2015-2016学年上海市位育中学高二上学期期中考试数学试题


位育中学 2015 学年第一学期期中考试试卷 高
一、填空题(每题 3 分,共 42 分) 1、若 n ? (?1, 3) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为________ 2、若 a ? (3,4) ,则 a 的负向量的单位向量的坐标是___________ 3、已知矩阵 A ? ? ?







2015.11.5

? 0 1? ?1? ,矩阵 B ? ? ? ? ? 2? ? ,则 AB =________ ? 1 0? ? ?

1 2 3
4、三阶行列式 4

5 6 中, 5 的余子式的值是___________ 7 8 9

5、已知 A(1,2) , B( 2,3) ,且点 P 满足 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标为___________ 6、直线 l1 : x ? 3 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 3 ? 0 的夹角的大小是___________ 7、直线 x ? y ? 4 ? 0 上的点与坐标原点的距离的最小值是___________ 8、若实数 a , b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点的坐标为_________ 9、若直线 l1 : a x ? 2 y ? 4 ? 0 与直线 l2 : 6 x ? 3 y ? a ? 4 ? 0 平行,则实数 a =________
2

10、已知 a ? (1,2) , b ? (4,2) , c ? ma ? b ( m ? R ),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则 m =___________ 11、垂直于直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,且与两坐标轴所构成的三角形的周长为 10 的直线 l 的方 程为_________ 12、设 P 、 Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ?

??? ?

? 1 ???? ? ? 1 ??? ???? 2 ??? 2 ??? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则 5 5 3 4

?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为_________
13、已知 O 为 ?ABC 的外心,且 | AB |? 6 , | AC |? 2 ,则 AO ? BC 的值为__________ 14 、已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上 不 同的三点 ,点 O 在直 线 l 外 ,实数 x 满 足关系 式

x 2 ? OA ? 2 x ? OB ? OC ? 0 , 有 下 列 命 题 : (1) OB ? OA ? OC ? 0 ; (2)
1

2

OB ? OA ? OC ? 0 ; (3) x 的值有且只有一个;(4) x 的值有两个;(5)点 B 是线段 AC 的中
点,其中所有正确命题的序号是_________

2

二、选择题(每题 3 分,共 12 分) 15、平面向量 a 、 b 共线的充要条件是 (A) a 、 b 方向相同 (C)存在实数 k , 使得 b ? k a ( (B) a 、 b 两向量中至少有一个是零向量 (D)存在不全为零的实数 k 1 、 使得 k1 a ? k2 b ? 0 k2 , )

16、 有命题: (1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数; (2) 三 阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和;(3) 如果将 三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘, 那么它们的乘积之和等 于 ( 零 ) (A) (1)(2) (B) (1)(3)
?



























(C) (2)(3)

(D) (1)(2)(3) ( )

17、在两坐标轴上截距相等且倾斜角为 45 的直线 (A) 不存在 (C) 有多于一条的有限条 (B) 有且只有一条 (D) 有无穷多条
[来源:]

18、 设 A( a,1) 、B ( 2, b) 、C ( 4,5) 为坐标平面上的三点,O 为坐标原点, 若 OA 与 OB 在 OC 上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为 (A) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ? 14 (B) 4a ? 5b ? 3
[]

( )

(D) 5a ? 4b ? 14

三、解答题(共 46 分) 19、(8 分) 已知关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ? ? 程组有无穷多组解,求 ? 的值

?1 3? ? 1? ?? ? ,若该线性方 2 2? ? ?? ?

2

[]

20、(8 分)已知 A( ?1,2) 、 B(m,3) ,

[]

(1)求直线 AB 的斜率 k 和倾斜角 ? ; (2)已知实数 m ? [?

3 ? 1,0] ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围 3

C B D E A

? B 的内角平分线 BD 21、 (10 分)如图, 在 ?ABC 中, 已知顶点 A(3,?1) ,
所在直线的方程是 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,过点 C 的中线 CE 所在直线的方程 是 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 ,求顶点 B 的坐标和直线 BC 的方程

O

22、(10 分) 已知 a 、 b 是两个不共线的非零向量, (1)设 OA ? a , OB ? t b ( t ? R ), OC ? 的值; (2)如图,若 a ? OD , b ? OE , a 、 b 的夹角为

E P

1 ( a ? b) ,当 A, B, C 三点共线时,求 t 3 2? ,且 | a |?| b |? 1 ,点 P 是 3
O

D

以 O 为圆心的圆弧 DE 上的一个动点,设 OP ? xOD ? 2 yOE ( x, y ? R ),求 x ? y 的最大 值

3

23 、 (10 分 )

* 对 于 一 个 向 量 组 a1 , a2 , a3 ,?, an ( n ? 3 , n ? N ) , 令

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,如果存在 a p ( p ? N * ),使得 | a p |?| S n ? a p | ,那么称 a p 是
该向量组的“长向量” (1)若 a3 是向量组 a1 , a 2 , a3 的“长向量” ,且 an ? (n, x ? n) ,求实数 x 的取值范围; (2)已知 a1 , a 2 , a3 均是向量组 a1 , a 2 , a3 的“长向量” ,试探究 a1 , a 2 , a3 的等量关系并加以证 明

4

位育中学 2015 学年第一学期期中考试试卷 高
一、填空题(每题 3 分,共 42 分) 1、若 n ? (?1, 3) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为________ 2、若 a ? (3,4) ,则 a 的负向量的单位向量的坐标是___________ (? ,? ) 3、已知矩阵 A ? ? ?







2015.11.5

? 6

3 5

4 5

? 2? ? 0 1? ?1? ,矩阵 B ? ? ,则 AB =________ ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 1 0? ? ? ? 2?

1 2 3
4、三阶行列式 4

5 6 中, 5 的余子式的值是___________ ? 12 7 8 9
5 8 3 3

5、已知 A(1,2) , B( 2,3) ,且点 P 满足 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标为___________ ( , ) 6、直线 l1 : x ? 3 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 3 ? 0 的夹角的大小是___________ 7、直线 x ? y ? 4 ? 0 上的点与坐标原点的距离的最小值是___________ 2 2 8 、 若 实 数 a , b 满 足 a ? 2b ? 1 , 则 直 线 ax ? 3 y ? b ? 0 必 过 定 点 的 坐 标 为 _________ ( ,? ) 9 、 若 直 线 l1 : a x ? 2 y ? 4 ? 0 与 直 线 l2 : 6 x ? 3 y ? a ? 4 ? 0 平 行 , 则 实 数
2

? 12

1 2

1 6

a =________ ? 2
10、已知 a ? (1,2) , b ? (4,2) , c ? ma ? b ( m ? R ),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则 m =___________ 2 11、垂直于直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ,且与两坐标轴所构成的三角形的周长为 10 的直线 l 的方 程为 _________ 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 12、设 P 、 Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ?

? 1 ???? ? ? 1 ??? ???? 2 ??? 2 ??? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则 5 5 3 4 4 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为_________ 5

??? ?

13、 已知 O 为 ?ABC 的外心, 且 | AB |? 6 ,| AC |? 2 , 则 AO ? BC 的值为__________ ? 16
5

14 、已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上 不 同的三点 ,点 O 在直 线 l 外 ,实数 x 满 足关系 式

x 2 ? OA ? 2 x ? OB ? OC ? 0 , 有 下 列 命 题 : (1) OB ? OA ? OC ? 0 ; (2)

2

OB ? OA ? OC ? 0 ; (3) x 的值有且只有一个;(4) x 的值有两个;(5)点 B 是线段 AC 的中
点,其中所有正确命题的序号是_________(1)(3)(5)

2

二、选择题(每题 3 分,共 12 分) 15、平面向量 a 、 b 共线的充要条件是 (A) a 、 b 方向相同 (C)存在实数 k , 使得 b ? k a ( (B) a 、 b 两向量中至少有一个是零向量 (D)存在不全为零的实数 k 1 、 使得 k1 a ? k2 b ? 0 k2 , )D

16、 有命题: (1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数; (2) 三 阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和;(3) 如果将 三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘, 那么它们的乘积之和等 于 ( 零 )C (A) (1)(2) (B) (1)(3)
?



























(C) (2)(3)

(D) (1)(2)(3) ( )B

17、在两坐标轴上截距相等且倾斜角为 45 的直线 (A) 不存在 (C) 有多于一条的有限条 (B) 有且只有一条 (D) 有无穷多条

18、 设 A( a,1) 、B ( 2, b) 、C ( 4,5) 为坐标平面上的三点,O 为坐标原点, 若 OA 与 OB 在 OC 上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为 B (A) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ? 14 (B) 4a ? 5b ? 3 (D) 5a ? 4b ? 14 ( )

三、解答题(共 46 分) 19、(8 分) 已知关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵是 ? ?

?1 3? ? 1? ?? ? ,若该线性方 2 2? ? ?? ?

6

程组有无穷多组解,求 ? 的值 解:由线性方程组有无穷多组解,得: D ? Dx ? Dy ? 0 由D ?

1 3?? ? 0 ,得: ? ? 1 或 ? ? 2 ? 2

当 ? ? 2 时, Dx ? 0,Dy ? 0 ,不合题意 当 ? ? 1 时, D ? Dx ? Dy ? 0 ,符合题意 故: ? ? 1

20 、 (8 分 ) 已知 A( ?1,2) 、 B(m,3) , (1) 求直线 AB 的斜率 k 和倾斜角 ? ; (2) 已知实数

m ? [?

3 ? 1,0] ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围 3

解:(1)当 m ? ?1 时,直线 AB 的斜率不存在,倾斜角为 当 m ? ?1 时, k ?

? ; 2

1 1 ,若 m ? ?1 ,则 ? ? arctan ; m ?1 m ?1 1 若 m ? ?1 ,则 ? ? ? ? arctan m ?1

(2) 当 m ? ?1 时 ,直 线 AB 的倾 斜角为

? ? ? 2? ? ? [ , ) ? ( , ] ,综合得直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围为
4 2 ? 2? [ , ] 4 3 2 3

? ; 当 m ? ?1 时 , k ? (??,? 3] ? [1,??) , 2

C B D

? B 的内角平分线 BD 21、 (10 分)如图, 在 ?ABC 中, 已知顶点 A(3,?1) ,
所在直线的方程是 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,过点 C 的中线 CE 所在直线的方程 是 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 ,求顶点 B 的坐标和直线 BC 的方程 解: B(10,5) ; 2 x ? 9 y ? 65 ? 0

E A

O

7

22 、 (10 分 ) 已知 a 、 b 是两个不共线的非零向量, (1) 设 OA ? a , OB ? t b ( t ? R ) ,

OC ?

1 ( a ? b) ,当 A, B, C 三点共线时,求 t 的值;(2)如图,若 a ? OD , b ? OE , a 、 3 2? , 且 | a |?| b |? 1 , 点 P 是 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 DE 上 的 一 个 动 点 , 设 b 的夹角为 3

OP ? xOD ? 2 yOE ( x, y ? R ),求 x ? y 的最大值
解:(1) 当 A, B, C 三点共线时,有 OC ? mOA ? (1 ? m)OB

1 ? ma ? (1 ? m)tb ,而 OC ? ( a ? b) 3

1 ? m? ? 1 ? 3 故? ,解得 t ? 2 ?(1 ? m)t ? 1 ? 3 ?
(2)以 O 为原点,OD 为 x 轴建立直角坐标系, 设 ?DOP ? ? ,则 D(1,0) E (?

2? 1 3 , ) , P(cos? , sin ? ) ( ? ? [0, ] ) 3 2 2

E P

? 3 x ? cos? ? sin ? ? 1 3 ? 3 由 (cos? , sin ? ) ? x(1,0) ? 2 y (? , ) ,得 ? 2 2 ? y ? 3 sin ? ? 3 ?
所以 x ? y ? cos? ?

O

D

2 3 21 3 sin ? ? sin(? ? arctan ) 3 3 2

当? ?

?
2

? arctan

3 21 时, x ? y 的最大值为 2 3

[来源:]

23 、 (10 分 )

* 对 于 一 个 向 量 组 a1 , a2 , a3 ,?, an ( n ? 3 , n ? N ) , 令

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,如果存在 a p ( p ? N * ),使得 | a p |?| S n ? a p | ,那么称 a p 是
该向量组的“长向量” (1)若 a3 是向量组 a1 , a 2 , a3 的“长向量” ,且 an ? (n, x ? n) ,求实数 x 的取值范围; (2)已知 a1 , a 2 , a3 均是向量组 a1 , a 2 , a3 的“长向量” ,试探究 a1 , a 2 , a3 的等量关系并加以证 明
8

2 解:(1)由题意,得: | a3 |?| a1 ? a2 | ,代入得 9 ? ( x ? 3) ?

9 ? ( 2 x ? 3) 2

解得: ? 2 ? x ? 0 (2)由题意,得: | a1 |?| a2 ? a3 | , | a1 |2 ?| a2 ? a3 |2 ,即 a1 ? ( a 2 ? a 3 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a3 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? a2 即 a1 ? a 2 ? a3 ? 2a 2 ? a3 , 同理 a2 ? a1 ? a3 ? 2a1 ? a3 ,
三式相加并化简,得: 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a1 ? a 2 ? 2a1 ? a3 ? 2a 2 ? a3 即 (a1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 0 , | a1 ? a2 ? a3 |? 0 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 0
2 2 2

2

2

9


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