2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-5 平面向量应用举例


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
平面向量

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平面向量

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第二章
2.5 平面向量应用举例

第二章

平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

2.5

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课前自主预习

第二章

2.5

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温故知新 1.若a=(1,2),b=(x,1),且a+2b与2a-b平行,则x等于 ( ) A.2 B.1 1 C.2 1 D.3

[答案] C

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2.5

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→ → 2.有四个式子:(1)0a=0;(2)0· a=0;(3)0- AB = BA ; (4)|a· b|=|a||b|,其中正确的个数为( A.4 C.2 B.3 D.1 )

[答案] B

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2.5

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3.已知a=(5,10),b=(-3,-4),c=(2,3),且c=la+ kb,则l=________,k=________.

1 1 [答案] 10 -2

第二章

2.5

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新课引入 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个 旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂 的夹角越小越省力.把上面的问题抽象为数学模型,可以从 理论上解释其原因.本节课我们来研究向量在几何与物理中 的应用.

第二章

2.5

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自主预习 阅读教材P109-112回答下列问题. 1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面: (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法 则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的意义.

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(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否 平行,常运用向量平行(共线)的条件:
a∥b?a=λb(或x1y2-x2y1=0) .

(3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方 形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:
a⊥b?a· b=0(或x1x2+y1y2=0) .

(4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式
a· b cosθ=|a||b|

.

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(5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、 正方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表 示,通过代数运算解决几何问题.

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(4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题. (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问 题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面 直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题.

第二章

2.5

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如图所示,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2, 对角线BD=2.求对角线AC的长.

[分析]

求线段长度的问题可以转化为求向量的模,写出

→2 →2 |AC| 后会发现未知量可由|BD| 计算出.

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[解析]

→ → 设AD=a,AB=b,

→ → 则BD=a-b,AC=a+b. → 2 而| BD | =a2-2a· 2=|a|2-2a· b+b b+|b|2=5-2a· b=4,所 以2a· b=1. → 又|AC|2=|a+b|2=a2+2a· 22=|a|2+2a· b+b b+|b|2=5+2a· b =6, → 所以|AC|= 6,即AC= 6.

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2.向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类: (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学 习的自由向量不同,但力是具有大小和方向的量,在不计作 用点的情况下, 可用向量求和的平行四边形法则,求两个力

的合力



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(2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量,因而 可用求向量和

的平行四边形法则,求两个速度的合速度



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2.5

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如图,已知甲、乙两人同时从O出发,甲行走10 km到达B 处,乙出发的方向与甲的方向的夹角为60° ,乙走了14 到A处,求此时甲、乙两人之间的距离. km后

第二章

2.5

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→ → →2 → → 2 →2 [解析] 设向量OA =a,OB =b,AB =(OB -OA ) =OB →2 → → +OA -2OA· , OB → → 又∵|OB|=10,|OA|=14, →2 ∴AB =196+100-2×10×14×cos60° =156, → ∴|AB|=2 39. ∴甲、乙两人此时之间的距离为2 39km.
[答案] 2 39km

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2.5

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课堂典例讲练

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思路方法技巧
命题方向1 向量在平面几何中的应用
求证:直径所对的圆周角为直角. [分析] → → 本题实质就是证明AB· =0. BC

第二章

2.5

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[证明]

→ → 设AO=a,OB=b,

→ → → 则AB=a+b,OC=a,BC=a-b, |a|=|b|.

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2.5

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→ → 因为AB· =(a+b)· BC (a-b)=|a|2-|b|2=0, → → 所以AB⊥BC.所以∠ABC=90° .

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如图所示,四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对 角线,试用向量证明:AC⊥BD.

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[解析]

→ → → → → → 解法一:∵AC=AB+AD,BD=AD-AB,

→ → → → → → → → ∴AC· =(AB+AD)· -AB)=|AD|2-|AB|2=0. BD (AD → → ∴AC⊥BD.∴AC⊥BD.

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解法二:如图,以BC所在直线为x轴,以B为原点建立平 面直角坐标系,则B(0,0).

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→ → 设A(a,b),C(c,0),则BA=(a,b),BC=(c,0). → → 由|BA|=|BC|,得a2+b2=c2. → → → → → ∵ AC = BC -BA =(c,0)-(a,b)=(c-a,-b), BD = BA → +BC=(a,b)+(c,0)=(c+a,b), → → ∴AC· =c2-a2-b2=0. BD → → ∴AC⊥BD,即AC⊥BD.

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2.5

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建模应用引路
命题方向2 向量在物理中的应用

一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶, 航船实际航行方向与水流方向成30° 角,求水流速度与船的实 际速度. [分析] 决. 先根据题意作出示意图,然后再用向量知识解

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2.5

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[解析]

→ → 如图, OA 表示水流速度, OB 表示船向垂直于对

→ → 岸行驶的速度, OC 表示船实际速度,∠AOC=30° OB |= ,| 5km/h.

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2.5

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∵四边形OACB为矩形, → → |AC| |OB| → |OA|= = =5 3(km/h), tan30° tan30° → |OA| → |OC|=cos30° =10(km/h), ∴水流速度为5 3km/h,船实际速度为10km/h.

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2.5

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用两条成120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示, 已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力大小是________.

[答案]

10N

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2.5

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[解析]

因为绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所

成的角都相等,且等于60° ,故每根绳子的拉力都是10N.故填 10N.

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2.5

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探索延拓创新
命题方向3 平面向量的综合应用

x 设(x +y )(a +b )=(ax+by) (ab≠0),求证: a
2 2 2 2 2

y =b. [分析] 化简已知条件,计算量较大,可根据向量的有关

运算性质,构造向量,化繁为简.

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2.5

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[证明]

若x=y=0,则结论显然成立.若x、y不全为0,

设p=(x,y),q=(a,b). ax+by 则由已知cos<p,q>= 2 2 2 2=± 1, x +y a +b ∴<p,q>=0或π. x y 即p∥q,∴bx-ay=0,即 = . a b

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2.5

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求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

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2.5

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[证明]

→ → 设OA=(a,b),OB=(c,d).

→ → 当OA、OB至少有一个为零向量时,所证不等式成立; → → 当OA、OB均不是零向量时,设其夹角为α,则有 → → ac+bd OA· OB cosα= = 2 2 2 2, → → a +b · c +d |OA|· | |OB
? ∵|cosα|≤1,∴? ? ? ? ac+bd ? 2 2 2 2?≤1, a +b · c +d ?

即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

第二章

2.5

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规律总结:待解决的代数、几何、三角、物理等问题, 只要其表达式能用向量运算来表示,就可以考虑使用向量方 法去试着解决. 本例中a2+b2,c2+d2与向量的模有联系,而ac+bd与向 量的数量积有联系,故可尝试能否设出向量来表示.

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2.5

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名师辨误作答
对向量相等的定义理解不清楚 已知在四边形ABCD中,对角线AC、BD相互平 分,且AC⊥BD,求证:四边形ABCD是菱形.

第二章

2.5

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[错解]

设对角线AC、BD交于点O,则有

→ → → → → → AO=OC,BO=OD,AO⊥OD, → → → ∴|AO|2+|OD|2=|AD|2, →2 → 2 →2 |OC| +|OD| =|CD| , → → → → ∴AD=CD,同理AB=BC. 故四边形ABCD是菱形.

第二章

2.5

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→ → → → [错因分析] 误认为|AD|=|CD|,就有AD=CD. [思路分析] 先证平行四边形,再证其邻边相等即获证.

第二章

2.5

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[正解] → =OD,

→ → → 设对角线AC、BD交于点O,则有 AO = OC , BO

→ → → → → → ∴AO+OD=OC+BO,∴AD=BC. 故四边形ABCD是平行四边形. → → → 又∵|AO|2+|OD|2=|AD|2, → → → |OC|2+|OD|2=|CD|2, → → ∴|AD|=|CD|.故四边形ABCD是菱形.

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2.5

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第二章

2.5


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