圆幂定理及其证明


圆幂定理
圆幂的定义:一点 P 对半径 R 的圆 O 的幂定义如下: OP ? R
2 2

所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论 的统称。 (1) 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
D A

P C B

如图,AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。相交于点 P,连接 AD、BC,则∠D=∠B, ∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以

AP PD = ? AP ? BP = PC ? PD PC BP
(2) 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。
T

P A B

如图,PT 为圆切线,PAB 为割线。连接 TA,TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧 圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以

PT PA = ? PT 2 = PA ? PB PB PT
(3) 割 线 定 理 : 从 圆 外 一 点 P 引 两 条 割 线 与 圆 分 别 交 于 A.B.C.D 则 有 PA·PB=PC·PD。
D C P A B

这个证明就比较简单了。可以过 P 做圆的切线,也可以连接 CB 和 AD。证相似。

存在: PA ? PB = PC ? PD 进一步升华(推论) : 过任意在圆 O 外的一点 P 引一条直线 L1 与一条过圆心的直线 L2,L1 与圆交于 A、B(可重合,即切线) ,L2 与圆交于 C、D。则 PA·PB=PC·PD。若圆半径为 r,则

PC ? PD = ( PO ? R) ? ( PO + R) = PO 2 ? R 2 =| PO 2 ? R 2 |(一定要加绝对值,原因见下)
为定值。这个值称为点 P 到圆 O 的幂。 (事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足 这个值) 若点 P 在圆内,类似可得定值为 R ? PO =| PO ? R |
2 2 2 2

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。 (这就是“圆幂”的由来)


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