福建省厦门市翔安第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


厦门市翔安一中 2015~2016 学年高 二年第二学期期中考试卷 数学科(文科)
考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.如图所示是《函数的应用》的知识结构图,如果要加入“用二分法求方程的近似解”,则应该放在(*) 满分 150 分

A. “函数与方程”的上位

B. “函数与方程”的下位

C. “函数模型及其应用”的上位 D. “函数模型及其应用”的下位 2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(*) ① y = sin x(x ∈ R )是三角函数;② 三角函数是周期函数; ③ y = sin x(x ∈ R )是周期函数. A.① ② ③ B.③ ② ① C .② ① ③ D. ② ③ ①
2 3.某质点按规律 S ? 2t ? 1 ( S 单位:m, t 单位:s)运动,则该质点在 t ? 1 秒的瞬时速度为(*)

A.3m/s

B.4m/s

C.5 m/s

D.6m/s

4.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 的单调递减区间为( * ) A. (0, 2) B. (2, ??) C. (??, 2) D. (??, 0)

5.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? (*) A. ? 1 B. ?1 C.1 D. 0

6.条件 P : “ x ? 1 ”,条件 q : “ ? x ? 2?? x ?1? ? 0 ”,则 P 是 q 的(*) A.充分而不必要条件 C.充要条件 7.已知双曲线 C: A. y ? ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

8.根据 10 名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(㎏)的数据,用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程 是 y = 2 x + 7 ,已知这 10 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、3、4、5,则这 10 名儿童的 平均体重是(*) A. 17 ㎏ B.16 ㎏ C. 15 ㎏ D.14 ㎏ 9.下列命题中为真命题的是(*) A.命题“若 x ? y ,则 x ? y ”的逆命题 C.命题“ x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题
2

B.命题“若 x ? 1 ,则 x ? x ? 2 ? 0 ”的否命题
2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题

10.执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于(*) A.[-5,2] B.[-4,3] C.[-3,4] D.[-2,5]
1

11.如下图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f '( x) 的图象,则下面判断正确的是(*) A.在区间(1,3)内 f ( x ) 是减函数 C.在(4,5)内 f ( x ) 是增函数
y

B.当 x=1 时, f ( x ) 取到极大值 D.当 x=2 时, f ( x ) 取到极小值

2 34 O 5 3 1 32

x

12. 下列不等式对任意的 x ? (0, ??) 恒成立的是(*) A. x ? x ? 0
2

B. e ? ex
x

C. ln x ? x

D. sin x ? ? x ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.命题“ ?x ? R, | x | ? x ? 0 ”的否定是
2

****** ******

. .

14.函数 y ? xe ? 1在点 (0,1) 处的切线方程为
x

15.如图,第 1 个图形是由正三角形“ 扩展 ” 而来的,第 2 个图形是由正方形“ 扩展 ” 而来的,第 3 个图形是由正五边形“ 扩展 ” 而来的,??,第 n 个图形是由正 n + 2 边形“ 扩展 ” 而来的 ( n? N
*

) .则在第 n 个图形中共有 _ ****** _个顶点.(用 n 表示)

16 .若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (m, m ? 1) 内有极值,则实数 m 的取值范围是 ****** .
2

三、解答题:本题分 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联 表: 常喝 肥胖 不肥胖 6 不常喝 合计 2 18
2

合计

30

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否能在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由. 参考数据:

P( K 2 ? k )
k

0.05 3.841

0.005 7.879

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18.(本小题满分 11 分) 有一块抛物线形钢板,其下口宽为 2 米,高为 2 米(如图所示) .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底 AB 是抛物线的下口,上底 CD 的两端点在抛物线上. (1)请按图中建立的直角坐标系,求抛物线形钢板所在的抛物线方程; (2)若记 CD ? 2 x ,写出梯形面积 S 以 x 为自变量的函数关系式,并写出定义域,再求梯形面积 S 的最 大值.

19. (本小题满分 12 分) 先阅读下面的命题及 其证明的方法,再解决后面的问题. 已知 a1 , a2 ? R , a1 ? a 2 ? 1 ,求证: a1
2

2

2 ? a2 ?
2

1 . 2
2 2

证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a 2 ) , 即 f ( x) ? 2 x 2 ? 2(a1 ? a 2 ) x ? a1 ? a 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? a1 ? a 2
2 2
2 2
2 因为对一切 x ? R ,恒有 f ( x) ≥0,所以 ? ? 4 ? 8(a1 ? a 2 ) ≤0,从而得 a12 ? a2 ?

(1)若已知 a1 , a2 ,...an ? R , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ,请写出类似上述结论的推广结论; (2)参考类比上述证明方法,并对你推广的结论加以证明.

1 . 2

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e
x

(k ? R) .
3

(1)若 k ? 0 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 E 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为 6 . a b 3
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l : y ? x ? 2 与椭圆 E 交于 M , N 两点, O 是坐标原点,求 ?OMN 的面积. 22. (本小题 满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ?1 ? ln x (a ? R) . (1)当 a ? 3 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在 (0, ) 上是增函数,求 a 的取值范围;

1 2 2 (3)是否存在实数 a ? 1 ,使得方程 f ( x) ? x ? 1 在区间 (1, e) 上有解?若存在, 试求出 a 的取值范围;
若不存在,请说明理由.

4

翔安一中 2015~2016 学年高二(下)文科数学期中考参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1~5 BCBAB 6~10 BCCDC 11~12 CB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

14. x ? y ? 1 ? 0

15. n ? 5n ? 6
2

16. 0 ? m ?

1 2

三、解答题:本题分 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)将列联表补充完整为 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计 10 20 30 ?????4 分 (2)由已知数据可求得: K ?
2

30(6 ?18 ? 2 ? 4) ? 8.522 ? 7.879 , 10 ? 20 ? 8 ? 22
2

因此能在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.???10 分 18.(本小题满分 11 分) 解: (1)依题意;A(- 1,-2 ) ,B(1,-2) ,设抛物线的标准方程为: x2 ? ?2 py ( p ? 0) ∵点 B 在抛物线上, ∴

12 ? ?2 p ? (?2)
1 y 2

求 得 p? ??3 分

1 4

∴抛物线的方程为: y
2

x2 ? ?

(2)∵ CD = 2 x 又点 C 在抛物线上, 则 C( x , ?2 x 设梯形的高为 h ,则 h ? ?2 x ? 2
2

0 ) D A 2 米 C x 2 米 B

1 2 3 2 ∴ S ? (2 ? 2 x)(?2 x ? 2) ? 2(? x ? x ? x ? 1) ??6 分 2 定义域为 ? x 0 ? x ? 1? ??7 分
∵ S ? 2(? x3 ? x2 ? x ? 1) ∴ S / ? 2(?3x2 ? 2 x ? 1) ? ?2(3x ? 1) ( x ? 1) 由 S ' ( x) ? 0 解得 S ( x) 单调增区间为 ( ?1, ) ,
' 由 S ( x) ? 0 解得 S ( x) 单调减区间为 (?? ,?1), ( ,?? )

1 3

1 3

??9 分

1 64 1 1 ? S ( x) 在 ( 0, ) 上为增函数, ( ,1) 上为减函数,? S ( x) max ? S ( ) ? 3 3 3 27 64 答:梯形的面积 S 的最大值为 平方米. ??11 分 27
19. (本小题满分 12 分) 解: (1)若 a1 , a2 ,...an ? R , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ,则 a12 ? a2 2 ? a32 ? ... ? an 2 ? (2)证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? ... ? ( x ? an ) 2 即 f(x)= nx 2 ? 2 x ? (a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ) , ??8 分

1 .??4 分 n ??6 分

? ?x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,

?? ? 4 ? 4n(a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ) ? 0 ,??10 分
5

? a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 . n

??12 分

20. (本小题满分 12 分) 解:(1) 若 k ? 0 ,则 f ( x) ? xe x ? f '( x) ? x ' ex ? xex ? ex ( x ? 1) 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 递增;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 递减. ??5 分 ? 在 x ? ?1 处 f ( x) 取得极小值 ?e?1 . x x x x x (2) f '( x) ? ( x ? k )' e ? ( x ? k )e ? e ? ( x ? k )e ? e ( x ? k ? 1) 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(??, k ? 1)

k-1

(k ? 1, ??)

?
单调递减↘

0
极小值

?
单调递增↗ ??8 分 ? f (1) ? (1 ? k )e ??9 分

①若 k ? 1 ? 1 ,即 k ? 2 , f ( x ) 在[0,1]为减函数,? f ( x)min

②若 0 ? k ? 1 ? 1 ,即 1 ? k ? 2 , f ( x ) 在[0,k-1)上递减,在 (k ? 1,1] 上递增 ??11 分 ? f ( x)min ? f (k ?1) ? (k ?1 ? k )ek ?1 ? ?ek ?1 ③若 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 , f ( x ) 在[0,1]上为增函数, ? f ( x)min ? f (0) ? ?k ??12 分 21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 解: (1)椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 E 上任意一点 到椭圆两焦点的距离之和 a b 3 c 6 为6 . ∴ 2a ? 6 , ? ????????????2 分 a 3 2 2 2 ∴ a ? 3 , c ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 3 ????????????3 分 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 ???????????4 分 9 3 ?y ? x ? 2 ? (2)由 ? x 2 y 2 ????????????5 分 ? 4 x 2 ? 12x ? 3 ? 0 ?1 ? ? 3 ?9 3 设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 3 , x1 ? x2 ? ?????????7 分 4
∴ | MN |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
??????? ??????10 分

3 ? 2(32 ? 4 ? ) ? 2 3 4
∵原点 O 到直线 y ? x ? 2 的距离 d ? ∴ ?OMN 的面积为 S ? 22. (本小题满分 13 分)
2 解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 3x ? 1 ? ln x

|0?0?2| ? 2 ?????????11 分 2
????????????12 分

1 ?2 3? 2 ? 6 . 2

? f ' ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ,又? x ? 0 2 x x
6

1 ??4 分 ? f ( x) 单调增区间为 (0, ), (1,?? ) 2 1 1 (2)若 f ( x) 在 (0, ) 上是增函数,则对 任意 x ? (0, ) , f ' ( x) ? 0 恒成立, 2 2 2 1 2 x ? ax ? 1 ? f ' ( x) ? 2 x ? a ? ? ? 0, ??5 分 x x 1 2 等价于: ?x ? (0, ) , 2 x ? ax ? 1 ? 0 恒成立, 2 1 1 等价于: ?x ? (0, ), a ? 2 x ? 恒成立 ??7 分 2 x 2 2 2( x ? )( x ? ) 2 1 2x ? 1 1 ' 2 2 ? 令 g ( x ) ? 2 x ? ,? g ( x) ? 2 ? 2 ? x x2 x2 x 1 1 ? g ( x) 在 (0, ) 上为减函数, g ( x) ? g ( ) ? 3 2 2 ?a ? 3. ??9 分 2 (3)假设 a ? 1 时方程 f ( x) ? x ? 1 在区间 (1, e) 有解, 等价转化为:当 a ? 1 时,函数 h( x) ? ln x ? ax 在区间 (1, e) 上有零点 ??10 分 1 1 ? ax 1 ' , 令 h' ( x) ? 0, 解得: x ? ,又? x ? 0 , 令 h ( x) ? ? a ? a x x 1 1 1 ? h( x) 单调增区间为 (0, ) ,单调减区间 ( ,?? ) ,? a ? 1,? ? 1 , a a a ? h( x) 在 (1, e) 上为减函数. ??12 分 而 h(1) ? ?a ? ?1 ? 0 , ? h( x) ? 0 . 故 h( x) 在 (1, e) 上不存在零点. ??13 分

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