平面向量数量积的坐标运算


二、新课讲授
问题展示: 已知 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b
的坐标表示 a ? b 呢?请同学们看下 列问题. ? 设x轴上单位向量为 i ,Y轴上单位向量为 请计算下列式子: ? ? ① i ?i = 1

? j

? ? ③ i?j = 0

? ? ② j? j = 1 ? ? ④ j ?i = 0

? ?的坐标公式? 那么如何推导出 a ? b ?

? ? ? ? ? ? 已知: ? x1i ? y1 j , b ? x2i ? y2 j , a

? ? ? ? ? 解: a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1x2i ? x1 y2i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j

? x1 x2 ? y1 y2

这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到:两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。

探讨合作1: 已知a ? (x, y),如何将

a

用其坐标表示?

结论1:

? a ?

x2 ? y2 .

探讨合作2: 若设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 如何将 AB 用A、 B的坐标表示?

结论2:

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,

这就是A、B两点间的距离公式.

探讨合作3:非零向量 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 它们的 夹角 ? ,如何用坐标表示cos ? .若 a ? b 你又能 得到什么结论?

结论3: (1) cos ?

?

x1 x 2 ? y1 y2 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2
2

2

(2)a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
: (2)a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 与 a // b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0

的区别。

例1.设a = (3, ?1),b = (1, ?2),求a?b,|a|,|b|, 和a, b的夹角 ?

解: a?b = (3, ?1) (1, ?2)=3+2=5.
|a|= |b|=

a ? a ? 3 ? (?1) ? 10
2 2

b ? b ? 1 ? (?2) ? 5 a ?b 5 2 cos ? = ? ? | a |?| b | 2 10 5
2 2

所以 ? =45°

例2:已知A(1, 2),B(2,3),C(-2,5),求证 △ABC是直角三角形. 证明:AB ? (2 ? 1,3 ? 2) ? (1,1)
BC ? (?2 ? 2,5 ? 3) ? (?4,2)
AC ? (?2 ? 1,5 ? 2) ? (?3,3) ? AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

想一想:还 有其他证明 方法吗?

所以△ABC是直角三角形

例3. 已知a=(1, 0),b=(2, 1),当k为何实数时,
向量ka-b与a+3b (1)平行;(2)垂直。 解:ka-b=(k-2, -1), a+3b=(7, 3), (1)由向量平行条件得3(k-2)+7=0, 1 所以k= ? 3 (2)由向量垂直条件得7(k-2) -3=0,
17 所以k= 7

四、小结
1、数量积的坐标表示 ? ? 设两个非零向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
??

2、垂直的条件
??

设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
??

??

?? ??

作业:三维设计以及小页


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