广东高考真题班:三角函数(理)


佛山学习前线教育培训中心

高考理科数学专题:三角函数

一、考题情况 (一)2007-2012 年六年的广东高考理科数学有关三角函数部分试题分布如下:

年份
2007

题号
3、16

分值
17

比例
11.3%

难易
中等

备注
二倍角、周期、解三角形 合一变换、周期,函数

2008

12、16

18

12%

中等

f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) 0
的图像与性质

2009

16

12

8%

较难

向量与三角函数综合 解三角形、函数

2010

11、16

19

12.67%

较难

f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) 0
的图像与性质

2011 2012

16 16

12 12

8% 8%

中等 中等

三角函数性质、和角公式 三角函数周期以及和角公式运用

二、真题列举 选择题
1 (07 年第 3 题)1.若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是( 2



? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数;

(A)最小正周期为

填空题
第 1 页 共 11 页

(08 年第 12 题)2.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是



(10 年第 11 题)3.已知 a,b, c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinC= .

解答题
(07 年第 16 题)4. (本小题满分12 分) 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1) 若 c=5,求 sin∠A 的值; (2) 若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;

(08 年第 16 题)5. (本小题满分 13 分)

0 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? .
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

第 2 页 共 11 页

(09 年第 16 题)6.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;

? ? ? (0, )

2 .

sin(? ? ? ) ?
(2)若

10 ? ,0 ? ? ? 10 2 ,求 cos ? 的值.

(10 年第 16 题)7. (本小题满分 l4 分)

已知函数f ? x ? ? A sin ? 3x ? ? ? ( A>0,x ? ? ??, ?? ?, ?<?),在x ? 0< (1)求f (x)的最小周期 (2)求f (x)的解析式 2 ? 12 (3)若( ? + )= ,求 sin ? . f 3 12 5

?
12

时取得最大值4。

第 3 页 共 11 页

(11 年第 16 题)8(本小题满分 12 分)

1 (2 ?R xn ) . )i s ( , ? 已知函数 f ?xx 3 6 5? (1)求 f ( ) 的值; 4

?

? ? o??的值. ( , , f ( ) , f ( ) , (2)设 , 求 cs ? ) ? ? ? ?

(12 年第 16 题)9. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? 2 cos( ?x ? ) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 10? . 6

(1) 求 ? 的值;
5? 16 (2) 设 ? , ? ? ?0, ? ?, f (5? ? 5? ) ? ? 6 , f (5? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2? 6 17 3 5 ? ?

第 4 页 共 11 页

三、考点归纳与方法总结
【考点归纳】
(1)角的概念的推广.弧度制.

(2)任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦 的诱导公式. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. (4)正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的 图像和性质.已知三角函数值求角. (5)正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. (6)向量与三角函数的综合,以及和角、二倍角公式的灵活运用. 【要点梳理】 (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角 函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用"五点法"画正弦函数、余弦函 数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A.ω、φ 的物理意义. (6)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (7) “同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα

四、仿真测试
广东省 2010-2011 年高考数学模拟试题分类训练 三角函数
一、选择题: 1. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科)已知 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

), (? ? 0) 的图像与 y ? 1 的图


像的两相邻交点间的距离为 ? ,要得到 y ? f ( x) 的图像,只须把 y ? sin ? x 的图像(

5 ? 个单位 12 11 C. 向左平移 ? 个单位 12
A.向左平移 【答案】A

B. 向右平移

5 ? 个单位 12 11 D. 向右平移 ? 个单位 12

第 5 页 共 11 页

【解析】把 y ? sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位,可得到 y ? cos 2 x 的图像,再把 y ? cos 2 x 的图像向向 4 5? ? ? 左平移 个单位,即可得到 y ? cos(2 x ? ) 的图像,共向左平移 个单位。 12 6 3
B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

2. (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科)设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) , x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】B 【解析】 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ? ? cos 2 x ,可知答案选 B. 3 .( 广 东 省 佛 山 市 顺 德 区 2010 年 4 月 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测 试 题 理 科 ) 在

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

?ABC中, " sin A ?

3 ? "是" ?A ? " 的( A 2 3

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科)函数 f ( x) ? sin x 在区间 [ a, b] 上是增函数,且 f (a) ? ?1, f (b) ? 1 ,则 cos

a?b ?( D ) 2
C. ?1 , D.1.

A.0,

B.

2 , 2

5. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科) △ ABC 内有一点 O ,满足

??? ??? ???? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 0 ,且 OA ? OB ? OB ? OC .则 △ ABC 一定是( D )
A. 钝角三角形 C. 等边三角形 二、填空题: (6) (广东省江门市 2010 届高三数学理科 3 月质量检测试题)函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x ? cos x 的 B. 直角三角形 D. 等腰三角形

最小正周期是

. ?

(7) (广东省江门市 2010 届高三数学理科 3 月质量检测试题)在三角形 ABC 中,?A, ?B, ?C 所对的边

长分别为 a, b, c , 其外接圆的半径 R ?

1 1 1 5 6 2 2 2 ? 2 ) 的最小值为 ,则 (a ? b ? c )( 2 ? 2 sin A sin B sin C 36

___________.

25 6

(8).(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

答案 1 第 6 页 共 11 页

解析 因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4

?

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

三、解答题 9. (2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题) (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图像关于直线 x ? 6 对称,求 ? 的值. 4?

9. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运 算求解能力) (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? , ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . (2)解:∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 4? 4 ? ?
?
2
(k ?Z ) ,

又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

?
4

? ? ? k? ?

?
2



?

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

(k ?Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

11? . 12

10 (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? ?

1 5 , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5

(1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.

5 2 5 , ? ? (0, ? ) 得 sin ? ? , tan ? ? 2 ………3 分 5 5 1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1 . …………………………6 分 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 1 1 3 , cos ? ? ? (2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? …………9 分 3 10 10
10 解: (1)由 cos ? ?

第 7 页 共 11 页

f ( x) ? ?

3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? ? 5 sin x ………11 分 5 5 5 5

f ( x) 的最大值为 5 .………………………………………………………………12 分
11. (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) (本题满分 12 分) 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2x)i (?, m, x ? R,) ,且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;

(2)设 ? = f ( x ) ,已知当 x ? ? 时, ? ? 11.解: (1)∵ z1 ? z2 ∴ ?

1 ? ,试求 cos(4? ? ) 的值. 2 3

?sin 2 x ? m ? ?? ? m ? 3 cos 2 x ?



?=sin 2 x ? 3 cos 2 x --------------------------------------2 分

若 ? ? 0 则 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 0 得 tan 2 x ? 3 ----------------------------------------- ------4 分 ∵0 ? x ??, ∴ 2x ? ∴x?

? 0 ? 2x ? ? 2

?
3

, 或 2x ?

?
6



2? ------------------------------------------------------------------------------------------6 分 3

4? 3

(2)∵ ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? = 2(sin 2 x cos

1 2

3 cos 2 x) 2

? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) -----------------------------------------8 分 3 3 3 1 ∵当 x ? ? 时, ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ∴ 2sin(2? ? ) ? , sin(2? ? ) ? , sin( ? 2? ) ? ? ------------------------------9 分 3 2 3 4 3 4 ) = cos 2(2? ? ) ? 2 cos 2 (2? ? ) ? 1 = 2sin 2 ( ? 2? ) ? 1 ----------11 分 3 6 6 3 ? 1 2 7 ∴ cos(4? ? ) ? 2 ? (? ) ? 1 ? ? .------------------- -----------------------------------------12 分 3 4 8
∵ cos(4? ? 12、 (广东省江门市 2010 届高三数学理科 3 月质量检测试题) (本小题满分 12 分)

?

?

?

?

?

?

?

(? ? 0 x n s , 0? 已知函数 f ) i x?? ? 为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的距离 ?
为?。 (I)求函数 f ( x ) 的表达式。

?? ? ? ? ? ?

?? ? 2 sin? 2? ? ? ?1 ? 2 4? (II)若 s ?? f ( ) ? ,求 的值。 in ? 1? tan? 3
12. 解: (I)∵ f ( x ) 为偶函数

∴ ? s x? s? ? i ? i x ? n n ? ?
第 8 页 共 11 页

? ? ? ?

即 2 nxo ? 恒成立 ∴o ??0又 ∵ ? ? ∴? ………………3 分 0 ? ,? ? cs s? s 0 i c?

?
2

又其图象上相邻对称轴之间的距离为π

∴ T?2 ?

∴ ?1 ?

∴x ? ox f( ) cs ………………6 分
s 2?s ? i ? o? n c2 1 ? i?s ………………10 分 2 s o nc? 1tn ? ? a 2 4 又 ∵ c ? ∴no? ………………11 分 s ? i n o s ,s c 1 i ? 2 s 3 9 5 5 即 2 in c s ?? , 故原式 ? ? ………………12 分 s ? o? 9 9
(II)∵原式 ?

? ?

??

13. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科) (本小题满分 12 分)已知电流

I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) .

? ( 1 ) 如 图 是 I ? Asin( t? ? )( ω > 0 , | ? |?
I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;
(2)如果 t 在任意一段 的最小正整数值是多少?

? )在一个周期内的图象,根据图中数据求 2

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 100
I
300

13. 解 (1) 由图可知 A=300 分 设 t1=-

…………………1
?

1 1 ,t2= , 900 180

1 O 900

1 180

t

? 300

则周期 T=2(t2-t1)=2( ∴ ω=

2? =150π . …………………4 分 T 1 1 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π · + ? )=0, 180 180
而 | ? |?

1 1 1 + )= …………………3 分 180 900 75

? ? , ∴ ?= . 2 6

…………………6 分

故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? (2)依题意,周期 T≤

?
6

).

…………………7 分

1 2? 1 ,即 ≤ , >0)…………………10 分 (ω ? 100 100
*

∴ ω ≥200π >628,又ω ∈N , 故最小正整数ω =629. …………………12 分 14. (广东省深圳高级中学 2010 届高三一模理科)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(1)求 ? .的值;

第 9 页 共 11 页

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以

??

?
2

.所以 f ( x ) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

(2)因为 f ( A) ?

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 a ? 1, b ? 2 , 所以 6 2 2

由正弦定理,得

a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

3? . 4 4 ? 3? ? 3? ? ? ? 7? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 4 6 4 12 6 4 12
因为 b ? a ,所以 B ?

?

或B ?

15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? (1)求 ? 的值; (2)在 △ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周期为 ? . 6 3
BC 1 ,求 . 2 AB

15.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? (1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ? 解: (1)∵ f ( x ) ? 2 sin(ωx ?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周期为 ? . 6 3 BC 1 ,求 . 2 AB

? ? ? ? ?? ? ) sin(ωx ? ) ? 2 sin(ωx ? ) cos?(ωx ? ) ? ? 6 3 6 3 2? ?
[来源:学科网]

? ? ? ? 2 sin( ωx ? ) cos( ωx ? ) ? sin( 2ωx ? ) . ……………4 分 6 6 3 2? ? ? ,解之,得 ? ? 1 . ………………………6 分 而 f (x) 的最小正周期为 ? , ? 为正常数,∴ 2ω ? (2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) . 3 ? ? 5? 若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? ,∴ ? ? 2 x ? ? . 3 3 3 1 ? 1 ? ? ? 5? 令 f ( x) ? ,得 sin( 2 x ? ) ? ,∴ 2 x ? ? 或 2 x ? ? , 3 2 3 6 3 6 2
第 10 页 共 11 页

解之,得 x ?

? 7? 或x ? . 12 4

由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ? ∴A?

1 , 2

? 7? ,B ? ,∴ 4 12 ? . 6
…………………………10 分

C ? ?? A? B ?

? 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. 又由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin ? 6 2 sin
识,以及运算求解能力. 16.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

…………………………12 分

说明:本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A ?

? ? B ? B 2 B B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2
C

1 1 3 ∴ sin A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
2

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

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