常见数列通项公式的求法


1.利用等差等比数列通项公式 例 1:设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。
解:设 ? an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 , bn ? q

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?
n ?1

? 2n ?1 .

相关高考 1: 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . 求数列 {an } 的通项 an 。 解:由已知得 ?

?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ?

,? d ? 2 , 故 an ? 2n ? 1 ? 2 .

相关高考 2:实数列 {a n }是 等比数列, a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列,求数列 {a n } 的通项 an 。 解:设等比数列 ? an ? 的公比为 q(q ? R) , 由 a7 ? a1q ? 1 ,得 a1 ? q ,从而 a4 ? a1q ? q , a5 ? a1q ? q , a6 ? a1q ? q .
6 3 4 5

?6

?3

?2

?1

, 因为 a4,a5 ? 1 a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) ,
即q
?3

? q ?1 ? 2(q ?2 ? 1) , q ?1 (q ?2 ? 1) ? 2(q ?2 ? 1) .
n ?1

1 ?1? n ?1 ?6 n ?1 所以 q ? .故 an ? a1q ? q ?q ? 64 ? ? 2 ?2?
2.利用数列的前 n 项和, an ? ?



? a1 ? S1 , n ? 1 ? S n ? S n ?1 , n ? 2

例 2:各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk=

1 ak ak ?1 (k ? N*),其中 a1=1.Z 求数列 ak 。 2

解:当 k ? 1 ,由 a1 ? S1 ?

1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2
1 1 ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2

当 k ? 2 时,由 ak ? Sk ? Sk ?1 ?

2 因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2 m?1 ? 1 ? (m ? 1)? ? 2m ? 1 .
常见数列通项公式的求法 第 1 页 共 11 页

a2 m ? 2 ? (m ? 1)?2 ? 2m , m?N* .故 ak ? k (k ? N* ) .
相关高考 1:已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n ,则其通项 an ? 2n ?10 ;若它的第 k 项满足
2

5 ? ak ? 8 ,则 k ? 8 .
相关高考 2:设数列 ? an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ?

n * , a ? N .求数列 ? an ? 的通项。 3 n ?1 (n ? 2), 3

解: a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ?1 an ?

n , 3

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n?2 an?1 ? an ? 1 (n ? 2 ) . 3n

3n?1 an ?

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

验证 n ? 1 时也满足上式, an ?

1 (n ? N * ). n 3
*

相关高考 3:数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn (n ? N ) .求数列 ? an ? 的通项 an 解: (I)∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴

S n ?1 =3. 又∵S1=a1=1, Sn

∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). ∴当 n ? 2 时,an-2Sn-1=2·3n-2(n ? 2), ∴an= ?

?1 n ? 1 ?, , n ? 2. ?2·n ? 2 3 ?


)( 2) 相关高考 4:已知各项均为正数的数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 满足 S1 ? 1 ,且 6Sn ? (an ?1 an ?

n ?N .求 ?an ? 的通项公式。
解:由 a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ,由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 , 6 1 1 (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

得 (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? 3) ? 0 , 即 an ?1 ? an ? 3 ? 0 或 an ?1 ? ?an ,因 an ? 0 ,故 an ?1 ? ?an 不成立,舍去. 因此 an ?1 ? an ? 3 ,从而 ? an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ? an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .
常见数列通项公式的求法 第 2 页 共 11 页

3.利用递推关系 3.1 递推关系 ?

? an ?1 ? an ? f ? n ? ? a1 ? a

其中 a 为常数

由递推式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2 ? ,?, an ? an ?1 ? f ? n ? 1? ,诸式相加,得

an ? a ? ? f? ? ,即为累加法求数列通项公式。 k 1
k ?1

n ?1

例 3:数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,?) ,3, ,且 a1,a2,a3 成公比不 为 1 的等比数列.求 ? an ? 的通项公式. 解: a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,

a 所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . c ? 0 时, 1 ? a2 ? a3 , 当 不符合题意舍去, c ? 2 . 故
2

当 n≥ 2 时,由于 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , ?? an ? an ?1 ? (n ? 1)c , 所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2
2

3, 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ? 1) ? n ? n ? 2(n ? 2,?) .当 n ? 1 时,上式也成立,

,? 所以 an ? n ? n ? 2(n ? 1 2, ) .
2

相关高考 1:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 解:当 n ? 2 时, an ? a1 ?

1 1 , an ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2 n ?1
1
2

?
k ?1

n ?1

? k ? 1?

?1

? a1 ? ?

n ?1 1 1 ?1 1 ? ? a1 ? ? ? ? ? ? k ?2? k ?1 ? k ? 2 ? k k ?1 2 ? k

n ?1

?

1 1 n ?1 ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 ? 5 2n ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? 2 2 k ?1 ? k k ? 2 ? 2 2 ? 2 n n ? 1 ? 4 2n ? n ? 1?

当 n ? 1 时,也满足上式,故 an ?

5 2n ? 1 。 ? 4 2n ? n ? 1?

相关高考 2:已知数列 ? an ? 满足 nan ?1 ? ? n ? 1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解: 两边同除以 n ? n ? 1? , 得

2 an ?1 an 2 , bn ? an , 令 有: bn ?1 ? bn ? , b1 ? 2 , 且 ? ? n ? n ? 2? n ? 1 n n ? n ? 1? n

常见数列通项公式的求法

第 3 页 共 11 页

从而 bn ? b1 ? ?

n ?1 2 1 ? 2 ?1 ? b1 ? 2? ? ? ? ? 4 ? , 故 an ? nbn ? 4n ? 2 。 k ?1 ? n k ?1 k ? k ? 1? k ?1 ? k

n ?1

3.2 递推关系 ?

?an ?1 ? f ? n ? an ? a1 ? a

其中 a 为常数

由递推式得 a2 ? f ?1? a1 , a3 ? f ? 2 ? a2 ,?, an ? f ? n ? 1? an ?1 ,诸式相乘,得

an ? a ? f? ? ,即为累乘法求数列通项公式。 k 1
k ?1

n ?1

例 4:已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 Sn ?

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 2

解:由 Sn ?

1 1 n bn ?1 ? n ? 1? bn ,得 Sn?1 ? nbn?1 ? n ? 2 ? ,所以 bn ? Sn ? Sn?1 ? 2 2 n ?1

? n ? 2?



b b b2 2 b3 3 n ? , ? ,? n ? , 诸式相乘得 n ? n , bn ? n , n ? 1 时也满足上式。 即 当 b1 1 b2 2 bn ?1 n ? 1 b1
故 bn ? n 。

相关高考:数列 ? an ? 满足 nan ?1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 且 a1 ? 1 ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解: nan ?1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? 2an ? ? n ? 1? an ? 2an ? ? n ? 1? an , 即 an ?1 ?

n ?1 2 3 4 n an ,从而 an ? a1 ? ? ? ??? ? ? a1 ? n ? n 。 n 1 2 3 n ?1
? an ?1 ? pan ? q 其中 p, q, a 为常数且 p ? 1 ? a1 ? a

3.3 递推关系 ?

令 an ?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an ?1 ? pan ? ? p ? 1? ? ,所以 ? p ? 1? ? ? q , 即? ?

? ? q q ? q ? q ? p ? an ? ,从而 an ?1 ? ? 是等比数列。 ? ,所以数列 ?an ? p ?1 p ?1 ? p ? 1? p ?1 ? ?

例 5:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,? 求 {an } 的通项公式。 解: an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)(2 ? 2) ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? 2 ,

an ?1 ? 2 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列, an ? 2 ?
常见数列通项公式的求法 第 4 页 共 11 页

?

?

2( 2 ? 1) n ,

即 an 的通项公式为 an ?

2 ?( 2 ? 1) n ? 1? , n ? 1 2,…. ,3, ? ?

相关高考 1:设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ? 1)

3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… .求 {an } 的通项公式。 3, 2

解:由 an ?

3 ? an ?1 1 ,n ? 2,4,…, 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 又 1 ? a1 ? 0 , 3, 2 2
n ?1

1 ? 1? 所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ? 的等比数列,得 an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?

相关高考 2:已知数列 ? an ? :3,5,7,9,…, 2n ? 1 ,…。另作一数列 ?bn ? ,使得 b1 ? a1 ,且 当 n ? 2 时, bn ? abn?1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 解:由已知得 an ? 2n ? 1, b1 ? a1 ? 3, bn ? abn?1 ? 2bn ?1 ? 1 ,有 bn ? 1 ? 2 ? bn ?1 ? 1? , 所以 bn ? 1 ? ? b1 ? 1? ? 2
n ?1

? 2n ?1 ,故 bn ? 2n ?1 ? 1 。
2 6

相关高考 3:数列 ? an ? 中,设 an ? 0, a1 ? 1 且 an ? an ?1 ? 3 ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解:由 an ? an ?1 ? 3 得 2log3 an ?1 ? log3 an ? 6 ,令 bn ? log 3 an ,有 2bn ?1 ? bn ? 6 ,则
2 6

1 ? 1? bn ?1 ? 2 ? ? ? bn ? 2 ? ,所以 bn ? 2 ? ? b1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2?
从而 bn ? 2 ? ? ?2 ?
2? n

n ?1

? 1? ? ? log 3 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1

? ? ?2 ?

2? n



,故 an ? 3

2 ? ? ?2 ?

2? n



3.4 递推关系 ?

?an ?1 ? pan ? f ? n ? ? a1 ? a

其中 p, a 为常数且 p ? 1 , f ? n ? 为非常数

n ?1 由递推式 an ?1 ? pan ? f ? n ? 两边同除以 p , 得

an ?1 an f ? n ? ? ? n ?1 ,对此采用 3. 1 中所述 p n ?1 p n p

的累加法可求。 例 6:在数列 ? an ? 中, a1 ? 2,an ?1 ? ? an ? ?
n ?1

? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 .求 an 。
an ?1 ?2? ?? ? ???
n ?1

解:由 an ?1 ? ? an ? ? n ?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N * ), ? ? 0, 可得

? n ?1

?

?2? ? ? ? ? 1, n ? ??? an

n

n ? an ? 2 ? n ? an ? 2 ? ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等数列,其公差为 1,首项为 0.故 n ? ? ? ? n ? 1, ? ??? ??? ? ?? ? ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ? 1)? n ? 2n .
常见数列通项公式的求法 第 5 页 共 11 页

相关高考:数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn ? n ? n ? 1 ,求 an 。
2

2 解:由 an ?1 ? 2Sn ? n ? n ? 1 有: an ? 2 S n ?1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ,两式相减得:
2

an ?1 ? an ? 2an ? 2n ? 2 即: an?1 ? 3an ? 2n ? 2 ,两边同除以 3n?1 ,得:

2 ? n ? 1? an ?1 an 2n ? 2 an a 1 , b1 ? 1 ? ,从而 ? n ? n ?1 ,令 bn ? n ,则 bn ?1 ? bn ? n ?1 n ?1 3 3 3 3 3 3 3
bn ? b1 ? ?
k ?1 n ?1

2 ? k ? 1? 3k ?1

n ?1 k ? 1 ? ? 1 1 1 ? 1 2n ? 1 ? 1 2 n ? 1 ? ? 2? k ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? ? 。 3 3 4?3 3 ? 2 2 ? 3n k ?1 3

3n 1 故 an ? ?n? 。 2 2
3.5 递推关系 ?

? an ?1 ? pan ? qan ?1 ? n ? 2 ? ? a1 ? a , a2 =b

其中 p, q, a, b 为常数

3.5.1 若 p ? q ? 1时, p ? 1 ? q ,即 an ?1 ? an ? ?q ? an ? an ?1 ? ,知 ?an ?1 ? an ? 为等比数列, 对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。 例 7:已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ?

5 5 2 , an? 2 ? an?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

解:由 an ? 2 ?

5 2 2 an ?1 ? an 两边减去 an?1 得: an? 2 ? an?1 ? ? an?1 ? an ? ,所以 3 3 3
n

2 2 2 ?an?1 ? an ? 是公比为 ,首项为 a2 ? a1 ? 的等比数列,所以 an?1 ? an ? ? ? ? ? 3 3 ?3?



n ?1 2 ? ?2? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 2 n ?1 n ?1 3 ? ?3? ? ?2? ?2? ?2? ? ? ,即 a ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 2 ?3? ?3? ?3? ? ?3? ? ? ? 1? 3

相关高考:已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ?

2 1 an?1 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3

解:由 an ? 2 ?

2 1 1 an ?1 ? an 两边减去 an?1 得: an ? 2 ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? ,所以 3 3 3
n ?1

1 1 ?an?1 ? an ? 是公比为 ? ,首项为 a2 ? a1 ? 1 的等比数列,所以 an?1 ? an ? ? ? ? ? ? 3 ? 3?
常见数列通项公式的求法 第 6 页 共 11 页



即 an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 1? ? 3?

0

? 1? ? 3?

1

? 1? ? 3?

n?2

? 1? 1? ? ? ? 3? ? ? 1 1? 3

n ?1

,即 an ? 1 ?

n ?1 3 ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? ? 3? ? ? ?

3.5.2 若 p ? q ? 1 时,存在 x1 , x2 满足 an ?1 ? x1an ? x2 ? an ? x1an ?1 ? ,整理得

an ?1 ? ? x1 ? x2 ? an ? x1 x2 an ?1 ,有 x1 ? x2 ? p xx 2 ?? ,1 q
列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。 4.利用倒数变形, an ?1 ?

,从而 ?an ?1 ? x1an ? 是等比数

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q
a n?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1
?1? ? ? ? 是等差数列, ? an ?

例 8:已知数列 ? an ? 满足: a n ?

解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? an ? an a1 3n ? 2
相关高考 1:数列 ? an ? 满足: a1 ?

3nan ?1 3 ,且 an ? 2an ?1 ? n ? 1 2

? n ? 2 ? ,求 an



解:将条件变为:1-

? n? n 1 n-1 1 ) =(- ,因此 ?1 ? ? 为一个等比数列,其首项为 an 3 an ?1 ? an ?

n ? 3n 1 1 n 1 1 1- = ,公比 ,从而 1- = ,据此得 an = n 。 a1 3 a n 3n 3 -1 3
相关高考 2:数列 ? an ? 满足: a1 ? 2a , an ?1 ? 2a ?

a2 an

? a ? 0 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。

解: an ?1 ? a ?

a ? an ? a ? an

? an ? a, a ? 0 ? ,所以

an 1 1 1 ? ? ? , an ?1 ? a a ? an ? a ? an ? a a

令 bn ?

1 1 1 1 ,则 bn ?1 ? bn ? ,因而 ?bn ? 是首项为 b1 ? ,公差为 的等差数列, an ? a a a a

所以

bn ?

1 a 1 1 n ? ? n ? 1? ? ? ,故 an ? a ? ? a ? 。 bn n a a a

常见数列通项公式的求法

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5.利用归纳猜想

1 1 ? a an ?1 1 1 * 例 9:设正整数数列 ? an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ?N ,有 2 ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1
(1)求 a1 , a3 ; (2)求数列 ? an ? 的通项 an . 解:由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n .
2

下面用数学归纳法证明. 1 ? 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n 均成立;
2

? 2 假设 n ? k (k ? 2) 成立,则 ak ? k ,则 n ? k ? 1 时
2

? 1 1 1 ? 1 k 2 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) ? k (k ? 1) ? 2 ? ? ak ?1 ? 由①得 2 ? ? ? 2? 2 ? 2 ak ?1 ak ?1 ? k k ? k ?1 k ?1 ?k

? (k ? 1) 2 ?

(k ? 1) 2 1 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? 2 k ?1 k ?1
2

(k ? 1) 2 ? ? 0, . 1? 因为 k ? 2 时, (k ? 1) ? (k ? 1) ? k (k ? 1)(k ? 2) ? 0 ,所以 2 k ?1
2

k ? 1 ? 1 ,所以
2

1 ? ? 0, .又 ak ?1 ? N* ,所以 (k ? 1) 2 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 . 1? k ?1
2

故 ak ?1 ? (k ? 1) ,即 n ? k ? 1 时, an ? n 成立.
* ? ? 由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n .
2

相关高考:已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N ,其中 x1 ? 0 , x 2 ? a(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的
*

中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An ? 2 An ?1 的中点,… (1)写出 x n 与 x n ?1 , x n ? 2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2)设 a n ? x n ?1 ? x n ,计算 a1 , a 2 , a3 , 并求出数列 ?a n ?的通项公式。 解: (1)当 n ? 3时xn ?

xn?1 ? xn?2 2 a2 ? x3 ? x2 ? x1 ? x2 1 1 ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? a 2 2 2

(2) a1 ? x2 ? x1 ? a,
常见数列通项公式的求法

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a 3 ? x4 ? x3 ?

x2 ? x3 1 1 ? x3 ? ? ( x3 ? x2 ) ? a 2 2 4 1 2

由此推测 an ? (? )n ?1 a(n ? N ? ) ,下面用数学归纳法证明:

① 当n=1时,a1 ? x2 ? x1 ? a ? (? )0 ? a公式成立

1 2

②假设当 n=k 时公式成立,即 ak ? (? ) k ?1 a 成立,那么当 n=k+1 时

1 2

ak ?1 ? xk ? 2 ? xk ?1 ?

xk ?1 ? xk 1 1 ? xk ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? ? ak 2 2 2
公式仍成立

1 1 1 ? ? (? )k ?1 a ? (? )( k ?1)?1 ? a 2 2 2
综上对任意 n ? N ? 公式都成立。 6.利用函数的不动点(方程的特征根)

b 2 ? 2b b 2 ? 2b 2 6.1 若数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ? ax ? bxn ? 的 ? a ? 0 ? ,且 ? 是方程 x ? ax ? bx ? 4a 4a
2 n

最小根,则 xn ?1 ? ? ? ? ? ? xn ? ? ? 。
2

例 10:已知数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ? 2 xn ? 4 xn ? 1, x1 ? 1 ,求数列 ? xn ? 的通项公式。
2

2 解:令 x ? 2 x ? 4 x ? 1 ,则 x ? ?1 是其最小根,得 xn ?1 ? 1 ? 2 ? xn ? 1? ,由题意知 xn ? 0 ,
2

两边取对数,得 log 2 ? xn ?1 ? 1? ? 2 log 2 ? xn ? 1? ? 1 ,两边同时加 1,得:

log 2 ? xn ?1 ? 1? ? 1 ? 2 ? log 2 ? xn ? 1? ? 1? ,
故 log 2 ? xn ? 1? ? 1 是首项为 log 2 ? x1 ? 1? ? 1 ? 2 公比为 2 的等比数列, 所以 log 2 ? xn ? 1? ? 1 ? 2 ,
n

?

?

故 xn ? 2

2n ?1

?1 。

6.2

若数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ?

axn ? b ax ? b ? c ? 0, ad ? bc ? 0 ? 且 x1 ? 1 。 cxn ? d cx1 ? d

6.2.1 若方程 x ?

x ? ? a ? c? xn ? ? ax ? b ? ? 有两个相异实根 ? , ? ,则 n ?1 。 xn ?1 ? ? a ? c? xn ? ? cx ? d

常见数列通项公式的求法

第 9 页 共 11 页

例 11:已知数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ?

7 xn ? 2 , x1 ? 3 ,求数列 ? xn ? 的通项公式。 xn ? 4

解:令 x ?

x ? 1 6 xn ? 1 7x ? 2 ,得 ? ? 1, ? ? 2 为其两根,所以有 n ?1 , ? ? xn ?1 ? 2 5 xn ? 2 x?4
? xn ? 1 ? x1 ? 1 6 ? 2 为首项,以 为公比的等比数列, ? 是以 x1 ? 2 5 ? xn ? 2 ?
n ?1

所以数列 ?

x ?1 ?6? ? 2?? ? 所以 n xn ? 2 ?5?

, 故 xn ?

1 ?6? 2?? ? ?5?
n ?1

?2 。 ?1

6.2.2 若方程 x ?

1 2c 1 ax ? b 有两个相等实根 ? ,且 a ? ?d ,则 。 ? ? xn ?1 ? ? a ? d xn ? ? cx ? d 3xn ? 1 1 , x1 ? ,求数列 ? xn ? 的通项公式。 4 xn ? 7 2

例 12:已知数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ?

解:令 x ?

3x ? 1 1 1 1 4 ,得 x ? ? 为其根,所以 ? ? , 1 1 5 4x ? 7 2 xn ?1 ? xn ? 2 2

? ? 4 1 ? 1 ? 所以数列 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列, ? 是以 1 5 ? xn ? 1 ? x1 ? 2 ? 2?
所以

9 ? 4n 4 。 ? 1 ? ? n ? 1? ? , 故 xn ? 1 2 ? 8n 5 xn ? 2

1

6.3

若数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ?

2 axn ? c ax 2 ? c 的两个相异实根, ? a ? 0 ? ,若 ? , ? 是方程 x ? 2axn ? f 2ax ? f
2

x ? ? ? xn ? ? ? ?? 则 n ?1 ? xn ?1 ? ? ? xn ? ? ?

例 13:已知数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ?

2 3xn ? 2 19 , x1 ? ,求数列 ? xn ? 的通项公式。 6 xn ? 5 6

1 ? 1? 2 ? xn ? 3 ? 3x ? 2 1 3? 解:令 x ? ,得 ? ? ? , ? ? 2 为其两根,所以 ? ? , 6x ? 5 xn ?1 ? 2 ? xn ? 2 ? 3 ? ? xn ?1 ?
常见数列通项公式的求法 第 10 页 共 11 页

2

1 1 xn ? 3 ? 2 log 3, 两边取对数,得 log 3 3 xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ?

1? 1 ? xn ? ? x1 ? ? 3 是以 log 3 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 所以数列 ?log 3 ? 3 x1 ? 2 xn ? 2 ? ? ? ?
1 2n?1 3 ? 2n ?1 , 故 x ? 6 ? 3 ? 1 。 所以 log 3 n ?1 n xn ? 2 3 ? 32 ? 3 xn ?
相关高考:已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 , ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x) 是
2

f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?
(1)求 ?,? 的值;

f (an ) (n ? 1, ?) . 2, f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 前 n 项和 S n . 解:(1)求根公式得 ? ? (2) f ?( x) ? 2 x ? 1

an ? ? ( n ?1, ? .求数列 ?bn ? 的 2 ,) an ? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 , ?? 2 2 2 a ?1 an ?1 ? n ? 2 ? 1?? , ? 2 ? 1? ? 2an ? 1

bn ?1 ? ln

an ?1 ? ? a 2 ? 2? an ? 1 ? ? a 2 ? 2? an ? ? 2 a ?? 2 ? ln n 2 ? ln n 2 ? ln( n ) ? 2bn 2 an ?1 ? ? an ? 2? an ? 1 ? ? an ? 2? an ? ? an ? ?
a1 ? ? 5 ?1 ? 4 ln ,公比为 q ? 2的等比数列 , a1 ? ? 2

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? ln

b1 (1 ? q n ) 5 ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ln ∴ Sn ? 1? q 2

常见数列通项公式的求法

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