会向量方法 的作用. 3. 能从两角 差的余弦公式导 出两角和与差的 正弦、 余弦、 正切 公式, 二倍角的正 弦、 余弦、 正切公 式, 了解它们的内 在联系. 4. 能利用这 些公式进行和、 差、 倍角的求值和 简单的化简.

1. 理解在两 角差的余弦公式 的推导过程中所 2. 理解和、 差、倍角的相对 性, 能对角进行合 理正确的拆分. 3. 能对公式 进行简单的逆向 和变形使用.

1. 设计教学情境, 引导学生从数形结合的 角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角 形中的边角关系等建立关于正弦、余弦的等量 弦公式,体会推导过程中所蕴含的数学思想方 法. 2. 在两角差的余弦公式推导的教学中应 合理引导学生联想向量知识,体会向量方法的 应用;充分利用单位圆,分析其中有关几何元 素(角的终边及其夹角)的关系;要关注公式 推导过程中体现的分类讨论、数形结合思想以 及向量方法的应用. 3. 在教学中通过和角、 差角、 二倍角的三 角函数之间存在的紧密内在联系,由两角差的 余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正 切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,展 示数学发现的过程,让学生从中总结归纳出公 式推导的过程,建立关于两角和、差、倍、半 等三角函数公式体系. 4. 在教学中,老师可以根据学生情况,对 公式的推导顺序作出适当的调整.教学中应当 把握要求,不要作过多拓展.

体现的向量方法. 关系,运用平面向量的数量积推导两角差的余

2. 简 单 的三角 恒等变 换

1. 能 利 用 和、 差、 倍角的公 式进行基本的变 形, 并证明简单三 角恒等式.

1. 了解和、 差、 倍角公式的特 点, 并进行变形应 用. 2. 理解三角

1.引导学生以已有的公式为依据,在推导 积化和差、和差化积、半角公式的过程中,体 会三角变换特点, 提高推理运算能力.教学时应 当把握好“度”,不要随意补充知识点(如半 角公式、积化和差与和差化积公式,这些公式

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2. 能把一些 实际问题化为三 角问题, 通过三角 变换解决.

变换的基本特点 和基本功能. 3. 能利用三 角恒等变换研究 4. 了解三角 变换中蕴藏的数 学思想和方法.

不要求记忆,更不要求运用). 2.在教学中,要注意恰当地提出问题,加 强对三角函数式特征的观察,使学生明确三角 恒等变换包括结构形式、角、不同三角函数名 观点去分析、处理问题. 3.要切实提高学生“活”用公式的能力, 加强逆用及变用公式的训练.要求学生在解题 中不断总结规律,归纳三角恒等变形中常用的 变换方法,如函数名的变换、角的变换、升降 次的变换、 “1”的代换等,注意体会三角恒等 变换方法的特殊性. 4.把一些实际问题化为三角问题,通过三 角变换解决,培养学生应用意识,激发学生学 习兴趣.

三角函数的性质. 之间的变换,引导学生用对比、联系、化归的

29

数 学5
本模块的内容包含解三角形、数列、不等式. 学生在已有知识的基础上, 对任意三角形边角关系进行探究, 发现并掌握三角形中的边 长与角度之间的数量关系, 并能运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题, 认识 数学与现实世界和实际生活的联系,培养和发展学生的数学应用意识. 学生通过对日常生活中大量实际问题进行分析, 建立等差数列和等比数列这两种数列模 型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解 决一些实际问题.认识到数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,从离 散的角度再次认识函数,提升学生对函数思想的理解水平. 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容.学生将通 过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于 刻画不等关系的意义和价值; 能用二元一次不等式组表示平面区域, 并尝试解决一些简单的 二元线性规划问题; 体会优化思想和数学在解决优化问题中的广泛应用; 掌握求解一元二次 不等式的基本方法,认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系, 并能解决一些实际问题,发展学生的数学应用意识.

内容标准 1. 解 三 角 形 1. 正 弦 定 定理

学习要求 基本要求
1.探索 定理和余弦 定理. 2. 掌 握 正弦定理和 余弦定理, 并 能解决一些 简单的三角 形度量问题.

发展要求
1.能运用观察、归纳、 猜想、探究的方法,探 索并发现正弦定理和余 弦定理,提高对数学学 习的兴趣,提高思维能 力. 2.能运用正弦定理和 余弦定理解决三角形中 的三角函数问题,体会 知识间的交汇.提高由 实际问题抽象数学问题 并加以解决的能力.

教学建议
1.重视与已学知识的衔接 在义务教育阶段三角形 学习的基础上, 通过对任意 三角形边角关系的探究, 从 特殊到一般, 引导学生探索 并发现正弦定理, 可以采用 “情境引入——学生活动 ——建构数学——数学理 论——数学应用——反馈 小结” 的探究教学模式组织 教学. 正、 余弦定理就是用来处 理三角形中的边角关系的, 与初中学习的三角形的边 与角的基本关系和已知三 角形的边和角相等判定三 角形全等的知识有着密切 联系。从联系的观点,从新 的角度看过去的问题, 加强与已学知识的联 系, 在新知识开启之时让旧 知识作为探路石, 能使前后 知识结合成为一个有机整

理 和 余 弦 并发现正弦

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体,提高教学效益,并有利 于学生对于数学知识的学 习和巩固。 2.在正弦定理和余弦定 理教学过程中, 突出向量的 工具作用. 利用向量方法 或几何论证等方法指导学 生证明正弦定理和余弦定 理,其中对三角函数、平面 向量已形成初步的知识框 架, 是学习正弦定理和余弦 定理的知识基础; 从学习正 弦定理和余弦定理中体会 从特殊到一般的数学思想 方法. 3.通过适量的训练, 引导 学生在给定两边一对角或 两角一边的条件下, 用正弦 定理解三角形, 对于给定两 边一对角的条件, 应引导学 生探索解三角形时解的个 数与已知条件有关, 需要具 体情况具体分析, 防止学生 因认识不足、 理解不透彻而 造成解答不全面的错误. 训练给定两边一夹角求 三角形的第三边和已知三 边求角的方法, 达到掌握余 弦定理的要求, 并会用正弦 定理和余弦定理解决一些 简单的三角形度量问题. 4.教学中, 重视运用正弦定 理和余弦定理在处理三角 形边角关系互化的作用.体 会化归与转化的数学思想 方法. 5.在运用正弦定理和余弦 定理时,注意三角形、三角 函数、 平面向量等数学知识 之间的联系.

2. 正弦定

1.能够

经历由实际问题抽

理 和 余 弦 运 用 正 弦 定 象为数学问题并加以解
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1.通过实例引导学生正 确运用正弦定理、 余弦定理

余弦定理 决的过程,体会观察、 等知识和方法解决一些与 定 理 的 应 理、



等知识和方 法解决一些 与测量和几 何计算有关 的实际问题.

分析、归纳、类比、抽

测量和几何计算有关的实 培养学生从实际问 象、概括、猜想等发现 际问题, 问题、 解决问题的过程, 题转化为数学问题的能力. 2.引导学生认识公式的 提高数学表达和交流的 指导学生选择恰当的 能力.加强三角函数的 作用, 虽然有些问题可 应用举例,发展学生的 公式解题, 但选择 数学应用意识和应用能 以用多种方法解决, 正确的公式可以简化解题 力。 过程. 3.强调将解三角形作为几 何度量问题来处理, 突出几 何的作用, 在应用正弦定理 与余弦定理解决实际测量 问题时, 注意培养学生的创 新意识和实践能力, 但所设 计题目不要求太难, 应鼓励 学生用不同方法解决问题, 而不是硬套公式. 4. 应用正弦定理与余弦定 理解决实际测量问题时, 可 结合实习作业, 让学生进一 步巩固所学知识, 渗透数学 建模的思想.

2. 数 列

1. 数 列 的 概念和及简 单表示法

1. 通 过 日常生活中 的实例, 了解 数列的概念 和几种简单 的表示方法 (列表、图 象、通项公 式). 2. 了 解 数列是一种 特殊函数.

1.了解递推公式也是 表示数列的一种方法. 2.会根据简单数列的 前几项写出数列的一个 通项公式,渗透归纳、 猜想的方法和合情推理 的数学思想.

1.通过实例,引出数列的 概念, 使学生感受数列是刻 画自然规律的基本数学模 型, 感受数列研究的现实意 义. 2.用具体的实例指导学生 认识用递推公式表示数列 的方法, 并能在给出首项和 递推关系的前提下, 写出数 列的若干项. 3.引导学生探究和发现数 列的几种简单表示法: 通项 公式、列表法、图象法.明 确数列的三种表示法与函 数的三种表示法的关系, 体 会数列是一种特殊的函数.

2. 等 差 数 列、等比数

1.通过 实例, 理解等

1. 掌握迭加法、 倒 序相加法、迭乘法、错
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1.通过实例认识数列的 项的等差或等比关系, 从项



差数列、 等比 数列的概念. 2. 探 索 并掌握等差 数列、 等比数 列的通项公 式和前 n 项 和的公式. 3. 能在 具体的问题 情境中, 发现 数列的等差 关系或等比 关系, 并能用 有关知识解 决相应的问 题. 4. 体会 等差数列、 等 比数列与一 次函数、 指数 函数的关系.

位相减法,在解决有关 问题中体会基本量的思 想,在解决有关问题中 体会化归与转化的数学 思想. 2.利用等差数列、 等比数列解决相关的实 际问题,渗透数学建模 的思想. 3. 体 会 等 差 数 列 的前 n 项和公式与二次 函数之间的关系。 4.会求一些简单的 与递推公式有关的问 题,体现化归与转化的 数学思想.

与项的关系的特点上理解 等差数列或等比数列的概 念, 理解 “等差” “等比” 或 是等差数列或等比数列的 概念、 研究等差数列或等比 数列性质的基础, 也是思考 等差数列或等比数列问题 的基本出发点,教学中,引 导学生在思考问题时, 经常 回到这个出发点上来. 2.引导学生从具体的等 差数列和等比数列的实例 出发, 归纳猜想出等差数列 和等比数列的通项公式与 前 n 项和的公式, 并探究证 明方法, 要求学生在通项公 式的基础上认识等差数列、 等比数列的特征.体会从特 殊到一般的思维过程. 3.教学中, 应保证基本技 能的训练, 引导学生通过必 要的练习,体会函数与方 程、 化归与转化的数学思想 方法, 掌握数列中各量之间 的基本关系, 但训练要控制 难度和复杂程度.特别引导 学生从变量的角度认识等 比数列的五个参量, 深刻体 会可以根据五个参量中的 任意三个求出其余两个的 “知三求二”的方程思想, 对于等差数列知道 “知三求 二” 的问题一般都可以归结 为解二元一次方程组; 对于 等比数列,要控制“知三求 二”的问题难度;并通过实 例强化认识首项和公差在 解决等差数列问题中的重 要性, 体会解决等差数列问 题可以化归到首项和公差 的转化思想; 强化认识首项 和公比在解决等比数列问 题中的重要性, 体会解决等 比数列问题可以化归到首

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项和公比的基本量方法. 4.通过具体实例, 引导学 生从实际问题中发现等差 数列、等比数列模型,并通 过模型解决相关问题, 让学 生充分经历数学建模的过 程, 从中体验到建立离散问 题的数列模型的基本方法, 体验连续问题离散化的思 想方法, 提高学生解决实际 问题的能力。 培养学生从实际问题中抽 象出数列模型的能力以及 转化与化归的数学思想方 法. 5. 教学中应认真研究新 课标对数列部分基础知识 与基本能力的论述, 注重研 究由部分知识定位的变化 所引发的教学内容的变化。 将数列作为一类特殊函数 来学习, 将函数的表示方法 迁移到数列的表示方法中, 将一次函数、 二次函数的性 质应用到等差数列的通项 公式与求和公式中,因此, 函数的单调性、函数的最 值、函数的有界性、函数的 周期性也可以迁移到数列 中去,构成数列的研究问 题。

3. 不 等 式

1. 不 等 关 系

1. 通 过 具体情境, 感 受在现实世 界和日常生 活中存在着 大量的不等

1.用不等式或不等 式组表示其中的不等关 系,从实际问题中抽象 出不等式模型,培养学 生的抽象与概括能力。

2.体会不等式(组)对 关系. 于刻画不等关系的意义 2. 了 解 和价值. 感悟生活中蕴 不等式(组) 藏着的不等与相等的关 的实际背景. 系,感知不等与相等的 对立统一的关系.

1.通过具体情境, 感受现 实世界和日常生活中存在 着的大量的不等关系, 并能 用正确的不等关系式表示. 教学中要明确, 建立不等观 念、 处理不等关系与处理等 量问题是同样重要的. 教学中要加强“不等关 系是客观事物的基本数量 关系”的认识,把不等关系 及不等式的教学建立在实 际背景上.引导学生进一步

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挖掘身边或数学中的不等 关系, 通过分析其中的基本 数量关系, 以加深学生对用 不等式刻画不等关系的认 识。 2. 类比等式的基本性 质进行不等式性质的教学. 在不等式性质的教学中, 要 注意与等式性质类比, 以使 学生认识不等式及其性质 与等式及其性质之间的异 同。 其中要引导学生认识讨 论等式、不等式的基本思 想:“运算中的不变性就是 性质”,虽然教材的主体部 分没有直接阐述不等式的 更多性质, 但仍然要求从实 数的基本性质出发, 引出不 等式的基本性质, 并用范例 指导学生学习简单的证明 方法, 教学中仅要求学生会 简单地说理,不要求太难.

2. 一 元 二 次不等式

1. 经 历 从实际情境 中抽象出一 元二次不等 式模型的过 程. 2. 通 过 函数图象了 解一元二次 不等式与相 应函数、 方程 的联系. 3. 会 解 一元二次不 等式.对给定 的一元二次 不等式尝试 设计求解的 程序框图.

1.了解含参数的一元 二次不等式的解法。 2.通过函数图象了解 一元二次不等式与相应 函数、 方程的联系.体会 不等式、方程及函数之 间的联系,体会联系与 转化的辩证思想、算法 思想、函数思想和数形 结合的数学思想。 3. 能利用一元二次 不等式解决一些实际问 题.

1.在一元二次不等式 的教学中, 从二次函数图象 与二次方程的关系出发, 探 索、 归纳出一元二次不等式 的求法, 突出从特殊到一般 的认识过程.用数形结合的 思想, 指导学生认识一元二 次不等式的解集、 一元二次 方程的根及函数的零点之 间的关系; 并用实例加强训 练求解一元二次不等式的 基本技能, 尤其是对应的一 元二次方程有无实根的情 况对不等式解集的影响, 指 导学生既可以求出相应方 程的根, 然后根据相应函数 的图象求出不等式的解集, 也可以运用代数的方法求 解.

35

2.强调“经历从实际情 境中抽象出一元二次不等 式模型的过程”,还要“通过 函数图像了解一元二次不 等式与相应函数、 方程的联 系”,注重用数形结合思想 解决问题。另外,鼓励学生 从通性通法的角度设计求 解一元二次不等式的程序 框图, 这里既是算法思想的 应用, 同时也有助于使学生 更好地掌握解一元二次不 等式的过程和结构, 建议在 教学中与学生一起细细体 会, 不能走过场、 一笔带过。 建议再酌情补充几个实际 应用题, 适当地加强与一元 二次不等式相关的实际问 题的训练, 强化从实际情景 中抽象出不等式模型的过 程. 3.这部分内容的教学重 点是一元二次不等式的解 法, 教学中要特别控制问题 的难度,尤其是“区间根的 问题”、 “二次函数在区间 上的最值问题”、 “二次不 等式在区间上恒成立的问 题”等,应当适度控制,因 为这类问题常常涉及含参 数的问题,需要分类讨论, 分类与整合的思想的掌握 需要一个循序渐进的过程. 3. 二 元 一 次不等式组 与简单的线 性规划问题 1. 从 实 际情境中抽 象出二元一 次不等式组. 2. 了 解 二元一次不 等式的几何 意义, 能用平 面区域表示 1.二元一次不等式(组) 划问题时,对目标函数 的教学, 要强调从实际情景 进 行 量 化 分 析 的 过 程 中抽象出二元一次不等式 中, 强调数形结合思想、 (组)模型,而不是像以往 化归与转化思想、运动 那样从纯数学角度提出问 在对不等式组几何意义 变 化 思 想 的 渗 透 和 理 题。 要注意按教材构 解,突出用不等式解决 的考察中, 优 化 问 题 的 过 程 和 方 建的过程,从具体到抽象, 使学生切实经历好从点与 法。 有序数对、 直线与方程的对
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在讨论简单线性规

二元一次不 等式组. 3. 从 实 际情境中抽 象出一些简 单的二元线 性规划问题. 并能加以解 决.

应到平面区域与不等式组 的对应的过渡, 进一步体会 数形结合思想的实质及其 重要性。 线性规划的应用性 很强, 其中的优化思想方法 是基本的数学思想方法。 教 学中, 让学生经历完整的从 “数学化”(提出优化问题) 到“图解法”的过程,突出借 助几何直观解决问题的基 本方法, 引导学生体会线性 规划的基本思想。 建议教学 时列一个表格。讲解时,重 在问题的转化、表达和解 决,并提出相关数学术语; 重在解决线性规划问题的 程序化,教师要带好头,教 学时认真绘图, 并指导学生 绘好图, 有条件的可以动画 演示。 2.不等式有丰富的实际 背景, 是刻画区域的重要工 具.刻画区域是解决线性规 划问题的一个基本步骤, 教 学中可以从实际问题引入 用平面区域表示二元一次 不等式组的方法.对于具体 的平面区域也应学会用二 元一次不等式组表示的方 法,教学中,始终渗透“直 线定界,特殊点定域”的方 法, 帮助学生用集合的观点 分析、 用集合的语言描述组 合图形的问题, 使问题更清 晰和准确. 3. 对 于 解 决线 性 规 划 问题,应强调通性通法,指 导学生将其归结为算法解 决,融入算法思想. 4.教学中应强调不等 式组的几何意义、 现实背景 和实际应用, 通过案例的学 习, 引导学生理解目标函数 的几何意义.
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4. 基 本 不 等式:
ab ? a?b 2

1.探索并了 解基本不等 式的证明过 程. 2.会用基本 不等式解决 简单的最大 (小)值问 题.

(a,b≥0)

在基本不等式的推导 过程中,强调了数形结 合地认识和理解不等 式,突出了用基本不等 式解决简单的最大 (小) 值问题,从而体现优化 思想。

1.指导学生探索并了解基 本不等式的来源与证明过 程, 并利用几何图形对基本 不等式作出几何解释, 用于 加深基本不等式形式上的 记忆. 2.通过实例指导学生利用 基本不等式求解某些最值 问题 (特别是非一元二次函 数的最值问题),在求解中 展示这种方法的简捷性. 3.应用基本不等式求最值 时, 需要特别提醒学生讨论 等号成立的条件. 4.只要求了解基本不等式 的证明,对于“绝对值不等 式”、 “不等式的性质及其 证明”以及“用分析法、综 合法、比较法证明不等式” 等内容暂不作要求. 5.均值不等式
a?b 2

≥ a b ( a ? 0, b ? 0 )

的教学, 要强调基本不等式 的探究过程, 其中要注意培 养从数、 形等不同角度看同 一问题的习惯和意识。

38

二、选修模块 选修 1-1
本模块的内容包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用. 学生通过学习了解命题的逆命题、否命题与逆否命题及其相互关系,理解必要条件、 充分条件与充要条件的意义,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,理解全称量词与 、 、 存在量词等有关概念, 学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容; 体会逻辑用语在表述 和论证中的作用,形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意 识,发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证的能力,从而能够更 好地进行数学交流;激发学生数学学习的兴趣,优化学生数学思维的品质,帮助学生逐步养 成良好的学习习惯. 学生通过学习了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,会求 圆锥曲线的标准方程, 了解曲线与方程的对应关系, 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的 简单几何问题(例如直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用, 进一步体会解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问 题的思想,增强数学应用的意识,提高数学建模的能力;了解平面解析几何产生和发展的过 程及其对数学发展和社会发展的推动作用, 帮助学生逐步养成独立钻研的习惯, 形成克服困 难的意志和毅力, 进而具有锲而不舍的钻研精神和科学态度, 树立运动变化和相互联系的辩 证唯物主义观点. 微积分的创立是数学发展中的里程碑, 它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新 时期, 它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。 导数的概念是微积分的核心概念之一, 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变 化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及其内涵;应用 导数探索函数的单调、 极值等性质及其在实际中的应用, 感受导数在解决数学问题和实际问 题中的作用,体会微积分的产生对人类文化发展的价值. 学习要求 基本要求 1.了解命题的 常 用 逻 辑 用 语 1 . 命 题 及 其 关 系 概念, 会判断一些简 单命题的真假. 则 q” 形式命题的条 件与结论. 3.了解命题的 逆命题、 否命题、 逆 发展要求 1.能写出 简单命题 的 逆 命 题及逆否 命题. 2.会利用 互为逆否 教学建议 1.通过实例阐述命题的概念,所举实例应能清晰地分 辨出组成这个命题的条件和结论. 2.通过生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式 的客观存在, 使学生进一步认识到研究四种命题的必要性和 现实意义,体会逻辑用语在表述和论证中的作用. 3.对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作 一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为载体 进行训练,引导学生会写出命题的逆命题、否命题、逆否命 题,并能判断其真假,而不需要进行形式上的加深讨论.教 学中仅要求会写出易于改写成“若 p,则 q”形式的命题的 逆命题、否命题、逆否命题.

内容 标准

2.理解“若 p, 题 、 否 命

否命题的有关概念, 命 题 的 两 会写出“若 p, q” 个 命 题 之 则 形式的命题的逆命 间的等价

39

题、 否命题、 逆否命 题. 4.会分析四种 命题的相互关系.

关系来判 断命题的 真假及证 明简单的 数 学 问 题.

4.通过实例的分析,总结得出四种命题之间的相互关 系,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同 真假命题,注意引导学生体验规律的探索、发现过程. 5.引导学生学会利用“互为逆否命题的两个命题的等 价关系” 来判断具体命题的真假, 并能证明简单的数学问题. 1.数学中的充分条件、必要条件的概念,与日常生活 中的“充分” “必要”的意义相近,所以教学时,既要结合 数学例子进行学习, 还应该借助日常生活中的例子进一步内 化. 2.在“若 p,则 q”形式的命题为真命题的基础上引入 充分条件、 必要条件的概念; 以学生熟知的具体实例为载体, 分析条件与结论之间的关系,逐步加深对必要条件、充分条 件与充要条件的理解. 3.“若 p,则 q”为真命题时,p 是 q 成立的充分条件, 不能误认为 p 是这个命题的充分条件. 4.对于“充分条件、必要条件与充要条件”的判断, 只要求掌握“若 p,则 q”形式命题的判断方法.这里的 p 与 q 都是不含逻辑联结词“或”“且”的,不要随意拔高要 、 求. 5.教学时,可以从集合的角度运用 Venn 图来直观描述 充分条件、必要条件的关系,以帮助学生理解概念的实质. 6.充分条件、必要条件与命题的四种形式有密切关 系. (1)形如“p 是 q 的充要条件”的命题是相当普遍的, 要证明命题的条件是充要条件,即既要证明原命题,又要证 明其逆否命题. (2)在“若 p,则 q”的命题中,存在以下 四种关系:① p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件;② p 是 q 的必要条件, 但不是 q 的充分条件; p 是 q 的充分 ③ 必要条件;④ p 是 q 的既非充分又非必要条件. 7. “充要条件”是数学推理的规则,通过“充要条件” 的学习进一步提高学生的辩证思维能力.

2 . 充 分 条 件 与 必 要 条 件

1.理解必要条 件、 充分条件与充要 条件的意义以及充 分条件和必要条件 2.了解充分条 件、 必要条件与四种 命题的真假之间的 密切关系.

结合四种 命 题 形 式,理解 充 分 条 条件的判 定方法.

之间的区别和联系. 件 、 必 要

3 . 简 单 的 逻 辑 联 结 词

1.通过数学实 例, 了解逻辑联结词 “或” “且” “非”的 含义. 2.能正确利用 表述相关的数学命 题. 3.能准确区分 命题的否定与否命 题.

结合阅读 材料,探 “ 且 ” “非”与

1.引导学生利用逻辑联结词“或” “且” “非”构造新 命题,通过分析新命题的真假,理解“或” “且” “非”的含 在探究新旧知识关系的同时,提升对数学知识的理解. 2.不涉及复合命题的概念.“若 p,则 q”形式命题中 的 p 与 q,都不含有逻辑联结词“或”“且”“非”,并且 3.对逻辑联结词“或” “且” “非”含义的了解,主要 的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的 数学内容.因此,内容的设计上要求通过具体的数学实例来 进行展开,避免抽象地讨论.注意命题的否定与否命题的联

究 “ 或 ” 义.可适当联系集合与不等式的相关知识进行讲解,让学生

“或” “且” “非” 集 合 中 的 “ 交 ” “补”之 间的关系

“ 并 ” p 与 q 本身也不是“若 r,则 s”形式的命题.

40

系与区别.对于不是“若 p,则 q”形式的命题,不要求讨 论其否命题. 4.引导学生学会用逻辑用语表达数学内容,体会运用 逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性,使自己的思想、 判断、推理的表达更具逻辑性. 4 . 全 称 量 词 与 存 在 量 词 1.通过生活和 数学中的丰富实例 理解全称量词的含 ?x∈M,p(x) . 2.通过生活和 数学中的丰富实例 理解存在量词的含 ?x0∈M,p(x0) . 3.掌握含有一 个量词的全称命题 的否定形式及含义: ?x0∈M,?p(x0) . 4.掌握含一个 量词的特称命题的 否定形式及含义: ?x∈M,?p(x) . 5.能判断简单 全称量词与存在量 词相关的数学命题 的真假性. 圆 锥 曲 线 与 方 程 1 . 曲 线 与 方 程 1.从特殊曲线 的方程 (如直线、 圆 等) 概念中抽象出一 般的“曲线的方 线的方程与方程的 曲线的意义. 2.结合已学过 的曲线及其方程的 实例, 了解曲线与方 程的对应关系. 3.掌握坐标法 和求曲线方程的一 般步骤(流程图) , 会求曲线的方程. 了解曲线 方程的完 备性与纯 粹性,并 线的方程 中应用。 1.曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主,注重让 学生体会曲线与方程的对应关系, 着重让学生感受数形结合 的基本思想. 2.通过具体而适量的实际例子,引导学生体会坐标法 的基本思想,归纳总结求曲线方程的基本步骤,探索、整理 求曲线方程的常用方法, 感受坐标法在研究几何图形中的作 用. 3.突出解析几何的基本思想.概念→建立方程→探求 性质.从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念 中抽象出一般的“曲线的方程”的概念. 对曲线与方程的学 习,应关注到学生自身的发展与需要,让不同层次的学生有 不同的收获. (1)通过求圆锥曲线的标准方程(后继) ,进 一步感受曲线方程的概念,了解求曲线方程的基本方法(在 必修部分虽有体现,但未充分说明)(2)例 2(将圆 x2 + y2 . = 4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求 初步理解 全称量词 与存在量 数学命题 中 的 作 用,并能 判断所构 真假 1.对一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性 是不同的:冠以全称量词得到全称命题,冠以存在量词得到 特称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题,并能正 确判断两种命题的真假.含有两个量词的命题,不要求学生 掌握. 2.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在 数学和生活中的作用,理解全称量词与存在量词的意义,自 觉提高利用全称量词与存在量词准确、 简洁地表述数学内容 的能力. 3.利用日常用语和学生熟悉的数学命题讲述对含有一 个量词的命题进行否定的意义,对于量词,重在理解它们的 含义,而不要追求形式化定义.要注意全称量词与存在量词 在日常生活和数学中的不同表达形式. 4.在实践的基础上,深入理解含有一个量词的命题的 否定,教会学生正确把握这种否定的形式化特征,并且只要 求学生对含有一个量词的命题进行否定, 通过实例让学生深 刻理解全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称 命题.

义及数学语言形式: 词 在 构 造

义及数学语言形式: 造 命 题 的

程”的概念, 理解曲 在 求 解 曲

41

4.通过曲线与 方程的关系的探究, 进一步体会数形结 合的思想.

所得曲线的方程,并说明它是什么曲线?)给出了确定曲线 类型的新方法(原来的方法是运用概念,这里是由方程去判 断) . 4.教学时只需要通过根据已经学过的几种曲线的方程 与曲线的关系进行概括,并通过具体问题让学生适当感受, 在应用中加深体会,不要在定义方面作过多深究.

2 . 椭 圆

1.了解椭圆的 实际背景, 感受椭圆 在刻画现实世界和 解决实际问题中的 作用. 2.经历从具体 情境中抽象出椭圆 模型的过程, 掌握椭 圆的定义、 焦点、 焦 距等基本概念. 3.掌握椭圆的 标准方程, 能根据已 知条件求出椭圆的 标准方程. 4.能求出椭圆 上满足某些条件的 点的坐标. 5.能利用椭圆 的标准方程研究椭 圆的简单几何性质 (范围、 对称性、 顶 点、离心率等) . 6.能根据椭圆 的标准方程和几何 性质解决一些简单 的实际问题. 7.经历由轨迹 特征抽象成数量关 系、 形成方程的探究 过程, 在实施数形转 化解决问题的过程 中, 培养抽象概括能 力和逻辑思维能力, 养成独立思考的良 好品质.

1.体会利 用椭圆的 标准方程 研究椭圆 的几何性 质 的 方 法,并能 初步加以 应用. 2.提高学 生运算推 理能力.

1.通过生活实例或利用多媒体演示(卫星的运行轨迹、 平面截圆锥得到圆锥曲线) ,让学生经历从具体情境中抽象 出椭圆的过程, 通过操作、 观察、 探究揭示椭圆的几何特征, 理解并掌握椭圆的定义. 2.突出建立椭圆标准方程的全过程: (1)建系-设点-列式(限制条件)- 代入坐标(得 方程)- 化简方程. (2)只要求让学生从方程同解的角度 认同即可,不要求提及纯粹性和完备性的概念. (3)参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式, 到后面的学习 中再说明其几何意义. (4)焦点在 y 轴上的椭圆标准方程可 由学生独立研究自行推出 (不妨先作猜想, 或变量代换) 5) . ( 在方程的推导过程中, 方程为两个根式的和等于一个非零常 数,要注意说明化简这类方程的必要性和方法,培养学生的 运算能力,体会数学美. 3.对求给定条件的椭圆的标准方程,可引导学生根据 已知条件利用待定系数法求出 a、b 的值,然后得出相应的 标准方程. 4.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两 点: 一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义 和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是 如何用代数方法来研究曲线几何性质的. 由于是第一次系统 地用代数的方法研究曲线的几何性质,应注意控制教学进 度。 (1)突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解 析几何的基本思想.如:范围、对称性等. (2)“顶点是椭圆与对称轴的交点”,不能认为最高 (低)点、最左(右)点就是顶点,也不能认为顶点就一定 是椭圆与坐标轴的交点. (3)对离心率的讲解要突出其几何意义,并在实验的 过程中让学生感受和理解其意义. 直观上椭圆的扁平程度本 可用
b a c a

来刻画,为什么还要用

来定义呢?

3

1.了解双曲线

了解双曲

1.学习双曲线时要注意与椭圆进行类比,通过类比、

42

. 双 曲 线

的实际背景, 体会双 曲线在刻画现实世 界和解决实际问题 中的作用. 2.了解双曲线 的定义、 焦点、 焦距 等基本概念. 3.了解双曲线 的标准方程, 能根据 已知条件求出双曲 线的基本量. 4.知道双曲线 的几何性质(范围、 对称性、 顶点、 渐近 线和离心率等) . 5.能解决一些 简单的应用问题.

线与椭圆 的区别和 联系.

直观操作、观察模型等了解双曲线的定义、几何图形和标准 方程,知道双曲线的有关性质. (1)如导言中的类比问题以及研究过程中从结论、过 程、方法各个层面与椭圆类比. (我们知道,椭圆上的点到 两个定点距离的和等于定值,当焦点在 x 轴上时,椭圆的标 准方程为
x a
2 2 2 2

?

y b

?1. 双曲线上的点到两个定点距离的差的

绝对值等于定值.那么,双曲线的标准方程是什么形式呢? 定义中为什么多了“绝对值”这个条件,如果没有这个条件 会呢?等等) (2)双曲线的范围:更有精确的限制,为渐近线的引 入作铺垫.由
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

?1

,得

x a

?1?

y b

≥1,这表明双

曲线在不等式 x≥a 与 x≤-a 所表示的平面区域内. (思考: 根据双曲线方程 怎样的限制?) 由
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1, 你能发现双曲线的范围还受到

?

y b

2 2

? 1 ,可知

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0



即(

x a

?

y b

)(

x a

?

y b

)? 0


y ?x ? 0, ? ? ?a b ? ?x ? y ? 0 ?a b ?

所以

y ?x ? 0, ? ? ?a b ? ?x ? y ? 0 ?a b ?



表明双曲线位于两条相交直线所围成的的区域内. (3)双曲线离心率的几何意义:与椭圆类比提出问题, 通过数形结合、分析发现结论. (椭圆的离心率 e ? 么在双曲线中
c a

c a

反映了图形的“扁”的程度,那

是否也与双曲线的形状有关呢?) 因为双曲
? ? b a x

线的图形夹在两条渐近线 y 线的开口就越大.由
c

之间,所以
c

b a

越大,双曲

c a

?

b 2 1? ( ) a

可知, 越大,双曲线的
a c a

开口就越大; 越小,双曲线的开口就越小,即
a

反映了双

曲线的开口的大小. 2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,所以在推 导双曲线的标准方程时,应尽可能让学生自己动手推导. 3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导 学生在观察双曲线图形的同时, 结合方程探究双曲线的简单
43

几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演 示,直观反映其“渐近”的特征. 4 . 抛 物 线 1.了解抛物线 的实际背景, 感受抛 物线在刻画现实世 界和解决实际问题 中的作用. 2.了解抛物线 的定义、 准线等基本 概念,会建立并掌握 抛物线的标准方程. 3.能根据已知 条件求抛物线的标 准方程. 4.知道抛物线 的几何性质(范围、 对称性、 顶点、 离心 率等) . 5.能解决简单 的应用问题. 5 . 圆 锥 曲 线 的 简 单 应 用 1.掌握直线与 圆锥曲线的位置关 系. 2.会求两条曲 线有关的交点坐标 的简单问题 (转化为 求解方程组的问 题) . 3.能解决圆锥 曲线在实际中的一 些简单应用, 进一步 提升 “应用数学” 的 意识, 提高解决问题 的能力. 4. 由曲线 (形) 到方程(数) ,又由 方程研究曲线, 感受 数形结合思想的应 用, 会用数形结合思 想解题. 导 1 1.通过对大量 1.理 1.知道圆 锥曲线的 内涵与外 延、联系 与区别. 2.掌握用 代数方法 研究直线 与圆锥曲 线的位置 关系. 知道二次 函数图象 (抛物线) 的几何性 质. 1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的 镜面) ,使学生了解抛物线的背景与应用,引导学生掌握抛 物线的定义;有条件的学校可借助计算机,向学生展示用平 面截圆锥得到抛物线的过程, 使学生加深对抛物线定义的理 解. 2.让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过程,掌 握求抛物线标准方程的方法; 对于在已知条件下求抛物线的 方程,引导学生要考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养 其思维的严谨性. 3.关注抛物线方程与几何性质的特殊性: (1)建立抛物线标准方程时坐标系的合理选择.让学 生在独立探索的过程中认识到:建立抛物线的方程,关键是 选择适当的坐标系. (2)注意与椭圆、双曲线的联系与区别: 方程特点:无常数项,一个一次项,一个二次项. 图形特征:过原点,一条对称轴,非中心对称. 4.通过对具体实例的教学,引导学生学会利用定义解 决数学问题,以便加深对抛物线定义的理解,感受到抛物线 在解决实际问题中的作用. 1.圆锥曲线的生成定义. (1)生长点:抛物线.我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离之比等于 1 的动点 P 的轨迹是抛物线. 当这个比值是一个不等于 1 的常数时, 动点 P 的轨迹又 是什么曲线呢? (2)过程:特殊 —— 一般(实验探索) . 设置意图:整体意识、数学和谐、统一美. 2.通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线的交 点坐标就是曲线方程的公共实数解, 可以通过求解曲线方程 组得到曲线的交点坐标. 3.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知识研 究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.在 解决与弦长有关的问题时, 引导学生发现利用整体思想代换 x1 + x2 与 x1x2,让学生体会到若借助于一元二次方程根与系 数的关系,则能简化步骤,避免繁杂运算,提高效率. 4. 通过生活中丰富的实例 (如投掷铅球的运行轨迹. 卫 星的运行轨迹等) ,引导学生利用坐标法解决生活中的实际 问题,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力,形成善于独 立思考的良好品质. 1.导数是微积分的核心内容,它有着极其丰富的实际

44

数 及 其 应 用

. 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义

实例的分析, 经历由 平均变化率过渡到 瞬时变化率的过程, 了解导数概念的实 际背景, 知道瞬时变 化率就是导数, 体会 导数的思想及其内 涵. 2.通过函数图 象直观地理解导数 的几何意义.

解导数的 概念. 2.体 会逼近思 想和以直 代曲的转 化方法. 3.以 导数的几 何意义、 物理意义 为基础, 运用导数 概念解决 相 关 问 题.

背景和广泛的应用.教学中,可以通过研究切线(曲线的)、 增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等能直接反映 导数思想及本质的、学生熟悉的实例,引导学生经历由平均 变化率到瞬时变化率的过程,认识并理解导数的概念,知道 瞬时变化率就是导数,增强导数几何意义的认识和理解. 2.现行导数概念是在没有全面学习极限的情况下出现 的,所以要注重导数概念的本质,强调导数的思想、物理意 义、几何意义以及应用.在导数概念的教学时,要注意通过 大量的实例,引导学生理解“瞬时”二字的含义,让学生领 会导数思想的核心在于瞬时变化率的刻画. 3. 导数概念教学的操作可以按下列程序进行: 从生 (1) 活实例中引入平均变化率的概念.研究运动和变化,离不开 变化率.任何事物的变化可以由变化率来描述,从而引出平 均变化率的概念 (也就是一个变量在一定范围内的变化即相 对改变).(2) 导数的概念是本部分的核心,教学时必须尽 可能强化导数的概念及概念的形成. 在某时间段的平均变化 率无法反映、刻画某时刻的变化率,只有当时间段无限缩短 并无限靠近某时刻时方可得到该时刻的变化率即瞬时变化 率, 运用逼近思想考察瞬时变化率即可明确导数的概念的本 质. 注重导数的几何意义, (3) 通过大量实例研究导数概念。 在函数可导的范围内, 局部使用以直代曲即用曲线上某点处 的切线近似代替这一点附近的曲线,通过简单的、熟悉的直 线的研究解决复杂的、陌生的问题,贯穿了以直代曲、无限 逼近的思想方法,这样从形的角度诠释导数,深刻反映了数 形结合思想的广泛、 灵活运用, 也深化了对导数概念的掌握。 4.本部分内容在微积分理论等方面要求不高,教学时 切勿追求理论的严密性和过多的技巧, 关键是理解导数概念 的内涵,注重思想、过程及应用.根据教学实际与信息技术 进行合理的整合, 促进对导数意义的理解, 例如: 以直代曲、 “逼近”过程的展示、函数单调性与导数符号关系、增长快 慢与导数的绝对值大小的关系、导数几何意义的直观展示 等. 5.本模块的教学必须注意把握好教学要求,在计算的 难度、应用的深度和广度、函数的类型等方面都应该针对学 生实际进行合理控制.

2 . 导 数 的 运 算

1.能根据导数 定义求函数 y = c,y = x, = x ,y ? y 导数. 2.能利用给出 的基本初等函数的
2

1.理 解几个常 见函数的 导数的几 何意义, 能准确记 忆基本初

1.建立了导数的概念后,要实实在在引导学生动脑、 动手推导几个常见初等函数 (如 y = c, = x, = x2, y ? y y
1 x



1 x



的导数公式,在形式化训练中规范要求,从而加深对导数概 念的认识和理解,并从中领悟求导数的基本思想. 2.教学中不需补充导数运算法则的证明,只要求能感 知、记忆、理解并运用基本初等函数的导数公式和运算法则

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导数公式和导数的 四则运算法则求简 单函数的导数. 3.会使用导数 公式表.

等函数的 导数公式 和导数运 算法则, 熟练求解 简单函数 的导数. 2.能 根据导数 的定义求 某些(仅 限于形如 (ax + b) f ) 简单复合 函数的导 数. 3.能 运用导数 解决一些 简单的实 际应用问 题.

求一些简单函数的导数即可. 3.教学时不要求对复合函数的求导公式进行证明,能 利用公式求简单复合函数的导数即可. 4. 为使学生能够熟练运用公式求导和掌握相关的运算, 应提供时机让学生进行适当的有针对性的训练, 但必须避免 过量的形式化练习.

3 . 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用

1.结合实例, 借助几何直观探索 并了解函数的单调 性与导数的关系; 能 利用导数研究函数 的单调性, 会求不超 过三次的多项式函 数的单调区间. 2.结合函数的 图象, 了解函数在某 点取得极值的必要 条件和充分条件; 会 用导数求不超过三 次的多项式函数的 极大值、 极小值, 以 及在给定区间上不 超过三次的多项式 函数最大值、最小 值.

1.体 会数形结 合思想在 导数运用 中 的 作 用. 2.会 求一些简 单函数的 单 调 区 间、极大 最大(小) 值;并能 运用导数 研究较简 单函数的 性质. 3.能 运用导数

1.利用导数判断函数的单调性是导数应用的重点,教 学中应选取具体的函数,利用它们的图象,借助几何直观通 过实例探究,发现函数的导数与函数单调性之间的本质联 系,学会用导数研究函数的单调性、确定函数的单调区间, 进而完成对函数的最值(极值)的教学. 2. 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件是难点, 教学中要多通过具体例子、图象等加以突破.通过训练,让 学生明确函数在某点取得极值的条件, 准确掌握求函数极值 的步骤.对于函数的最大(小)值概念的理解、求法的掌握, 仍然应以通过实例促进学生感知概念、 体会方法的方式进行 教学,与此同时,可适当引导学生体会极值与最值的联系与 3.教学中要注意严格控制难度,避免过量的形式化的 导数运算练习, 重视导数在研究函数性质与实际生活中的应 用,体会导数的思想及其内涵,帮助学生直观理解导数的背 景、思想和作用.这部分内容突出对导数本质的认识,要求 学生体会导数的思想及其内涵, 培养学生以导数为工具研究 函数的意识,须防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学 习,而忽视它的思想和价值. 5.教学中要注意运用学生熟悉的数学问题与生产和生

(小)值、 区别.

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的知识、 思 想 方 法,解决 函数(数 列) 、不等 式等相关 的简单综 合问题. *4 . 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 5 . 数 学 文 化 收集有关微积 分创立的时代背景 和有关人物的资料, 并进行交流; 体会微 积分的建立在人类 文化发展中的意义 和价值. 通过使利润最 大、 用料最省、 效率 最高等优化问题, 体 会导数在解决实际 问题中的作用. 能通 过建立函 数模型, 利用导数 解决生活 中一些简 单的优化 问题.

活中的实际问题,引导学生充分发挥导数的工具作用,结合 实例及函数的图象,借助几何直观,充分感受导数在解决数 学问题和实际问题中的应用,帮助学生增强数学应用的意 识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价 值.

组织引导学生阅读资料时,可以让学生体会收集、整理 资料的方法和过程;交流可以采取小组讨论、专题演讲和撰 写书面材料等方式.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学 实施指导意见(试行)》中规定的选学内容.

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选 修 1-2
本模块包含统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入和框图。 在必修课程统计内容的基础上,学生将在统计案例部分,通过典型案例的讨论,了解和 使用一些常用的统计方法, 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想, 认识统计方 法在决策中的应用. “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式.推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定 义、公理、定理等) 、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过 程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发 现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正 确的结论(包括定义、公理、定理等) ,按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程.合 情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数 学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证, 即在前提正确的基础上, 通过正确使用推理规则 得出结论.在本模块中,学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以 及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法,包括直接证明 的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法) ;感受逻辑证明 在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程, 同时体现了数学发生发展的客观需求和 背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中,学生将在问题情境中了解数 系扩充的过程以及引入复数的必要性, 学习复数的一些基本知识, 体会数系扩充中人类理性 思维的作用. 框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示, 它的作用在于能够清晰地表达比 较复杂的系统各部分之间的关系。 学习本章让学生了解流程图和结构图的特征, 体验用框图 表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性,提高抽象概括、逻辑思维、清晰 表达和交流的能力。

内容标准
*1.统 计案例

学习要求 基本要求
1.通过典型案 例,学习一些 常见的统计方 法,并能初步 应用这些方法 解决一些实际 问题. 2.通过对典型 案例(如“人 的体重与身高 的关系”等) 的探究,了解
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发展要求

教学建议
1.统计案例的教学重点是使学生感受统计 分析的思想,了解统计学对社会生活和科 学研究的重要性.对于统计案例部分的内 容,只要求学生了解回归分析和独立性检 验的基本思想及其初步应用,对于其理论 基础不作要求,避免学生单纯记忆和机械 套用公式进行计算.该部分应采用案例教 学的方式,要注意控制难度. 2.教学中应鼓励学生多思考,遇到不同的 实际问题应考虑原来的统计方法是否仍然 适用,在不能适用的情况下要探索新的统 计方法,从而体会统计方法的有效性、局

回归的基本思 想、方法及初 步应用. 3.通过对典型 案例(如“肺癌 与吸烟有关 吗 ’’ 等 ) 的 探 究,了解独立 性检验(只要 求 2× 列联表) 2 的基本思想、 方法及初步应 用.

限性与可改进性. 3.在实际问题中,两个变量不一定都是线 性相关关系,它们可能是指数关系、对数 关系等非线性相关关系.在某些情况下可 以借助函数变换把非线性相关关系转化为 线性相关关系,用线性回归模型解决,这 样的处理可以开阔学生的思路,培养学生 的探索创新精神.在教学时还可以使学生 体会到,对于需要解决的实际问题而言, 没有一个模型是完全正确的,模型只有好 坏之分,没有对错之别,任何数学模型只 能是近似描述实际问题,统计学追求的是 根据问题的实际背景寻求描述效果更好的 模型. 4.独立性检验的教学应认真考虑如何结合 例题介绍独立性检验的基本思想,可以与 反证法作对比,以加深学生对独立性检验 思想的理解. 5.在本部分的教学过程中,应鼓励学生经 历数据处理的全过程,要尽量使用统计图 直观展示两个变量的关系,培养学生对数 据的直观感觉,体会统计方法应用的广泛 性.应尽量给学生提供一定的实践活动机 会,可结合数学建模的活动,选择一个案 例,要求学生亲自实践. 教学中,应鼓励学生使用计算器、计算机 等现代技术手段来处理数据,有条件的学 校还可运用一些常见的统计软件解决实际 问题.

2.推 理 与 证明

1.合情 推 理 与 演 绎 推 理

1.结合已 学过的数学实 例和生活中的 实例,了解合 情推理的含 义,能利用归 纳和类比等进 行简单的推 理,体会并认 识合情推理在 数学发现中的 作用. 2.结合已

1.了解一般意义上 的类比与归纳. 2.初步具备运用合 情推理进行思考、 获取结 论, 并运用演绎推理对获 得结论真假进行判断或 证明的能力.

1.教学中应通过实例,让学生感知合 情推理和演绎推理,了解合情推理和演绎 推理的区别与联系;让学生了解一般意义 上的类比和归纳,引导学生运用合情推理 去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推 理确认所得结论的正确性,或者用反例推 翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体 实例理解合情推理与演绎推理,而不追求 对概念的抽象表述. 2.直接证明的教学应引导学生认识分 析法和综合法的特点、联系、区别;间接 证明的教学应引导学生认识反证法的特 点.

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学过的数学实 例和生活中的 实例,体会演 绎推理的重要 性,掌握演绎 推理的基本模 式,并能运用 它们进行一些 简单推理. 3.通过具 体实例,了解 合情推理和演 绎推理之间的 联系和差异. 2.直接 证 明 与 间 接 证 明 1.结合已 经学过的数学 实例,了解直 接证明的两种 基本方法:分 析法和综合 法;了解分析 法和综合法的 思考过程、特 点. 2.结合已 经学过的数学 实例,了解间 接证明的一种 基本方法—— 反证法;了解 反证法的思考 过程、特点. 3.数学 文化 1.通过对 实例的介绍 (如欧几里德 《几何原本》 、 马克思《资本 论》 杰弗逊 、 《独立宣言》 、 牛顿三定律) , 体会公理化思 想. 了解综合法、分析 法、 综合分析法、 反证法 的联系与区别, 能用综合 法证明立体几何中的一 些简单命题.

3.对于具体证明的教学,可从已学知 识中的问题出发,体会合情推理和演绎推 理两种推理方法的应用.推理过程中,要 注意对学生在文字语言表述、数学语言应 用,以及规范书写证明过程等方面的要求. 4.本模块中设置的证明内容是对学生 已学过的基本证明方法的总结.在教学中, 应通过实例,引导学生认识各种证明方法 的特点,体会证明的必要性,不能对证明 的技巧性作过高要求.

1.让学生对现代信息技术在数学中的 运用有所了解,激发其探索新领域的兴趣. 2.教学中通过对所列经典著作的了 解,让学生体会公理化体系,并在所学数 学内容的相关证明中进行实际感受,以促 进学生形成必要的数学素养,能够感受数 学文化的独特魅力.

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2.介绍计 算机在自动推 理领域和数学 证明中的作 用. 3.数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引入 1.数系 的 扩 充 和 复 数 的 基 本 概念 1.在问题 情境中了解数 系的扩充过 程,体会实际 需求与数学内 部的矛盾(数 的运算规则、 方程理论)在 数系扩充过程 中的作用,感 受人类理性思 维的作用以及 数与现实世界 的联系. 2.理解复 数的基本概念 以及复数相等 的充要条件. 3.了解复 数的代数表示 法及其几何意 义. 2.复数 代 数 形 式 的 四 则运算 能进行复 数代数形式的 四则运算,了 解复数代数形 式的加、减运 算的几何意 义. 1.复数代数形式加减运算的几何意义 可类比向量加减法运算的几何意义得到, 它使复数的运算得到直观的几何解释. 2.复数代数形式的四则运算是本章的 重点,教学中应让学生熟练进行几种基本 结构的代数运算,但教学时必须控制范围 和难度,应避免繁琐的计算与技巧训练, 不能盲目拓展. 3.为了便于学生更好地领会和运用运 算法则,教学时应加强复数与实数、有理 数、平面向量及其加减运算、多项式及其 加减运算之间的联系的对比,体会其间运 算的共性;复数加减运算的几何意义可由 向量加减法的几何意义自然地得到,教学 时不必延涉及复数乘除法的几何意义. 1.在复数概念的教学中,应通过实例 让学生明确数系扩充和引入复数的必要 性,了解扩充数系的基本规律和原则,体 会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算 规则、方程理论等)在数系扩充过程中的 作用.对感兴趣的学生,可以安排一些引 申的内容,如求 x3 = 1 的根、介绍代数学基 本定理等,但必须控制难度,且不作测试 要求. 2.教学时可通过自我辨析、训练等手 段,促进学生了解复数的分类,理解复数 的实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数 等相关概念及复数相等的条件,让学生能 够进行相关的判断和简单的运用即可. 3.复数几何意义的相关教学,只要求 学生能够知道复数、复平面内的点、复平 面内的向量的对应关系,知道复数的模就 是其对应向量的模,不必涉及模、共轭复 数的性质等.

51

4.在复数表示形式的教学中,只要求 学习复数的代数表示形式,不必引进复数 的三角表示式,也不必涉及复数的运算关 系表示复平面上的点的轨迹等. 4. 框图 1.流程 图 1.通过具 体实例,进一 步认识程序框 图. 2.通过具 体实例,了解 工序流程图 (即统筹图) . 3.能绘制 简单实际问题 的流程图,体 会流程图在解 决实际问题中 的作用. 2.结构 图 1.通过实 例,了解结构 图;运用结构 图梳理已学过 的知识、整理 收集到的资料 信息. 2.结合作 出的结构图与 他人进行交 流,体会结构 图在揭示事物 联系中的作 用. 1.使学生在运用框图的过程中理解结 构图的特征. 2.通过具体问题的解决使学生掌握结 构图的用法. 1.从分析实例人手,引导学生运用框 图表示数学计算与证明过程中的主要思路 与步骤、实际问题中的工序流程、某一数 学知识系统的结构关系等. 2.使学生在运用框图的过程中认识流 程图的特征. 3.通过具体问题的解决使学生掌握流 程图的用法. 4.让学生通过对程序框图描述的算法 和自然语言描述的算法步骤的对比体验用 框图表示解决问题过程的优越性.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学 实施指导意见(试行)》中规定的选学内容.

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选 修 2-1
本模块的内容包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何. 学生通过学习了解命题的逆命题、否命题与逆否命题及其相互关系,理解必要条件、 充分条件与充要条件的意义,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,理解全称量词与 、 、 存在量词等有关概念, 学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容; 体会逻辑用语在表述 和论证中的作用,形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意 识,发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证的能力,从而能够更 好地进行数学交流;激发学生数学学习的兴趣,优化学生数学思维的品质,帮助学生逐步养 成良好的学习习惯. 学生通过学习了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,会求 圆锥曲线的标准方程, 了解曲线与方程的对应关系, 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的 简单几何问题(例如直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用, 进一步体会解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问 题的思想,增强数学应用的意识,提高数学建模的能力;了解平面解析几何产生和发展的过 程及其对数学发展和社会发展的推动作用, 帮助学生逐步养成独立钻研的习惯, 形成克服困 难的意志和毅力, 进而具有锲而不舍的钻研精神和科学态度, 树立运动变化和相互联系的辩 证唯物主义观点. 学生通过学习了解空间向量的有关概念, 了解空间向量基本定理及其意义, 掌握空间向 量的正交分解、线性运算、数量积及其它们的坐标表示等基础知识,学会运用空间向量处理 立体几何中有关直线、 平面位置关系与度量的问题; 体会向量方法在研究几何图形中的作用, 培养和发展学生的推理论证能力、逻辑思维能力、运用向量语言进行表达和交流的能力、空 间想像能力和几何直观能力; 让学生在经历向量及其运算由平面向空间推广的过程和运用向 量方法解决空间几何问题的过程中,感悟运算、推理在探索和发现中的作用,体会数学研究 方法的模式化特点,感受理性思维的力量,提高数学素养. 学习要求 基本要求 1.了解命题的 概念, 会判断一些简 单命题的真假. 则 q” 形式命题的条 件与结论. 3.了解命题的 逆命题、 否命题、 逆 发展 要求 1.能写 出 简 单 命 题 的 否 命 题 及 逆 否 命题. 2.会利 1.通过实例阐述命题的概念,所举实例应能清晰地分辨 出组成这个命题的条件和结论. 2.通过生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式的 实意义,体会逻辑用语在表述和论证中的作用. 3.对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一 般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为载体进 行训练,引导学生会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并能判断其真假,而不需要进行形式上的加深讨论.教学中 仅要求会写出易于改写成 “若 p, q” 则 形式的命题的逆命题、 否命题、逆否命题. 4. 通过实例的分析, 总结得出四种命题之间的相互关系, 教学建议

内容 标准 1 . 常 用 逻 辑 用 语 1 . 命 题 及 其 关 系

2.理解“若 p, 逆命题、 客观存在,使学生进一步认识到研究四种命题的必要性和现

否命题的有关概念, 用 互 为 会写出“若 p, q” 逆 否 命 则 形式的命题的逆命 题、 否命题、 逆否命 题 的 两 个 命 题

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题. 4.会分析四种 命题的相互关系.

之 间 的 等 价 关 系 来 判 断 命 题 的 真 假 及 证 明 简 单 的 数 学 问 题.

帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同真假 命题,注意引导学生体验规律的探索、发现过程. 5.引导学生学会利用“互为逆否命题的两个命题的等价 关系”来判断具体命题的真假,并能证明简单的数学问题.

2 . 充 分 条 件 与 必 要 条 件

结 合 四 1.理解必要条 件、 充分条件与充要 条件的意义以及充 分条件和必要条件 种 命 题 形式,理 解 充 分

1.数学中的充分条件、必要条件的概念,与日常生活中 的“充分” “必要”的意义相近,所以教学时,既要结合数学 例子进行学习,还应该借助日常生活中的例子进一步内化. 2.在“若 p,则 q”形式的命题为真命题的基础上引入 充分条件、 必要条件的概念;以学生熟知的具体实例为载体, 分析条件与结论之间的关系,逐步加深对必要条件、充分条 件与充要条件的理解. 3.“若 p,则 q”为真命题时,p 是 q 成立的充分条件, 不能误认为 p 是这个命题的充分条件. 4.对于“充分条件、必要条件与充要条件”的判断,只 要求掌握“若 p,则 q”形式命题的判断方法.这里的 p 与 q 都是不含逻辑联结词“或”“且”的,不要随意拔高要求. 、 5.教学时,可以从集合的角度运用 Venn 图来直观描述 充分条件、必要条件的关系,以帮助学生理解概念的实质. 6.充分条件、必要条件与命题的四种形式有密切关 系. (1)形如“p 是 q 的充要条件”的命题是相当普遍的, 要证明命题的条件是充要条件,即既要证明原命题,又要证 明其逆否命题. (2)在“若 p,则 q”的命题中,存在以下四 种关系:① p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件;② p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件; p 是 q 的充分必 ③ 要条件;④ p 是 q 的既非充分又非必要条件. 7. “充要条件”是数学推理的规则,通过“充要条件” 的学习进一步提高学生的辩证思维能力.

条件、必 之间的区别和联系. 要 条 件 2.了解充分条 的 判 定 件、 必要条件与四种 命题的真假之间的 密切关系. 方法.

3 . 简 单 的 逻 辑 联 结 词

1.通过数学实 例, 了解逻辑联结词 “或” “且” “非”的 含义. 2.能正确利用 表述相关的数学命 题. 3.能准确区分 命题的否定与否命

结 合 阅 读材料, 探 究 1.引导学生利用逻辑联结词“或” “且” “非”构造新命 题, 通过分析新命题的真假, “或” “非” 理解 “且” 的含义. 可

“ 或 ” 适当联系集合与不等式的相关知识进行讲解,让学生在探究 “ 且 ” 新旧知识关系的同时,提升对数学知识的理解. 2.不涉及复合命题的概念.“若 p,则 q”形式命题中 的 p 与 q, 都不含有逻辑联结词“或”“且”“非”,并且 p 集 合 中

“或” “且” “非” “非”与

的 “ 并 ” 与 q 本身也不是“若 r,则 s”形式的命题. 3.对逻辑联结词“或” “且” “非”含义的了解,主要的 “ 交 ” “补”之 功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学

54

题.

间 的 关 系

内容.因此,内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行 展开,避免抽象地讨论.注意命题的否定与否命题的联系与 区别.对于不是“若 p,则 q”形式的命题,不要求讨论其否 命题. 4.引导学生学会用逻辑用语表达数学内容,体会运用逻 辑用语表述数学内容的准确性和简洁性,使自己的思想、判 断、推理的表达更具逻辑性.

4 . 全 称 量 词 与 存 在 量 词

1.通过生活和 数学中的丰富实例 理解全称量词的含 ?x∈M,p(x) . 2.通过生活和 数学中的丰富实例 理解存在量词的含

初 步 理 解 全 称 量 词 与 词 在 构 造 数 学 命 题 中 1.对一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性是 不同的:冠以全称量词得到全称命题,冠以存在量词得到特 称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题,并能正确 判断两种命题的真假.含有两个量词的命题,不要求学生掌 握. 2.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在数

义及数学语言形式: 存 在 量

的作用, 学和生活中的作用,理解全称量词与存在量词的意义,自觉 义及数学语言形式: 并 能 判 提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地表述数学内容的 ?x0∈M,p(x0) . 断 所 构 能力. 3.掌握含有一 个量词的全称命题 的否定形式及含义: ?x0∈M,?p(x0) . 4.掌握含一个 量词的特称命题的 否定形式及含义: ?x∈M,?p(x) . 5.能判断简单 全称量词与存在量 词相关的数学命题 的真假性. 造 命 题 的真假 3. 利用日常用语和学生熟悉的数学命题讲述对含有一个 量词的命题进行否定的意义,对于量词,重在理解它们的含 义,而不要追求形式化定义.要注意全称量词与存在量词在 日常生活和数学中的不同表达形式. 4.在实践的基础上, 深入理解含有一个量词的命题的否 定,教会学生正确把握这种否定的形式化特征,并且只要求 学生对含有一个量词的命题进行否定,通过实例让学生深刻 理解全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命 题.

2 . 圆 锥 曲 线 与 方 程

1 . 曲 线 与 方 程

1.从特殊曲线 的方程 (如直线、 圆 等) 概念中抽象出一 般的“曲线的方 线的方程与方程的 曲线的意义. 2.结合已学过 的曲线及其方程的 实例, 了解曲线与方 程的对应关系. 3.掌握坐标法 和求曲线方程的一

了 解 曲 线 方 程 的 完 备 性 与 纯 在 求 解 曲 线 的 方 程 中 应用。

1.曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主, 注重让学 生体会曲线与方程的对应关系,着重让学生感受数形结合的 基本思想. 2.通过具体而适量的实际例子, 引导学生体会坐标法的 基本思想,归纳总结求曲线方程的基本步骤,探索、整理求 曲线方程的常用方法, 感受坐标法在研究几何图形中的作用. 3.突出解析几何的基本思想.概念→建立方程→探求性 质.从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中 抽象出一般的“曲线的方程”的概念. 对曲线与方程的学习, 应关注到学生自身的发展与需要,让不同层次的学生有不同 的收获. (1)通过求圆锥曲线的标准方程(后继) ,进一步感 受曲线方程的概念,了解求曲线方程的基本方法(在必修部 分虽有体现,但未充分说明)(2)例 2(将圆 x2 + y2 = 4 上 .

程”的概念, 理解曲 粹性,并

55

般步骤(流程图) , 会求曲线的方程. 4.通过曲线与 方程的关系的探究, 进一步体会数形结 合的思想. 2 . 椭 圆 1 . 1.了解椭圆的 实际背景, 感受椭圆 在刻画现实世界和 解决实际问题中的 作用. 2.经历从具体 情境中抽象出椭圆 模型的过程, 掌握椭 圆的定义、 焦点、 焦 距等基本概念. 3.掌握椭圆的 标准方程, 能根据已 知条件求出椭圆的 标准方程. 4.能求出椭圆 上满足某些条件的 点的坐标. 5.能利用椭圆 的标准方程研究椭 圆的简单几何性质 (范围、 对称性、 顶 点、离心率等) . 6.能根据椭圆 的标准方程和几何 性质解决一些简单 的实际问题. 7.经历由轨迹 特征抽象成数量关 系、 形成方程的探究 过程, 在实施数形转 化解决问题的过程 中, 培养抽象概括能 力和逻辑思维能力, 养成独立思考的良 好品质. 体 会 利 用 椭 圆 的 标 准 方 程 研 究 椭 圆 的 几 何 性 质 的 方法,并 能 初 步 加 以 应 用. 2 . 提 高 学 生 运 算 推 理 能 力.

的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲 线的方程,并说明它是什么曲线?)给出了确定曲线类型的 新方法(原来的方法是运用概念,这里是由方程去判断) . 4. 教学时只需要通过根据已经学过的几种曲线的方程与 曲线的关系进行概括,并通过具体问题让学生适当感受,在 应用中加深体会,不要在定义方面作过多深究. 1.通过生活实例或利用多媒体演示(卫星的运行轨迹、 平面截圆锥得到圆锥曲线) 让学生经历从具体情境中抽象出 , 椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示椭圆的几何特征, 理解并掌握椭圆的定义. 2.突出建立椭圆标准方程的全过程: (1)建系-设点-列式(限制条件)- 代入坐标(得 方程)- 化简方程. (2)对于“由上述过程可知,椭圆上的 点的坐标(x、y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个 方程的点都在已知的椭圆上” 只要求让学生从方程同解的角 . 度认同即可,不要求提及纯粹性和完备性的概念. (3)参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式,到后面的学 习中再说明其几何意义. (4)焦点在 y 轴上的椭圆标准方程 可由学生独立研究自行推出(不妨先作猜想,或变量代 换)(5)在方程的推导过程中,方程为两个根式的和等于一 . 个非零常数,要注意说明化简这类方程的必要性和方法,培 养学生的运算能力,体会数学美. 3.对求给定条件的椭圆的标准方程, 可引导学生根据已 知条件利用待定系数法求出 a、 的值,然后得出相应的标准 b 方程. 4.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两 点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义 和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是 如何用代数方法来研究曲线几何性质的.由于是第一次系统 地用代数的方法研究曲线的几何性质, 应注意控制教学进度。 (1)突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析 几何的基本思想.如:范围、对称性等. (2)“顶点是椭圆与对称轴的交点”,不能认为最高 (低)点、最左(右)点就是顶点,也不能认为顶点就一定 是椭圆与坐标轴的交点. (3) 对离心率的讲解要突出其几何意义, 并在实验的过 程中让学生感受和理解其意义.直观上椭圆的扁平程度本可 用
b a c a

来刻画,为什么还要用

来定义呢?

56

3 . 双 曲 线

1.了解双曲线 的实际背景, 体会双 曲线在刻画现实世 界和解决实际问题 中的作用. 2.了解双曲线 的定义、 焦点、 焦距 等基本概念. 3.了解双曲线 的标准方程, 能根据 已知条件求出双曲 线的基本量. 4.知道双曲线 的几何性质(范围、 对称性、 顶点、 渐近 线和离心率等) . 5.会利用双曲 线的几何性质求双 曲线的标准方程. 6.能根据双曲 线的标准方程和几 何性质解决一些简 单的实际问题.

1.了解 双 曲 线 与 椭 圆 的 区 别 2.进一 步 体 会 通 过 双 曲 线 方 程 研 究 图 形 几 何 性 质 的方法.

1.学习双曲线时要注意与椭圆进行类比,通过类比、直 观操作、观察模型等了解双曲线的定义、几何图形和标准方 程,知道双曲线的有关性质. (1) 如导言中的类比问题以及研究过程中从结论、 过程、 点距离的和等于定值,当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程 为
x a
2 2

和联系. 方法各个层面与椭圆类比. (我们知道,椭圆上的点到两个定
2 2

?

y b

? 1 .双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值

等于定值.那么,双曲线的标准方程是什么形式呢?定义中 为什么多了“绝对值”这个条件,如果没有这个条件会呢? 等等) (2)双曲线的范围:更有精确的限制,为渐近线的引入 作铺垫.由
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1 ,得

x a

?1?

y b

≥1,这表明双曲线

在不等式 x≥a 与 x≤-a 所表示的平面区域内. (思考: 根据 双曲线方程 的限制?) 由
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,你能发现双曲线的范围还受到怎样

?

y b

2 2

? 1 ,可知
x a y b

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0



即(

x a

?

y b

)(

?

)? 0


y ?x ? 0, ? ? ?a b ? ?x ? y ? 0 ?a b ?

所以

y ?x ? 0, ? ? ?a b ? ?x ? y ? 0 ?a b ?



表明双曲线位于两条相交直线所围成的的区域内. (3)双曲线离心率的几何意义:与椭圆类比提出问题, 通过数形结合、分析发现结论. (椭圆的离心率 e ? 在双曲线中
c a

c a

反映了图形的“扁”的程度,那么

是否也与双曲线的形状有关呢?)因为双曲线
? ? b a x

的图形夹在两条渐近线 y 的开口就越大.由 口就越大;
c a

之间,所以 可知,
c a

b a

越大,双曲线

c a

?

b 2 1? ( ) a

越大,双曲线的开
c a

越小,双曲线的开口就越小,即

反映了双曲

线的开口的大小. 2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,所以在推导 双曲线的标准方程时,应尽可能让学生自己动手推导. 3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导学
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生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究双曲线的简单几 何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演示, 直观反映其“渐近”的特征. 4 . 抛 物 线 1.知道 1.了解抛物线 的实际背景, 感受抛 物线在刻画现实世 界和解决实际问题 中的作用. 2.掌握抛物线 的定义、 准线等基本 概念,会建立并掌握 二 次 函 数 图 象 (抛物线) 的 几 何 性质. 2.了解 椭圆、双 曲线、抛 1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的镜 面) 使学生了解抛物线的背景与应用,引导学生掌握抛物线 , 的定义;有条件的学校可借助计算机,向学生展示用平面截 圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对抛物线定义的理解, 掌握抛物线的定义. 2.让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过程, 掌握 求抛物线标准方程的方法;对于在已知条件下求抛物线的方 程,引导学生要考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养其 思维的严谨性.

抛物线的标准方程. 物 线 的 3.关注抛物线方程与几何性质的特殊性: 3.能根据已知 一 些 共 (1) 建立抛物线标准方程时坐标系的合理选择.让学生 条件求抛物线的标 同性质. 在独立探索的过程中认识到:建立抛物线的方程,关键是选 准方程. 择适当的坐标系. 4.掌握抛物线 的几何性质(范围、 对称性、 顶点、 离心 率等) . 5.会利用抛物 线的方程解决简单 的实际问题. 5 . 圆 锥 曲 线 的 简 单 应 用 1.掌握直线与 圆锥曲线的位置关 系. 2.会求两条曲 线有关的交点坐标 的简单问题 (转化为 求解方程组的问 题) . 3.能解决圆锥 曲线在实际中的一 些简单应用, 进一步 提升 “应用数学” 的 意识, 提高解决问题 的能力. 4. 由曲线 (形) 到方程(数) ,又由 方程研究曲线, 感受 数形结合思想的应 用, 会用数形结合思 1.知道 圆 锥 曲 线 的 内 涵 与 外 延、联系 2.掌握 用 代 数 方 法 研 究 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系. 1.圆锥曲线的生成定义. (1)生长点:抛物线.我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离之比等于 1 的 动点 P 的轨迹是抛物线. 当这个比值是一个不等于 1 的常数时,动点 P 的轨迹又 (2)过程:特殊 —— 一般(实验探索) . 设置意图:整体意识、数学和谐、统一美. 2.通过圆锥曲线与方程的学习, 让学生理解曲线的交点 坐标就是曲线方程的公共实数解,可以通过求解曲线方程组 得到曲线的交点坐标. 3.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知识研究 直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.在解 决与弦长有关的问题时,引导学生发现利用整体思想代换 x1 + x2 与 x1x2, 让学生体会到若借助于一元二次方程根与系数的 关系,则能简化步骤,避免繁杂运算,提高效率. 4.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹.卫 星的运行轨迹等) 引导学生利用坐标法解决生活中的实际问 , 题,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力,形成善于独立 (2)注意与椭圆、双曲线的联系与区别: 方程特点:无常数项,一个一次项,一个二次项. 图形特征:过原点,一条对称轴,非中心对称. 4.通过对具体实例的教学,引导学生学会利用定义解决 数学问题,以便加深对抛物线定义的理解,感受到抛物线在 解决实际问题中的作用.

与区别. 是什么曲线呢?

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想解题. 3 . 空 间 向 量 与 立 体 几 何 1 . 空 间 向 量 及 其 运 算 1.了解空间向 量及相关概念. 2.掌握空间向 量的加减运算及其 运算律. 3.掌握空间向 量的数乘运算的意 义和运算律. 4. 理解共线 (平 行) 向量、 共面向量 的意义, 能利用它们 证明简单的空间向 量共线和共面的问 题. 5.了解直线的 方向向量的意义, 理 解空间向量的长度 和夹角的意义. 6.掌握空间向 量的数量积及其运 算律. 7.能利用空间 向量的运算, 解决线 线、 线面垂直、 两点 间的距离和线段长 度等相关问题. 8.了解空间向 量基本定理及其意 义. 9.掌握空间向 量的正交分解, 及其 坐标表示; 会在简单 的问题中选用合适 的基底表示其它向 量. 10. 掌握向量的 长度公式、 两向量夹 角公式、 空间两点间 的距离公式, 并会解 决简单的立体几何 问题. 1.能熟 练 地 进 行 空 间 向 量 的 线 性 运 算 及 与 坐 标 表 示 的 互 化. 2.向量 的 数 量 积 的 灵

思考的良好品质. 1.向量不仅是一个计算工具,还是连接代数与几何的桥 粱,是数形结合思想的一个具体体现.一方面,向量的运算 可以解决几何中的问题;另一方面,对于代数问题,可以通 过向量给予几何解释. 2. 一般地, 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 共 面向量还可以理解为“平行于同一平面的向量”(传统定 义) .为此,要先规定向量与平面平行的含义:若表示向量的 有向线段平行于平面或在平面内,则称向量与平面平行.人 教 A 版教材对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征, 不出现向量与平面平行的概念. 3. 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅 形式相同,而且本质也一样.这是因为任意两个空间向量 a, 向量,向量 p 与它们共面,也就是向量 p 可以平移到这个平 面,所以就能用 a,b 线性表示. 4.向量共线定理表明,任意一个向量可以用与它共线的 一个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的,所以共 面向量定理是平面向量基本定理的推广,可以看成(在一定 范围内的) 向量分解“唯一性”定理由一维向二维的推广. 由 此,可以向学生提出:在空间向量中,我们还可以作怎样的 推广呢?引导学生积极主动探索.空间向量基本定理表明, 任意一个空间向量可以用不共面的三个已知向量来线性表 示,而且这种表示是唯一的.因此,空间向量基本定理也称 为空间向量分解定理, 它为空间向量的坐标表示奠定了基础. 空间向量基本定理与平面向量基本定理类似,区别仅在 于基底中多了一个向量, 从而分解结果中也多了一“项”. 定 理中“存在性”的证明与平面向量基本定理的思路、步骤基 本相同,“唯一性”的证明要用到反证法,只要求学生了解 即可. 5.由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量, 所以 空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定 义和符号、两个空间向量的数量积等等,都与平面向量相 同.教学中,应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概 念、运算和方法推广到空间. 6.正确使用两个向量夹角的符号〈a,b〉 .例如, AB , 〈
AC

活应用. b 都可以平移到同一个平面,当 a,b 不共线时,可以作为基

〉=∠BAC. 7.只要求了解空间向量数量积的几何意义. 8.空间向量数量积运算律的证明不作要求 (向量的数量

积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径) .

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2 . 空 间 向 量 的 应 用

1.能利用空间

能 根 据

1.空间线、面的位置关系中,角反映了它们在方向上的 差异.因此,用向量来刻画这种差异,就先要规定直线、平 面的“方向”,从而引入直线的方向向量和平面的法向量. 直线的方向向量不止一个,这些向量是共线向量;两条 平行直线的方向向量是共线向量.因此,研究空间线线、线 面的平行与垂直关系,即研究它们在“方向”上的差异程度 平面的法向量不止一个,这些向量是共线向量;两个平 行平面的法向量是共线向量, 也就是说, 两个平行平面的“方 向”是相同的.因此,研究空间线面、面面的平行与垂直关 系,即只需研究它们在“方向”上的差异程度时,就可以用 平面的法向量来刻画平面的“方向”. 2.将空间线线、线面、面面的位置关系,用直线的方向 向量和平面的法向量来表述,是一个“符号化”的过程.用 向量语言表示空间线线、线面、面面的位置关系方法是:设 空间两条直线 l1,l2 的方向向量 e1,e2,两个平面?1、?2 的法 向量 n1、n2,则有下表: 平行 l1 与 l2 l1 与?1 e1∥e2 e1⊥n1 n1∥n2 垂直 e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2

向量表示空间的点、 具 体 的 直线、平面等元素, 几 何 体 建立立体图形与空 2.理解平面的 法向量的意义. 3.通过具体的 实例, 明确用空间向 量解决立体几何问 题的“三步曲”. 4.能利用直线 的方向向量解决两 直线平行、 垂直及夹 角的问题, 利用法向 量解决两平面平行、 垂直及二面角的问 题, 能通过选择适当 的坐标系, 解决简单 的立体几何问题. 建 立 恰 间 直 角 把 空 间 的 位 置 关 系 和 度 量 关 系 转 化 为 用 向 量 方 法 处理. 间向量之间的联系. 当 的 空

坐标系, 时,可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向”.

?1 与?2

3. 教学过程中, 要通过具体的实际例子和适量的训练题, 引导、帮助学生: (1)领会并掌握向量方法“三步曲” (解决立体几何问 题的一般方法) .在学习立体几何初步的基础上,通过空间向 量这一载体,将立体几何中的演绎、证明转化为计算,进一 步体会向量方法在研究几何问题中的作用. (2) 归纳出立体几何问题的主要类型:①空间位置关系 (平行和垂直关系)的论证;②空间有关量的计算,如求空 间角等. (3) 掌握用向量方法解决立体几何问题的基本步骤:① 把几何问题转化为向量问题,②进行向量运算,③由向量运 算结果解释几何问题;从中体会“向量方法”与“坐标方法” 在解决立体几何问题中的作用,提高空间想像能力、几何直 观能力及推理论证能力.

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选 修 2-2[1]?
本模块的主要内容是导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入. 微积分的创立是数学发展过程中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期, 为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 导数概念是微积分的核心概念之一, 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变 化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极 值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础.通过该模 块的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解 微积分的文化价值. “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式.推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定 义、公理、定理等) 、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过 程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发 现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正 确的结论(包括定义、公理、定理等) ,按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程.合 情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数 学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证, 即在前提正确的基础上, 通过正确使用推理规则 得出结论.在本模块中,学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以 及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法,包括直接证明 的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法) ;感受逻辑证明 在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程, 同时体现了数学发生发展的客观需求和 背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中,学生将在问题情境中了解数 系扩充的过程以及引入复数的必要性, 学习复数的一些基本知识, 体会数系扩充中人类理性 思维的作用.

内容标准
1 . 导 数 及 其 应 用 1. 导数 的概念 及其几 何意义

学习要求 发展要求 基本要求
1.通过对大量实例 的分析,经历由平均变化 率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实 际背景,知道瞬时变化率 就是导数,体会导数的思 想及其内涵. 2.通过函数图象直 观地理解导数的几何意 义. 1. 理解 导 数 的 概 念. 2. 体会 逼近思想和 以直代曲的 转化方法. 3. 以导 数的几何意 义、物理意 义为基础,

教学建议
1.导数是微积分的核心内容,它有着极 其丰富的实际背景和广泛的应用. 教学中, 可 以通过研究切线 (曲线的) 增长率、 、 膨胀率、 效率、密度、速度、加速度等能直接反映导数 思想及本质的、 学生熟悉的实例, 引导学生经 历由平均变化率到瞬时变化率的过程, 认识并 理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数, 增强导数几何意义的认识和理解. 2.现行导数概念是在没有全面学习极限 的情况下出现的,所以要注重导数概念的本 质,强调导数的思想、物理意义、几何意义以

[1]*根据《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》具体要求,模块选修 2-2、2-3 合 并为一个模块,称为选修 2-2 与 2-3. 61

运用导数概 念解决相关 问题.

2. 导数 的运算

1.能根据导数定义 1. 理解 2 求函数 y = c, = x, = x , 几个常见函 y y 1 数的导数的 y = x3, y ? , y ? x 的 x 几何意义, 导数. 能准确记忆 2.能利用给出的基 基本初等函 本初等函数的导数公式 数的导数公 和导数的四则运算法则 式和导数运 求简单函数的导数,能求 算法则,熟
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及应用. 在导数概念的教学时, 要注意通过大 量的实例, 引导学生理解 “瞬时” 二字的含义, 让学生领会导数思想的核心在于瞬时变化率 的刻画. 3.导数概念教学的操作可以按下列程序 进行:(1) 从生活实例中引入平均变化率的概 念.研究运动和变化,离不开变化率.任何事 物的变化可以由变化率来描述, 从而引出平均 变化率的概念 (也就是一个变量在一定范围内 的变化即相对改变).(2) 导数的概念是本部 分的核心, 教学时必须尽可能强化导数的概念 及概念的形成. 在某时间段的平均变化率无法 反映、 刻画某时刻的变化率, 只有当时间段无 限缩短并无限靠近某时刻时方可得到该时刻 的变化率即瞬时变化率, 运用逼近思想考察瞬 时变化率即可明确导数的概念的本质.(3) 注 重导数的几何意义, 通过大量实例研究导数概 念。 在函数可导的范围内, 局部使用以直代曲 即用曲线上某点处的切线近似代替这一点附 近的曲线, 通过简单的、 熟悉的直线的研究解 决复杂的、陌生的问题,贯穿了以直代曲、无 限逼近的思想方法,这样从形的角度诠释导 数, 深刻反映了数形结合思想的广泛、 灵活运 用,也深化了对导数概念的掌握. 4.本部分内容在微积分理论等方面要求 不高, 教学时切勿追求理论的严密性和过多的 技巧, 关键是理解导数、 *定积分概念的内涵, 注重思想、 过程及应用. 根据教学实际与信息 技术进行合理的整合,促进对导数、*定积分 意义的理解,例如:以直代曲、 “逼近”过程 的展示、 函数单调性与导数符号关系、 增长快 慢与导数的绝对值大小的关系、导数与*定积 分几何意义的直观展示等. 5.本模块的教学必须注意把握好教学要 求,在计算的难度、应用的深度和广度、函数 的类型等方面都应该针对学生实际进行合理 控制. 1.建立了导数的概念后,要实实在在引 导学生动脑、 动手推导几个常见初等函数 (如 y = c,y = x,y = x2,y = x3, y ?
1 x

,y ?

x



的导数公式, 在形式化训练中规范要求, 从而 加深对导数概念的认识和理解, 并从中领悟求 导数的基本思想. 2. 教学中不需补充导数运算法则的证明, 只要求能感知、 记忆、 理解并运用基本初等函

3. 导数 在研究 函数中 的应用

简单的复合函数(仅限于 练求解简单 形如 f(ax + b))的导数. 函 数 的 导 3.会使用导数公式 数. 表. 2. 能根 据导数的定 义 求 某 些 (不仅限于 形如 f(ax + b))简单复 合函数的导 数. 3. 能运 用导数解决 一些简单的 实际应用问 题. 1.结合实例,借助 1. 体会 几何直观探索并了解函 数形结合思 数的单调性与导数的关 想在导数运 系;能利用导数研究函数 用 中 的 作 的单调性,会求不超过三 用. 次的多项式函数的单调 2. 会求 区间. 一些简单函 2.结合函数的图象, 数的单调区 了解函数在某点取得极 间 、 极 大 值的必要条件和充分条 (小)值、 件;会用导数求不超过三 最大(小) 次的多项式函数的极大 值;并能运 值、极小值,以及闭区间 用导数研究 上不超过三次的多项式 函数的一般 函数最大值、最小值. 性质. 3.体会导数方法在 3. 能运 研究函数性质中的一般 用导数的知 性和有效性. 识、思想方 法,解决函 数(数列) 、 不等式等较 综合问题的 问题.

数的导数公式和运算法则求一些简单函数的 导数即可. 3.教学时不要求对复合函数的求导公式 进行证明, 能利用公式求简单复合函数的导数 即可. 4.为使学生能够熟练运用公式求导和掌 握相关的运算, 应提供时机让学生进行适当的 有针对性的训练, 但必须避免过量的形式化练 习.

1.利用导数判断函数的单调性是导数应 用的重点, 教学中应选取具体的函数, 利用它 们的图象, 借助几何直观通过实例探究, 发现 函数的导数与函数单调性之间的本质联系, 学 会用导数研究函数的单调性、 确定函数的单调 区间, 进而完成对函数的最值 (极值) 的教学. 2.函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件是难点, 教学中要多通过具体例子、 图 象等加以突破. 通过训练, 让学生明确函数在 某点取得极值的条件, 准确掌握求函数极值的 步骤.对于函数的最大(小)值概念的理解、 求法的掌握, 仍然应以通过实例促进学生感知 概念、体会方法的方式进行教学,与此同时, 可适当引导学生体会极值与最值的联系与区 别. 3.教师应引导学生在解决具体问题的过 程中, 结合实例及函数的图象, 借助几何直观, 将研究函数的导数方法与初等方法进行对照 比较, 让学生体会导数方法在研究函数性质中 的一般性和有效性. 4.教学中要注意严格控制难度,避免过 量的形式化的导数运算练习, 重视导数在研究 函数性质与实际生活中的应用, 体会导数的思

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*4 . 生 活中的 优化问 题举例

通过使利润最大、用 料最省、效率最高等优化 问题,体会导数在解决实 际问题中的作用.

能通过 建立函数模 型,利用导 数解决生活 中一些简单 的 优 化 问 题.

*5.定 积分与 微积分 基本定 理

1.通过实例(如求 曲边梯形的面积、变力做 功等),从问题情境中了 解定积分的实际背景;借 助几何直观体会定积分 的基本思想,初步了解定 积分的概念. 2.通过实例(如变 速运动物体在某段时间 内的速度与路程的关 系),直观了解微积分基 本定理的含义.

1. 体会 “ 左 右 夹 逼”方法, 从直观上感 知近似代替 的合理性. 2. 初步 体会导数和 定积分之间 的 内 在 联 系. 3. 体会 微积分工具 在数学与物 理等问题上 的应用,并 体会其应用 的思想和方 法.

想及其内涵,帮助学生直观理解导数的背景、 思想和作用. 这部分内容突出对导数本质的认 识, 要求学生体会导数的思想及其内涵, 培养 学生以导数为工具研究函数的意识, 须防止仅 仅将导数作为一种规则和步骤来学习, 而忽视 它的思想和价值. 5.教学中要注意运用学生熟悉的数学问 题与生产和生活中的实际问题, 引导学生充分 发挥导数的工具作用, 使学生充分感受导数在 解决数学问题和实际问题中的应用, 帮助学生 增强数学应用的意识, 促进学生全面认识数学 的科学价值、应用价值和文化价值. 1.对于定积分,教科书给出的用定义计 算定积分的函数都非常简单,而且和导数一 样, 这种计算方法的目的在于让学生了解定积 分的概念. 利用微积分基本定理计算定积分的 基础是导数公式, 由于导数公式有限而且没有 讲原函数等知识, 故对于定积分的计算要求很 简单, 基本上都是一些通过观察能想到原函数 的函数. 2.应用方面,利用定积分计算简单的平 面图形的面积, 不涉及旋转体; 关于生活中的 问题, 尽量选取背景比较简单, 学生比较熟悉 的物理问题,像膨胀率、速度、温度变化、变 力作功等.

*6 . 数 学文化

*2 . 推 理 与 证 明

1. 合情 推理与 演绎推 理

收集有关微积分创 立的时代背景和有关人 物的资料,并进行交流; 体会微积分的建立在人 类文化发展中的意义和 价值. 1.结合已学过的数 学实例和生活中的实例, 了解合情推理的含义,能 利用归纳和类比等进行 简单的推理,体会并认识 合情推理在数学发现中 的作用. 2.结合已学过的数 学实例和生活中的实例,

组织引导学生阅读资料时, 可以让学生体 会收集、 整理资料的方法和过程; 交流可以采 取小组讨论、专题演讲和撰写书面材料等方 式.

1. 了解 一般意义上 的类比与归 纳. 2. 初步 具备运用合 情推理进行 思考、获取 结论,并运
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1.教学中应通过实例,让学生感知合情 推理和演绎推理, 了解合情推理和演绎推理的 区别与联系; 让学生了解一般意义上的类比和 归纳, 引导学生运用合情推理去探索、 猜测一 些数学结论, 并用演绎推理确认所得结论的正 确性, 或者用反例推翻错误的猜想. 教学的重 点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推 理,而不追求对概念的抽象表述.

2. 直接 证明与 间接证 明

3. 数学 归纳法

体会演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本模 式,并能运用它们进行一 些简单推理. 3.通过具体实例, 了解合情推理和演绎推 理之间的联系和差异. 1.结合已经学过的 数学实例,了解直接证明 的两种基本方法:分析法 和综合法;了解分析法和 综合法的思考过程、特 点. 2.结合已经学过的 数学实例,了解间接证明 的一种基本方法——反 证法;了解反证法的思考 过程、特点. 了解数学归纳法的 原理,能用数学归纳法证 明一些简单的数学命题.

用演绎推理 对获得结论 真假进行判 断或证明的 能力.

了解综 合法、分析 法、综合分 析法、反证 法的联系与 区别,能用 综合法证明 立体几何中 的一些简单 命题. 运用数 学归纳法解 决一些与自 然数有关的 简单的数学 问题.

2.直接证明的教学应引导学生认识分析 法和综合法的特点、联系、区别;间接证明的 教学应引导学生认识反证法的特点. 3.对于具体证明的教学,可从已学知识 中的问题出发, 体会合情推理和演绎推理两种 推理方法的应用. 推理过程中, 要注意对学生 在文字语言表述、 数学语言应用, 以及规范书 写证明过程等方面的要求. 4.本模块中设置的证明内容是对学生已 学过的基本证明方法的总结. 在教学中, 应通 过实例,引导学生认识各种证明方法的特点, 体会证明的必要性, 不能对证明的技巧性作过 高要求.

通过具体实例让学生了解数学归纳法的 原理,对证明的问题仅限于“ (1)验证 P(n0) 成立; (2)假设 P(k)成立推出 P(k +1)也 成立. ”的类型,注意控制涉及问题及方法使 用的难度. 1.让学生对现代信息技术在数学中的运 用有所了解,激发其探索新领域的兴趣. 2.教学中通过对所列经典著作的了解, 让学生体会公理化体系, 并在所学数学内容的 相关证明中进行实际感受, 以促进学生形成必 要的数学素养,能够感受数学文化的独特魅 力.

4. 数学 文化

3 . 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

1. 数系 的扩充 和复数 的基本 概念

1.通过对实例的介 绍(如欧几里德《几何原 本》 、马克思《资本论》 、 杰弗逊《独立宣言》 、牛 顿三定律) ,体会公理化 思想. 2.介绍计算机在自 动推理领域和数学证明 中的作用. 1.在问题情境中了 解数系的扩充过程,体会 实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方 程理论)在数系扩充过程 中的作用,感受人类理性 思维的作用以及数与现 实世界的联系. 2.理解复数的基本 概念以及复数相等的充 要条件. 3.了解复数的代数 表示法及其几何意义.
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1.在复数概念的教学中,应通过实例让 学生明确数系扩充和引入复数的必要性, 了解 扩充数系的基本规律和原则, 体会实际需求与 数学内部的矛盾 (数的运算规则、 方程理论等) 在数系扩充过程中的作用.对感兴趣的学生, 可以安排一些引申的内容,如求 x3 = 1 的根、 介绍代数学基本定理等, 但必须控制难度, 且 不作测试要求. 2. 教学时可通过自我辨析、 训练等手段, 促进学生了解复数的分类,理解复数的实部、 虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等相关概念及 复数相等的条件, 让学生能够进行相关的判断 和简单的运用即可.

2. 复数 代数形 式的四 则运算

能进行复数代数形 式的四则运算,了解复数 代数形式的加、减运算的 几何意义.

3.复数几何意义的相关教学,只要求学 生能够知道复数、 复平面内的点、 复平面内的 向量的对应关系, 知道复数的模就是其对应向 量的模,不必涉及模、共轭复数的性质等. 1.复数代数形式加减运算的几何意义可 类比向量加减法运算的几何意义得到, 它使复 数的运算得到直观的几何解释. 2.复数代数形式的四则运算是本章的重 点, 教学中应让学生熟练进行几种基本结构的 代数运算, 但教学时必须控制范围和难度, 应 避免繁琐的计算与技巧训练,不能盲目拓展. 3.为了便于学生更好地领会和运用运算 法则,教学时应加强复数与实数、有理数、平 面向量及其加减运算、 多项式及其加减运算之 间的联系的对比, 体会其间运算的共性; 复数 加减运算的几何意义可由向量加减法的几何 意义自然地得到, 教学时不必延涉及复数乘除 法的几何意义. 4.在复数表示形式的教学中,只要求学 习复数的代数表示形式, 不必引进复数的三角 表示式, 也不必涉及复数的运算关系表示复平 面上的点的轨迹等.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学 实施指导意见(试行)》中规定的选学内容.

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选 修 2-3
本模块的主要内容是计数原理、统计案例、概率. 计数问题是数学的重要研究对象之一, 分类加法计数原理、 分步乘法计数原理是解决计 数问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思 想和工具.在本模块的计数原理的学习中,学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式 定理及其应用,了解计数与现实生活的联系,会解决简单的计数问题. 在必修课程学习概率的基础上, 学生在本部分将学习某些离散型随机变量分布列及其均 值、方差等内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法,并能 用所学知识解决一些简单的实际问题, 进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特 点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识. 在必修课程统计内容的基础上, 学生将在统计案例部分, 通过典型案例进一步学习回归 分析与独立性检验的基本思想、 方法及其初步应用, 进一步体会运用统计方法解决实际问题 的基本思想,认识统计方法在决策中的应用.

内容标准
1.计 数 原 理 1.分类加法计 数原理、 分步乘 法计数原理

学习要求 基本要求 发展要求
1.通过实例, 总结出分类加法 计数原理、分步乘 法计数原理. 2.能根据具 体问题的特征,正 确地区分“分类” 或“分步” ,选择 分类加法计数原 理或分步乘法计 数原理解决一些 简单的实际问题. 1.能根 据 问题的 特 征 选择相 应 的 计 数 原 理. 2.能合 理 运用两 个 计 数原理 解 决 各种背 景 下 涉及分 类 或 分步的 简 单 计 数 问 题.

教学建议
1.本章重点是两个计数原理,排列、 组合的意义及排列数、组合数计算公式, 二 项 式定理 ,其 中两个 计数 原理是 最基 本 的.难点是正确运用两个计数原理以及排 列、组合概念分析和解决问题. 计数原理不 仅是推导排列数、组合数计算公式的依据, 也是后续知识产生与发展的基础, 其基本思 想方法贯穿本章内容的始终. 当面临一个复 杂问题时, 通过分类或分步将它分解成为一 些简单的问题, 先解决简单问题,然后再将 它们整合起来得到整个问题的解决, 这是一 种重要而基本的思想方法.因此, 理解和掌 握两个计数原理,是学好本章内容的关键. 2.计数原理在解决问题时具有很大的 灵活性,是训练学生能力的好素材, 在教学 时应注意强化两个计数原理的地位, 引导学 生从熟悉的、 具体的实例中归纳总结基本结 论,务必让学生经历概念的形成过程,切忌 由老师阐述概念条文、解释概念,然后讲解 例题, 最后让学生模仿练习的教学模式. 因 此,从问题情境引出课题后,可先通过列举 等方式写出所有可能情况, 之后引导学生分 析问题的特点, 提出计数的方法,并概括到 一般原理上. 其中, 让学生自己举一些例子, 说明计数的方法,概括不同事例的共同特 征,都是需要经历的过程. 3.两个计数原理的理解并不困难,但

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是根据具体问题的特征选择对应的原理, 特 别是综合应用两个计数原理对学生而言, 具 备一定的难度. 因此计数原理的教学需要由 浅入深地安排丰富的例题, 并辅以合适的训 练,引导学生逐步体会“分类”与“分步” 的区别, 体会两个计数原理的基本思想及其 应用方法. 4.两个计数原理可以视作一种常识, 易学好懂, 但要达到会用的境界,则需要一 定量的应用性训练. 教学时应特别注意选择 一些典型的、富有时代气息的应用问题, 引 导学生用两个计数原理进行分析、 推理和论 证, 使学生有较多的机会在应用过程中加深 对原理的理解, 提高学生分析问题和解决问 题的能力. 教学中还要注意引导学生体会两 个计数原理在排列数公式、 组合数公式和二 项式定理推导中的工具性作用, 以利于避免 学生单纯记忆和机械套用公式进行计算. 2.排列与组合 1.通过实例, 理解排列、组合的 概念,理解排列与 组合的联系与区 别. 2.能利用计 数原理推导排列 数公式、组合数公 式,并能应用排列 与组合知识解决 简单的实际问题. 能根据 基 本计数 原 理 、排列 与 组 合的相 关 知 识,合 理 设 计、构 造 模 式,灵 活 选 择方法 , 解 决有关 排 列 组合的 应 用 (计数 ) 问题. 1.排列、组合是两类特殊而重要的计 数问题,教学时应贯穿两个基本思路:一是 根据一类问题的特点和规律寻找简便的计 数方法, 二是注意应用两个计数原理思考和 解决问题. 2.在分析具体问题时应当启发学生抓 住 “顺序” 来区分排列问题中元素的 “有序” 与组合问题中元素的“无序” ,这是解决这 两类问题的关键, 也是初学者容易犯错误的 地方. 由于 “标准” “组合数的两个性质” 对 不作要求, 教科书以选学内容的方式对它们 进行介绍, 然而这两个性质能够有效地简化 一些组合数的运算, 因此对于有兴趣和能力 的学生可自主探究组合数的两个性质, 但在 教学中不作统一要求. 1.能综 1.教学中应该把二项式定理的学习过 合 运用二 项 程视作应用两个计数原理解决问题的典型 展 开式、 通 过程,现在合情推理(猜想)的基础上获得 项 公式、 二 结论, 再用计数原理对其进行证明。 这个分 项 式系数 等 析过程不仅为二项式定理的证明提供了基 知 识解决 问 本思路, 也使学生对二项式定理的展开式和 题. 计数原理之间的内在联系加深了认识, 进一 2.会利 步体会到运用数学知识解决数学问题的基 用 二项式 定 本过程. 理 (如赋 值 2.在获得二项式定理后,教师应当引 法 )解决 与 导学生对二项展开式进行深入分析. 二项式 二 项展开 式 系数的性质有比较广泛的应用, 尤其要注意 有 关的简 单 赋值法在证明组合数等式时的应用. 在二项
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3.二项式定理

1.能用计数 原理证明二项式 定理。 2.掌握二项 展开式的通项公 式。 3.会用二项 式定理解决与二 项展开式有关的 简单问题.

2.统 计 与 概率

1.概率

式定理的教学过程中,应注意适度运用“杨 辉三角”这一题材,激发学生的学习热情, 丰富学生对数学文化历史价值的认识, 对学 生进行爱国主义教育, 激励学生的民族自豪 感. 3. 一定要针对学生的学习实际和课程 标准的要求, 适度把握教学内容的范围和难 度,重视本部分内容的基本思维价值,避免 在排列组合问题、 二项式定理的过难运用等 解题技巧上做文章. 1.在对具体 1.能把 1.本部分内容概念较多,对每一个概 问题的分析中,理 一 些实际 问 念,都应该用学生熟悉的大量实例引入, 水 解 取 有 限 值 的 离 题 抽象成 两 到渠成地提出概念, 让学生在理解的基础上 散 型 随 机 变 量 及 点 分布或 超 记忆,避免机械模仿. 其分布列的概念, 几 何分布 的 尽管随机现象表现各异, 随机事件形形 认 识 分 布 列 对 刻 模 型,并 加 色色,但忽略其具体背景、分析其本质,就 画 随 机 现 象 的 重 以解决. 会发现它们呈现出一些共性, 统计与概率就 要性. 2.了解 是研究这些共性的数学工具。 教学中要让学 2.通过实例, 两 点分布 、 生体会 “把随机试验的结果数量化, 用随即 理 解 超 几 何 分 布 二 项分布 的 变量表示试验结果” 这一运用数学工具研究 及其导出过程,并 方 差的计 算 随机现象的基本思路, 还应通过切合学生生 能 进 行 简 单 的 应 公式. 活实际的例子, 使学生具体感受其中体现的 用. 数学思想方法,进一步激发学习兴趣。 3.在具体情 2.注意通过实例引导学生体会随机变 境中,了解条件概 量的意义与构造, 引导学生了解对于同一个 率和两个事件相 实际问题,可以用不同的随机变量来描述, 互独立的概念,理 但要注意用简单的有实际意义的随机变量 解 n 次独立重复试 解决实际问题. 教学中还应引导学生把随机 验的模型及二项 变量和函数进行类比, 对比函数的几种表示 分布模型,并能解 方法给出离散型随机变量分布列的几种表 决一些简单的实 示方法, 并引导学生比较不同表示方法的优 际问题. 缺点, 体会根据具体问题选择适当的表示方 *4 . 通 过 实 法,以加深对随机变量的理解. 为了能正确 例,理解取有限值 求出随机变量对应的概率值, 使得教学过程 的离散型随机变 顺其自然教学中应适当复习必修课所学的 量均值、方差的概 概率知识. 念,能计算简单离 3.分布列能够全面描述离散型随机变 散型随机变量的 量的统计规律, 二项分布和超几何分布是两 均值、方差,并能 个应用广泛的概率模型, 教学时要紧紧抓住 解决一些实际问 具体实例, 介绍几本概念和基本模型及其应 题. 用,促进学生更好地理解模型, 并能用于解 *5.通过实际 决一些实际问题. 问题,借助直观, 4.重视通过实际问题的直观含义和具 认识正态分布曲 体计算结果的对比,帮助学生了解条件概 线的特点及曲线 率、事件的独立性以及二项分布的概率. 二 所表示的意义.
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问题.

*2.统计案例

1.通过典型 案例,学习

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