2014届《高考复习方案》一轮:第8单元-解析几何-数学(文科)


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第八单元

解析几何

第42讲 第43讲 第44讲 第45讲 第46讲 第47讲 第48讲 第49讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程 两直线的位置关系 圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 椭圆 双曲线 抛物线 圆锥曲线的热点问题

单元网络

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核心导语
一、直线与圆的方程 1.使用范围——各种形式的直线方程的区别. 2.位置关系——不同已知条件下几何法与代数法的使 用. 3.距离公式——常用点到直线的距离公式讨论直线与 圆的位置关系. 4.圆的方程——抓住方程的两种形式和圆心坐标与半 径. 5.相交弦长——代数法或几何法(更简单).

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核心导语
二、直线与圆锥曲线 1.标准方程——椭圆、双曲线、抛物线的标准方程取 决于焦点的位置. 2.不同性质——离心率范围不同;椭圆、双曲线标准 方程中a,b,c的关系不同;渐近线是双曲线特有的性 质. 3.位置关系——代数法来判断. 4.中点弦问题——设而不求或用点差法.

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使用建议
1.编写意图 解析几何是高中数学的主干知识板块之一,在高考中 一般是2~3道选择、填空题,一道解答题.选择题、填空 题主要考查直线与圆的方程、圆锥曲线的方程及其简单的 几何性质,考查点相对单一;解答题则以圆锥曲线为依托, 全面考查圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系, 考查解决解析几何问题基本方法,考查各种数学思想在解 决解析几何问题中的应用,具有一定的难度.根据解析几 何的考查趋势和一轮复习的特点,在编写该部分时注意到 了如下几点:

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使用建议
(1)注重基础:在本单元的大部分讲次中都是使用基础 性试题,目的是使学生掌握好解析几何的基本知识和基本 方法,形成解题的基本技能,完成使学生能够顺利解答高 考的选择题和填空题目标,完成解答高考中解答题的知识 和方法的目标. (2)强化能力:解答解析几何试题需要学生有较高的逻 辑推理能力和运算求解能力,因此在编写中的选题方面注 意选用一些推理论证和计算相互作用,以计算辅助推理和 以理性的思考简化运算的试题,注重了对运算能力的训练, 试图通过这些题目的练习,提高学生分析解决解析几何试 题的能力,完成能够解决高考中中等难度的解析几何解答 题的目标.
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使用建议
(3)关注热点:近年来解析几何的考查中形成一些热点, 这些热点问题有考查频率高、试题难度大的特点,如在直 线与圆锥曲线中某条直线过定点、在运动变化中某些量为 定值等,本书对这些问题给予高度关注,除了在各个讲次 中穿插该类试题,还专门设置一个讲次讲解这些热点问题, 通过这个讲次使学生掌握解决这些热点问题的基本思想方 法,为二轮复习和高考冲刺阶段形成解决该类问题的能力 奠定一个基础.

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使用建议
2.教学指导 (1)充分重视教学中运算这个环节:解析几何的知识主 线很清晰,就是直线与方程、圆与方程、圆锥曲线的方程 及其简单几何性质,学生掌握这些知识并不困难,但学生 解答解析几何试题时有一定难度的,在一定程度上不少学 生对解析几何试题是畏惧的,其原因是解析几何试题往往 要以运算、甚至是非常复杂的运算为解题基本方式,在学 生运算能力较弱的情况下就会出现解题的困难和畏惧情 绪.在教学中要充分重视运算问题,对本单元的例题和习 题要给予学生足够的时间完成其中的运算环节,切忌为了 进度把答案直接抛给学生,在一些学生有困难的运算中教 师要与学生一起逐步完成其运算,一定要把运算这个环节 落到实处. 返回目录

使用建议
(2)充分重视学生的主体作用:本单元除了少数讲次外, 学生都可以独立地完成其中的绝大多数内容,教师在教学 中要把这个特点发挥出来,在不需要讲的地方就不讲、能 少讲的不多讲,这样学生才能体会到解答解析几何试题的 过程,在这个过程中认识解析几何试题的特点、掌握解析 几何试题的解题方法,这个过程是学生自己解决的,通过 这个过程就强化了学生的解题能力.

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使用建议
(3)充分重视重点和难点部分的教与学:解析几何考查 的重点就是直线与圆的综合、圆锥曲线与方程及其简单几 何性质方面的选择题或者填空题,以椭圆和抛物线为依托 交织直线、圆等产生各种类型的解答题,后者这个重点是 解析几何的难点,也是整个高考数学的难点之一,在这个 重点和难点问题上也应注意根据学生的实际情况因材施教、 区别对待,提高整个班级的复习质量.

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使用建议
3.课时安排 本单元包括8讲、两个45分钟滚动基础训练卷和一个 单元能力检测卷,各讲及两个45分钟滚动基础训练卷建议 各1课时完成,2课时讲评单元能力检测卷,大约共需12课 时.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第42讲 直线的倾斜角 与斜率、直线的方程

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考试大纲
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位 置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直 线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几 种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函 数的关系.

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

—— 知 识 梳 理 ——

一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α ________________________________________叫做直 线l的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定直线 0° 的倾斜角为________.因此,直线的倾斜角的取值范 [0°,180°) 围为____________.

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2.斜率 正切值 (1)定义:一条直线的倾斜角α 的________叫做这 条直线的斜率; 当直线的倾斜角α≠90°时,该直线的斜率k= tanα ________; 当直线的倾斜角等于90°时,直线的斜率 不存在 ________. (2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1, y2-y1 y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k= . x2-x1
不存在 若x1=x2,则直线的斜率________,此时直线的 倾斜角为90°.
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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

3.倾斜角与斜率的关系 倾斜角α与斜率k之间的关系是k=tanα ,这说明 任一直线都有________,但并不是任一直线都有 倾斜角 ________. 斜率

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

二、直线方程的三种形式
名称 点斜式 两点式 一般式 斜截式 方程 适用范围 不能表示垂直于x轴的直 线 不能表示垂直于坐标轴 ________________ 的直线 所有直线 不能表示垂直于x轴的直 线

y-y0=k(x-x0) ________________

Ax+By+C=0 ________________ y=kx+b ______________

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

—— 疑 难 辨 析 ——

1.倾斜角与斜率的理解 (1)直线的倾斜角为任意实数.( ) (2)任何直线都有斜率.( ) (3)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角 是45°.( ) (4)若三点A(2,3),B(a,1),C(0,2)共线,则a 的值为-2.( )

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案]

(1)?

(2)? (3)?

(4)√

[解析]

(1)直线的倾斜角的范围是[0°,180°).(2)倾

b-a 斜角为90°的直线没有斜率.(3)tanα =k= =-1,所 a-b 3-1 以α=135°.(4)若A,B,C共线,则kAB=kAC,所以 = 2-a 3-2 ,得a=-2. 2-0

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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2.直线的方程认识 (1)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0= k(x-x0)表示.( ) (2)[2012· 天津卷改编] 经过定点A(0,b)的直线都可 以用方程y=kx+b表示.( ) x y (3)不经过原点的直线都可以用 + =1表示.( ) a b (4)[2012· 北京卷改编] 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1) =(x-x1)(y2-y1)表示.( ) (5)已知△ABC的三个顶点A(3,5),B(5,3),C(3, 3),则过两边AB和AC的中点的直线方程是y=4.( ) (6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等, 则直线l的方程为x+y-3=0.( )
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第42讲
双 向 固 基 础

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案]

(1)?

(2)? (3)?

(4)√

(5)√ (6)?

[解析]

(1)斜率不存在时不能用y-y0=k(x-x0)表

示.(2)斜率不存在时不能表示为y=kx+b.(3)当直线平行于 x y 坐标轴时,不能表示为 + =1.(4)该直线方程可以化为一 a b 般式,而一般式方程表示坐标平面上的所有直线. (5)线段AB的中点坐标为M(4,4),线段AC的中点坐标 为N(3,4),所以中点M,N所在直线的方程为y=4. (6)错在漏掉了直线过原点的情况,当直线过原点时, 两截距也相等,此时方程为y=2x.所以正确答案是2x-y=0 或x+y-3=0.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考点统计
点 面 讲 考 向 1.直线的倾斜角和斜率 2.直线的方程 3.直线方程的综合应用

题型(考频)
选择(1) 解答(1) 0 0

题型示例(难度)
2008年T20(1)(B), 2012年T4(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

?

探究点一
例1

直线的倾斜角和斜率的求解

(1)直线xcosα + 3 y-5=0的倾斜角的取值范围

点 面 讲 考 向

是________. (2)经过两点A(2,1)和B(a,a+1)的直线l的倾斜角为钝 角,则实数a的取值范围是________.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:理解倾斜角的定义;推理:求

出直线的斜率;结论:得出斜率对应的角的范围. (2)分析:由两点坐标联想到斜率公式;推理:用斜 率公式求斜率k(a)的表达式;结论:根据k(a)<0可解得a的 范围.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
? π ? (1)?0, 6 ? ? ?5π ? ? ?∪? 6 ? ? ? ? ? ?

[答案]
点 面 讲 考 向

,π

(2)0<a<2

cosα ? 3 3? ? [解析] (1)已知直线的斜率k=- ∈?- , ?, 3 3? 3 ? ?
? ?5π 3 ? ? ? 当k∈?- ,0?时,倾斜角θ∈? ? 6 3 ? ? ? ? ? π 3? ? ? ? 当k∈?0, ?时,倾斜角θ∈?0, 3? 6 ? ?

,π
? ? ?. ?

? ? ?, ?

所以已知直线的倾斜角的取值范围是
?5π ? ? 6 ?

? π ? ?0, 6 ?

? ? ? ?



,π

? ? ?. ?
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点 面 讲 考 向

y2-y1 a (2)由k= 得k= ,因为直线l的倾斜角为钝 x2-x1 a-2 a 角,所以k<0,即 <0,解之得0<a<2. a-2

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点评
点 面 讲 考 向

直线的倾斜角和斜率之间可以互相转化,注意公

y2-y1 式k=tanα (其中α是直线的倾斜角)和k= (x1≠x2)在求斜 x2-x1 率或倾斜角时需满足的条件;当直线的倾斜角为锐角时,直 线的斜率大于零;当直线的倾斜角为钝角时,直线的斜率小 于零;当直线的倾斜角为90°时,直线斜率不存在;当直线 的倾斜角为0°时,直线的斜率为零.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

①直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为

90° ,直线垂直于x轴. ②倾斜角和斜率的变化关系,请结合y=tanx, ? π? ?π ? x∈?0, ?∪? ,π?的图象考虑. 2? ?2 ? ? y2-y1 ③公式k= (x ≠x )中的坐标与两点的顺序无关, x2-x1 1 2 当x1=x2,y1≠y2时,直线的倾斜角为90° .

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

变式题

(1)[2012· 银川二模] 过点M(-2,a)和N(a,

点 面 讲 考 向

4)的直线的斜率为1,则实数a的值为( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 1 (2)直线y=2x,y=2x的夹角的正切值是________.

[答案]

3 (1)A (2) 4

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[解析]
点 面 讲 考 向

4-a (1)即 =1,解得a=1. a+2

1 (2)两条直线的倾斜角分别为α,β,则tanα = ,tan 2 β =2,设其夹角为θ,则tanθ =tan(β-α)= tanβ -tanα = 1+tanβ tanα 3 = . 1 4 1+2? 2 1 2-2

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

?

探究点二

直线方程的求法

例2 (1)直线l在y轴上的截距为-1,倾斜角是直线l1:3x
点 面 讲 考 向

+4y-1=0的倾斜角的一半,则直线l的方程为( ) A.3x-y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y+1=0 (2)直线l过点A(-2,4),分别交x轴、y轴于B,C两点, → =1AC,则直线l的方程为( → 且满足BA ) 2 A.4x-y+12=0 B.4x+y+12=0 C.x-4y+12=0 D.x+4y+12=0
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:设直线l方程为斜截式;推理:

根据题意求出直线的斜率和在y轴上的截距;结论:代入 直线的斜截式方程可得. (2)分析:设直线l方程为截距式;推理:由向量关系 求出横截距和纵截距;结论:代入直线的截距式可得.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案]

(1)C (2)A

[解析] 设直线l的斜率为k,倾斜角为α,
点 面 讲 考 向

3 设直线l1的倾斜角为β,则tanβ =- ,且β=2α. 4 2tanα 3 1 由tanβ =tan2α = =-4,得tanα =- 3或3. 2 1-tan α 1 若tanα =- ,则90°<α <180°,从而180°<β 3 <360°,不合题意,所以k=tanα =3. 又因为直线l的纵截距为-1,所以直线l的方程为y= 3x-1,即3x-y-1=0.选C.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点 面 讲 考 向

x y (2)方法一:设直线l的方程为 + =1,则B(a,0), a b C(0,b), → → BA=(-2-a,4),AC=(2,b-4).
?2(-2-a)=2, ?a=-3, ? ? 1→ → = AC,得? 由BA 解得? 2 ?8=b-4, ?b=12. ? ? x y 所以直线l的方程为 +12=1,即4x-y+12=0. -3

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

方法二:设直线l的方程为y-4=k(x+2),分别令y= 0,x=0,得B,C两点坐标为B
点 面 讲 考 向
? ? ? ? ? 4 ? ?- -2,0? ? k ?

,C(0,2k+

→ =?4 ,4?,AC=(2,2k). → 4),所以BA k ?4 2 ? k=2, 1→ → 由BA=2AC,得? 解得k=4, ?4=2k, 2 ? 所以直线l的方程为y-4=4(x+2),即4x-y+12=0.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点评
点 面 讲 考 向

求直线方程时,要依据条件灵活选择方程的形

式.一般地,与倾斜角有关的,方程设为点斜式或斜截式, 如(1);与截距有关的,方程设为截距式,如(2).在使用斜截 式方程时,可以将斜率k作为变量,将问题转化为函数问题来 解.对于直线方程各种形式,要注意它们的使用范围,即对 方程中的参数要分类讨论.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

②解方程(组)求出参数用待定系数法求直

线方程时,要考虑特殊情况,以防漏解.有以下几种情 况: (i)设直线方程是y=kx+b或y-y0=k(x-x0)时,要验 证斜率不存在时的直线x=0或x=x0是否符合题意; y-y1 x-x1 (ii)设直线方程是 = 时,要验证x=x1和y= y2-y1 x2-x1 y1是否符合题意; x y (iii)设直线方程是 + =1时,要验证过原点的直线和 a b 平行于坐标轴的直线是否符合题意; (iv)设直线方程是Ax+By+C=0时要注意A=0或B=0 时的特殊情况.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

变式题
点 面 讲 考 向

(1)过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1

π 的倾斜角小 的直线方程是( ) 4 A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2 (2)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3 =0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,给出下列 结论:①直线l与直线l1的斜率互为倒数;②直线l与直线l1 1 的倾斜角互补;③直线l在x轴上的截距为 ;④直线l在y轴 2 上的截距为-1;⑤这样的直线l有两条. 则其中正确结论的序号是________.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)②④

[解析]

(1)∵直线y=-x-1的斜率是-1,故其倾斜角

3π π 是 4 ,∴所求直线的倾斜角是 2 ,即直线与x轴垂直,故 所求直线的方程是x=2. (2)依题意直线l与直线l1的倾斜角互补,故其斜率为- 2,过点P(-1,1),故直线l的方程为2x+y+1=0.故正确结 论只有②④.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

?

探究点三
例3

直线方程的综合应用

某中学在扩建过程中要在学校旁边的荒地

点 面 讲 考 向

ABCDE上划出一块矩形地面PFDG用来修建塑胶运动场. 已知BC=70 m,CD=80 m,DE=100 m,EA=60 m,问如何设计才能使运动场占地面积最大?并求出最大 面积(精确到1 m2).

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:如题干;目标:求矩形PFDG的面

积最大值;方法:矩形PFDG的面积与点P的位置有关,用 坐标法求出点P的坐标,进而求出最大面积.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点 面 讲 考 向

解:如图建立直角坐标系,则A(0,20),B(30,0).

x y 故线段AB所在的直线方程为30+20=1. 2 设线段AB上一点P的坐标为(x,y),则y=20-3x. 于是可得矩形PFDG的边长分别为(100-x)m和
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

? ? 2 ?? ?80-? 20- x??m,则矩形PFDG的面积为 3 ?? ? ? ? ? 2 ?? S=(100-x)?80-?20-3x?? ? ? ??

点 面 讲 考 向

2 2 20 =- x + x+6 000 3 3 2 50 2 =- (x-5) +6 000+ (0≤x≤30). 3 3 50 所以,当x=5,y= 时, 3 其面积最大,最大值约为6 017 m2,
? 50? 即当点P的坐标为 ?5, ?时, 3? ?

矩形PFDG的面积最大,最大值约为6 017 m2.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点评
点 面 讲 考 向

本题解法较多,而根据矩形的特点,建立直角坐

标系,用直线方程来解,是一种较简便的方法.点P的位置 决定矩形PFDG面积的大小,而点P在线段AB上,所以点P的 x y 坐标满足方程30+ 20 =1,这样就可以消去一个未知量,将面 积表示为函数关系,使问题得解.直线的方程实质上是变量x 与y的函数关系,在求一类最值中经常用到,如下面的变式 题.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

在斜率存在时,直线的方程其实和一次函数

之间可以互化,因此在解决和直线有关的最值问题时可以考 虑借助函数思想去分析,同时注意自变量的变化范围.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

变式题
点 面 讲 考 向

经过点P(2,1)的直线l分别与两坐标轴的正

半轴交于A,B两点. (1)求|OA|+|OB|的最小值及此时直线l的方程; (2)求|PA|· |PB|的最小值及此时直线l的方程.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

解:由条件知,直线l斜率k必存在.
点 面 讲 考 向

设直线l方程为y-1=k(x-2),显然k<0, 1 当x=0时,y=1-2k;y=0时,x=2- , k 所以A,B两点的坐标分别为A 2k).
? 1 ? ?2- ,0? k ? ?

,B(0,1-

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
? 1? (1)|OA|+|OB|=(1-2k)+ ?2- k? ? ?

点 面 讲 考 向

? 1? =3+?- k?+(-2k)≥3+2 ? ?

? 1? ?- ?· (-2k) ? k?

=3+2 2. 1 2 当且仅当- =-2k,即k=- 时,等号成立, 2 k 2 此时直线方程为y-1=- 2 (x-2). 所以|OA|+|OB|的最小值为3+2 2, 此时直线l的方程为x+ 2y-2- 2=0.

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

(2)|PA|· |PB|=
? 1 ?2 ?2- -2? +(0-1)2? k ? ?

(0-2)2+(1-2k-1)2 1 2+ 2+k2 k

点 面 讲 考 向

=2 ≥2

? 1? ? 1+ 2??(1+k2)=2 k? ?

2+2

1 2 2?k =4, k

1 当且仅当 2=k2,即k=-1时,等号成立. k 此时直线方程为y-1=-(x-2). 所以|PA|· |PB|的最小值为4, 此时直线l的方程为x+y-3=0.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

易错究源15


直线倾斜角(斜率)的范围问题
已知点A(-1,1),B(2,-

[2012· 襄阳调研]

2),若直线l:x+my+m=0与线段AB相交(包含端点的情 况),则实数m的取值范围是________.
多 元 提 能 力

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

错解

m=0时,直线l与线段AB相交. 1 当m≠0,l的斜率为k=- ,如图8-42-2,直线l过 m 点P(0,-1),设直线PA、PB、l的倾斜角分别为α、β、 θ,则有α<θ<β,此时直线l与线段AB相交,而直线PA的斜 1 1 1 率为-2,直线PB的斜率是- ,故-2<- <- ,所以m 2 2 m 1 =0或 <m<2. 2
[错因] 直线l与线段AB相交时,其倾斜角的范围不 是α<θ<β,错因是没有用函数k=tanα 的观点去认识斜率 和倾斜角之间的关系.
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多 元 提 能 力

第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

m=0时,直线l:x=0与线段AB相交; 1 当m≠0,直线l的斜率为k=- ,如图8-42-2,且 m 直线l恒过点P(0,-1).

[正解]

多 元 提 能 力

设直线PA,PB,l的倾斜角分别为α,β,θ, 当l从直线PB绕点P逆时针旋转到直线PA时,θ∈ °,α]∪[β,180°)(α,β>90°),

[0

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

根据正切函数的单调性知k≤kPA=-2或k≥kPB=- 1 1 1 1 1 2,即-m≤-2或-m≥-2,解得0<m≤2或m≥2或m<0. ? 1? 综上得m∈?-∞, ?∪[2,+∞). 2? ?
多 元 提 能 力

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

自我检评

(1)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两

点,那么直线l的倾斜角α的取值范围是( ) π π A.0≤α <π B.0≤α ≤ 4 或 2 <α <π π π π π C.0≤α ≤ D. ≤α < 或 <α <π 4 4 2 2
多 元 提 能 力

(2)直线x-2cosα y+3=0 变化范围是(
?π π? ? A. ? , ? 4? ?6 ? ?π 2π ? ? ? C.? , 3 ? ?4 ?

? ? ?α ?

?π ∈? ?6 ?

π ?? ?? , 3 ?? 的倾斜角的 ??

)
?π π? ? B.? , ? 3? ?6 ? ?π π? ? D.? , ? 3? ?4 ?
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案]

(1)B (2)A

m2-1 [解析] (1)直线l的斜率k= =1-m2≤1,又直线l的 1-2 倾斜角为α,则有tanα ≤1,即tanα <0或0≤tanα ≤1,所以
多 元 提 能 力

π π <α <π 或0≤α≤ .故选B. 2 4

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1 (2)直线x-2cosα y+3=0的斜率k= , 2cosα ∵α ∈
? ? ? ? ? 3 ? ,1?. 3 ? ?π ? ?6 ?

1 3 1 π? ? ∈ , ? ,∴ 2 ≤cosα ≤ 2 .故k= 3? 2cosα

多 元 提 能 力

设直线的倾斜角为θ,则有tanθ 由于θ ∈[0,π

? ∈? ? ?

? 3 ? ,1?, 3 ?

?π π ? ),∴θ∈? , ?. ?6 4? ? ?

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

备选理由 求直线方程是本讲的主要内容,而直线方 程的各种形式的使用范围和注意条件是学生容易忽视的, 下面的例1、例2就是针对直线方程的两点式和截距式而设 置的.例3是直线方程与证明的综合应用题,意在提高学 生的综合应用能力.

教 师 备 用 题
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

例1

过两点A(5,1)和B(m,3)的直线方程是

________.

[答案]

x-5=0或2x-(m-5)y+m-15=0

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

y-1 [解析] 当m≠5时,由直线方程的两点式得 = 3-1 x-5 ,即2x-(m-5)y+m-15=0;当m=5时,直线方 m-5 程为x-5=0.

教 师 备 用 题
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

例2

直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之

和为12,则该直线方程为________.

教 师 备 用 题
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[答案] 4x-y+16=0或x+3y-9=0.

[解析] =1,

x y 由题设知截距不为0,设直线方程为 + a 12-a

-3 4 从而 + =1,解得a=-4或a=9. a 12-a 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

例3

已知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共

1 1 线,求证: + 为定值. a b

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第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

证明:方法一:因为三点共线, 0-2 b-2 所以kAB=kAC, = , a-2 0-2 (a-2)(b-2)=4,展开得ab=2(a+b), a+b 1 1 b+a 1 所以 + = = = (定值). a b ab 2(a+b) 2 方法二:根据直线的截距式方程,经过B,C的直线方 x y 程是 + =1,由于A,B,C三点共线,故点A在经过B,C a b 2 2 的直线上,点A的坐标适合这个方程,代入得 + =1,所 a b 1 1 1 以 + =2(定值). a b
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教 师 备 用 题

第42讲

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

点评 解决.

A,B,C三点共线问题借助斜率来解决,只需保

证kAB=kAC;也可以根据其中一个点在另外两点确定的直线上

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第43讲 两直线的位置关系

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考试大纲
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行 或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点 坐标. 3.掌握两点间的距离公式,点到直线的距离公 式,会求两条平行直线间的距离.

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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

—— 知 识 梳 理 ——

一、两直线平行与垂直的判定 1.两条直线的平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为 k1=k2 k1,k2,有l1∥l2?________;当l1和l2的斜率都不存 在时,l1与l2也是平行关系. 2.两条直线的垂直 如果两直线l1,l2的斜率存在,设为k1和k2,有l1 k1k2=-1 ⊥l2?____________;当一条直线的斜率为0,另一 条直线的斜率不存在时,这两条直线也互相垂直.

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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

3.两条直线的重合 已知两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若 b1= b2 k1=k2且________,则这两条直线重合. 二、两直线的交点 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2: 交点坐标 A2x+B2y+C2=0,两条直线的________就是方程组 ?A x+B y+C =0, ? 1 1 1 ? 的解,若方程组有唯一解,则两 ?A2x+B2y+C2=0 ?
相交 交点坐标 条直线________,此解就是________;若方程组 无解 ________,则两条直线无公共点,此时两条直线 平行 ________; 反之,亦成立.
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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

三、三种距离 1.已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 ___________________________. 2.点到直线的距离 P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= |Ax0+By0+C| . 2 2 A +B 3.两平行线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By |C1-C2| +C2=0的距离为d= 2 2. A +B
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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

—— 疑 难 辨 析 ——

1.直线位置关系的判定 (1)已知两条直线l1和l2 ①如果l1∥l2,那么它们的斜率相等.( ) ②如果l1⊥l2,那么它们的斜率之积等于- 1.( ) (2)已知直线l:Ax+By+C=0 ①与直线l平行的直线方程可表示为Ax+By+C′ =0(C′≠C).( ) ②与直线l垂直的直线方程可表示为Bx+Ay+C′ =0.( )
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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

(3)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 ①若l1与l2相交,则k1≠k2.( ) ②若l1⊥l2,则k1?k2=-1.( ) ③若l1∥l2,则k1=k2且b1≠b2.( ) ④若l1与l2重合,则k1=k2且b1=b2.( ) (4)已知l1:ax+3y-2=0,l2:2x+by+1=0相交, 则a,b应满足的条件是ab≠6.( )

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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

[答案] (1)①? ②? (2)①√ ②? (3)①√ ②√ ③√ ④√ (4)√
[解析] (1)两题都错在没有注意斜率不存在的情

况.(2)①两直线斜率相等,而在y轴上的截距不等,所以两 直线平行;②正确的是Bx-Ay+C′=0.(3)依题意,两直线的 斜率都存在,根据两直线关系的条件和结论可以判断这四个 命题都正确.(4)l1和l2相交应满足的条件是a· b-3?2≠0,即 ab≠6.

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第43讲
双 向 固 基 础

两直线的位置关系

2.距离公式的应用 2 (1)点P(1,a)到直线x-y+a=0的距离是 .( ) 2 (2)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离 是0.( )

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双 向 固 基 础

两直线的位置关系

[答案]

(1)√

(2)?

[解析]

(1)点P(1,a)到直线x-y+a=0的距离为d=

|1-a+a| 2 = . 2 2 (2)把直线2x-y+1=0化为4x-2y+2=0,则两直线间 5 距离为d= = = . 2 5 10 16+4 |1-2| 1

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第43讲

两直线的位置关系

考点统计
1.两直线的位置关系 点 面 讲 考 向 2.两直线的交点与距离

题型(考频)
0 0

题型示例(难度)

3.直线过定点的问题
4.对称问题

选择(1)
0

2009年T5(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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两直线的位置关系

?

探究点一
例1

两直线的位置关系的问题

(1)[2012· 浙江卷] 设a∈R,则“a=1”是“直线

点 面 讲 考 向

l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1= 0,若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1,则m,n的值分别为 ( ) A.0,8 B.4,8 C.-4,-8 D.0,-8

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第43讲

两直线的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:欲判断充要条件需确定已知直线

平行时的a值;推理:求出已知直线平行的a值;结论:根 据充分性、必要性判断方法进行判断. (2)分析:由两直线垂直的充要条件得到m,n的一个 关系;推理:得到m,n的两个方程;结论:解方程组.

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)A

[解析]

(1)若a=1,则直线l1:ax+2y-1=0与l2:x

+2y+4=0平行;若直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+2y+4 =0平行,则2a-2=0,即a=1. ∴“a=1”是“l1:ax+2y-1=0与l2:x+2y+4=0平 行”的充要条件. (2)当m=0时,l1的斜率为0,l2不存在斜率,两直线垂 直,且当n=8时,l1在y轴上的截距为-1.当m≠0时,有- m ? 2? ??-m?=-1,无解.故选A. 8 ? ?
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第43讲

两直线的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

解决两直线的平行或垂直的问题,主要

利用两直线平行或垂直的充要条件,如果出现斜率不存在 的情况,则要单独讨论,或结合图形研究.

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第43讲

两直线的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)若直线l1:ax+4y-20=0与l2:x+ay-b

=0重合,则正数a,b的值分别是________. (2)[2012· 惠州调研] “a=-2”是“直线ax+2y=0垂 直于直线x+y=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)2,10

(2)C

[解析]

(1)显然a=0时两直线不重合,所以若两直线

a 1 20 b 重合,则有- =- ,且 = ,解得a=2(舍去a=-2),b 4 4 a a =10. (2)直线ax+2y=0与直线x+y=1垂直的充要条件是 a?1+2?1=0,即a=-2.

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第43讲

两直线的位置关系

?

探究点二

两直线的交点与距离的问题

点 面 讲 考 向

1 例2 (1)若0<k< ,则直线kx-y=k-1与ky-x=2k的 2 交点在第________象限. (2)点P到x轴的距离与到直线l:y= 3 x的距离相等,则 点P的轨迹方程是( ) A.x- 3y=0 B.x+ 3y=0或 3x+y=0 C.x- 3y=0或 3x+y=0 D.x+ 3y=0或 3x-y=0

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第43讲

两直线的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:解出交点坐标,结合k的范围

再分析;推理:判定交点横纵坐标的正负;结论:得到所 在象限. (2)分析:利用求轨迹的思想方法;推理:利用两个距 离相等得到P点坐标之间关系式;结论:化简所得关系式 即为轨迹方程.

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)二

(2)C
?kx-y=k-1, ? ? ?ky-x=2k ?

[解析]

(1)方法一:解方程组

得交点

? k 2k-1? 2k-1 1 k ? ? 坐标为 ? , <0, >0, ? .因为0<k< 2 ,所以 k-1 ? k-1 k-1 ? k-1

所以交点在第二象限.
? 1 1? 1 方法二:特值法.取k= ,易得交点为 ?- , ? ,所以 3 ? 2 2?

交点在第二象限.

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第43讲

两直线的位置关系

(2)方法一:设点P(x,y),依题意有|y|=
点 面 讲 考 向

,化简得x- 3y=0或 3x+y=0.故选C. ( 3) +1
2

| 3x-y|

方法二:因为直线l的倾斜角为60°,所以点P的轨迹 是倾斜角为30°或120°且过原点的直线,所以,轨迹方程 为x- 3y=0或 3x+y=0.故选C.

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第43讲

两直线的位置关系

点评
点 面 讲 考 向

距离问题有三类:两点间的距离,点到直线的

距离,两平行直线间的距离.一般来说,会套用公式求距 离就可以了.在使用公式时,要注意公式的使用条件和公 式的特例,在用距离公式解含有参数的问题时,用距离公 式列出关于所含参数的方程(组),利用方程思想解决问 题.

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第43讲

两直线的位置关系

归纳总结 则
点 面 讲 考 向

①点到直线的距离公式:设点P(x0,y0),

距离 点P到直线Ax+By+C =0的距离 点P到直线x=a的距离 点P到直线y=b的距离 ②用公式d= |C1-C2| A +B
2 2

公式 d= |Ax0+By0+C| A2+B2 d=|x0-a| d=|y0-b| 求两平行线间的距离时,要先

将两个方程中的x,y的系数化为相同.
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第43讲

两直线的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)已知点P(-1,3),则过P点与原点距离最

大的直线l的方程是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+10=0 C.3x+y=0 D.3x+y+10=0 (2)经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与 直线3x+y-1=0平行的直线方程是( ) A.15x+5y+16=0 B.5x+15y+16=0 C.15x+5y+6=0 D.5x+15y+6=0

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
[解析]

(1)B (2)A
(1)过P点与原点距离最大的直线l为垂直于直

点 面 讲 考 向

1 线OP的直线,所以直线l的斜率为 ,所以直线l的方程为y 3 1 -3=3(x+1),即x-3y+10=0.故选B.

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第43讲

两直线的位置关系

点 面 讲 考 向

3 ? ?2x-3y-3=0, ?x=-5, ? (2)方法一:由方程组 ? 得? 设 7 ?x+y+2=0 ? ?y=- . 5 ? 所求直线为l, ∵直线l和直线3x+y-1=0平行, ∴直线l的斜率k=-3.
? ? 3?? ? 7? ∴根据直线点斜式有y-?-5?=-3?x- ?-5??, ? ? ?? ? ?

即所求直线方程为15x+5y+16=0.

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第43讲

两直线的位置关系

方法二:设所求直线为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,即 (2+λ)x+(λ-3)y+2λ-3=0,因为此直线与直线3x+y-1
点 面 讲 考 向

2+λ 11 =0平行,故有 =-3,解得λ= 2 ,故所求直线方程为 3-λ 15x+5y+16=0.

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第43讲

两直线的位置关系

?

探究点三
例3

直线过定点的问题

(1)不论k取何值,直线l:(k+1)x+y+2-k=0恒

点 面 讲 考 向

过定点,这个定点是( ) A.(-1,3) B.(1,-3) C.(3,-1) D.(-3,1) (2)若k,-1,b成等差数列,则直线y=kx+b必过定点 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)

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第43讲

两直线的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:由直线系方程的意义或特殊值

法;推理:求出交点坐标,再证明直线恒过这个点,也可 以利用直线系方程求解;结论:解方程组得到交点坐标. (2)分析:直线方程为点斜式;推理:根据条件,得到 字母k,b关系式,代入直线方程,消掉一个字母,把直线 方程化为点斜式;结论:求出定点坐标.

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
[解析]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)A
(1)方法一:取k=0,得x+y+2=0,①

取k=1,得2x+y+1=0,② 解①②构成的方程组,得x=1,y=-3,将该点坐标 代入直线l方程,则方程恒成立,说明不论k取何值,直线l 都经过点(1,-3).故选B. 方法二:将直线方程化为(x-1)k+x+y+2=0,因为k 取任意实数,即关于k的方程有无数组解,所以x-1=0且x +y+2=0,解得x=1,y=-3.故选B.

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第43讲

两直线的位置关系

(2)由已知得k+b=-2,所以直线方程变为y=kx-k -2,即y=k(x-1)-2,此为直线的点斜式方程,所以直线
点 面 讲 考 向

过定点(1,-2).故选A.

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第43讲

两直线的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)表明不论k

取何值,该方程表示的直线恒过定点(x0,y0).一般情况是形 如A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的直线,若对任意的λ值 恒成立,则该直线恒过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+ B2y+C2=0的交点.该直线系方程中,当λ=0时,表示直线 l1,但是,不论λ取何值,都不能表示直线l2.

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第43讲

两直线的位置关系

?

探究点四
例4

对称问题

(1)点P(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是

点 面 讲 考 向

(

) A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) D.(-6,-8) (2)直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线 l′的方程是( ) A.3x-2y+9=0 B.2x-3y+9=0 C.2x-3y-9=0 D.3x-2y-9=0

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第43讲

两直线的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:设对称点为(x,y),找出等量关

系;推理:由互相垂直直线的斜率关系以及中点公式得到 x,y的两个方程;结论:解方程组. (2)分析:根据求轨迹思想或根据线关于点对称后还是 直线,只要确定直线上两个点即可;推理:相关点法求轨 迹;结论:建立起A点和对称点之间的关系,代入已知直 线的方程.

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第43讲

两直线的位置关系

[答案]
[解析]

(1)D (2)C
(1)设点P(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对

点 面 讲 考 向

称点为P1(x1,y1),由轴对称概念知PP1的中点 M
?x +4 y +0? 1 ? 1 ? ? 2 , 2 ? ? ?

在对称轴5x+4y+21=0上,且PP1与对称

轴垂直,则有 4 ? y1 ? = , x1-4 5 ? ? 解得x1=-6,y1=-8, y1 ? x1+4 ?5· 2 +4· +21=0, 2 ? 所以P1(-6,-8),故选D.
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第43讲

两直线的位置关系

(2)设点Q′(a,b)是直线l上任意一点,点Q′(a,b)关于点 A(-1,-2)的对称点为Q(x,y),
点 面 讲 考 向

?a+x ? =-1, ?a=-2-x, ? ? 2 则? 解得? ?b=-4-y. ?b+y ? =-2, ? 2 ? 因为点Q′(a,b)在直线l上, 所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 化简得2x-3y-9=0.

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第43讲

两直线的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

①解决点关于直线对称问题要把握两点:点

M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l 与直线MN垂直. ②如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用 中点公式就可解决问题. ③若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:(i)若直线 l1与l2相交,则交点在直线l上;(ii)若点B在直线l1上,则其关 于直线l的对称点B′在直线l2上.

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第43讲

两直线的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

求直线l1:3x+y=0关于直线l:x-y+4=0

对称的直线l2的方程.

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第43讲

两直线的位置关系
?3x+y=0, ? ? ?x-y+4=0, ?

解:方法一:解方程组
点 面 讲 考 向

得直线l1与l的交

点坐标A(-1,3). 在直线l1上任取一点B(1,-3),设点B关于直线l对称
?x+1 y-3? ? 的点为B′(x,y),则线段BB′的中点 ? ? 2 , 2 ? 在直线l上, ? ?

且直线BB′与直线l垂直, ?x+1 y-3 ? - 2 +4=0, ?x=-7, ? 2 ? 所以 ? 解得 ? 即B′(-7, y+3 ?y=5, ? ? =-1, ?x-1 ? 5).
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第43讲

两直线的位置关系

又直线l2过A(-1,3)和B′(-7,5)两点,
点 面 讲 考 向

y-3 x+1 由两点式方程,得 = , 5-3 -7+1 即x+3y-8=0. 方法二:设M(x0,y0)是直线l1上任意一点,它关于直线 l的对称点为N(x,y), 则线段MN的中点坐标为 y-y0 率为 , x-x0
?x+x y+y0? 0 ? ? , 2 ? ? 2 ? ?

,直线MN的斜

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第43讲

两直线的位置关系

点 面 讲 考 向

?x+x0 y+y0 ? ?x =y-4, 2 - 2 +4=0, ? ? 0 依题意,得? 解得? ?y0=x+4. ?y-y0=-1, ? ?x-x0 ? 因为M(x0,y0)是直线l1上任意一点,所以3x0+y0=0, 所以3(y-4)+x+4=0, 即x+3y-8=0,此为所求直线l2的方程.

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第43讲

两直线的位置关系

思想方法16


等价转化思想在距离问题中的应用

已知直线l:2x-y+1=0和点A(-1,2),B(0,3),试

在l上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小,并求出这个最小值.

多 元 提 能 力

[分析]

可以求出点B关于l的对称点B′,则|PA|+|PB|

=|PA|+|PB′|,从而将代数问题转化为平面几何问题.

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第43讲

两直线的位置关系

多 元 提 能 力

解:过点B(0,3)与直线l垂直的直线方程为l′:y-3= ? 4 ?2x-y+1=0, ?x=5, ? 1 - x,即x+2y-6=0,由 ? 得? 2 ?x+2y-6=0 ? ?y=13, 5 ? ?4 13? 即直线l与直线l′相交于点Q?5, 5 ?, ? ? ?4 13? ?8 11? 点B(0,3)关于点Q?5, 5 ?的对称点为B′?5, 5 ?, ? ? ? ? 连接AB′,依平面几何知识知,AB′与直线l的交点P即为 所求.

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第43讲

两直线的位置关系

多 元 提 能 力

1 直线AB′的方程为y-2= 13 (x+1),即x-13y+27=0, ? 14 ?2x-y+1=0, ?x=25, ? 由? 得? ?x-13y+27=0 ? ?y=53, ? 25 ?14 53? ? , ? 即P ,相应的最小值为|AB′|= ?25 25? ? 8?2 ? 11?2 170 ? -1- ? +?2- ? = . 5? ? 5? 5 ?

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第43讲

两直线的位置关系

自我检评 已知点P(2,4),Q(3,1),直线l:x-y+1 =0. (1)在l上求一点M,使|PM|+|QM|最小,并求出最小 值; (2)在l上求一点N,使|QN|-|PN|最大,并求出最大 值.
多 元 提 能 力

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第43讲

两直线的位置关系

解:(1)如图,连接PQ,与直线l交于点M,则|PM|+ |QM|=|PQ|为最小,此时由两点间距离公式可得|PQ|= (3-2)2+(1-4)2= 10.

多 元 提 能 力

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第43讲

两直线的位置关系

1-4 由P(2,4),Q(3,1),可得kPQ= =-3, 3-2 故PQ所在直线方程为y-4=-3(x-2), 即3x+y-10=0. ? 9 ?3x+y-10=0, ?x=4, ? 由? 解得? ?x-y+1=0, ? ?y=13. 4 ? ?9 13? 故M点的坐标为?4, 4 ?. ? ?

多 元 提 能 力

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第43讲

两直线的位置关系

(2)作点P关于l的对称点P′. ?y0-4 ? ?1=-1, ?x =3, ?x0-2 ? 0 设P′(x0,y0),则? 解得? ?y0=3. ? x0+2 y0+4 ? - +1=0, ? 2 2 ? 故P′(3,3).
多 元 提 能 力

连接QP′并延长交直线l于点N, 此时,|QN|-|PN|=|QN|-|P′N|=|QP′|最大,且最大值 为|QP′|= (3-1)2+(3-3)2=2. ∵Q(3,1),P′(3,3),∴P′Q方程为x=3.
?x=3, ?x=3, ? ? 由? 解得? ?x-y+1=0 ?y=4. ? ?

故N点坐标为(3,4).

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第43讲

两直线的位置关系

备选理由

本讲的重点是两直线的位置关系和距离公式

的应用问题.在两直线位置关系的讨论中,要注意参数的变 化,如例1;例2是直线方程与向量结合的综合题;例3以直线 划分平面区域为载体,考查直线的方程、直线的位置关系, 考查数形结合的思想以及观察问题、分析问题的能力.

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

例1

已知两条直线l1:x+ysinθ -1=0和l2:2xsin

θ +y+1=0,试求θ的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

解:(1)方法一:当sinθ =0时,l1的斜率不存在,l2的 斜率为零,l1显然不平行于l2, 1 当sinθ ≠0时,k1=- ,k2=-2sinθ , sinθ 1 2 欲使l1∥l2,只要- =-2sinθ ,sinθ =± , 2 sinθ π ∴θ =kπ ± (k∈Z)时,l1∥l2. 4
教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

方法二:由A1B2-A2B1=0, 1 即2sin θ -1=0,得sin θ = , 2 2 ∴sinθ =± 2 ,由B1C2-B2C1≠0,
2 2

即1+sinθ ≠0,即sinθ ≠-1,得θ≠2kπ - π (k∈Z). 2 π ∴当θ=kπ ± ,k∈Z时,l1∥l2. 4

教 师 备 用 题

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第43讲

两直线的位置关系

(2)A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件, ∵2sinθ +sinθ =0,即sinθ =0,∴θ=kπ (k∈Z), ∴当θ=kπ ,k∈Z时,l1⊥l2.

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

例2

→ 直线l1:ax+2y=0与向量 OA =(-2,3)垂

→ 直,将直线l1沿向量OA 平移 13个单位得到直线l2,则直 线l2的方程是________.

[答案]

2x-3y+13=0

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

a 2 4 [解析] 依题意- 2 = 3 ,所以a=- 3 ,则l1:2x-3y=0. 又知l1∥l2,且两直线间的距离为 13 ,设l2的方程为2x-3y |c| +c=0,则有 = 13 ,得c=± 13,画图知,c=13(舍 4+9 去c=-13),所以直线l2的方程是2x-3y+13=0.

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

例3

平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+

ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数k 的取值集合为________.

[答案]

{0,-1,-2}

教 师 备 用 题
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第43讲

两直线的位置关系

[解析] 如图,直线l1:x-2y+1=0与l2:x-1=0相交 于点P(1,1).过原点作直线x+ky=0,观察知当直线x+ky =0过点P时,三条直线将平面划分为六个部分,此时k=- 1;当x+ky=0与l1或l2平行时,三条直线将平面划分为六个 部分,此时k=-2或k=0.所以实数k的取值集合为{0,- 1,-2}.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第44讲 圆的方程

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考试大纲
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程 与一般方程. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

—— 知 识 梳 理 ——

一、圆的定义
定点 定长 在平面内,到________的距离等于________的 点的轨迹叫圆.

二、圆的标准方程 设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a, b,r都是常数,r>0).设M(x,y)为这个圆上任意一 点,那么点M满足的条件是P={M||MA|=r},由两 点间的距离公式写出点M的坐标适合的条件为 (x-a)2+(y-b)2=r ________________________,化简可得圆的标准方 (x-a)2+(y-b)2=r2 程为________________________.
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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程 x2+y2=r2 为___________________________. 三、圆的一般方程 圆的标准方程与一般方程的关系: 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开后得 到:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.令D=-2a, E=-2b,F=a2+b2-r2,则有x2+y2+Dx+Ey+F =0.(a) ? D? 2 ? E? 2 1 2 1.配方后得到 ?x+ 2 ? + ?y+ 2 ? = 4 (D +E2- ? ? ? ? 4F).(b)
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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程
2 2

D +E -4F>0 2.(1)当________________时,方程(b)叫做圆 ? D E? ?- ,- ? 的标准方程.其圆心为 ,半径为 2 2? ? 1 2 2 ________________; 2 D +E -4F (2)当D2+E2-4F=0时,方程(b)表示一个点 ? D E? ?- ,- ?; 2? ? 2 D2+E2-4F<0 (3)当________________时,方程(b)无实数解, 它不表示任何图形.

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

3.一个二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0表示圆的条件:①x2,y2的系数相等且不等于 ?D? 2 零,即A=C≠0;②不含xy项,即B=0;③ ? ? + ? A? ?E?2 4F ? ? - >0. A ?A? 四、点与圆的位置关系 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点 M(x0,y0). = 1.点M在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; 2.点M在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; > 3.点M在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2____r2. <
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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

—— 疑 难 辨 析 ——

1.圆的两种方程的理解 (1)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.( ) (2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.( ) (3)圆x2+y2-2x+4y=0的面积是5π .( ) (4)已知A(2,0),B(0,-4),则以AB为直径的 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.( ) (5)圆x2+y2-2ax+4y+a=0的半径为2,则a=0 或a=1.( )

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

[答案] (1)?

(2)? (3)√

(4)√

(5)√

[解析]

(1)a=0时,方程表示原点(一个点);a≠0

时,方程表示半径为|a|的圆. 1 (2)当且仅当16m +4-20m>0,即m< 或m>1时,方程才 4 表示圆.
2

(3)配方得(x-1)2+(y+2)2=5,所以圆的半径为 5 ,面 积为5π .

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

(4)圆心为(1,-2),直径为 22+(-4)2 =2 5,所以 半径为 5,所以标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5. 1 (5)r= 4a2+16-4a = a2-a+4 =2,解得a=0或a= 2 1,且都满足a2-a+4>0,所以a=0或a=1.

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

2.点与圆的位置关系的判断 (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)可作 该圆的两条切线.( ) (2)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实 数a的范围是a<-1或a>1.( )

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第44讲
双 向 固 基 础

圆的方程

[答案]

(1)√

(2)?

[解析]

(1)将A(1,2)代入圆方程,有12+22-

2?2>0,所以点A在圆外,可以作两条切线. (2)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则(1-a)2 +(1+a)2<4,解得-1<a<1.

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第44讲

圆的方程

考点统计
点 面 讲 考 向

题型(考频) 填空(1) 解答(2)
0 选择(1)

题型示例(难度)
2010年T15(B), 2011年T20(2)(B), 2012年T20(1)(B)

1.圆的方程

2.与圆有关的最值问题 3.与圆有关的轨迹问题

2009年T5(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第44讲

圆的方程

?

探究点一
例1

圆的方程的求法

(1)经过A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3

点 面 讲 考 向

=0上的圆的方程为( ) A.(x-4)2+(y-5)2=10 B.(x+4)2+(y-5)2=10 C.(x-4)2+(y+5)2=10 D.(x+4)2+(y+5)2=10

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第44讲

圆的方程

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 青岛一模] 已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心 为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则 该圆的方程为( ) 64 2 2 A.(x-1) +y =25 2 2 64 B.x +(y-1) = 25 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1

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第44讲

圆的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:合理选用圆的方程,并利用圆的

性质;推理:设圆的方程为标准式,圆心是线段AB的中 垂线与直线2x-y-3=0的交点;结论:求出圆心和半 径. (2)分析:欲求圆的方程只要确定a,b,r的值;推 理:抛物线y2=4x的焦点确定a,b,圆心到直线的距离确 定r;结论:写出圆的的标准方程.

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第44讲

圆的方程

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)C

[解析]

(1)由平面几何知识知,AB为圆的弦,圆心P

?2x-y-3=0, ? 应在AB的中垂线x=4上,则由 ? 得圆心P(4, ?x=4 ?

5),所以半径r=|PA|= 10 .所以圆的标准方程为(x-4)2+(y -5)2=10. (2)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则a=1,b=0,r= |3?1+4?0+2| =1,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1. 32+42

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第44讲

圆的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

求圆的方程,主要有两种方法:

①几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的 位置关系进而求得基本量和圆的方程.具体过程中要用到 初中有关圆的一些常用性质和定理.如:(i)圆心在过切点 且与切线垂直的直线上;(ii)圆心在任意弦的中垂线上; (iii)两圆相切时,切点与两圆心三点共线. ②待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给 出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半 径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形 式,都是确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.

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第44讲

圆的方程

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 长春模拟] 圆心在原点且与直线x+

y-2=0相切的圆的方程为________. (2)已知圆的半径为 10 ,圆心在直线y=2x上,圆被 直线x-y=0截得的弦长为4 2 ,则圆的标准方程为 ________________________.

[答案] (1)x2+y2=2 (2)(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10

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第44讲

圆的方程

[解析]
点 面 讲 考 向

|0+0-2| (1)半径r= = 2,所以圆的方程为x2 2

+y2=2. (2)圆心在直线y=2x上,设圆心为(a,2a),圆心到直线 y=x的距离由d= r
2

?l ? -?2?2 ? ?

得d=

( 10)

2

? 4 2? ?2 -? ? 2 ? ? ?



|a-2a| 2, 2= 2 2. 2?a=± 1 +1 圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2 =10.

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第44讲

圆的方程

?

探究点二
例2

与圆有关的最值问题

实数x,y满足x2+y2+2x-4y+1=0,求下列各

点 面 讲 考 向

式的最大值和最小值: y (1) ;(2)3x-4y;(3)x2+y2. x-4

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第44讲

圆的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:已知圆的方程;目标:求最值;

方法:第(1)、(2)题,设求值式等于某参数,再将其转化 为直线方程,利用直线与圆的位置关系求解,第(3)题是原 点到圆上点的距离的平方问题,可用两点间距离公式求 解.

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第44讲

圆的方程

y 解:(1)方法一:令 =k,则kx-y-4k=0. x-4
点 面 讲 考 向

∵x,y满足x2+y2+2x-4y+1=0, 所以圆心(-1,2)到直线kx-y-4k=0的距离不大于圆 的半径2, |2+5k| 20 即 2 ≤2,解得-21≤k≤0, k +1 y 20 ∴ 的最大值为0,最小值为-21. x-4

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第44讲

圆的方程

y 方法二:令 =k,则y=k(x-4),代入圆的方程, x-4
点 面 讲 考 向

整理得(1+k2)x2+(2-4k-8k2)x+16k2+16k+1=0. ∵此方程有实数根, ∴Δ =(2-4k-8k2)2-4(1+k2)(16k2+16k+1)≥0, 20 化简整理得21k +20k≤0,解得-21≤k≤0, y 20 ∴ 的最大值为0,最小值为-21. x-4
2

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第44讲

圆的方程

方法三:将圆的一般方程化为标准方程为(x+1)2+(y- 2)2=4,
点 面 讲 考 向

联想到三角公式sin2θ +cos2θ =1, 则可将圆的方程中的x,y变为
?x=-1+2cosα ? ? ?y=2+2sinα ?



(α∈[0,2π )),

2+2sinα y ∴k= = , x-4 -5+2cosα 整理成2sinα -2kcosα =-(2+5k), ∴sin(α+φ)=- 2+5k
2

2 +(-2k)

2(其中tanφ

=-k),
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第44讲

圆的方程

∵|sin(α+φ)|≤1,∴(2+5k)2≤22+4k2,
点 面 讲 考 向

20 化简得21k +20k≤0,解得-21≤k≤0, y 20 ∴ 的最大值为0,最小值为- . 21 x-4
2

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第44讲

圆的方程

(2)方法一:设3x-4y=k,则3x-4y-k=0, 圆心(-1,2)到该直线的距离不大于圆的半径2,
点 面 讲 考 向

|-3-8-k| 即 ≤2,解得-21≤k≤-1, 5 ∴3x-4y的最大值为-1,最小值为-21.

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第44讲

圆的方程

点 面 讲 考 向

3 k 方法二:设k=3x-4y,即y= 4x-4, 代入圆的方程,整理得 25x2-(16+6k)x+k2+16k+16=0. ∵此方程有实数根, ∴Δ =(-16-6k)2-4· 2+16k+16)≥0, 25(k 化简整理得k2+22k+21≤0, 解得-21≤k≤-1, ∴3x-4y的最大值为-1,最小值为-21.

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第44讲

圆的方程

方法三:由(1)的方法三知,圆的方程中的x,y变为
点 面 讲 考 向
?x=-1+2cosα ? ? ?y=2+2sinα ?



(α∈[0,2π )),

∴3x-4y=3(-1+2cosα )-4(2+2sinα ) =6cosα -8sinα -11=10cos(α+φ)-11,其中tanφ = 4 - , 3 ∴-21≤3x-4y≤-1, 即3x-4y的最大值为-1,最小值为-21.

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第44讲

圆的方程

(3)方法一:先求出原点与圆心之间的距离d= (-1-0)2+(2-0)2= 5,
点 面 讲 考 向

根据几何意义,知x2+y2的最大值为( 4 5, 最小值为( 5-2)2=9-4 5.

5

+2)2=9+

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第44讲

圆的方程

方法二:由(1)的方法三知,圆的方程中的x,y变为
点 面 讲 考 向
?x=-1+2cosα ? ? ?y=2+2sinα ?



(α∈[0,2π )),

∴x2+y2=(-1+2cosα )2+(2+2sinα )2=9+8sinα - 4cosα =9+4
? 5sin(α+φ)?其中tanφ ?

1? =- ?, 2?

∴9-4 5≤x2+y2≤9+4 5, 即x2+y2的最大值为9+4 5,最小值为9-4 5.

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第44讲

圆的方程

点评
点 面 讲 考 向

本题的每一小题都给出了不同的解法,希望仔

细研读,比较优劣,选择自己容易把握的方法.

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第44讲

圆的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

涉及圆的最值的问题主要有三种类型:

y-b ①斜率型: =k,其本质是动直线的斜率变化问 x-a 题,可用例题中第(1)题的三种方法求解; ②截距型:ax+by=t,其本质是动直线的截距变化 问题,可用例题中第(2)题的三种方法求解; ③距离型:(x-a)2+(y-b)2=s,其本质是定点到圆 上的点的距离问题,可用例题中第(3)题的方法求解.

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第44讲

圆的方程

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 绥化一模] 若圆C:x2+y2+2x-4y

+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所 作的切线长的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)[2012· 石家庄质检] 圆心在抛物线x2=2y上,与直 线2x+2y+3=0相切的圆中,面积最小的圆的方程为 ________.

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第44讲

圆的方程
? 1?2 1 +?y-2? =2 ? ?

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)(x+1)

2

[解析]

(1)直线2ax+by+6=0过圆心C(-1,2),a-

b-3=0,当点M(a,b)到圆心距离最小时,切线长最短; |MC|= (a+1)2+(b-2)2 = 2a2-8a+26,a=2时最 小,b=-1,此时切线长等于4.

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第44讲

圆的方程
? 1 2? ?x, x ? 2 ? ?

(2)圆心在抛物线x =2y上,设圆心为
点 面 讲 考 向

2

,直线2x

+2y+3=0与圆相切,圆心到直线2x+2y+3=0的距离为 |2x+x2+3| |x2+2x+3| |(x+1)2+2| 2 r= = ≥ = 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 +2 2 2. 当x=-1时,r最小,从而圆的面积最小,此时圆的圆
? 1? 心为?-1,2?, ? ?

此时圆的方程为(x+1)

2

? 1?2 1 +?y- 2? =2. ? ?

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第44讲

圆的方程

?

探究点三
例3

与圆有关的轨迹问题

(1)若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于

点 面 讲 考 向

直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆 心P的轨迹方程为________. (2)动点P在圆x2+y2=4上,点Q的坐标为(6,4),则线 段PQ的中点M的轨迹方程为________.

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第44讲

圆的方程

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:利用圆的定义;推理:利用两圆

关于直线对称,求出a,再利用圆的定义求轨迹;结论: 列出等式并化简. (2)分析:利用代入法来求;推理:设出点P(x0,y0)和 点M(x,y),利用中点公式列方程,用点M的坐标表示点P 的坐标;结论:代入已知圆方程化简即可.

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第44讲

圆的方程

[答案] (1)y2+4x-4y+8=0 (2)(x-3)2+(y-2)2=1
点 面 讲 考 向

[解析]

(1)由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1

关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的 中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以 过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+ 2)2+(y-2)2=x2,整理即得y2+4x-4y+8=0.

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第44讲

圆的方程

(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),由
点 面 讲 考 向
?2x=x +6, ?x =2x-6, ? ? 0 0 中点公式可得 ? 得? 因为点P在圆x2+ ?2y=y0+4, ? y0=2y-4. ? ?

y2=4上,所以(2x-6)2+(2y-4)2=4,即(x-3)2+(y-2)2= 1.

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第44讲

圆的方程

归纳总结
点 面 讲 考 向

求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法:

①直接法:根据题设条件直接列出方程;②定义法:根据圆 的定义写出方程;③几何法:利用圆的性质列方程;④代入 法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系 式.

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第44讲

圆的方程

变式题
点 面 讲 考 向

(1)动点P到点A(-2,0),B(-1,0)的距离 ) B.x2+y2=2 D.x2+y2=1

之比为 2∶1,则点P的轨迹方程是( A.x2+y2=4 C.x2+y2= 2

(2)点A,B是圆C:x2+y2-2x=0上的动点,且|AB|= 1,则AB的中点P的轨迹方程为( ) A.(x+1)2+y2=1 3 2 2 B.(x+1) +y = 4 C.(x-1)2+y2=1 3 2 2 D.(x-1) +y =4
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第44讲

圆的方程

[答案]

(1)B (2)D

点 面 讲 考 向

[解析]

(1)设点P的坐标为(x,y),依题意有

(x+2)2+y2 = 2,化简得x2+y2=2.故选B. (x+1)2+y2 (2)将圆的方程配方得(x-1)2+y2=1,半径为1,所以 3 △ABC是边长为1的正三角形,所以|CP|= ,所以点P的 2 轨迹是以点C为圆心,|CP|为半径的圆,方程为(x-1)2+y2 3 =4.故选D.

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第44讲

圆的方程

思想方法17


利用几何性质巧设方程求半径

[2011· 课标全国卷改编] 在平面直角坐标系xOy中,曲

线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程.

多 元 提 能 力

[分析] 方法一(代数法):可以求出曲线y=x2-6x+1 与坐标轴的三个交点,设圆的方程为一般式,代入点的 坐标求解析式;方法二(几何法):利用圆的性质,知道 圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上,从而设圆的 方程为标准式,简化计算.显然,方法二比方法一的计 算量小.

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第44讲

圆的方程

解:方法一(代数法):曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为 (0,1),与x轴交点是(3+2 2,0),(3-2 2,0), 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则有: ?1+E+F=0, ?D=-6, ? ? 2 ?(3+2 2) +D(3+2 2)+F=0, 解得?E=-2, ?(3-2 2)2+D(3-2 2)+F=0, ?F=1, ? ? 故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.

多 元 提 能 力

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第44讲

圆的方程

方法二(几何法):曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0, 1),与x轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,0). 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2 t2,解得t=1.则圆C的半径为 32+(t-1)2=3, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
多 元 提 能 力

2 )2+

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第44讲

圆的方程

自我检评 (1)若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为 ________. (2)[2012· 南京三模] 已知圆C经过直线2x-y+2=0与 坐标轴的两个交点,又经过抛物线y2=8x的焦点,则圆C 的方程为________.
多 元 提 能 力

[答案]

(1)(x-2)2+(y+3)2=5

(2)x2+y2-x-y-2=0

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第44讲

圆的方程

[解析] (1)圆心是AB的垂直平分线和直线2x-y-7=0的 交点,则圆心为E(2,-3),r=|EA|= 4+1 = 5 ,故圆的 方程为(x-2)2+(y+3)2=5. (2)直线2x-y+2=0与坐标轴的交点为A(-1,0), B(0,2),抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),可把圆C的方程 设为一般形式x2+y2+Dx+Ey+F=0,把点A,B,F坐标代 入求得D=E=-1,F=-2,则圆C的方程为x2+y2-x-y -2=0.

多 元 提 能 力

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第44讲

圆的方程

点评

本题(2)也可以利用圆心在弦的垂直平分线

上,先求出圆心,然后求出半径,再求得圆的方程.

多 元 提 能 力

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第44讲

圆的方程

备选理由

以下三个例题具有一定的综合性,例1涉及

直线kx+y+4=0绕点(0,-4)旋转时到定点的最大距离问 题,考查学生的转化与化归能力;例2将平面区域与圆的方程 结合起来,考查数形结合思想;例3则考查学生的函数与方程 思想.三个例题对提高学生的解题能力有一定的训练价值.

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

例1 ( ) 1 A. 3

已知圆C的方程为x2+y2+2x-2y+1=0,当

圆心C到直线l:kx+y+4=0的距离最大时,k的值为 1 B. 5 1 D.-5

1 C.-3

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

[解析] D 圆C的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=1,所以 圆心C的坐标为(-1,1).又直线kx+y+4=0恒过点A(0, -4),所以当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,直 线CA应垂直于直线kx+y+4=0,直线CA的斜率为-5,所 1 1 以-k= ,即k=- . 5 5

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

例2

?x≥0, ? 已知不等式组 ?y≥0, 表示的平面区域 ?x+2y-4≤0 ?

恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所 覆盖,则圆C的方程为( ) A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-4)2+(y-1)2=6
教 师 备 用 题

D.(x-2)2+(y-1)2=8

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第44讲

圆的方程

[解析]

B 由题意知此平面区域表示的是以O(0,0),

P(4,0),Q(0,2)为顶点的三角形及其内部,且△OPQ是直 角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故 圆心是(2,1),半径是 5 ,所以圆C的方程是(x-2)2+(y- 1)2=5.

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

例3

在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=

x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过 这三点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程.

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

解:方法一:(1)显然b≠0,否则,二次函数f(x)=x2+ 2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2, 0),这与题设不符.由b≠0知,二次函数f(x)=x2+2x+b的 图象与y轴有一个非原点的交点(0,b),且它与x轴必有两个 交点,从而方程x2+2x+b=0有两个不相等的实数根,因此 方程的判别式4-4b>0,即b<1. 所以,b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).

教 师 备 用 题
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第44讲

圆的方程

(2)由方程x2+2x+b=0得x=-1± 1-b .于是二次函数 f(x)=x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是(-1- 1-b , 0),(-1+ 1-b ,0),(0,b).设圆C的方程为x2+y2+Dx +Ey+F=0.因为圆C过上述三点,将它们的坐标分别代入 圆C的方程,得 ?(-1- 1-b)2+(-1- 1-b)D+F=0, ? ?(-1+ 1-b)2+(-1+ 1-b)D+F=0, ? 2 ?b +bE+F=0, ?D=2, ? 解上述方程组,因为b≠0,得?E=-(b+1), ?F=b. ? 所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
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教 师 备 用 题

第44讲

圆的方程

方法二:(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b); 令f(x)=0,得x2+2x+b=0, 由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0. (2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0,得x2+Dx+F=0, 这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b. 令x=0,得y2+Ey+b=0, 此方程有一个根为b,代入可得E=-(b+1).
教 师 备 用 题

所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第45讲 直线与圆、圆与圆 的位置关系

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考试大纲
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的 位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置 关系. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

—— 知 识 梳 理 ——

一、直线与圆的位置关系 设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为 d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相交 相切 几何特征
d<r __________

代数特征(方程联立)
两组实数解(Δ>0) ____________________

d=r __________

一组实数解(Δ=0) ____________________
无实数解(Δ<0) ____________________

相离

________ d>r

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

二、圆的切线方程 求圆的切线方程,常用两种方法: 1.代数法 将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数 (x或y),由一元二次方程的判别式等于0,求出相关 参数. 2.几何法 设圆的切线方程为一般式,根据圆心到直线的 距离等于半径,求出相关参数.

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

三、直线被圆截得弦长的求法 1.几何法 运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三 角形,计算弦长|AB|=2 r2-d2. 2.代数法 设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相 交于点M,N,将直线方程代入圆方程中,消去y得 关于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM?xN,则 |MN|= 1+k2? (xM+xN)2-4xM?xN.

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

四、两圆的位置关系
位置关系 外离 外切 位置关系 相交 内切 内含 几何特征
d>R+r ________

d=R+r 几何特征 R-r<d<R+r
d=R-r ________

d<R-r

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

五、圆系方程 1.过圆P:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:Ax+ By+C=0交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax +By+C)=0.① 这些圆的圆心在过圆P的圆心与直线l垂直的直线 上. 2.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+ y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是x2+y2+D1x +E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).② 这些圆的圆心在两已知圆的圆心连线上,这些圆中 不包括圆C2.特别地,当λ=-1时,方程②表示两圆交 点弦所在的直线方程;当两圆相切时,方程②表示两圆 的公共切线.
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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

—— 疑 难 辨 析 ——

1.直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 (1)直线y=kx+1与圆x2+y2=1恒有公共 点.( ) (2)当a2+b2=1时,直线ax+by=1与圆x2+y2=1 相切.( ) 2 2 (3)直线y=2x-3与圆(x+1) +y =2相交于两个 不同点.( ) (4)“- 3 <k< 3 ”是“直线y=kx+2与圆x2+y2 =1相交”的充要条件.( ) (5)圆x2+(y-2)2=1和(x-3)2+(y-2)2=4只有一 个公共点.( )

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案] (1)√ (2)√

(3)?

(4)? (5)√

[解析]

(1)圆的半径为1,圆心到直线的距离为d=

1 ≤1,所以直线与圆恒有公共点. 2 k +1 (2)因为a +b =1,所以圆心到直线的距离为 1,所以直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切. (3)将直线方程代入圆方程得(x+1)2+(2x-3)2=2,即 5x2-10x+8=0.由Δ=102-4?5?8<0,得该方程无实数 根,所以直线与圆没有公共点.
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2 2

1 2 2 = a +b

第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

(4)直线与圆相交的充要条件是圆心到直线的距离小于圆 2 的半径,即 2 <1,所以k2+1>4,解得k> 3或k<- 3. k +1 (5)圆心距为d=3,半径之和为3,所以两圆外切,只有 一个公共点.

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

2.圆的切线等相关问题的理解 (1)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方 程是x0x+y0y=r2.( ) (2)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切 线,切点为A,B,则直线AB的方程是x0x+y0y= r2.( ) (3)过点P(3,2)作圆(x-1)2+(y+2)2=5的切线,则 切线长为 15.( )

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]

(1)√

(2)√ (3)√

[解析]

(1)当点P不在坐标轴上时,圆的切线垂直于

x0 x0 OP,即此时切线的斜率是- ,故切线方程为y-y0=- y0 y0
2 (x-x0),整理并把x 0 +y 2 =r2代入即得方程为x0x+y0y=r2, 0

当点P在坐标轴上时求出的切线也适合这个方程.

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第45讲
双 向 固 基 础

直线与圆、圆与圆的位置关系

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据(1),过圆上点A,B的 切线方程分别是x1x+y1y=r2,x2x+y2y=r2,根据已知这两 条直线均过点P(x0,y0),则x0x1+y0y1=r2,x0x2+y0y2=r2, 这说明直线x0x+y0y=r2过点A(x1,y1),B(x2,y2),两点确 定唯一一条直线,故直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (3)点P(3,2)到圆心(1,-2)的距离为d= 20 ,圆的半 径为r= 5,所以切线长为 d2-r2= 15.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

考点统计
1.直线与圆的位置关系 点 面 讲 考 向 2.圆的切线与弦长问题

题型(考频)
解答(1) 填空(1)

题型示例(难度)
2011年T20(2)(B) 2010年T15(B)

3.圆与圆的位置关系

选择(1)

2009年T5(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

?

探究点一
例1

直线与圆的位置关系及其应用

(1)[2012· 陕西卷] 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是

点 面 讲 考 向

过点P(3,0)的直线,则( ) A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 (2)[2012· 安徽卷] 若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2= 2有公共点,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:欲确定直线与圆的位置关系需研

究圆心到直线的距离;推理:直线过定点可先看定点与圆 的位置关系;结论:根据上述作出判断. (2)分析:欲确定直线与圆的位置关系需研究圆心到直 线的距离;推理:比较圆的半径和圆心到直线的距离的大 小关系;结论:根据比较结果作出判断.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)C

[解析]

(1)x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半

径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d= (3-2)2+(0-0)2 =1<2,点P(3,0)恒在圆内,过点 P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A. ? ?2 (2)因为直线x-y+1=0与圆 ??x-a?? +y2=2有公共点, |a-0+1| 所以圆心到直线的距离d= ≤r= 2 1|≤2,即a∈[-3,1].
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2 ,可得|a+

第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

判断直线与圆的位置关系的一般方法

是:几何法和代数法.几何法是比较圆心到直线的距离与 圆的半径的大小;代数法是把直线方程和圆的方程联立, 消元得到一个一元二次方程,根据Δ 判断方程根的情况, 从而确定有几个交点.但当直线经过圆内一个定点时,直 线与圆一定相交.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 商丘三模] 直线x-y+m=0与圆x2

+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( ) A.-3<m<1 B.-4<m<2 C.0<m<1 D.m<1 (2)直线tx+y-t+1=0(t∈R)与圆x2+y2-2x+4y-4 =0的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)A

[解析]

(1)圆的方程为(x-1)2+y2=2,由不等式

|1+m| < 2 ,解得-3<m<1.由于是充分不必要条件,故为选 2 项C中的m范围. (2)方法一:圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=32,圆心到 1 直线的距离d= 2≤1<3,故直线与圆相交. 1+t 方法二:直线tx+y-t+1=0(t∈R)过定点(1,-1), 该点在圆内,故直线与圆相交.
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

?

探究点二
例2

圆的切线与弦长问题

(1)[2012· 福建卷] 直线x+ 3 y-2=0与圆x2+y2 )

点 面 讲 考 向

=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1

(2)[2012· 江西六校联考] “a=b”是“直线y=x+2与圆 (x-a)2+(y-b)2=2相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:利用圆的性质;推理:连接圆

心和弦的中点,构造直角三角形来解;结论:根据勾股定 理来解. (2)分析:利用直线与圆相切的几何法来判断;推理: 比较圆心到直线的距离与半径的大小;结论:根据比较的 结果下结论.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)A

[解析]

(1)根据圆的方程知,圆的圆心为(0,0),半 |-2| 3+1 =1,所以弦长|AB|=2 22-1 =

径R=2,弦心距d= 2 3,所以选择B.

|a-b+2| (2)直线与圆相切时满足 = 2 ,即|a-b+2|= 2 2,解得a-b=0或者a-b=-4.故“a=b”是“直线y=x+ 2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的充分不必要条件.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

设直线被圆截得的弦长为l,圆的半径为
2

r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:r

?l ? = ? ?2 +d2,知 ?2?

道其中两个,即可求第三个.涉及直线与圆的有关距离问 题时,常用这个公式来找关系.圆的切线问题主要有两 类:第一类是求圆的切线方程,在斜率存在时,设直线方 程为点斜式或斜截式,代入圆方程中,根据判别式为零求 出斜率,斜率不存在时结合图形写出切线方程;也可以用 圆心到直线的距离等于半径求出方程.第二类是圆的切线 方程的应用,求解方法跟第一类相同.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交

于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程 为( ) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 (2)[2012· 江西卷] 过直线x+y-2 2=0上点P作圆x2+ y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐 标是________.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)( 2, 2)
(1)圆心C(-1,2),因为弦AB的中点为P(-

[解析]

2,3),所以AB⊥PC,PC的斜率为-1,故AB的斜率为1, 所以直线AB的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0. (2)设切点为A,B,设P(x,2 2 -x),连接PA,PB, PO,因为∠APB=60°,则|PO|=2|OA|=2,即x2+(2 2 - x)2=4,整理得x2-2 2x+2=0,解得x= 2,故P的坐标为 ( 2, 2).

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

?

探究点三
例3

圆与圆的位置关系

(1)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点

点 面 讲 考 向

(4,1),则两圆心的距离|C1C2 |=( ) A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 (2)[2012· 天津跃华中学模拟] 两个圆x2+y2+2ax+a2- 4=0与x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R, 1 1 b∈R,ab≠0则 2+ 2的最小值为( ) a b 1 4 A. 9 B.9 C.1 D.3

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]

(1)C (2)C

点 面 讲 考 向

[解析]

(1)由题意知两圆的圆心在直线y=x上,设

C1(a,a),C2(b,b),可得(a-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+ (b-1)2=b2,即a,b是方程x2-10x+17=0的两根,a+b= 10,ab=17,|C1C2|= 2(a-b)2 = 2[(a+b)2-4ab]= 8,故选C.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

(2)两圆有三条公切线,说明两圆外切.两个圆的方程
点 面 讲 考 向

分别为(x+a)2+y2=22,x2+(y-2b)=12,所以a,b满足 1 1 1 2 2 2 2 a +4b =3,即a +4b =9,所以 2 + 2 = 9 (a2+ a b
?1 1 ? 1? a2 4b2? 1? 4b2)? 2+ 2?= ?5+ 2+ 2 ?≥ ?5+2 b ? 9? b a ? 9? ?a ?

a2 4b2? ? ? 2 ?=1,等号当 b2 a ?

且仅当a2=2b2时成立.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

圆心距、两圆半径的和与差之间的关系是判

断两圆位置关系的依据.由于圆的方程是二次方程,使用代 数方法有时会很复杂,所以,尽可能考虑几何图形,再根据 两圆的五种不同关系,列出相应的等式或不等式.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y

=0相切,则C的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 (2)[2012· 江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方 程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一 点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则 k的最大值是________.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

4 (1)A (2)3

[解析]

(1)设圆心C的坐标为(x,y),由题意知y>0, x2+(y-3)2 =1+y,整理得x2=

则圆C的半径为y,由于圆C与已知圆相外切,则由两圆心 距等于半径之和,得 8(y-1),所以轨迹为抛物线.

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

(2)圆C方程可化为(x-4)2+y2=1,圆心坐标为(4, 0),半径为1,由题意,直线y=kx-2上至少存在一点(x0,
点 面 讲 考 向

kx0-2),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,因 为两个圆有公共点,故 (x0-4)2+(kx0-2)2 ≤2,整 理得(k2+1)x2 -(8+4k)x0+16≤0,此不等式有解的条件是Δ 0 4 =(8+4k) -64(k +1)≥0,解之得0≤k≤ ,故k的最大值为 3 4 3.
2 2

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

思想方法18 的应用


数形结合思想在直线与圆的位置关系判断中

直线y=x+b与曲线x= 1-y2 有且仅有一个公共点, )

则b的取值范围是( A.|b|= 2
多 元 提 能 力

B.-1<b≤1或b=- 2 C.-1≤b≤ 2 D.- 2<b<1

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[分析] 运用数形结合方法,曲线的图象是半个圆, 结合图形得到斜率为1的直线与半圆有一个交点时所满足 的条件,根据图形得到b的范围.

多 元 提 能 力

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[解析] B y=x+b是斜率为1的直线,曲线x=

1-y2

是以原点为圆心,1为半径的圆的右半圆,画出他们的图象 如图8-45-1.由图可以看出:两种情况,两个曲线有且仅 有一个公共点,当b=- 2 时相切,当-1<b≤1时,相交且 有唯一公共点.
多 元 提 能 力

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

自我检评 (1)由直线y=x+2上的点向圆(x-4)2+(y +2)2=1引切线,则切线长的最小值为( A. 30 B. 31 C.4 2 D. 33 )

多 元 提 能 力

(2)已知点A(-1,1)和圆C:x2+y2-10x-14y+70= 0,一束光线从点A出发,经过x轴反射到圆周C的最短路 程是( ) A.6 B.7 C.8 D.9
[答案] (1)B (2)C

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

8 [解析] (1)圆心到直线的距离为 =4 2 ,故切线长的 2 最小值为 (4 2)2-1= 31. (2)如图,易知最短距离过圆心,首先找出A(-1,1)关于x 轴的对称点A′(-1,-1),则最短距离为|CA′|-r,又圆方 程可化为(x-5)2+(y-7)2=22,则圆心C(5,7),r=2,则
多 元 提 能 力

|CA′|-r= 路程为8.

(5+1)2+(7+1)2 -2=10-2=8,即最短

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

备选理由

高考中的直线与圆的位置关系的题目,大多

以小题的形式出现,且具有一定的综合性,下面给出的2个例 题,涉及了参数问题和向量问题,作为前面例题和习题的补 充,具有一定的训练价值.

教 师 备 用 题
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

例1 A.1 C. 3

若a,b,c是直角三角形的三边(c为斜边),则 )

圆x2+y2=2截直线ax+by+c=0所得的弦长等于( B.2 D.2 3

教 师 备 用 题
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

[解析] B 因为a,b,c是直角三角形的三条边,所以 a2+b2=c2.设圆心O到直线ax+by+c=0的距离为d,则d= |c| =1,所以直线被圆所截得的弦长为2 ( 2)2-1 a2+b2 =2.

教 师 备 用 题
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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

例2

直线2x-y+a=0与圆x2+y2=9相交于A,B

6 5 → → 两点,弦AB的长为 ,则OA?OB=________. 5

[答案]
教 师 备 用 题

27 5

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第45讲

直线与圆、圆与圆的位置关系
? |a| ? ? ? ? ? 2 ?3 5? 2 由题意得? ? +? =32,所以a=± 6, ? ? 5? ? 5 ? ?2x-y+6=0, ? ? 2 ?x +y2=9 ?

[解析]

当a=6时,由

消去y得5x2+24x+27=

9 0,所以x1=-3,x2=-5. ? 9 12? → ?OB=27. 所以A(-3,0),B?- , ?,所以OA → 5? 5 ? 5 → ?OB=27. 当a=-6时同样可得OA → 5
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第46讲 椭圆

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考试大纲
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几 何性质.

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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

—— 知 识 梳 理 ——

一、椭圆的定义
之和 平面内与两个定点F1,F2的距离________等于

常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆
焦距 的________.

椭圆的定义用符号语言表示:|PF1|+|PF2 |= 2a(2a>|F1F2|).

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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

二、椭圆的标准方程及简单几何性质
标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b 2

图形

条件 范围 对称性

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
|x|≤a,|y|≤b ________________ |y|≤a,|x|≤b ________________ 原点、x轴、y轴 曲线关于__________________对称
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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆
x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
(±a,0) 长轴顶点________, (0,±b) 短轴顶点________ (±c,0) ________

标准方程

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b 2
(0,±a) 长轴顶点________, (±b,0) 短轴顶点________

顶点 焦点 长短轴 的长度 焦距 离心率

________ (0 , ± c)

长轴长 2a,短轴长 2b |F1F2|=2c(c2=a2-b2) c (0,1) e= ∈______,e 越大,椭圆越扁,e 越小,椭 a 圆越圆
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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

—— 疑 难 辨 析 ——

1.椭圆定义的理解 (1)动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之 和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆.( ) x2 2 (2)已知△ABC 的顶点 B, 在椭圆 3 +y =1 上, C 顶点 A 是椭圆的一个焦点, 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3.( )

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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

[答案] (1)? (2)√

[解析]

(1)因为|PA|+|PB|=|AB|=4, 所以点 P 的轨迹

是线段. (2)由椭圆定义知三角形周长等于椭圆长轴长的 2 倍, 所以△ABC 的周长是 4 3.

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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

2.椭圆的标准方程和性质的认识 x2 y2 (1)若椭圆 + =1 的焦点坐标是 F1(- 2,0), 4 k F2( 2,0),则 k=2.( ) 1 x2 (2)离心率为2, 长轴长为 8 的椭圆的标准方程为16 + y2 =1.( ) 12 (3)点 A 是椭圆短轴的一个顶点,F1,F2 是椭圆的焦 点,若△F1AF2 是等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 2 2 .( )
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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

(4)已知|AB|=4,M 是 AB 的中点,点 P 在平面内运 动且保持|PA|+|PB|=6,则|PM|的最大值是 3,最小值是 5.( )

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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

[答案]

(1)√

(2)? (3)√

(4)√

[解析] 得 k=2.

(1)由题知椭圆焦点在 x 轴上,故 k+( 2)2=4,

1 (2)e= ,2a=8,所以 2c=4,b2=16-4=12,椭圆长 2 x2 y2 轴在 x 轴上时,方程为 + =1;椭圆长轴在 y 轴上时, 16 12 x2 y2 方程为 + =1. 12 16 2 (3)易知 b=c,所以 a= 2c,从而 e= . 2
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第46讲
双 向 固 基 础

椭圆

(4)点 P 轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,长轴长是 6,焦 距是 4,短轴长是 2 5,所以|PM|max=a=3,|PM|min=b= 5.

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第46讲

椭圆

考点统计
1.椭圆的定义 点 面 讲 考 向 2.椭圆标准方程

题型(考频)
0 解答(2)

题型示例(难度)

2009年T20(1)(B), 2010年T20(2)(B) 2011年T4(A), 2012年T4(A) 2010年T20(B)

3.椭圆的几何性质
4.直线与椭圆

选择(2)
解答(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第46讲

椭圆

?

探究点一
例 1

椭圆的定义

(1)如图 8-46-1,在直角坐标平面内,已知两 )

点 面 讲 考 向

点 A(-2,0),B(2,0),动点 Q 到点 A 的距离为 6,线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P.则点 P 的轨迹方程是(

x2 y2 A. 5 + 9 =1 x2 y2 C. 8 + 4 =1

x2 y2 B. 9 + 5 =1 x2 y2 D. 4 + 8 =1
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第46讲

椭圆

x2 y2 (2)已知点 P 是椭圆36+ 8 =1 上位于第一象限的点,
点 面 讲 考 向

且点 P 到椭圆左焦点 F1 的距离为 8,则线段 PF1 的中点 M 到椭圆中心的距离是( A.6 ) B.4 C.3 D.2

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第46讲

椭圆

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:图形中隐含的线段等量关系和椭

圆定义是解决本题的突破口;推理:得到|PA|+|PB|=|AQ| =6;结论:符合椭圆定义. (2)分析:数形结合求出点 P 到右焦点的距离;推理: 根据椭圆定义和三角形中位线性质求解;结论:M 到椭圆 1 中心的距离等于 |PF2 |. 2

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第46讲

椭圆

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)D

[解析]

(1)连接 PB, 因为线段 BQ 的垂直平分线交 AQ

于点 P,所以|PB|=|PQ|.又|AQ|=6,所以|PA|+|PB|=|AQ|= 6.又|PA|+|PB|>|AB|,从而点 P 的轨迹是中心在原点,以 A, x2 B 为焦点的椭圆,其中 2a=6,2c=4,所以椭圆方程为 + 9 y2 5 =1.故选 B. (2)椭圆的长轴长为 2a=12,设椭圆右焦点为 F2,依题 意有|PF1 |+|PF2 |=2a=12.而|PF1 |=8,∴|PF2|=4.连接 OM, 1 则 OM∥PF2,且|OM|= |PF2 |,∴|OM|=2,故选 D. 2
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第46讲

椭圆

点评
点 面 讲 考 向

第(1)题通过对几何关系的分析,得出动点到

两定点距离之和为常数,满足椭圆定义;第(2)题,利用椭 圆定义,再结合三角形中位线得出结论.利用椭圆定义解 题,关键是能否将题设条件通过推理、转化,变成符合椭 圆定义的问题.

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第46讲

椭圆

归纳总结 (2a>|F1F2|).
点 面 讲 考 向

椭圆的定义: 1 |+|PF2|=2a 中必须满足 |PF

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第46讲

椭圆

变式题
点 面 讲 考 向

(1)已知动点 P(x,y),向量 m=(x-3,y),n

=(x+3,y),且满足|m|+|n|=8,则动点 P 的轨迹方程是 ________. 1 (2)短轴长为 2 3,离心率 e= 的椭圆的两焦点分别为 3 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周 长为________.

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第46讲

椭圆

[答案]
点 面 讲 考 向

x2 y2 (1) + =1 16 7

(2)3 6

[解析]

(1)









(x-3)2+y2



(x+3)2+y2 =8,即动点 P 到两定点 M(3,0),N(-3, 0)的距离之和为常数,且|PM|+|PN|>|MN|=6,所以动点 P x2 y2 的轨迹方程是椭圆,其中 2a=8,2c=6,所以方程为 + 16 7 =1. 2 2 c2 a -b 3 1 3 6 2 (2)依题意有 e = a2= a2 =1- a2 =9,所以 a= 4 . 由椭圆定义知,△ABF2 的周长为椭圆长轴长的 2 倍,所以 周长为 4a=3 6.
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第46讲

椭圆

?

探究点二
例2

椭圆的标准方程
1? 3, ? 2?

点 面 讲 考 向

? (1)坐标轴为对称轴, 且经过两点 A(2, B? 0), ?

的椭圆的标准方程是________. (2)经过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有共同焦点的 椭圆的标准方程是________.

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第46讲

椭圆

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:待定系数法的应用;推理:不

知道焦点的位置, 可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0, n>0); 结论:将已知点坐标代入,求出 m,n 的值. (2)分析:焦点的位置确定,应用待定系数法来求;推 x2 y2 理: 设所求椭圆方程为 2 + 2=1, 再代入已知点的坐标; b +5 b 结论:求出 b 即可.

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第46讲

椭圆

[答案]
点 面 讲 考 向

x2 2 x2 y2 (1) 4 +y =1 (2)15 +10=1

[解析] 为椭圆经过点

(1)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),因
? A(2,0),B? ?

? 1? 3,2?,所以? 1 ? ?3m+ n=1,

?4m+0· n=1, 解得 4 ?

1 ? ?m= , x2 2 4 所以所求椭圆方程为 +y =1. ? 4 ?n=1. ?

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第46讲

椭圆

点 面 讲 考 向

(2)椭圆 4x2+9y2=36 的焦点为(± 5,0),则可设所求 x2 y2 9 椭圆方程为 2 +b2=1, x=3, 将 y=-2 代入上式得 2 b +5 b +5 4 +b2=1,解得 b2=-2(舍去)或 b2=10. x2 y2 所以所求椭圆方程为15+10=1.

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第46讲

椭圆

归纳总结

求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数

法,具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点的位置,
点 面 讲 考 向

再根据条件建立关于 a, 的方程组. b 如果焦点位置不确定, 则要考虑是否有两解;若椭圆经过两个已知点,则可将方 程设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0).

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第46讲

椭圆

?

探究点三
例3

椭圆的几何性质

点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 课程标准卷] 设 F1, 2 是椭圆 E: 2+ 2= F a b

3a 1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 2 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) 1 A. 2 2 3 B.3 C. 4 4 D.5

x2 y2 (2)已知实数 x, 满足 4 + 2 =1, x2+y2-x 的最大值 y 则 与最小值为________.

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第46讲

椭圆

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:欲确定椭圆离心率需确定 a,c

关系;推理:画出图形,确定图形中角的大小以及图形反 映的数量关系得方程确定之;结论:根据离心率定义求得 结果. (2)分析:利用函数思想;推理:将 x2+y2-x 中字母 消去一个,并利用 x(或 y)的有界性求函数的最值;结论: 求出最值.

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第46讲

椭圆

[答案]
点 面 讲 考 向

3 (1)C (2)6,2

[解析]

(1)因为△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,

则有|F2F1|=|F2P|,因为∠PF1F2=30°,所以∠PF2D=60°, 1 1 3a 1 ∠DPF2=30°,所以|F2D|= 2|PF2|= 2|F1F2|,即 2 -c=2?2c 3a c 3 3 =c,所以 =2c,即 = ,所以椭圆的离心率为 e= . 2 a 4 4

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第46讲

椭圆
2

点 面 讲 考 向

4-x x2 y2 x2 (2)由 + =1 知 y2= ,∴x2+y2-x= -x+2 4 2 2 2 1 3 2 = (x-1) + ,根据椭圆的性质知道-2≤x≤2,故最大值 2 2 3 为 6,最小值是 . 2

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第46讲

椭圆

归纳总结 ①如图 8-46-2 所示的椭圆包含了椭圆的定 义和简单几何性质:
点 面 讲 考 向

c 例如:(i)e=cos∠OF1B2= ; a (ii)|OB2|2+|OF2 |2=|B2F2|2,即 b2+c2=a2. ②有关椭圆范围的不等式-a≤x≤a,-b≤y≤b,在求一 些量的范围或最值时,是不可忽略的前提条件.
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第46讲

椭圆

变式题
点 面 讲 考 向

(1)如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的

椭圆,那么实数 k 的取值范围是________. (2)[2012· 东北三省四市联考] 以 O 为中心,F1,F2 为 → → → 两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF
2|,则该椭圆的离心率为(

)

2 A. 2 6 C. 3

3 B. 3 2 D. 4

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第46讲

椭圆

[答案]

(1)(0,1) (2)C

点 面 讲 考 向

[解析]

x2 y2 (1)椭圆方程化为 + =1.∵该椭圆焦点在 y 2 2 k

2 轴上,则 >2,即 k<1.又 k>0,∴0<k<1. k (2)设椭圆焦点在 x 轴上,过点 M 作 x 轴的垂线,交 x ?c ? → → → 轴于点 N,则点 N 坐标为 ? ,0?,并设|MF1|=2|MO|=2|MF2 ?2 ? → → → → |=2t,根据勾股定理可知,|MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2|2, 6 3t c 6 得到 c= 2 t,而 a= 2 ,则 e=a= 3 .故选 C.
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第46讲

椭圆

?

探究点四
例4

直线与椭圆的位置关系

点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 哈尔滨质检] 已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0) a b

2 的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率 e= ,P 为椭圆上任 2 一点,且△PF1F2 的最大面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; 2 (2)设斜率为 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且以 2 AB 为直径的圆恒过原点 O,求△OAB 的面积.

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第46讲

椭圆

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:如题干;目标:求椭圆的方程;

直线与椭圆交于 A,B,并且在 OA⊥OB 条件下求三角形 面积;方法:运用待定系数法,结合图形可以求方程;根 据 OA⊥OB 可以得到 A,B 两点坐标的关系式,求出直线 方程,利用相交弦弦长公式和点到直线距离公式,求三角 形面积.

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第46讲

椭圆

点 面 讲 考 向

c 2 解:(1)e=a= 2 . 设 P(x0,y0),△PF1F2 的面积 S=|y0 |c,又|y0 |≤b, 所以最大面积为 bc=1, x2 2 则 b=c=1,a= 2,所以椭圆 C 的方程为 2 +y =1. 2 (2)设直线 l 的方程为 y= 2 x+m,A(x1, 1), 2,y2), y B(x ? 2 ?y= x+m, 2 联立? 消去 y 得 2x2+2 2mx+2m2-2=0, ?x2+2y2=2, ? ?x +x =- 2m, ? 1 2 ? 则 ?x1?x2=m2-1. ?
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第46讲

椭圆

→ → 由题意知OA?OB=x1x2+y1y2=0,
点 面 讲 考 向
?? 2 ? 2 ?? ? 又 x1+m?? 2 x2+m? 2 ?? ? 1 2 =2x1x2+ 2 m(x1+x2)+m2, → ?OB=3x1x2+ 2m(x1+x2)+m2 所以OA → 2 2 3 2 3 =2m - 2=0,解得 m=± 1, ? y1y2= ? ? ?

则|AB|=

? 1+? ? ?

2?2 ? ? (x1+x2)2-4x1x2 = 3. 2? ?

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第46讲

椭圆

因为原点到直线 l 的距离为
点 面 讲 考 向

6 = , 3 ? 2? ? ?2 1+? ? ? 2 ?

|m|

1 6 2 所以 S△AOB= 2? 3? 3 = 2 .

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第46讲

椭圆

点评
点 面 讲 考 向

本题以椭圆为载体,考查了椭圆的定义和标

准方程,直线与椭圆的位置关系.

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第46讲

椭圆

归纳总结 与椭圆有关的综合问题,常涉及以下几点:椭 圆与直线的位置关系,解决方法是方程与函数思想;与解三角
点 面 讲 考 向

形相联系,解决方法是使用三角函数的相关性质和方法;最值 问题,使用函数方法或不等式法求最值.

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第46讲

椭圆

变式题 [2012· 豫南联考] 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的 焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每
点 面 讲 考 向

条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中: x y 3 -2 3 -2 0 4 -4 2 2 2

(1)求 C1,C2 的标准方程; (2)请问是否存在直线满足条件:①过 C2 的焦点 F;② → → 与 C1 交于不同两点 M,N,且满足OM⊥ON?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
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第46讲

椭圆

点 面 讲 考 向

y2 解: (1)设抛物线 C2: 2=2px(p≠0), y 则有 x =2p(x≠0), 据此验证 4 个点知(3,-2 3),(4,-4)在抛物线上,易求 C2:y2=4x.
? x2 y2 2? ? 设 C1:a2+b2=1,把点(-2,0),? 2, ?代入得 2? ? ? ?4 ?a2=4, ?a2=1, ? ? 解得? 2 ?b =1. ? ? 22+ 1 2=1, ?a 2b x2 2 ∴C1 的方程为 +y =1. 4

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第46讲

椭圆

点 面 讲 考 向

(2)方法一:假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F(1, 0),设直线 l 的方程为 x-1=my,两交点坐标为 M(x1,y1), N(x2,y2). ?x-1=my, ? 2 由?x +y2=1, ?4 ? 消去 x,得(m2+4)y2+2my-3=0, -2m -3 ∴y1+y2= 2 ,y y = ,① m +4 1 2 m2+4 x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2 -2m -3 4-4m2 =1+m· 2 +m2? 2 = 2 ,② m +4 m +4 m +4
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第46讲

椭圆

→ → → → 由OM⊥ON,即OM?ON=0,得 x1x2+y1y2=0(*),
点 面 讲 考 向

4-4m2 -3 将①②代入(*)式,得 2 + 2 =0, m +4 m +4 1 解得 m=±2, 所以假设成立,即存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 y=2x-2 或 y=-2x+2.

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第46讲

椭圆

点 面 讲 考 向

方法二: 容易验证直线 l 的斜率不存在时, 不满足题意; 当直线 l 斜率存在时, 假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1, 0),设其方程为 y=k(x-1),与 C1 的交点坐标为 M(x1,y1), N(x2,y2), ?x ? +y2=1, 由? 4 消掉 y,得 ?y=k(x-1) ? 2 2 (1+4k )x -8k2x+4(k2-1)=0, 4(k2-1) 8k 于是 x1+x2= ,x x = ,① 1+4k2 1 2 1+4k2
2 2

y1y2=k(x1-1)· 2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1], k(x 即
?4(k2-1) ? 8k2 3k2 y1y2=k2? - +1?=- 2 2.② ? 1+4k2 ? 1+4k 1+4k ? ?
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第46讲

椭圆

→ → → → 由OM⊥ON,即OM?ON=0,得 x1x2+y1y2=0(*),
点 面 讲 考 向

4(k2-1) k2-4 3k2 将①、 ②代入(*)式, 得 - 2 2= 2=0, 1+4k 1+4k 1+4k 解得 k=± 2. 所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 y=2x-2 或 y =-2x+2.

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第46讲

椭圆

易错究源16

忽视椭圆定义致误

x2 y2 例 已知A(4,0),若B(2,2)是椭圆 25 + 9 =1内一点,M 是椭圆上一动点,则|MA|+|MB|的范围是________.
多 元 提 能 力

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第46讲

椭圆

错解 欲使|MA|+|MB|最大或最小,考虑动点M在椭 圆上的位置,再结合图形,由于A是椭圆的右焦点,当M 是左顶点时,|MA|最大,当M是右顶点时|MA|最小,于是 |MA|+|MB|的最大值是9+ 53,最小值是1+ 53.

多 元 提 能 力

[错因] |MA|最大时,|MA|+|MB|不一定最大.对椭圆 定义理解有误.
[答案] [10-2 10,10+2 10]

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第46讲

椭圆

[正解]

A(4,0)是椭圆的右焦点,设左焦点为F1,由a2

=25知|MF1|+|MA|=10, ∴|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1 |,连接BF1并延长交椭 圆于两点,其中一点使|MB|-|MF1 |最大,另一点使|MB|- |MF1|最小,最大值为2 10;最小值是-2 10.故|MA|+|MB| 的范围是[10-2 10,10+2 10].

多 元 提 能 力

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第46讲

椭圆

x2 y2 1 自我检评 (1)椭圆 + 9 =1 的离心率是2,则 k= k+8 ________. (2)已知△ABC 的三条边 a>b>c,且成等差数列,顶 点 A 的坐标为(-1,0),顶点 C 的坐标为(1,0),则顶点 B 的轨迹方程是________.
多 元 提 能 力

[答案]

5 (1)4 或-4

x2 y2 (2) 4 + 3 =1(-2<x<0)

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第46讲

椭圆

k-1 1 [解析] (1)若 k>1,椭圆焦点在 x 轴上,则 =4,解 k+8 得 k=4. 1-k 1 若-8<k<1,椭圆焦点在 y 轴上,则 9 =4,解得 k=
多 元 提 能 力

5 - . 4 (2)设顶点 B 的坐标为(x,y),则 b=|AC|=1-(-1)=2. ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b=4. x2 y2 ∴ (x-1)2+y2 + (x+1)2+y2 =4.化简得 4 + 3 =1.又△ABC 中 a>c,故-2<x<0.
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第46讲

椭圆

备选理由

下面的备选例题涉及三个方面的问题:例 1

是椭圆的离心率问题,离心率是椭圆重要的几何性质,是高考 的热点;例 2 是椭圆的实际背景,高考要求考生了解椭圆的实 际背景;例 3 是与椭圆有关的综合问题,通过练习借以提高学 生的综合解题能力.

教 师 备 用 题
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第46讲

椭圆

7 例 1 在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A, 18 B 为焦点的 椭圆经过 点 C, 则该椭圆的 离心 率 e= ________.

[答案]
教 师 备 用 题

3 8

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第46讲

椭圆

7 [解析] 设|AB|=|BC|=m>0, 则由 cosB=- 18得 cosB= m2+m2 -AC2 7 25m2 5m 2 =- ,所以|AC| = ,|AC|= ,因此该 2m2 18 9 3 |AB| m 3 椭圆的离心率 e= = = . 8 |CA|+|CB| 5m +m 3

教 师 备 用 题
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第46讲

椭圆

例2

椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点

出发的光线, 经椭圆反射后, 反射光线必经过椭圆的另一 个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A,B 是 它的两个焦点,椭圆盘的长轴长为 2a,焦距为 2c.静放在 点 A 的小球(不记半径)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反 弹后第一次回到点 A 时小球走过的路程是( ) A.4a B.2(a-c) C.2(a+c)
教 师 备 用 题

D.以上答案都有可能

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第46讲

椭圆

[解析] D 如图,按小球所走路径分三种情况: (1)A→C→A,此时小球走过的路程为 2(a-c); (2)A→B→D→B→A,此时小球走过的路程为 2(a+c); (3)A→P→B→Q→A,此时小球走过的路程为 4a.故选 D.

教 师 备 用 题
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第46讲

椭圆

x2 y2 例 3 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点 F(- a b 2 ae, 0)及上顶点 A(0, 原点 O 到直线 FA 的距离为 2 b. b), (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O: x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标.

教 师 备 用 题
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第46讲

椭圆

解:(1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b)及 b= 1-e2a, x y 得直线 FA 的方程为 + 2 =1, -ae 1-e a 即 1-e2x-ey+ae 1-e2=0. 2 因为原点 O 到直线 FA 的距离为 2 b=a ae 1-e2 1-e2 2 所以 2 2=a 2 ,e= 2 . 1-e +e
教 师 备 用 题

1-e2 2 ,

2 故椭圆 C 的离心率 e= 2 .

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第46讲

椭圆
? F?- ? ? ? 2 ? a,0 ?关于直线 l: 2 ?

(2)方法一:设椭圆 C 的左焦点

教 师 备 用 题

1 ? y0 ? =2, ? x + 2a ? 0 2 2x+y=0 的对称点为 P(x0,y0),则有? ? x - 2a ? 0 2 y0 ?2· 2 + 2 =0. ? 3 2 2 2 解之得 x0= a,y0= a. 10 5 因为 P 在圆 x2+y2=4 上,
?3 2 ? ? ? ? ? 2 ?2 2 ? 2 所以? a +? a =4, 10 ? 5 ? ? ? ? ?
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第46讲

椭圆

所以 a2=8,b2=(1-e2)a2=4. ?6 8? x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1,点 P 的坐标为?5,5?. ? ? 方法二: 因为
? F?- ? ? ? 2 ? a,0?关于直线 l 的对称点 P 在圆 C 2 ?

教 师 备 用 题

上,又直线 l:2x+y=0 经过圆 O:x2+y2=4 的圆心 O(0, 0), ? ? 2 ? 所以 F?- a,0?也在圆 C 上, ? 2 ? ? ? 2 ?2 ? 从而?- a? +02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 2 ? ? ?

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第46讲

椭圆

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 因为 F(-2,0)与 P(x0,y0)关于直线 l 对称, 1 ? y0 ? = , ?x0+2 2 所以? x0-2 y0 ?2· + =0. 2 2 ? ?6 8? 6 8 解之得 x0= ,y0= ,故点 P 的坐标为? , ?. 5 5 ?5 5?
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第47讲 双曲线

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考试大纲
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道 它的简单几何性质.

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

—— 知 识 梳 理 ——

一、双曲线的定义 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 , F2 的 距 离 的
差的绝对值 ____________等于常数(小于|F1F2 |)的点的轨迹叫做

双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的
焦距 距离叫做双曲线的______.

双曲线的定义用符号语言表示:||PF1 |-|PF2 ||= 2a(2a<|F1F2|).

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

二、双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

条件 范围 对称性

2a<2c,c2=a2+b2,a>0,b>0,c>0
|x|≥a,y∈R ____________ |y|≥a,x∈R ____________

曲线关于________________对称 原点、x轴、y轴
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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线
x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 ________ (±a,0) ________ (±c,0) x y ± =0 a b y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 ________ (0,±a) ________ (0 , ± c) y x ± =0 a b

标准 方程 顶点 焦点 渐近 线

2a 实、 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=____, 虚

轴 焦距

2b 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=____

|F1F2|=2c(c2=a2+b2)

c (1,+∞) 离心 e= ∈________,当 e 越接近于+∞时,双曲线开口 a 率 越大,e 越接近于 1 时,双曲线开口越小
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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

三、双曲线中常见结论 x2 y2 与 双 曲 线 2- 2= 1 共 渐近 线 的双 曲线 系 方程 为 a b 2 a b

x2 y 2- 2=λ(λ≠0) x2 y2 a b ________________,与双曲线 2- 2=1 共轭的双曲线为

y2 x2 - =1 b2 a2 ________________,等轴双曲线 x2-y2=± 2 的渐近线方程为 a y=±x e= 2 ________,离心率为________.

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

—— 疑 难 辨 析 ——
1.双曲线定义、方程的认识 x 2 y2 (1)双曲线 - =1 的焦距为 4 2.( 10 2 值为 4,则点 P 的轨迹是双曲线.( ) )

(2)动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之差的绝对 (3)双曲线的两焦点为 F1(-3,0),F2(3,0),点 P(6,2 10) x2 y2 在双曲线上,则双曲线的标准方程为 - =1.( ) 4 5 x 2 y2 (4)以椭圆 + =1 的焦点为实轴的顶点, 长轴的端点为焦 16 4 x2 y2 点的双曲线的标准方程是 - =1.( ) 12 4
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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

[答案]

(1)?

(2)? (3)√

(4)√

[解析] 4 3.

(1)c2=a2+b2=12?c=2 3,所以焦距 2c=

(2)因为||PA|-|PB||=|AB|=4,所以点 P 的轨迹是两条射 线. (3) 由 题 知 c = 3 , 又 由 双 曲 线 定 义 得 2a = (6+3)2+(2 10)2 - (6-3)2+(2 10)2 = 11 - 7 =4,所以 b2=c2-a2=5.又由题易知该双曲线焦点在 x 轴上, x2 y2 所以双曲线方程为 - =1. 4 5

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

x2 y2 (4)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有 a=2 3, a b x2 y2 c=4,所以 b2=4,所以双曲线方程为 - =1. 12 4

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

2.双曲线性质的认识 x2 y2 (1)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),当 a=b 时,称该双曲线为 a b 等轴双曲线,等轴双曲线的离心率是 2.( ) (2)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 3 倍,则 m=- 1 .( ) 9 x2 y2 (3)双曲线 - =1 的渐近线方程是 y=± 2x.( ) 4k 16k

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第47讲
双 向 固 基 础

双曲线

[答案]

(1)√

(2)√ (3)√

c [解析] (1)因为 a=b,所以 c= 2a,则 e= = 2. a x2 (2)显然 m<0,方程变为 y2 - =1,则 a=1,b= 1 - m 1 - ,所以 m 1 1 - =3,解得 m=- . 9 m

x y (3)不论 k>0 还是 k<0,双曲线的渐近线均为 ± =0, 2 4 即 y=± 2x.

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第47讲

双曲线

考点统计 点 面 讲 考 向 1.双曲线的定义及标准方程

题型(考频) 选择(1)

题型示例(难度) 2010年T12(B)

2.双曲线的几何性质
3.直线与双曲线的位置关系

选择(1)
0

2012年T10(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第47讲

双曲线

?

探究点一
例1

双曲线的定义及标准方程

点 面 讲 考 向

x2 y2 (1)已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),点 a b )

A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2, |AB|=m,F1 为左焦点,则△ABF1 的周长为( A.2a+2m 方程为( ) y2 B.x2- =1 2 x2 y2 D. 2 - 4 =1
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B.4a+2m C.a+m

D.2a+4m

(2)经过两点 A(2, 6),B(- 5,2 2)的双曲线的标准 x2 2 A. -y =1 2 x2 y2 C. 3 - 2 =1

第47讲

双曲线

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:考查双曲线定义;推理:根据定

义得到两个等式,将两个等式相加;结论:直接求出周长. (2)分析:用待定系数法求解;推理:设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0);结论:代入点的坐标.

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第47讲

双曲线

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)B

[解析]

(1)由双曲线的定义可知:

|AF1|-|AF2 |=2a,|BF1 |-|BF2 |=2a, ∴|AF1|+|BF1 |-(|AF2 |+|BF2 |)=4a. 又∵|AF2|+|BF2 |=|AB|=m, ∴△ABF1 的周长为|AF1 |+|BF1 |+|AB|=4a+2m. (2)设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0),将两已知点坐
?4m+6n=1, ? 标代入,得? 解得 ?5m+8n=1, ?

1 m=1,n=-2,所以双曲线

y2 方程为 x2- 2 =1.故选 B.
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第47讲

双曲线

点评
点 面 讲 考 向

利用双曲线定义解题,关键是看能否将题设

条件通过推理、转化,变成符合双曲线定义的问题,如果 符合双曲线定义,还要判断是完整双曲线还是双曲线的某 一支,也即是讨论双曲线定义式中的绝对值问题.

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第47讲

双曲线

归纳总结
点 面 讲 考 向

求双曲线标准方程的方法:

①定义法: 根据题目条件, 若满足双曲线定义, 求出 a, b,c,即可求出方程. ②待定系数法:确定焦点位置,由焦点位置设方程, 根据条件求出相关参数.

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第47讲

双曲线

变式题
点 面 讲 考 向

x2 y2 (1)设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线 a 16

的一条渐近线方程为 4x-3y=0, 1, 2 分别是左、 F F 右焦点, 若|PF1|=3,则|PF2 |=________. x2 y2 (2)已知双曲线与椭圆 9 + 25=1 的焦点相同,且它们 14 的离心率之和等于 ,则双曲线的方程为( ) 5 x2 y2 y2 A. 12- 4 =1 B.x2- 4 =1 y2 x2 C. - =1 4 12 x2 D.y - =1 12
2

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第47讲

双曲线

[答案]

(1)9

(2)C

点 面 讲 考 向

4 [解析] (1)将渐近线方程化为 y= x,又 b=4,所以 a 3 =3.根据双曲线的定义有||PF2 |-|PF1 ||=6,而|PF1 |=3,解得 |PF2|=-3(舍去)或|PF2 |=9.

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第47讲

双曲线

点 面 讲 考 向

x2 y2 (2)由于在椭圆 + =1 中,a2=25,b2=9,所以 c2 9 25 =16, c=4.又椭圆的焦点在 y 轴上, 即 所以其焦点坐标为(0, 4 ± 离心率 e=5.根据题意知, 4), 双曲线的焦点也应在 y 轴上, 14 4 坐标为(0,± 4),且其离心率等于 5 - 5 =2.故设双曲线的方 y2 x2 程为 2- 2=1(a>0,b>0),且 c=4, a b 1 所以 a= c=2,a2=4,b2=c2-a2=12,于是双曲线的 2 y2 x2 方程为 - =1. 4 12
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第47讲

双曲线

?

探究点二
例2

双曲线的几何性质

(1)[2012· 太原三模] 已知 P 点是以 F1,F2 为焦点

点 面 讲 考 向

x2 y2 → → 的双曲线 2- 2=1 上的一点,若PF1?PF2 =0,tan∠PF1F 2 a b =2,则此双曲线的离心率等于( ) A. 5 C.2 5 D.3 x2 y2 (2)若双曲线 2- 3 =1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2 + a y2=4 所截得的弦长为 2,则该双曲线的实轴长为( A.1 C.3 B.2 D.6
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B.5

)

第47讲

双曲线

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析: 数形结合, 在焦点三角形(直角)

中分析;推理:可得△PF1F2 为直角三角形且|PF2 |=2|PF1 |, 根据双曲线定义和勾股定理得 a,c 的关系式;结论:解出 离心率. (2)分析:关键是根据已知弦长求出 a;推理:根据双 曲线方程求出其渐近线方程, 利用数形结合(几何法)构造直 角三角形,求出 a;结论:实轴是 2a.

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第47讲

双曲线

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)B

[解析]

→ → (1)根据PF1 ?PF2 =0,tan∠PF1F2 =2,可得

△PF1F2 为直角三角形且|PF2 |=2|PF1 |,根据双曲线定义得 |PF2|-|PF1 |=2a,由此得|PF1 |=2a,|PF2 |=4a,根据勾股定 c2 理(2a)2+(4a)2=(2c)2,由此得 2=5,即 e= 5. a

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第47讲

双曲线

3 (2)双曲线的一条渐近线为 y= x,即 3x-ay=0,由 a
点 面 讲 考 向

题意可知, 圆心(2, 0)到该渐近线的距离为 d= 22-12= 3, 即 | 3?2-0| 3+a
2

= 3,因为 a>0,所以 a=1,所以双曲线的实

轴长为 2a=2.故选 B.

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第47讲

双曲线

点评
点 面 讲 考 向

对于双曲线的几何性质,考查较多的是双曲

线的离心率、渐近线.求离心率或离心率的取值范围常用 的方法是依据条件列出关于 a,c 的齐次方程或不等式,再 转化为关于 e 的方程或不等式求解.

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第47讲

双曲线

归纳总结

双曲线的几何性质问题:

①双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“ 六
点 面 讲 考 向

点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点),“四线”(两条 对称轴、两条渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构 成的三角形、 双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究 它们之间的关系. c2-a2 b ②渐近线斜率与离心率的关系: k= = = a a c2 2 2-1= e -1. a

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第47讲

双曲线

变式题
点 面 讲 考 向

x2 (1)[2012· 河南六校二联] 设点 P 是双曲线 2 a

y2 - 2=1(a>0,b>0)与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点, b F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1 |=2|PF2|,则双 曲线的离心率为( A. 5 10 B. 5 ) C. 3+1 D. 3

y2 (2)[2012· 东北三省四市联考] F1,F2 是双曲线 x2- = m 1 的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线和双曲线的一 → 个交点为 A,满足|AF2|=|F→ 2|,则 m 的值为________. 1F
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第47讲

双曲线

[答案]

(1)A (2)2+2 2

点 面 讲 考 向

[解析]

(1)由双曲线定义知|PF1 |-|PF2 |=2a,而|PF1 |=

2|PF2|,所以|PF1 |=4a,|PF2 |=2a, 又 PF1⊥PF2,所以|PF1 |2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,即 5a2 =c2,得 e= 5.故选 A. b2 → (2)由|AF2|=|F→ 2 |,可知 =2c.又 a=1,b= m,c= 1F a m+1,所以有 m=2 m+1,解得 m=2± 2,又 m>0,所 2 以 m=2+2 2.

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第47讲

双曲线

?

探究点三
例 3

直线与双曲线的位置关系

点 面 讲 考 向

x2 y2 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= a b

2 3 ,直线 l 过 A(a,0),B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距 3 3 离是 . 2 (1)求双曲线的方程; (2)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M, 两点, → ?→ N 若OM ON =-23,求直线 m 的方程.

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第47讲

双曲线

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:如题干;目标:求双曲线的标准

方程和满足一定条件下的直线方程;方法:根据两个条件 列方程组求出双曲线的方程;把向量表达式转化为坐标表 达式,利用韦达定理来分析.

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第47讲

双曲线

x y 解:(1)依题意,直线 l 的方程为 + =1,即 bx-ay a -b -ab=0,
点 面 讲 考 向

3 ab ab 3 由原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,得 2 2= c = 2 . a +b c 2 3 x2 又 e= = ,∴b=1,a= 3.故所求双曲线的方程为 - 3 3 a y2=1.

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第47讲

双曲线

(2)显然直线 m 不与 x 轴垂直, m 的方程为 y=kx-1, 设
点 面 讲 考 向

?y=kx-1, ? 2 则点 M,N 的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组?x 的 2 ? 3 -y =1 ? 解.消去 y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0, ① 依题设,1-3k2 ≠0,由根与系数的关系,知 x1+x2 = 6k 6 ,x1x2= 2 , 2 3k -1 3k -1

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第47讲

双曲线

→ → OM ?ON=(x1 ,y1)· 2 ,y2)=x1x2 +y1y2 =x1x2+(kx1 - (x
点 面 讲 考 向

6(1+k2) 6k2 1)· 2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1= (kx - 2 3k2-1 3k -1 6 +1= 2 +1. 3k -1 1 → ?ON=-23,∴ 26 +1=-23,即 k=± . → ∵OM 2 3k -1 1 当 k=± 时,方程①有两个不等的实数根,故直线 m 的 2 1 1 方程为 y=2x-1 或 y=- 2x-1.

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第47讲

双曲线

归纳总结
点 面 讲 考 向

双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位

置关系,解决此类问题的常用方法:①设出直线方程或双曲线 方程,然后把直线方程和双曲线方程联立,消元后转化为关于 x(或 y)的一元方程,注意在二次项系数不为 0 的情况下,利用 Δ 讨论方程根的情况决定直线和双曲线交点个数;当二次项系 数为 0 时,得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等,此 时直线与双曲线最多只有一个交点. ②可以比较直线的倾斜角(或斜率)与渐近线的倾斜角(或 斜率)的大小关系,得到直线与双曲线的交点情况.

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第47讲

双曲线

思想方法19

分类讨论思想在双曲线问题中应用

x2 y2 例 [2012· 大连、沈阳二联] 过双曲线 2- =1(a>0)右 a 5-a2 焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右 两支各有一个交点; 当直线斜率为 3 时, 直线与双曲线右支有两
多 元 提 能 力

个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为( A.( 2,5) C.(1, 2) B.( 5, 10) D.(5,5 2)

)

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第47讲

双曲线

[分析] 结合图形,可以通过比较直线与双曲线的渐 近线的倾斜角或斜率大小来确定直线与双曲线的交点个 数.

多 元 提 能 力

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第47讲

双曲线

[解析] B 双曲线的渐近线方程为 y=±

5-a

2

a

x,设渐

多 元 提 能 力

5-a2 近线的较小的倾斜角为 α, 依题意有 2<tanα<3, 2< 即 a 1 2 1 <3, 解得2<a <1, 2<2, 1< 设双曲线的半焦距为 c,则 c2=5, a c2 所以 5< 2<10,得 5<e< 10.故选 B. a

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第47讲

双曲线

3 自我检评 若双曲线的渐近线方程为 y=± x,求双曲 4 线的离心率.

多 元 提 能 力

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第47讲

双曲线

解:设双曲线的实半轴长,虚半轴长,半焦距,离心率 分别为 a,b,c,e. b 3 3 (1)若双曲线的焦点在 x 轴上, = , a, 则 b= c= a2+b2 4 a 4 ?3 ?2 5 2 = a +?4a? =4a. ? ? 5 c 4a 5 故 e= = =4. a a

多 元 提 能 力

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第47讲

双曲线

多 元 提 能 力

a 3 4 (2)若双曲线的焦点在 y 轴上, = , a, 则 b= c= a2+b2 3 b 4 ?4 ?2 5 2 = a +? a? = a. 3 ?3 ? 5 a c 3 5 5 5 故 e= = = .综上可知,双曲线的离心率为 或 . 4 3 a a 3

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第47讲

双曲线

备选理由

下面的三个备用例题涉及向量、几何最值、

定值、 范围等问题, 在熟练掌握双曲线的定义和性质的基础上, 进行适度的综合练习对提高学生的解题能力是很有必要的.

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

x2 y2 例 1 已知 F1, 2 是双曲线16- 9 =1 的左、 F 右焦点, P 是双曲线右支上一点, 且|PF2 |=6, Q(0, 点 m), |m|≥3, → → → 则PQ?(PF1-PF2)的值是( ) A.40 B.80 C.160 D.与 m 的值有关

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

[解析] B 由双曲线方程可得 F1(-5,0),F2(5,0),设 → → P(x,y),则PF1-PF2=F→ 1=(-5,0)-(5,0)=(-10,0), 2F → → → 所以PQ?(PF1-PF2)=(-x,m-y)· (-10,0)=10x. 因为 P 是双曲线上一点,且|PF2 |=6,所以(x-5)2+y2 → → → =36,代入双曲线方程解得 x=8,所以PQ?(PF1-PF2 )= 80.故选 B.

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

例2

[2012· 辽宁卷] 已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,

F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2 |的值为________.

[答案]

2 3

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

[解析] 不妨假设点 P 位于双曲线的右分支上, 故而|PF1| -|PF2|=2a=2,所以(|PF1 |- |PF2|)2 =(2a)2 =4?|PF1|2 + |PF2|2 -2|PF1 ||PF2 |=4,因为 PF1 ⊥PF2 ,所以|PF1|2 +|PF2 |2 =(2c)2 =8, 所以 2|PF1 ||PF2 |=4, 所以(|PF1 |+|PF2|)2=|PF1 |2 +|PF2|2+2|PF1 ||PF2 |=12,即|PF1 |+|PF2 |=2 3.

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

例3

平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两

→ → → 点 A(1, B(0, 0), -2), C 满足OC=mOA+nOB(m, 点 n∈R 且 m-2n=1). (1)求点 C 的轨迹方程; x2 y2 (2)设点 C 的轨迹方程与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 a b 且 a≠b)交于 M,N 两点,且以 MN 为直径的圆过原点, 1 1 求证: 2- 2为定值; a b (3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于 3,求 双曲线实轴长的取值范围.
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教 师 备 用 题

第47讲

双曲线

→ → → 解:(1)设 C(x,y),因为OC=mOA+nOB,则(x,y)=
?x=m, ? m(1,0)+n(0,-2),所以? 因为 ?y=-2n, ?

m-2n=1,所以

x+y=1,即点 C 的轨迹方程为 x+y-1=0. ?x+y=1, ? 2 2 (2)证明:由 ?x y 得(b2 -a2)x2 +2a2x-a2 -a2b2 ?a2- b2=1, ? =0, 由题意知 b2-a2≠0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
教 师 备 用 题

a2+a2b2 2a2 则 x1+x2=- 2 2,x1x2=- 2 2 . b -a b -a

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第47讲

双曲线

→ → 因为以 MN 为直径的圆过原点,所以OM?ON=0, 即 x1x2+y1y2=0, 所以 x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2 2(a2+a2b2) 2a2 =1+ 2 - =0, b -a2 b2-a2 1 1 即 b -a -2a b =0,所以 2- 2=2 为定值. a b
2 2 2 2

教 师 备 用 题
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第47讲

双曲线

1 1 a2 (3)因为 2- 2=2,所以 b2= 2, a b 1-2a a2+b2 因为 e≤ 3,所以 e2= 2 ≤3, a 1 1 1 2 所以 1+ 2≤3,即 1-2a ≥ ,所以 0<a≤ , 2 2 1-2a 从而 0<2a≤1, 所以双曲线实轴长的取值范围是(0,1].

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第48讲 抛物线

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考试大纲
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道 它的简单几何性质.

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

—— 知 识 梳 理 ——

一、定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离
相等 ______的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的

焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x轴

(0,0)
1

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

y≥0,x∈R

y≤0,x∈R

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

y轴
(0,0)

p 2+y0

1

p 2-y0

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

? p? ?x+ ? 1.y2=2px(p≠0)的焦半径|PF|=________;x2= 2? ? ? p? ?y+ ? 2py(p≠0)的焦半径|PF|=________. 2? ?

三、抛物线中常见结论

2. 过抛物线 y2=2px(p>0)焦点的所有弦中最短的
通径 2p 弦,也被称做______,其长度为______.

3.AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,则 xAxB
p2 -p2 xA+xB+p 4 =________,yAyB=________,|AB|=________.

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

—— 疑 难 辨 析 ——

1.抛物线定义的理解 (1)在抛物线的定义中,若定点 F 在定直线 l 上, 则动点的轨迹为直线.( ) ) )
? 3? 的焦点坐标是?0,2?.( ? ?

(2)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是 8.( (3)抛物线 x =-6y
2

(4)抛物线 y2=8x 上点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是 6.( )
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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

(5) 抛 物 线 x2 = ay(a≠0) 的 准 线 方 程 为 y = - a .( 4 )

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

[答案]

(1)√

(2)? (3)?

(4)√

(5)√

[解析]

(1)动点的轨迹是过点 F 与直线 l 垂直的直线.

(2)抛物线的焦点到准线的距离为 p=4. ? 3? (3)抛物线的焦点坐标是?0,-2?. ? ? p 4 (4)由抛物线的方程,得2=2=2,根据抛物线的定义,可 知所求距离为 4+2=6. a (5)不论 a>0 或 a<0,抛物线的准线方程都是 y=-4.

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

2.抛物线的标准方程和性质的理解 (1)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线 被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a.( ) ) (2)以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过 P(-2,-4)的抛物线方程是 y2=-8x.(

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第48讲
双 向 固 基 础

抛物线

[答案]

(1)√

(2)?
? a? F?0,- ?,所以通径所在的 2? ?

[解析]

(1)抛物线焦点为

a 直线方程为 y=- , 代入抛物线方程得通径两端点的横坐标 2 分别为 a,-a,所以通径长为|a-(-a)|=2a. (2)抛物线开口可能向左,也有可能向下,因此方程是 y2=-8x 或 x2=-y.

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第48讲

抛物线

考点统计

题型(考频)

题型示例(难度)

1.抛物线的定义
点 面 讲 考 向 2.抛物线的标准方程 3.抛物线的几何性质 4.直线与抛物线的位置关系

0
填空(1) 选择(1) 解答(1) 2009年T14(B) 2011年T9(B) 2012年T20(2)(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第48讲

抛物线

?

探究点一
例1

抛物线的定义

(1)[2012· 唐山统考] F 是抛物线 y2=2x 的焦点, A,

点 面 讲 考 向

B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________. (2)[2012· 东莞一模] 点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点, 则 点 P 到点 A(0, -1)的距离与到直线 x=-1 的距离和的最小 值是( A. 5 ) B. 3 C.2 D. 2

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第48讲

抛物线

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:先求中点到准线距离;推理:数

形结合,运用抛物线定义;结论:求出中点到准线距离, 再减去原点到准线的距离. (2)分析:转化成三点共线问题;推理:P 到准线距离 等于到焦点距离, 故此题求的是 P 到两个点距离之和最小; 结论:最小值为(1,0)与(0,-1)之间距离.

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第48讲

抛物线

[答案]
点 面 讲 考 向

5 (1) 2

(2)D

[解析]

(1)过 A,B 分别作准线的垂线,垂足分别为 D,

E,|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义知|AD|+|BE|=6,又线段 1 AB 的中点到准线的距离为 (|AD|+|BE|)=3,抛物线的准线 2 1 5 为 y=-2,所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为2.

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第48讲

抛物线

点 面 讲 考 向

(2)抛物线的焦点为 F(1,0),设点 P 到直线 x=-1 的 距离为 d, 则根据抛物线的定义有|PF|=d, 要使|PA|+d 最小, 则必须 A,P,F 三点共线,此时最小值为|AF|= 2.故选 D.

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第48讲

抛物线

归纳总结
点 面 讲 考 向

抛物线的定义是解决抛物线问题的基

础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线 上的点到准线的距离)进行等量转化. 如果问题中涉及抛物 线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定 义就能解决问题.

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第48讲

抛物线

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 黄冈中学模拟] 一动圆圆心在抛物线

x2=-8y 上,且动圆恒与直线 y-2=0 相切,则动圆必过 定点( ) B.(0,-2) D.(0,-4) A.(4,0) C.(2,0)

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第48讲

抛物线

[解析] B
点 面 讲 考 向

直线 y-2=0 是抛物线 x2=-8y 的准线, 因

为动圆圆心在抛物线 x2=-8y 上,且动圆与直线 y-2=0 相切, 根据抛物线定义知, 动圆必过抛物线的焦点(0, -2). 故 选 B.

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第48讲

抛物线

?

探究点二
例2

抛物线的标准方程

(1)[2012· 东莞一模] 已知抛物线 C 的顶点为原 )

点 面 讲 考 向

点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为( A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=4y D.y2=8x

(2)[2012· 陕西卷] 图 8-48-1 是抛物线形拱桥,当水面 在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水位下降 1 m 后,水 面宽________ m.

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第48讲

抛物线

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:根据条件得到抛物线上一个点

的坐标即可;推理:根据中点公式可以求出直线和抛物线 一个交点的坐标;结论:将求出的点坐标代入抛物线方程 求解. (2)分析:关键是求出抛物线方程;推理:建立适当坐 标系,求出抛物线方程;结论:根据求出的抛物线方程求 解.

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第48讲

抛物线

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)2 6

[解析]

(1)显然交点 A,B 中有一个是原点,不妨设 A

是原点,因为 P(2,2)是线段 AB 的中点,所以点 B 的坐标 为(4,4),依题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则 B 在该 抛物线上,所以 42=2p· 4,得 p=2,所以抛物线方程为 y2 =4x.故选 A. (2)以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系, 设抛物线的 方程为:x2=-2py(p>0),由题意知抛物线过点??2,-2??,代 入方程得 p=1,则抛物线的方程为 x2=-2y,当水面下降 1 m 时,为 y=-3,代入抛物线方程得 x= 6,所以此时水面 宽为 2 6 m.
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? ?

第48讲

抛物线

归纳总结

求抛物线的标准方程的主要方法是定义法

和待定系数法.对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可
点 面 讲 考 向

统一设为 y2=ax(a≠0),a 的正负由题设来定;焦点在 y 轴 上的抛物线的标准方程可设为 x2=ay(a≠0),这样就减少了 不必要的讨论.

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第48讲

抛物线

变式题
点 面 讲 考 向

(1)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax 的 )

焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的 面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=4x B.y2=8x C.y2=4x 或 y2=-4x D.y2=8x 或 y2=-8x (2)设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 x 轴上,抛物 线上的点 P(2,k)与点 F 的距离为 3,则抛物线方程为 ________.

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第48讲

抛物线

[答案]

(1)D

(2)y2=4x
?a ? F?4,0?,直线 ? ?

点 面 讲 考 向

[解析]

(1)若 a>0,则

l 的方程为 y=2x

? a a? 1 a a ?0,- ?,于是△OAF 的面积为 ? ? =4,解 -2,所以 A 2? 2 4 2 ? 得 a=8,所以抛物线方程为 y2=8x;同理当 a<0 时,抛物 线方程为 y2=-8x.故选 D. ?p ? 2 (2)依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0),则 F?2,0?, ? ? ? p?2 2 于是 ?2- ? +k =3,且 k2=4p,解得 p=-10(舍去)或 p 2? ? =2, 所以抛物线方程为 y2=4x.(本题也可以用抛物线定义求 解)
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第48讲

抛物线

?

探究点三
例3

抛物线的几何性质

(1)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该

点 面 讲 考 向

→ → → → → → 抛物线上三点,若FA+FB +FC =0,则|FA |+|FB |+|FC |= ( ) A.9 B.6 C.4 D.3 (2)[2012· 安徽卷] 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该 抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________.

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第48讲

抛物线

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:将向量关系式转化为坐标表达

式;推理:根据条件得到 A,B,C 的坐标关系式,利用抛 物线的几何性质求解;结论:将分析的坐标关系式代入到 所求的式子即可. (2)分析:欲求|BF|只要求出点 B 横坐标即可;推理: 根据|AF|=3 和抛物线的定义可确定点 A 的坐标、进而可确 定直线 AB 方程,得出点 B 坐标;结论:根据抛物线定义 求得|BF|.

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第48讲

抛物线

[答案]

3 (1)B (2)2

点 面 讲 考 向

[解析]

(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),抛物线

→ → → 焦点坐标 F(1,0),准线方程:x=-1,∵FA+FB+FC=0, 可得 x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0. 而|FA|=x1-(-1)=x1+1,|FB|=x2-(-1)=x2+1, |FC|=x3-(-1)=x3+1. ∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3) +3=3+3=6. (2)如图,设 A(x0,y0)(y0<0),易知抛物线 y2=4x 的焦点 为 F(1,0),抛物线的准线方程为 x=-1,故由抛物线的定 义得|AF|=x0-(-1)=3,解得 x0=2,所以 y0=-2 2.故点 A(2,-2 2).
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第48讲

抛物线

-2 2-0 则直线 AB 的斜率为 k= =-2 2,直线 AB 的方 2-1
点 面 讲 考 向

程为 y=-2 2x+2

?y=-2 2x+2 ? 2,联立? 2 ?y =4x, ?

2,

消去 y 得

2x2-5x+2=0,由 x1x2=1,得 A,B 两点横坐标之积为 1, 1 1 ? ? ? ? ?BF?= -?-1?= 所以点 B 的横坐标为 .再由抛物线的定义得? ? 2 2 ? ? 3 . 2

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第48讲

抛物线

点评 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过
点 面 讲 考 向

图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何 特征,同时也要考虑抛物线定义的使用.

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第48讲

抛物线

归纳总结 抛物线的几何特征很独特, 如图 8-48-2, 抛 物线 y2=2px,准线为 CD,AB 为过焦点 F 的弦,M,N 为线
点 面 讲 考 向

段 AB,CD 的中点,则有如下几个结论: ①AN⊥BN; ②DF⊥CF; ③NF⊥BF; ④|NF|= |AF|· |BF|.

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第48讲

抛物线

变式题
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x2 y2 (1)双曲线 - =1(mn≠0)的离心率为 2,有 m n )

一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合, mn 的值为( 则

3 3 16 8 A. 16 B.8 C. 3 D.3 (2)[2012· 西安交大附中诊断] 正三角形的一个顶点位 于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=-2px(p>0)上, 则它的边长为( A.2p C.2 3p ) B.4p D.4 3p

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抛物线

[答案]

(1)A (2)D

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[解析]

(1) 由 已 知 可 得 m>0 , n>0 , 由 条 件 知

? m+n ? =2, 1 3 3 ? m 解得 m=4,n=4,所以 mn=16.故选 A. ? ? m+n=1, (2)由抛物线的对称性知,另外两个顶点关于 x 轴对 称.设正三角形边长为 a,则另外两个顶点的坐标为
? ? ?- ?

3a a? ? 3a a? ? ? ? , ?, ?- ,- ? ,这两个顶点在抛物线上,代入 2 2? ? 2 2?

抛物线方程即可.

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第48讲

抛物线

?

探究点四
例4

直线与抛物线的位置关系

[2012· 课程标准卷] 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的

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焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值 及圆 F 的方程; (2)若 A, F 三点在同一直线 m 上, B, 直线 n 与 m 平行, 且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, 距离的比值. n

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第48讲

抛物线

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:如题干;目标:求抛物线、圆的

方程以及直线与曲线的有关问题;方法:充分运用抛物线 定义以及转化思想,n 与 m 平行转化为斜率相等,n 与 C 只有一个公共点转化为 Δ=0.

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抛物线

解: (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形, |BD|=2p, 圆 F 的半径|FA|= 2p.
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由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以2|BD|?d=4 2,即 1 ?2p? 2p=4 2, 2 解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8.

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抛物线

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(2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= 2|AB|, 3 3 所以∠ABD=30°,m 的斜率为 3 或- 3 . 3 3 当 m 的斜率为 3 时,由已知可设 n:y= 3 x+b,代入 2 2 2 3 x =2py 得 x - 3 px-2pb=0. 4 2 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ= 3p +8pb=0.解得 p b=-6.
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抛物线

点 面 讲 考 向

p |b1 | 因为 m 的截距 b1= , =3, 2 |b| 所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3 当 m 的斜率为- 时,由图形对称性可知,坐标原点 3 到 m,n 距离的比值为 3.

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抛物线

归纳总结 直线与抛物线的位置关系的判断方法是:联立 直线方程和抛物线方程,消元后得到关于 x(或 y)的方程,在二
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次项系数不为 0 的情况下,利用 Δ 讨论方程根的情况决 定直线和抛物线交点个数;当二次项系数为 0 时,得到的 直线与抛物线只有一个交点.

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抛物线

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 陕西五校模拟] 设动点 P(x,y)(x≥0) 1 y 轴的距离大 .记点 P 的轨迹为 2

到定点 曲线 C.

?1 ? F? ,0?的距离比到 ?2 ?

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在 P 的轨迹上,BD 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, M 运动时弦长 BD 是否为定 当 值?说明理由; (3)过
?1 ? F? ,0?作互相垂直的两直线交曲线 ?2 ?

C 于 G,H,

R,S,求四边形 GRHS 面积的最小值.
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抛物线
?1 ? F?2,0?为焦点, ? ?

解: (1)由题意知, 所求动点 P(x, y)是以
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1 直线 l:x=-2为准线的抛物线,方程为 y2=2x. (2)因为圆心 M 在抛物线 y2=2x 上, 可设圆心
? a2?2 2 半径 r= ?1- 2 ? +a , ? ? ? ? a2?2 a2?2 2 圆的方程为?x- 2 ? +(y-a)2=?1- 2 ? +a , ? ? ? ? ?a2 ? M? 2 ,a?, ? ?

令 x=0,得 B(0,1+a),D(0,-1+a),所以|BD|=2, 所以弦长|BD|为定值.

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抛物线

点 面 讲 考 向

(3)由题意两直线均不与坐标轴垂直,设过 F 的直线方 ? 1? 程为 y=k?x- ?,G(x1,y1),H(x2,y2), 2? ?
? 1? ? ?y=k?x- ?, k2 2? 得 k2x2-(k2+2)x+ =0, ? 由? 4 ?y2=2x ? 2 1 由韦达定理得 x1+x2=1+ 2,x1x2= , 4 k


2



|GH|
2



(x1-x2)2+(y1-y2)2



2 1+k ? (x1+x2) -4x1x2=2+ 2, k 同理|RS|=2+2k2.
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第48讲

抛物线

点 面 讲 考 向

2? 1? 所 以 四 边 形 GRHS 的 面 积 T = 2 ?2+k2? (2 + 2k2) = ? ? ? 1? 2 2?2+k + 2?≥8,当且仅当 k=± 时等号成立. 1 k? ? 即四边形 GRHS 面积的最小值为 8.

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第48讲

抛物线

思想方法20

等价转化思想在抛物线中应用

例 [2012· 福州质检] 平面内动点 P 到点 F(1, 0)的距离等于 它到直线 x=-1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 Γ. (1)求曲线 Γ 的方程;
多 元 提 能 力

→ → → (2)若点 A, C 是 Γ 上的不同三点, B, 且满足FA+FB+FC= 0.证明:△ABC 不可能为直角三角形.

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抛物线

[分析] 由条件的对称性,证明△ABC 不是直角三角 形只需证明 A≠90° 即可. 故问题(2)转化为如何证明 A≠90° .

多 元 提 能 力

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第48讲

抛物线

解:方法一:(1)由条件可知,点 P 到点 F(1,0)的距离 与到直线 x=-1 的距离相等,所以点 P 的轨迹是以 F(1,0) 为焦点,x=-1 为准线的抛物线,其方程为 y2=4x. (2)证明: 假设△ABC 是直角三角形, 不失一般性, 设∠A → AC → =90° ,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则有AB· =0,
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→ → AB=(x2-x1,y2-y1),AC=(x3-x1,y3-y1), 所以(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0. y2 i 因为 xi= 4 (i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3, 所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.

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抛物线

→ → → 又因为FA+FB+FC=0,所以 x1+x2+x3=3,y1+y2+ y3=0,所以 y2y3=-16.①
2 2 又 y1+y2+y3=4(x1+x2+x3)=12, 2 2 所以(-y2-y3)2+y2+y3=12,即 y2+y2+y2y3=6.② 2 2 3

多 元 提 能 力

16 2 2 由①②得 y2+?- y ? -16=6, ? 2? 4 所以 y2-22y2+256=0.③ 2 2

?

?

因为 Δ=(-22) -4× 256=-540<0. 所以方程③无解,从而△ABC 不可能是直角三角形.

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第48讲

抛物线

方法二:(1)同方法一. (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), → → → 由FA+FB+FC=0,得 x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0. 由条件的对称性,欲证△ABC 不是直角三角形,只需证 明∠A≠90° .①当 AB⊥x 轴时,x1=x2,y1=-y2,从而 x3=3
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-2x1,y3=0,即点 C 的坐标为(3-2x1,0). 3 由于点 C 在 y =4x 上,所以 3-2x1=0,即 x1=2, ?3 ? ?3 ? 此时 A?2, 6?,B?2,- 6?,C(0,0),则∠A≠90° . ? ? ? ?
2

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第48讲

抛物线

②当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 x=ty+m(t≠0),代入 y2=4x, 整理得 y2-4ty-4m=0,则 y1+y2=4t. 若∠A=90° ,则直线 AC 的斜率为-t,
多 元 提 能 力

4 同理可得 y1+y3=- . t 4 4 由 y1+y2+y3=0,得 y1=4t- ,y2= ,y3=-4t. t t
2 由 x1+x2+x3=3,可得 y2+y2+y2=4(x1+x2+x3)=12. 1 3

? 4?2 ?4?2 从而?4t- t ? +? t ? +(-4t)2=12, ? ? ? ?

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抛物线

1 11 整理得 t + 2= 8 ,即 8t4-11t2+8=0,① t Δ=(-11)2-4× 8=-135<0. 8×
2

所以方程①无解,从而∠A≠90°. 综合①②可得,△ABC 不可能是直角三角形.
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抛物线

自我检评

(1)已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的不

→ → 同两点,F 为抛物线 C 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3
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) 3 B.± 2 3 C.±4 4 D.±3

(2)[2012· 广东四校联考] 已知抛物线 C:y=ax2(a>0) 1 的焦点到准线的距离为 ,且 C 上的两点 A(x1,y1),B(x2, 4 1 y2)关于直线 y=x+m 对称, 并且 x1x2=- , 那么 m=( ) 2 3 5 A. B. C.2 D.3 2 2
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抛物线

[答案]

(1)D

(2)A

→ → → → 解:(1)如图,因为FA=-4FB,所以|FA|=4|FB|,设|BF| =t,则|AF|=4t,所以|BM|=|AA1|-|BB1 |=|AF|-|BF|=3t.又 4 |AB|=|AF|+|BF|=5t,所以|AM|=4t,所以 tan∠ABM= ,由 3 4 对称性可知,这样的直线 AB 有两条,其斜率为± .故选 D. 3

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第48讲

抛物线

1 (2)由抛物线焦点到准线的距离为4 ,可得 a=2.因为 y2-y1 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,所以 =- x2-x1 2x2-2x2 1 2 1 1,即 =-1,整理得 x2+x1=-2.又线段 AB 的中点 x2-x1
多 元 提 能 力

y1+y2 x1+x2 1 2 2 在直线 y=x+m 上, 所以 2 = 2 +m, x1+x2=- 4 即 1 1 3 2 2 2 +m,所以 m=x1+x2+4=(x1+x2) -2x1x2+4=2.故选 A.

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第48讲

抛物线

备选理由

例 1 涉及抛物线的几何性质以及数形结合解

选择题的方法; 2 是抛物线的定义与一元二次方程的综合应 例 用;例 3 则是非标准状态下的抛物线(实际上是二次函数)的顶 点问题. 补充这几个题目意在加深学生对抛物线的定义与几何 性质的理解和应用.

教 师 备 用 题
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第48讲

抛物线

例 1

过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,

分别交准线于 P,Q 两点,又过 P,Q 分别作抛物线对称 轴 OF 的平行线,交抛物线于 M,N 两点,则 M,N,F 三点( ) A.共圆 B.共线 C.在另一抛物线上 D.分布无规律
教 师 备 用 题
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第48讲

抛物线

[解析] B 设 M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线方程为 y2=
?p ? p ? ,0?,准线 x=- . 2px,则 F 2 ?2 ? ? p ? ? p ? 所以 P?- ,y1?,Q?- ,y2?.由 ? 2 ? ? 2 ?

y1 y2 PF⊥QF,得 ? = -p -p

教 师 备 用 题

-1,所以 y1y2=-p2, y1 y1 2py1 y2 2py2 kMF = = = , kNF = = = p y2 p y2-p2 p y2-p2 1 1 2 x1-2 -2 x2-2 2p 2py1 , 2 y1-p2 所以 kMF=kNF,所以 M,N,F 三点共线.故选 B.
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第48讲

抛物线

例2

将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上, 另一个 )

顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n,则( A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3

教 师 备 用 题
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第48讲

抛物线

[解析] C 不妨设三个顶点分别为 A,B,F(其中 F 为抛 物线的焦点), 由抛物线的定义, A, 两点关于 x 轴对称, 有 B ?p ? 点 F 的坐标为 ?2,0?.设 A(m, 2pm)(m>0),则由抛物线的定 ? ? p p 义得|AF|=m+ .又|AB|=2 2pm,|AF|=|AB|,所以 m+ = 2 2 p2 p2 2 2pm, 整理得 m2-7pm+ =0, 所以 Δ=(-7p)2-4? = 4 4 p2 48p2>0,所以方程 m2-7pm+ 4 =0 有两个不同的实根,记
教 师 备 用 题

?m1+m2=7p>0, ? 为 m1,m2,则? 所以 m1>0,m2>0.所以 n= p2 ?m1m2= 4 >0. ? 返回目录 2.

第48讲

抛物线

例3

在抛物线 y=x2 +ax-5(a≠0)上取横坐标为

x1=-4,x2=2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于 该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切, 则抛物线顶点的坐标为( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6)
教 师 备 用 题
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第48讲

抛物线

[解析] A 根据题意可知横坐标为-4,2 的两点分别为 (-4,11-4a),(2,-1+2a),所以该割线的斜率为 a-2, 由 y′=2x+a=a-2?x=-1,即有切点为(-1,-4-a), 所以切线方程为 y+4+a=(a-2)(x+1)?(a-2)x-y-6= 6 0,由切线与圆相切可知 = 2 (a-2) +1 36 5 ?a=4 或 a

=0(舍去),所以抛物线方程为 y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 所以抛物线顶点坐标为(-2,-9).选择 A.
教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第49讲 圆锥曲线的热点问题

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考试大纲
1.理解数形结合的思想. 2.了解圆锥曲线的简单应用.

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第49讲
双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

—— 知 识 梳 理 ——

一、直线与圆锥曲线的位置关系
两个 1.一般地,直线与圆锥曲线相交,有________

一个 交点(特殊情况除外);相切时有________交点.

2.判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将 直线方程与圆锥曲线方程联立,消去 y(或 x),转化 为关于 x(或 y)的方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c= 0)的形式.

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第49讲
双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

若 a=0,则直线与圆锥曲线有一个交点,此时,
对称轴 若圆锥曲线为抛物线,则直线与抛物线的________

平行;若圆锥曲线为双曲线,则直线与双曲线的
渐近线 ________平行.
Δ>0 若 a≠0,当判别式________时,直线与圆锥曲

线相交; 当判别式________时,直线与圆锥曲线相切; Δ=0
Δ<0 当判别式________时,直线与圆锥曲线相离.

3.直线与圆锥曲线的位置关系的讨论,还可以 利用数形结合的方法解决.
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第49讲
双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

二、圆锥曲线的弦长 设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 |AB| = 1+k2 |x1 - x2 | = (1+k )[(x1+x2) -4x1x2] 或 |AB| = -y2|=
2 2

1 1+ 2 |y1 k

? 1? ?1+ 2? [(y1+y2)2-4y1y2];斜率不存在 k? ?

|y1-y2| 时,|AB|=________.

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第49讲
双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

三、中点弦问题和对称问题 1.解决中点弦问题常使用韦达定理与中点公式, 也可以使用点差法: 即若弦 AB 的中点坐标为(x0, 0), y 先设两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入圆锥曲 线的方程,得 f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0,两式相减、 分解因式,再将 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0 代入其中, 即可求出直线的斜率. 2.对称问题有两种,一种是中心对称问题,用 中点公式和韦达定理即可解决;一种是轴对称问题, 常见的是圆锥曲线上存在关于某直线的对称点,可以 根据轴对称关系列出方程组,用方程思想解决.
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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

四、圆锥曲线中的最值或定值问题 此类问题大致分为两类: 一类是涉及距离、 面积、 比值、乘积的最值或定值;一类是求直线与圆锥曲线 的几何元素的最值或定值以及这些元素存在最值或 定值时确定与之相关的一些问题.解决的方法一般是 方程思想、 不等式方法、 几何方法、 三角函数方法等.

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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

—— 疑 难 辨 析 ——

1.直线与圆锥曲线交点个数的应用判断 (1)平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线只有 一个公共点.( ) (2)我们把满足 y2<2px0(p>0)的点 P(x0,y0)叫做抛 0 物线内部的点. 那么过抛物线内部的点所作的直线恒 与抛物线有两个交点.( ) x2 y2 (3)直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有两个公共 5 9 点.( )
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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

[答案]

(1)√

(2)? (3)√

[解析]

(1)将与渐近线平行的直线的方程与双曲线方程

联立方程组,该方程组只有唯一一组解;也可以作图分析, 得出只有一个公共点. (2)若所作直线平行于抛物线的对称轴,则该直线与抛物 线只有一个交点. (3)直线过定点(0,1),且该点在椭圆内,所以直线与椭 圆恒有两个公共点.

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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

2.中点弦问题的处理 x2 y2 (1)已知(4, 2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的 36 9 线段的中点,则 l 的方程是 x+2y-8=0.( ) x2 y2 (2)椭圆 4 + 2 =1 中过点 P(1,1)的弦恰好被点 P 平分,则此弦所在直线方程是 x+2y-3=0.( )

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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

[答案]

(1)√

(2)√

[解析]

(1)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,1), 2,2). y B(x y 则

y1-y2 x1+x2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 且 两式相减得 =- , 36 + 9 =1, 36+ 9 =1, x1-x2 4(y1+y2) y1-y2 1 又 x1+x2=8,y1+y2=4,∴ =-2,故直线 l 的方程为 x1-x2 1 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. 2

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双 向 固 基 础

圆锥曲线的热点问题

(2)设弦的两个端点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭 圆方程并作差得: 1 1 4(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,又 x1+x2=2, y1-y2 1 y1+y2=2, 代入得 =- .则此弦所在直线方程是 x+2y 2 x1-x2 -3=0.

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圆锥曲线的热点问题

考点统计 点 面 讲 考 向 1.定点问题

题型(考频) 解答(1)

考例(难度) 2010年T22(B)

2.定值问题
3.范围问题 4.最值问题

0
0 解答(1) 2012年T22(C)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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圆锥曲线的热点问题

?

探究点一
例1

定点问题

[2012· 邯郸一模] 在平面直角坐标系中,点 P(x,

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y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 PB 1 的斜率之积为-2. (1)求动点 P 轨迹 E 的方程; (2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M,Q 不重合),求证:直线 MQ 过定点.

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圆锥曲线的热点问题

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1 思考流程 (1)条件:PA 与 PB 的斜率之积为-2;目 标:求点 P 的轨迹方程;方法:直接设定代入. (2)条件:椭圆方程、直线系过点(1,0)等;目标:直 线 MQ 恒过定点;方法:以参数表达直线系方程、代入椭 圆方程,设出 M,N 的坐标,得出 Q 坐标,建立直线系 MQ 的方程,证明直线过定点.

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圆锥曲线的热点问题

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y y 1 解:(1)由题知: ? =- , 2 x+ 2 x- 2 x2 2 化简得 +y =1(y≠0). 2 (2)方法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x =my+1, x2 2 代入 2 +y =1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0, -2m -1 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +2 m +2 y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1). x1-x2
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圆锥曲线的热点问题

y1(x2-x1) 令 y = 0 , 得 x = x1 + = my1 + 1 + y1+y2
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my1(y2-y1) 2my1y2 = +1=2.∴直线 MQ 过定点(2,0). y1+y2 y1+y2 方法二:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y= k(x-1), x2 代入 +y2=1(y≠0)整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2= 2 0, 2k2-2 4k2 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k y1+y2 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1). x1-x2
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圆锥曲线的热点问题

令 y=0, y1(x2-x1) k(x1-1)(x2-x1) 得 x=x1 + =x1 + = y1+y2 k(x1+x2-2) 2x1x2-(x1+x2) =2. x1+x2-2 ∴直线 MQ 过定点(2,0).

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

归纳总结
点 面 讲 考 向

解析几何中证明直线过定点,一般是先

选择一个参数建立直线系方程,然后再根据直线系方程过 定点时方程的成立与参数没有关系得到一个关于 x, 的方 y 程组, 以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 株洲模拟] 已知抛物线 C 的顶点在坐

标原点,焦点在 x 轴上,△ABC 的三个顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 所在直线 l 的方 程为 4x+y-20=0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点, 且满足 PO⊥OQ,证明:直线 PQ 过定点.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

解:(1)设抛物线 C 的方程为 y2=2mx,
点 面 讲 考 向
?4x+y-20=0, ? 由? 2 得 ?y =2mx, ?

2y2+my-20m=0,

∵Δ >0,∴m>0 或 m<-160. m 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2=- , 2 ? y1? ? y2? m ?5- ?+?5- ?=10+ . ∴x1+x2= 4? ? 4? 8 ? ?m ? 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F? 2 ,0?,则 ? ?

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

?x1+x2+x3 m ? =2, 3 ? ? 解得 ?y1+y2+y3 =0, ? 3 ? 11m ? ?x3= 8 -10, ? ?y3=m. 2 ? ∵点 A
?m? 2=2m?11m-10?. ? ? 在抛物线上,∴? ? ?2? ? 8 ?

∴m=8,抛物线 C 的方程为 y2=16x.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

(2)证明:当 PQ 的斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=kx +b,显然 k≠0,b≠0,∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1, 设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0, 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky2-16y+16b= 0, 16b y2 y2 b2 P Q ∴yPyQ= .从而 xPxQ= 162 = 2, k k b2 16b ∴ 2+ =0,∵k≠0,b≠0,∴直线 PQ 的方程为 y k k =kx-16k,PQ 过定点(16,0);

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴,又 PO⊥OQ,
点 面 讲 考 向

∴△POQ

?y=|x|, ? 为等腰直角三角形,由 ? 2 ?y =16x, ?

得 P(16,16),Q(16,-16),此时直线 PQ 过点(16,0), ∴直线 PQ 恒过定点(16,0).

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

?

探究点二
例2

定值问题

点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 东城二模] 已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的 a b

左焦点为 F1(-1,0),长轴长与短轴长的比是 2∶ 3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 四点,若 1 1 m⊥n,求证: + 为定值. |AB| |CD|

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:左焦点 F1(-1,0),长轴长与

短轴长的比是 2∶ 3;目标:求椭圆的方程;方法:待定 系数法. (2)条件:过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 1 1 四点,m⊥n;目标:求证 + 为定值;方法:以参数 |AB| |CD| 表达直线系方程、代入椭圆方程,设出 A,B,C,D 的坐 标,得出 AB,CD 的长.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

?2a∶2b=2∶ 3, ? 解:(1)由已知得?c=1, 解得 a=2,b= 3. ?a2=b2+c2. ? x2 y2 故所求椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)证明:由(1)知 F1(-1,0),当直线 m 斜率存在时, 设直线 m 的方程为 y=k(x+1)(k≠0). ?y=k(x+1), ? 2 2 由?x y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0. ? 4 + 3 =1 ? 由于 Δ>0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 4k2-12 8k2 x1+x2=- 2,x1x2= 2, 3+4k 3+4k
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
点 面 讲 考 向

= 12(1+k2) . 2 3+4k

?? 8k2 ?2 4k2-12? ? ? (1+k2)??- 2? -4? ? ? 3+4k 3+4k2 ? ? ? ? ?



12(1+k2) 同理|CD|= . 2 3k +4 3+4k2 3k2+4 1 1 所 以 + = + = 2 2 |AB| |CD| 12(1+k ) 12(1+k ) 7(1+k2) 7 =12. 2 12(1+k )
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

1 当直线 m 斜率不存在时,此时|AB|=3,|CD|=4, + |AB| 1 1 1 7 =3+4=12. |CD| 1 1 7 综上, + 为定值12. |AB| |CD|

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

归纳总结

定点、定值问题的基本技巧是引进变动的

参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒
点 面 讲 考 向

成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

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圆锥曲线的热点问题

变式题
点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 海淀二模] 已知椭圆 C: 2 + 2 = a b
? F(1,0),且点?-1, ? ?

1(a>b>0)的右焦点为

2? ? 在椭圆 C 上. 2? ?

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点
?5 ? Q? ,0?,动直线 ?4 ?

l 过点 F,且直线 l 与椭圆

→ → C 交于 A,B 两点,证明:QA?QB为定值.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

解:(1)由题意知 c=1.
点 面 讲 考 向

根据椭圆的定义得 2a=

(-1-1)

2

? +? ? ?

2 ?2 ? -0? + 2 ?

2 2 =2 2,即 a= 2. x2 2 所以 b2=2-1=1.所以椭圆 C 的标准方程为 2 +y =1. (2)当直线 l 的斜率为 0 时,A( 2,0),B(- 2,0).
? ? ? ? → ?QB=? 2-5,0???- 2-5,0?=- 7 . → 则QA 4 ? ? 4 ? 16 ?

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

当直线 l 的斜率不为 0 时, 设直线 l 的方程为: x=ty+1, A(x1,y1),B(x2,y2).
点 面 讲 考 向

?x ? +y2=1, 由? 2 可得(t2+2)y2+2ty-1=0. ?x=ty+1 ? ? ?y1+y2=- 2 2t , t +2 ? 显然 Δ>0,且? ?y y =- 1 . ? 1 2 t2+2 ? 因为 x1=ty1+1,x2=ty2+1, ? ? ? ? 5 5 所以?x1-4,y1???x2-4,y2? ? ? ? ? ? 1?? 1? =?ty1-4??ty2-4?+y1y2 ? ?? ?
2

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圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

1 1 =(t +1)y1y2-4t(y1+y2)+16 1 1 2t 1 2 =-(t +1) 2 +4t? 2 +16 t +2 t +2
2

-2t2-2+t2 1 7 = + =- . 2 16 2(t +2) 16 → ?QB=- 7 . 即QA → 16 → → 综上,QA?QB为定值.

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圆锥曲线的热点问题

?

探究点三
例3

范围问题

点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 太原一模] 已知椭圆 E:2+ 2=1(a>b>0), a b

2 其焦点为 F1,F2,离心率为 2 ,直线 l:x+2y-2=0 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B. (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段 AB 上存在点 P,且满足|PF1 |+|PF2|=2a,求 a 的取值范围.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件: 已知椭圆的一个顶点和离心率;

目标:求椭圆方程;方法:待定系数法. (2)条件:线段 AB 上存在点 P,满足|PF1|+|PF2 |=2a; 目标:求 a 的范围;方法:等价转化思想知线段 AB 与椭圆 有交点,利用函数与方程思想来解.

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圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

2 解:(1)由椭圆的离心率为 2 ,故 a= 2c, 由 A(2,0),得 a=2,所以 c= 2,b= 2, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 2 x2 2y2 (2)由 e= ,设椭圆方程为 2+ 2 =1, 2 a a
2 2 ?x 2y ? 2+ 2 =1, a 联立?a 得 6y2-8y+4-a2=0, ?x+2y-2=0 ?

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圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1 |+|PF2|=2a, 则线段 AB 与椭圆 E 有公共点, 等价于方程 6y2-8y+4-a2=0 在 y∈[0, 1]上有解. 设 f(y)=6y2-8y+4-a2, ? 2 4 ?Δ≥0, ?a ≥ , ? 3 结合图象需? 即? ?f(0)≥0, ? ? 4-a2≥0, ? 4 ∴3≤a2≤4, 2 3 故 a 的取值范围是 3 ≤a≤2.

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圆锥曲线的热点问题

点评
点 面 讲 考 向

参数范围的思路是建立求解目标关于某个变量的

函数,通过求函数值域求解其范围.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

归纳总结
点 面 讲 考 向

解析几何中求参数范围问题的思路是建立求

解目标关于某个变量的函数,通过求函数值域求解其范围.解 题过程要注意变量自身的范围, 如直线和圆锥曲线有交点的情 况下,就应该有 Δ≥0 等.

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圆锥曲线的热点问题

变式题
点 面 讲 考 向

y2 x2 [2012· 洛阳三模] 已知双曲线 2- 2=1(a, a b

5 b>0)的离心率 e= 2 ,焦点(0,c)到一条渐近线的距离为 1. (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近 → → 线上,且分别位于第一、第二象限,若AP =λPB ,其中
?1 ? λ∈?2,3?,求△AOB ? ?

面积的取值范围.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

解:(1)依题意,焦点(0,c)到渐近线 ax-by=0 的距离 bc 为 1,即 2 2=b=1, a +b c 5 又 e= = ,∴a=2,b=1,c= 5, a 2 y2 2 故双曲线的方程为 -x =1. 4 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x, 设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0,n>0. → → 由AP=λPB得点 P
?m-λn 2m+2λn? ? 的坐标为? , ? ?, 1+λ ? ? 1+λ

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圆锥曲线的热点问题

(1+λ)2 y2 2 将点 P 的坐标代入 -x =1 整理得 mn= , 4 4λ
点 面 讲 考 向

1 4 设∠AOB=2θ,则 tanθ = ,从而 sin2θ = , 2 5 又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1? 1 1? 所以 S△AOB= |OA|?|OB|sin2θ =2mn= ?λ + ?+1, 2 2? λ? ?1 ? 1? 1? 易知 f(λ)= ?λ + ?+1 在? ,1?上单调递减,在[1,3] 2? λ? ?2 ? ?1? 9 8 上单调递增,且 f(3)=3,f(1)=2,f?2?=4, ? ? ? 8? 所以△AOB 面积的取值范围是?2,3?. ? ?
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圆锥曲线的热点问题

?

探究点四
例4

最值问题

[2012· 浙江卷] 如图 8-49-1, 在直角坐标系 xOy 5 C:y =2px(p>0)的准线的距离为4.
2

点 面 讲 考 向

中,点

? 1? P?1,2?到抛物线 ? ?

点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)已知:点 M 在抛物线上、点 P 到抛物

线准线的距离;目标:求 p,t;方法:根据已知列方程组, 解方程组即得. (2)已知:线段 AB 被直线 OM 平分、点 P 坐标、抛物 线方程;目标:△ABP 面积的最大值;方法:利用点 Q 为 AB 的中点, 以点 Q 的坐标为参数建立△ABP 面积的函数关 系式,通过函数的最值求解.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

1 ?2pt=1, ? ? ?p= , 2 解:(1)由题意知? p 5 得? ?1+2=4, ?t=1. ? ? (2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=x,M(1,1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m), 直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
?y2=x , ? 1 1 ? 2 由 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ?y2=x2, ?

故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 方程为 y-m= (x-m), 2m 即 x-2my+2m2-m=0.
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

?x-2my+2m2-m=0, ? 由? 2 消去 ?y =x ?

x,整理得

点 面 讲 考 向

y2-2my+2m2-m=0, 所以 y1+y2=2m,y1?y2=2m2-m. 1 从而|AB|= 1+ 2?|y1-y2| k = 1+4m2? 4m-4m2. |1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 2 . 1+4m 设△ABP 的面积为 S,则 1 S=2|AB|?d=|1-2(m-m2)|? m-m2.
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圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 2 令 u= m-m ,0<u≤ ,则 2 S=u(1-2u2), 1 2 设 S(u)=u(1-2u ),0<u≤ ,则 S′(u)=1-6u2. 2 6 ? 1? 由 S′(u)=0 得 u= ∈?0, ?, 6 ? 2? 所以
? S(u)max=S? ? ?

6 6? ? = . 6? 9 ?

6 故△ABP 面积的最大值为 9 .

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

归纳总结 解决参数范围、最值问题时,在建立目标函数 或不等关系时要选用一个合适的变量, 其原则是这个变量能够
点 面 讲 考 向

表达要解决的问题, 这个变量可以是直线的斜率、 直线的截距、 点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

变式题
点 面 讲 考 向

x2 y2 [2012· 西城二模] 已知椭圆 C: 2 + 2 = a b

?3 1? 6 1(a>b>0)的离心率为 3 ,且经过点?2,2?. ? ?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求 △AOB(O 为原点)面积的最大值.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

a2-b2 b2 2 b 1 2 解:(1)由 e = 2 =1- 2=3,得 = . ① a a a 3 ?3 1? 9 1 ? , ?,得 2+ 2=1. ② 由椭圆 C 经过点 2 2 4a 4b ? ? 联立①②,解得 b=1,a= 3. x2 2 所以椭圆 C 的方程是 3 +y =1. (2)易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2. 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 y 得(1+3k2)x2+12kx+9=0. 令 Δ=144k2-36(1+3k2)>0,得 k2>1.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

12k 9 设 A(x1,1), 2,2), x1+x2=- y B(x y 则 x 2,1x2= 2. 1+3k 1+3k 1 所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|= ?2?|x1-x2|=|x1-x2|. 2
? 12k ?2 36 ? ? - 因为(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2=? - = 1+3k2? 1+3k2 ? ?
2 2

36(k2-1) , (1+3k2)2

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

点 面 讲 考 向

设 k2-1=t(t>0), 36t 2 则(x1 -x2) = 2= (3t+4) 3 =4.

36 ≤ 16 9t+ +24 2 t

36 16 9t? +24 t

16 4 当且仅当 9t= , t= 时等号成立, 即 此时△AOB 面积 3 t 3 取得最大值 2 .

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

答题模板13

直线与圆锥曲线的综合问题的规范解答

x2 y2 例 [2012· 唐山一中三模] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 5 的离心率为 ,定点 M(2,0),椭圆短轴的端点是 B1,B2,且 3
多 元 提 能 力

MB1⊥MB2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A, 两点. B 试 问 x 轴上是否存在定点 P,使 PM 平分∠APB?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题
2 2 5 2 a -b b2 b 2 解:(1)由9=e = 2 =1- 2,得 =3.2 分 a a a

依题意△MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b=2,故 a =3.3 分 x2 y2 所以椭圆 C 的方程是 + =1.4 分 9 4
多 元 提 能 力

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=my +2.5 分 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x 得(4m2 +9)y2+16my-20=0, -16m -20 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .7 分 4m +9 4m +9
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

若 PM 平分∠APB,则直线 PA,PB 的倾斜角互补, y1 y2 所以 kPA+kPB=0.设 P(a,0),则有 + =0.9 分 x1-a x2-a 将 x1 = my1 + 2 , x2 = my2 + 2 代 入 上 式 , 整 理 得 2my1y2+(2-a)(y1+y2) =0, (my1+2-a)(my2+2-a) 所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.10 分 -16m -20 将 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 代入上式,整理得(- 4m +9 4m +9 2a+9)· m=0.

多 元 提 能 力

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

9 由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a=2. ?9 ? 综上,存在定点 P? ,0?,使 PM 平分∠APB.12 分 ?2 ?

多 元 提 能 力

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

方法解读 结;

直线与圆锥曲线综合问题包括:

(1)直线与圆锥曲线位置关系.这个内容前面已有总 (2)直线与圆锥曲线综合问题中要重视韦达定理和判 别式的作用.如利用韦达定理进行设而不求计算弦长;涉
多 元 提 能 力

及弦的中点问题,常用点差法.另外,要充分挖掘题目中 的隐含条件,寻找量与量之间的关系,主要规律是“联立 方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定 义不能忘”.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

自我检评

x2 y2 [2012· 昌平二模] 已知椭圆 C: 2+ 2= a b

2 2 1(a>b>0)过点 B(0,1),离心率为 . 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 P(0,2)的直线 l,与椭圆交于 M,N
多 元 提 能 力

→ =1PN成立?若存在,求出直线 l → 两个不同的点,且使PM 2 的方程;若不存在,请说明理由.

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第49讲

圆锥曲线的热点问题
? b? 2 1-? ? = ? a?

c 解:(1)由题意可知 b=1, = a 2 2 ,解得 a2=9. 3

1 1- 2= a

多 元 提 能 力

x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 9 → =1PN,∴点 M 为 PN 的中点, → (2)∵PM 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x2=2x1, ① (i)当直线的斜率 k 不存在时,M(0,1),N(0,-1),P(0, 2),易知不符合条件,此时直线方程不存在. (ii)当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y=kx +2.
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

多 元 提 能 力

?y=kx+2, ? 2 由?x 消去 y 得(9k2+1)x2+36kx+27=0. +y2=1, ?9 ? 2 2 2 1 得 Δ=(36k) -4· +1)· (9k 27>0,解得 k >3. (*) 36k 27 x1+x2=- 2 ②,x1x2= 2 ③, 9k +1 9k +1 3 15 2 由①②③消去 x1,x2,可得 k =5,故 k=± 5 . 15 综上可知:存在这样直线 l 的方程为:y=± 5 x+2.

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圆锥曲线的热点问题

备选理由

下面的例题是一道典型的定点问题的试题, 从

这个题目可以看出解决定点问题的基本思路.

教 师 备 用 题
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

例 [2012· 福建卷] 如图所示,等边三角形 OAB 的 边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0) 上.

教 师 备 用 题

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P, 与直线 y=- 1 相交于点 Q, 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

解:方法一:(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin30°=4 3,y=|OB|cos30°= 12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p?12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 1 2 1 (2)由(1)知 y= x ,y′= x. 4 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方程为 1 1 1 2 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-4x0.
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教 师 备 用 题

第49讲

圆锥曲线的热点问题

? x2-4 1 2 ? 1 ?y= x0x- x0, ?x= 0 , 4 2x0 由? 2 得? ? y=-1, ?y=-1. ? ? 所以
?x 2-4 ? ? 0 ? Q? ,-1 ?. ? 2x0 ?

假设以 PQ 为直径的圆恒过定点 M,由图形的对称性知 → ?MQ=0 对满足 y0=1x2 M 必在 y 轴上,设 M(0,y1),令MP → 4 0 (x0≠0)的 x0,y0 恒成立.
教 师 备 用 题
?x 2-4 ? ? 0 ? → → 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=? ,-1-y1?. ? 2x0 ?

x2-4 0 → → 由MP?MQ=0,得 2 -y0-y0y1+y1+y2=0. 1
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

即(y2+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 1 1 2 由于(*)式对满足 y0 = 4 x 0 (x0 ≠0)的 y0 恒成立,所以
?1-y =0, ? 1 ? 2 解得 y1=1. ?y1+y1-2=0, ?

教 师 备 用 题

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 方法二: (1)同方法一. 1 2 1 (2)由(1)知 y=4x ,y′=2x, 设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方程为 1 1 1 2 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-4x0.
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第49讲

圆锥曲线的热点问题

? x2-4 1 2 ? 1 ?y= x0x- x0, ?x= 0 , 4 2x0 由? 2 得? ? y=-1, ?y=-1, ? ? 所以
?x 2-4 ? ? 0 ? Q? ,-1 ?. ? 2x0 ?

教 师 备 用 题

取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的 圆为(x-1)2+y2=2,交 y 轴于点 M1(0,1)或 M2(0,-1); ? ? 3 ? 1? 取 x0=1,此时 P?1,4?,Q?-2,-1?,以 PQ 为直径的圆为 ? ? ? ? ? ? 1?2 ? 3?2 125 7? ?x+ ? +?y+ ? = ,交 y 轴于 M3(0,1)或 M4?0,- ?. 4? 8? 64 4? ? ? ?

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第49讲

圆锥曲线的热点问题

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.
?x 2-4 ? ? 0 ? → → 因为MP=(x0,y0-1),MQ=? ,-2?, ? 2x0 ?

x2-4 → ?MQ= 0 MP → 2 -2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

教 师 备 用 题
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