新课标数学必修4第2章平面向量单元测试题(含答案)


新课标数学必修 4 第 2 章平面向量单元测试题(1)

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、化简 AC - BD + CD — AB 得………………………………………………( A. AB B. DA C. BC D. 0 2、下列命题正确的是………………………………………………………………( A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a 0 ) )

b0 ? 1


3、下列命题中错误的是………………………………………………………………(

A.对于任意向量 a , b ,有| a + b |≤| a |+| b | B.若 a b =0,则 a = 0 或 b = 0 C . 对 于 任 意 向 量 a , b , 有 | a b | ≤ | a || b | | a || b | 4、按向量 a 将点 (2,?3) 平移到点 (1,?2) ,则按向量 a 将点 (?2,3) 平移到……( A. (?3,4) C. (4,?3)
2
? ?

D.若 a , b 共线,则 a b = ±



B. (?1,2) D. (2,?1)
2

5、把 y ? x ? 4 x ? 5 的图像按向量 a 经过一次平移后得到 y ? x 的图像,则 a 为( A. ( 2 ,1) B. (?2 ,1) C. (?2 ,?1) D. (2, ? 1 ) )

)

6、已知 P 1P 2 的延长线上,且 | PP 1 (?4 ,7), P 2 (?1,0), 且点 P 在线段 P 1 |? 2 | PP 2 | ,则点 P 的坐标………………………………………………………………………………( A. (?2, 11) B. (

4 ,1) 3

C. (

2 , 3) 3

D. (2 ,?7)

7 、 已 知 △ ABC 中 , A=45 ° , a=2 , b= ( ) A.30°

2 ,那么∠B 为………………………………
D.60°或 120° )

B.60°

C.30°或 150°

8、在△ABC 中, c ? a2 ? b2 ? ab ,则∠C 为……………………………………( A.

? 4

B.

? 3

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3


9、若三点 A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有……………………………………( A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0 C.2a-b=3 D.a-2b=0

10 、 | a |? 1,| b |? 2 , 且 (a ? b) a? 0, 则 a 、 b 的 夹 角 为 … … … … … … … … … …



) A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

11 、 △ ABC 中 ,| AB |=5,| AC |=8, AB ? AC =20, 则 | BC | 为 … … … … … … … … ( A. 6 ) B. 7 C. 8 D. 9

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? , 12、设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? ,
则向 量 P 1P 2 长度的最 大值是…… …………… …………… …………… ………… … ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分. 13、已知| a |=3,| b |=2, a 与 b 的夹角为 60 ,则| a - b |= 14、已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a b ? 15 、已知向量 a = ( 1 , 2 ), b = (- 2 , 3 ), c = ( 4 , 1 ),用 a 和 b 表示 c ,则
? ? ? ? ? ? ?
0

c =__________
0

16、在△ABC 中,若 B=30 ,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积 S 是



三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分. 17、(8 分)已知 ABCD 的顶点 A(0,-9),B(2,6), C(4,5),求第四个顶点 D 的坐标.

18、(14 分)如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 DE、BF 交 点。若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .

D

F G E B

C

A

19、(14 分)已知 a =(1,2), b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,(1)k a + b 与 a -3 b 垂直? (2)k a + b 与 a -3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

20、(14 分)求与向量 a =(1,2), b =(2,1)夹角相等的单位向量 c 的坐标.

21、(12 分)△ABC 中,若 sinB=2sinAcosC,且最小角的余弦为 (1)判断△ABC 的形状 (2)求△ABC 最大角

3 , 4

22、(12 分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向 200km 的海面 P 处,并正以 20km/h 的速度向北偏西 ? 方向移动(其中 cos ? ?

19 ),台风当 20

前影响半径为 10km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风 影响?影响时间多长?

高一数学必修 4《向量》答案
班级: 姓名: 座号:

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、化简 AC - BD + CD — AB 得………………………………………………( D A. AB B. DA C. BC D. 0 2、下列命题正确的是………………………………………………………………( C A.单位向量都相等 B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a 0 ) )

b0 ? 1


3、下列命题中错误的是………………………………………………………………( B

A.对于任意向量 a , b ,有| a + b |≤| a |+| b | B.若 a b =0,则 a = 0 或 b = 0 C . 对 于 任 意 向 量 a , b , 有 | a b | ≤ | a || b | | a || b | 4、按向量 a 将点 (2,?3) 平移到点 (1,?2) ,则按向量 a 将点 (?2,3) 平移到……( A. (?3,4) C. (4,?3)
2
? ?

D.若 a , b 共线,则 a b = ±

A



B. (?1,2) D. (2,?1)
2

5、把 y ? x ? 4 x ? 5 的图像按向量 a 经过一次平移后得到 y ? x 的图像,则 a 为 ( D A. ( 2 ,1) B. (?2 ,1) C. (?2 ,?1) D. (2, ? 1 )

)

6、已知 P 1P 2 的延长线上,且 | PP 1 (?4 ,7), P 2 (?1,0), 且点 P 在线段 P 1 |? 2 | PP 2 | ,则点 P 的坐标……………………………………………………………………………… ( D ) A. (?2, 11) B. (

4 ,1) 3

C. (

2 , 3) 3

D. (2 ,?7)

7 、 已 知 △ ABC 中 , A=45 ° , a=2 , b= ( A ) A.30°

2 ,那么∠B 为………………………………
D.60°或 120° C )

B.60°

C.30°或 150°

8、在△ABC 中, c ? a2 ? b2 ? ab ,则∠C 为……………………………………(

A.

? 4

B.

? 3

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

9 、 若 三 点 A(2,3) , B(3,a) , C(4,b) 共 线 , 则 有 … … … … … … … … … … … … … … ( C ) A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0 C.2a-b=3 D.a-2b=0 10 、 | a |? 1,| b |? 2 , 且 (a ? b) a? 0, 则 a 、 b 的 夹 角 为 … … … … … … … … … … ( C ) A.60° B.90° C.120° D.150°

11 、 △ ABC 中 ,| AB |=5,| AC |=8, AB ? AC =20, 则 | BC | 为 … … … … … … … … ( B ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? , 12.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ? ,
则向 量 P 1P 2 长度的最 大值是…… …………… …………… …………… ………… … ( C ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分. 13、已知| a |=3,| b |=2, a 与 b 的夹角为 60 ,则| a - b |= 14、已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a b ? 28 15 、已知向量 a = ( 1 , 2 ), b = (- 2 , 3 ), c = ( 4 , 1 ),用 a 和 b 表示 c ,则
? ? ? ? ? ? ?
0

7

c = 2a ? b
0

16、在△ABC 中,若 B=30 ,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积 S 是 4 3 ; 三、解答题:本大题共 6 小题;共 74 分. 17、(8 分)已知 ABCD 的顶点 A(0,-9),B(2,6), C(4,5),求第四个顶点 D 的坐标. 解法一:设 D 坐标为(x,y),对角线 AC 与 BD 的交点为 O ∵点 O 为 A、C 中点,易得 O(

0 ? 4 ?9 ? 5 , ),即 O(2,-2) 2 2

D A

O B

C

?2 ? x ?2 ? ?x ? 2 ? 2 又∵点 O 为 B、D 中点,则 ? ,解得 ? , ? y ? ?10 ? 6 ? y ? ?2 ? ? 2
故 D 坐标为(2,-10) 解法二:设 D 坐标为(x,y),依题意得, AB ? DC

而 AB ? (2,15) , DC ? (4 ? x,5 ? y) , 则 ?

?4 ? x ? 2 , ?5 ? y ? 15

解得解得 ?

?x ? 2 ,故 D 坐标为(2,-10) ? y ? ?10

18、(14 分)如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 DE、CF 交 点。若 AC = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表示 DE 、 CF 、 BG . 解: DE ? DB ? BE ? AC ? (? D 1 1 AD) ? a ? b 2 2 1 1 A CF ? CB ? BF ? AD ? (? AC ) ? b ? a 2 2 2 2 1 1 1 BG ? BC ? CG ? ? AD ? CF ? ?b ? (b ? a ) ? ? a ? b 3 3 2 3 3 F G C E B

19.(14 分)已知 a =(1,2), b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,(1)k a + b 与 a -3 b 垂直? (2)k a + b 与 a -3 b 平行?平行时它们是同向还是反向? 解:k a + b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)

a -3 b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) (1)若 k a + b 与 a -3 b 垂直,则(k a + b ) ( a -3 b )=0
即 10(k-3)+(-4)(2k+2)=0,解得 k=19 (2)解法一:若 k a + b 与 a -3 b 平行,则(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解得 k= ? 此时 k a + b =(-

1 3

10 4 , ), a -3 b =(10,-4),故它们反向。 3 3 解法二:若 k a + b 与 a -3 b 平行,设 k a + b = ? ( a -3 b )= ? a -3 ? b , ?k ? ? 1 ∴? ,解得 k ? ? ? 0 ,它们反向 3 ?1 ? ?3?
20、(14 分)求与向量 a =(1,2), b =(2,1)夹角相等的单位向量 c 的坐标. 解:设 c ? ( x, y) , c 与 a 的夹角为 ? , c 与 b 的夹角为 ? , 依题意得

?cos ? ? cos ? bc 2x ? y ac x ? 2y , cos ? ? , cos ? ? ? ? ? 2 2 | b || c | | a || c | 5 5 ?x ? y ? 1

? ?x ? ? 2 2 解得 x=y,代入 x +y =1,解得 ? ?y ? ? ?

2 ? ?x ? - 2 或? ? 2 ? y ?- ? 2 ?

2 2 2 2

∴c ? (

2 2 2 2 , )或c ? (? ,? ) 2 2 2 2
3 , 4

21、(12 分)△ABC 中,若 sinB=2sinAcosC,且最小角的余弦为 (1)判断△ABC 的形状 (2)求△ABC 最大角

解:(1)由正弦定理和余弦定理可知, 化简可得 b ? a ? b ? c
2 2 2 2

b 2a a 2 ? b 2 ? c 2 ? (其中 R 为外接圆半径) 2R 2R 2ab
2 2

即a ? c ,

故△ABC 为等腰三角形,其中∠A=∠C (2)当最小角为∠B 时,∠A=∠C 为最大角,此时 cos B ?

3 4
A

B

且 cos B ? ? cos( A ? C) ? ? cos 2 A ? ?(2cos2 A ?1) ? 1 ? 2cos2 A

2 2 2 ∴ cos A ? ? ,又∠A 为锐角,故 cos A ? , A ? arccos 4 4 4 3 当最小角为∠A 时,∠B 为最大角,此时 cos A ? A 4 2 2 且 cos B ? ? cos( A ? C) ? ? cos 2 A ? ?(2cos A ?1) ? 1 ? 2cos A 1 1 ∴ cos B ? ? ,可见∠B 为钝角, B ? ? ? arccos 8 8

C

B C

22、(12 分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向 200km 的海面 P 处,并正以 20km/h 的速度向北偏西 ? 方向移动(其中 cos ? ?

19 ),台风当 20

前影响半径为 10km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风 影响?影响时间多长? 解:如右图,设该市为 A,经过 t 小时后台风开始影响该城市,则 t 小时后台风经过的路 程 PC=(20t)km,台风半径为 CD=(10+10t)km,需满足条件:CD≥AC D 北 根据余弦定理可知,

AC 2 ? AP2 ? PC 2 ? 2 AP PC cos?
19 ? 200 ? (20t ) ? 2 200 20t ? 40000 ? 400t 2 ? 7600 20
2 2

10+10t C 20t θ P

A

200 E 10

∴ 40000 ? 400t ? 7600t ? CD ? (10 ? 10t )
2 2

2

整理得 300t ? 7800t ? 39900 ? 0
2

即 t ? 26t ? 133 ? 0
2

解得 7 ? t ? 19

∴7 小时后台风开始影响该市,持续时间达 12 小时。

新课标数学必修 4 第 2 章平面向量单元测试题(2)

一、选择题:
1、下列各式中,正确的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? (A) | a ? b |?| a | ? | b | (B) (a ? b ) 2 ? a 2 ? b 2
? ? ? ? ? ? ? (C)若 a? ( b ? c ),则 a ? b = a ? c ? ? ? ? ? ? (D) a ? b = a ? c ,则 b = c

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、已知| a |=| b |=1, a 与 b 的夹角为 90°,且 c =2 a +3 b , d =k a -4 b , c ? d ,则 k 的值为( ) (A)-6 (B)6 (C)3 (D)-3 ? ? ? ? ? ? 3、已知 a =(1,2), b =(x,1),且 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x=( ) 1 1 (A)1 (B)2 (C) (D) 2 3

4、设 b 是 a 的相反向量,则下列说法中错误的是 (A) a 和 b 的长度一定相等 (C) a 和 b 的长度一定不相等 (B) a 和 b 是平行向量 (D) a 是 b 的相反向量





5、已知 a ? (?4,3), b ? (5,6) ,则 3 a ? 4a ? b 的值是 ( ) (A)63 (B)83 (C)23 (D)57

6、 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下面的四个向量中,不能作为一组 基 底的是 (A) e1 + e2 和 e1 - e2 (C) e1 + 2 e2 和 e2 +2 e1 ( )

(B)3 e1 -2 e2 和 4 e2 -6 e1 (D) e2 和 e2 + e1

7、已知平面内三个点 A(0,3),B(3,3),C(x,-1),且 AB ? BC 的值

,则 x

为( ) (A)5 (B)3 (C)-1 (D)-5 8、已知 P1(2,-1),P2(0,5),且点 P 在线段 P1P2 的延长线上,使|P1P|=2|PP2|,则 P 点的坐标是( ) (A)(-2,11)
4 2 ,1) (C)( ,3) (D)(2,-7) 3 3 ? 9*、将函数 y=log2(2x)的图象 F 按 a =(2,-1)平移到 F? ,则 F? 的解析式为(

(B)(



(A)y=log2[2(x-2)]-1 (C)y=log2[2(x+2)]+1

(B)y=log2[2(x+2)]-1 (C)y=log2[2(x-2)]+1

二、填空题:

10、已知 a ? (?1,2), b ? (?1,4) ,则 a ? b 在 a ? b 上的投影等于_____________。
? ? ? ? ? ? ? ? 11、若| a |=3,| b |=4,且( a + b )?( a +3 b )=33,则 a 与 b 的夹角为



12、已知| a |=2, b =(-2 3 ,2),若 a ∥ b ,则 a =_____________。 13、若 a =(2,3), b =(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为____________。 14、给出以下命题 ① 点 C 在 线 段 AB 上 , 且 |AC|=
2 |AB| , 则 A C ? 2 B C ② 在 △ ABC 中 , 有 3

AB ? BC ? CA ? 0

? ? ? ? ? ? ③数量积不满足结合律,即 (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

? ? ? ? ④若 a ? b ? 0 ,则 a 、 b 中至少有一个为 0

? ? ? ? ⑤若| a |>| b |,则 a > b ⑥一个人向西行走 100m,然后改变方向向南行走 100m,则此人两次位移的和为向西南

行走 100 2 m。 其中正确的命题序号为 (要求:把你认为正确的命题序号都填上)。

三、解答题
15 、 平 面 内 有 三 个 已 知 点 A ( 1 , - 2 ) , B ( 7 , 0 ) , C ( - 5 , 6 ) , 求

AB, AC, AB ? AC , AB ? AC 。

16、已知两点 A(-2,4),B(6,0)在直线 AB 上求点 C,使 AC ?

1 AB 。 2

17、如图,平行四边形 ABCD 中,BE= BF=

1 BA, 4

A E B F C

D

1 BD,求证:E,F,C 三点共线。 5

(利用向量证明)

答案
1、C 2、B 3、D 4、C 5、B 6、B 7、D 8、B 9、A 10、-6 11、120° 12、

?

3, ?1 或 ? 3,1

? ?

?

13、 65

5

14、②③⑥

15、 AB =(6,2) AC =(-6,8) AB ? AC =(0,10) 16 、 C1 ( 2 , 2 ) , C2 ( -6 , 6 )

AB ? AC =(12,-6)
17 、 设 B A ?

a

B ? C ,b

CE ? BE ? BC ? 1 a ? b, CF ? BF ? BC ? 1 a ? 4 b 4 5 5

? CF ? 4 CE ,又 CF , CE 有公共点 C,所以 C、E、F 共线 5


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