2015步步高理科数学9.5


§ 9.5





1.椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定 点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

-a≤x≤a-b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b-a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( × )

(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1, F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴长, c 为椭圆的半焦距). (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆. (4)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. x y 1 2.已知椭圆的焦点在 y 轴上,若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值是 2 m 2 2 A. 3 答案 D 解析 由题意知 a2=m,b2=2,∴c2=m-2. m-2 1 1 c2 1 8 ∵e= ,∴ 2= ,∴ = ,∴m= . 2 a 4 m 4 3 1 3.(2013· 广东)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0), 离心率等于 , 则 C 的方程是( 2 x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2 答案 D c 1 x2 y2 解析 由题意知 c=1,e= = ,所以 a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为 + =1. a 2 4 3 4.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是__________. 答案 (0,1) x2 y2 解析 将椭圆方程化为 + =1, 2 2 k 2 ∵焦点在 y 轴上,∴ >2,即 k<1,又 k>0,∴0<k<1. k x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1、F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 a b 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 答案 3-1 x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 ) 4 B. 3 5 C. 3 8 D. 3
2 2

( √ ( × ( √ ( )

) ) )

解析 设过左焦点 F1 的正三角形的边交椭圆于 A, 则|AF1|=c, |AF2|= 3c, 有 2a=(1+ 3)c, c 2 ∴e= = = 3-1. a 1+ 3

题型一 椭圆的定义及标准方程 例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的 ( )

垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0),则椭圆的方程为 ________. (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2), 则椭圆的方程为________. 思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义; (2)题要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况; (3)可以用待定系数法求解. x2 y2 x2 答案 (1)B (2) +y2=1 或 + =1 9 81 9 x2 y2 (3) + =1 9 3 解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|, 又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. x2 y2 (2)若焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 32 02 ∵椭圆过 P(3,0),∴ 2+ 2=1,即 a=3, a b x2 又 2a=3×2b,∴b=1,方程为 +y2=1. 9 y2 x2 若焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 02 32 ∵椭圆过点 P(3,0).∴ 2+ 2=1,即 b=3. a b y2 x2 又 2a=3×2b,∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9 x2 y2 x2 ∴所求椭圆的方程为 +y2=1 或 + =1. 9 81 9 (3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).

∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程.
? ?6m+n=1, 则? ?3m+2n=1, ?

① ② 1

?m=9, ①、②两式联立,解得? 1 ?n=3.
x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定 要注意常数 2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦 点所在位置,然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否 有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式. (1) 过点 ( 3 ,- 5) ,且与椭圆 ________. x2 y2 (2)已知 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60° , 100 36 则△PF1F2 的面积为________. y2 x2 答案 (1) + =1 20 4 (2)12 3 y2 x2 + = 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 25 9

y2 x2 解析 (1)方法一 椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4. 25 9 由椭圆的定义知,2a= ? 3-0?2+?- 5+4?2+ ? 3-0?2+?- 5-4?2,解得 a=2 5. 由 c2=a2-b2 可得 b2=4. 所以所求椭圆的标准方程为 y2 x2 + =1. 20 4

y2 x2 方法二 因为所求椭圆与椭圆 + =1 的焦点相同,所以其焦点在 y 轴上,且 c2=25-9 25 9 =16. y2 x2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 因为 c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16. ?- 5?2 ? 3?2 又点( 3,- 5)在所求椭圆上,所以 + 2 =1, a2 b 5 3 即 2+ 2=1. a b 由①②得 b2=4,a2=20, ② ①

所以所求椭圆的标准方程为

y2 x2 + =1. 20 4 ①

(2)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=20, 在△PF1F2 中,由余弦定理, 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos 60° =256. ①2-②得|PF1|· |PF2|=48. 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|sin 60° =12 3. 2 题型二 椭圆的几何性质 例2



(1)在 Rt△ABC 中, AB=AC=1, 如果一个椭圆通过 A, B 两点, 它的一个焦点为点 C,

另一个焦点在 AB 上,求这个椭圆的离心率. x2 y2 1 (2)如图,焦点在 x 轴上的椭圆 + 2=1 的离心率 e= ,F,A 分别是 4 b 2 → → 椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,求PF· PA的最大值和 最小值. 思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用,解题(1)的关键是根据题意求出 a,c

→→ 的值;解题(2)的关键是表示出PF· PA,根据椭圆的性质确定变量的取值范围. 解 (1)设椭圆的焦半径为 c,设另一个焦点为 F,如图所示, ∵AB=AC=1,△ABC 为直角三角形, 2+ 2 ∴1+1+ 2=4a,则 a= . 4

?x+1=2a, 设 FA=x,∴? ?1-x+ 2=2a,
∴x= 2 2 6 c ,∴1+( )2=4c2,∴c= ,e= = 6- 3. 2 2 4 a

(2)设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, c 1 ∵e= = ,∴c=1,∴b2=a2-c2=3. a 2 x2 y2 所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. → 又 F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0), → PA=(2-x0,-y0), 1 2 1 → → 2 2 ∴PF· PA=x0-x0-2+y2 0= x0-x0+1= (x0-2) . 4 4 → → 当 x0=2 时,PF· PA取得最小值 0,

→→ 当 x0=-2 时,PF· PA取得最大值 4. 思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法 ①直接求出 a,c 来求解 e.通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值. ②构造 a,c 的齐次式,解出 e.由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关 于离心率 e 的一元二次方程求解. ③通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在 求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. (1)已知点 F1, F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点, 点 P 是该椭圆上的一个动点, → → 那么|PF1+PF2|的最小值是 A.0 B.1 C.2
2

( D.2 2

)

x y2 (2)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交 a b 4 于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 5 答案 (1)C (2) 7 → 解析 (1)设 P(x0,y0),则PF1=(-1-x0,-y0), → → → PF2=(1-x0,-y0),∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0), → → 2 2 2 2 ∴|PF1+PF2|= 4x2 0+4y0=2 2-2y0+y0=2 -y0+2. ∵点 P 在椭圆上,∴0≤y2 0≤1, → → ∴当 y2 0=1 时,|PF1+PF2|取最小值 2.故选 C. 4 (2)如图,在△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,且 cos∠ABF= , 5 设|BF|=m, 由余弦定理,得 4 62=102+m2-20m·, 5 ∴m2-16m+64=0,∴m=8. 1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2 设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′, 由对称性,|BF′|=|AF|=6,∴2a=|BF|+|BF′|=14. c 5 ∴a=7,因此离心率 e= = . a 7

题型三 直线与椭圆的位置关系 例3 x2 y2 5 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= ,直线 l 交椭圆于 M, a b 5

N 两点. (1)若直线 l 的方程为 y=x-4,求弦 MN 的长. (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式. 思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方程 组转化成关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解. c 5 c2 1 解 (1)由已知得 b=4,且 = ,即 2= , a 5 a 5 a2-b2 1 ∴ 2 = ,解得 a2=20, a 5 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 20 16 则 4x2+5y2=80 与 y=x-4 联立, 40 消去 y 得 9x2-40x=0,∴x1=0,x2= , 9 ∴所求弦长|MN|= 1+12|x2-x1|= (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0), 设线段 MN 的中点为 Q(x0,y0), → → 由三角形重心的性质知BF=2FQ, 又 B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得 x0=3,y0=-2, 即得 Q 的坐标为(3,-2). 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=6,y1+y2=-4, x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 且 + =1, + =1, 20 16 20 16 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 以上两式相减得 + =0, 20 16 y1-y2 4 x1+x2 ∴kMN= =- · 5 y1+y2 x1-x2 4 6 6 =- × = , 5 -4 5 6 故直线 MN 的方程为 y+2= (x-3), 5 即 6x-5y-28=0. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆 40 2 . 9

方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的 问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k 为直线斜率). k

提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 a b 3 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解 (1)由已知得 c=2 2, = ,解得 a=2 3. a 3 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m, y=x+m, ? ? 2 2 由? x y ? ?12+ 4 =1. 消去 y 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB, m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1,解得 m=2. 3m -3+ 4 此时方程①为 4x2+12x=0,解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2.所以|AB|=3 2, 又点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-3-2+2| 3 2 d= = . 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2

高考中圆锥曲线的离心率问题 x2 y2 典例:(10 分)(1) 如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1, a b 上顶点为 B2,右顶点为 A2,过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于 点 P,若|PA2|=3b,则椭圆 C 的离心率为________. x2 y2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、 a b F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使 ________. 思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想,只需利用题目条件得到 a,b,c 的一个关系式即 可.若得到的关系式含 b,可利用 a2=b2+c2 转化为只含 a,c 的关系式. |B2O| |F1O| b 解析 (1)由题设知 = ? |PA2| |F1A2| 3b c 1 1 = = ,e= . 2 a+c 3 (2)依题意及正弦定理, |PF2| a 得 = (注意到 P 不与 F1F2 共线), |PF1| c |PF2| a 即 = , 2a-|PF2| c 2a c 2a c 2a ∴ -1= ,∴ = +1> , |PF2| a |PF2| a a+c 2 即 e+1> ,∴(e+1)2>2. 1+e 又 0<e<1,因此 2-1<e<1. 1 答案 (1) 2 (2)( 2-1,1) a c = ,则该椭圆的离心率的取值范围为 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质, 是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有 两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值 范围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后 要把其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问 题难点的根本方法.

方法与技巧 1.求椭圆的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考.“定形”就是指椭 圆的对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴 上.“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式, “定量”就是指利用定义和已知条 件确定方程中的系数 a,b 或 m,n. 2.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; a (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2=a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解. 失误与防范 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小. x2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在 a b 求与点 P 有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 4 1.已知椭圆 C 的短轴长为 6, 离心率为 , 则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为( 5 A.9 C.1 或 9 答案 C b=3 ? ?c 4 ?a=5 ? ?a =b +c
2 2

)

B.1 D.以上都不对

解析

,解得 a=5,b=3,c=4.

2

∴椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a+c=9 或 a-c=1. x2 y2 2.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM| 25 16 =3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为 ( )

A.4 答案 A

B.3

C.2

D.5

1 解析 由题意知|OM|= |PF2|=3, 2 ∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4. x2 y2 3.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于 10-m m-2 A.4 答案 C
?10-m>0 ? 解析 由? ,得 2<m<10, ?m-2>0 ?

(

)

B.8

C.4 或 8

D.以上均不对

由题意知(10-m)-(m-2)=4 或(m-2)-(10-m)=4, 解得 m=4 或 m=8. x2 y2 4.(2012· 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2, a b 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 1 A. 4 答案 B 解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 即 4c2=a2-c2,a2=5c2, 1 5 所以 e2= ,所以 e= . 5 5 x2 y2 5.已知圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: 2+ =1 的左焦点为 F(-c,0), a 3 若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为 3 A. 4 答案 C 解析 圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2, 则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m<0), ∴m=-1,则圆心 M 的坐标为(1,0). 由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 又∵直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2. 二、填空题 B.1 C.2 D.4 ( ) B. 5 5 1 C. 2 D. 5-2 ( )

x2 y2 6.(2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3 a b (x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a x2 y2 1 7.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A、B,C 为椭圆上异于长轴端点 a b 3 sin A+sin B 的任意一点,则在△ABC 中, 的值等于________. sin C 答案 3 sin A+sin B |CB|+|CA| 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,因为点 C 在椭圆上,所以由 sin C |AB| sin A+sin B 2a 1 椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以 = = =3. sin C 2c e x2 8.椭圆 +y2=1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一动点,若∠F1PF2 为钝角,则 4 点 P 的横坐标的取值范围是________. 2 6 2 6 答案 (- , ) 3 3 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y), → → 则F1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F1P· F2P<0, 即 x2-3+y2<0, x2 x2 ∵y2=1- ,代入①得 x2-3+1- <0, 4 4 3 2 8 x <2,∴x2< . 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6 解得- <x< ,∴x∈(- , ). 3 3 3 3 ①

三、解答题 x2 y2 2 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦点 F(-2,0). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值. c 2 ? ?a= 2 , (1)由题意,得? c=2, ? ?a =b +c .
2 2 2



?a=2 2, 解得? ?b=2.

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0), x y ? ? 8 + 4 =1, 由? 消去 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0, ?y=x+m. ? Δ=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3, x1+x2 2m m ∵x0= =- ,∴y0=x0+m= , 2 3 3 ∵点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上, 2m m 3 5 ∴(- )2+( )2=1,∴m=± . 3 3 5 x2 y2 10.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. a b (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M, 5 N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c. c c c c 1 整理得 2( )2+ -1=0,解得 =-1(舍),或 = . a a a a 2 1 所以 e= . 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
2 2

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?.
消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0. 8 解得 x1=0,x2= c. 5

2

2

2

?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
2 2

8

8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c), 5 5 所以|AB|= 8 3 3 16 ? c?2+? c+ 3c?2 = c. 5 5 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN| 2 因为 d2+( ) =42, 2 3 所以 (2+c)2+c2=16. 4 26 整理得 7c2+12c-52=0,得 c=- (舍),或 c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 12 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) x y 1.(2013· 四川)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆 a b 与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭 圆的离心率是 A. 2 4 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 ( )
2 2

答案 C 解析 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距), y0 b kOP=- ,kAB=- ,由于 OP∥AB, c a y0 b bc ∴- =- ,y0= , c a a

?bc?2 2 ?a? bc ? - c ? ? 把 P? ?-c, a ?代入椭圆方程得 a2 + b2 =1,
c ?2 1 c 2 而? ?a? =2,∴e=a= 2 .选 C. → → 2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的 取值范围是 A.(0,1) C.(0, 2 ) 2 1 B.(0, ] 2 D.[ 2 ,1) 2 ( )

答案 C → → 解析 ∵满足MF1· MF2=0 的点 M 在圆 x2+y2=c2 上, ∴圆 x2+y2=c2 在椭圆内部,即 c<b, ∴c2<b2=a2-c2,2c2<a2, 1 2 ∴e2< ,即 e∈(0, ). 2 2 x2 y2 3.在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为( 16 4 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 答案 A 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0 )

? 则? x y ?16+ 4 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 16 4

① ②

由①-②,得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, 16 4
? ?x1+x2=2, y1-y2 4?x1+x2? 1 因? 所以 =- =- , 4 x - x 16 ? y + y ? 1 2 1 2 ?y1+y2=2, ?

1 所以所求直线方程为 y-1=- (x-1), 4 即 x+4y-5=0. x2 y2 4.点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且△PF1F2 的内切圆半径为 1, 25 16 当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为________.

答案

8 3

解析 |PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6, 1=8 S?PF1F2 =2(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)· 1 8 = |F1F2|· yP=3yP.所以 yP= . 2 3 x2 y2 5.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 答案 15 解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|, |PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|, 易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|, 故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15. 1 3 6.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ). 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → →2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,满足PA· PB=PM ?若 存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. x2 y2 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b + =1, ? ?a 4b 由题意得? c 1 = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2 2 2

1

1

9

解得 a2=4,b2=3.

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在, 设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的方程得,
2 2 (3+4k1 )x -8k1(2k1-1)x+16k2 1-16k1-8=0.

因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k1 )· (16k2 1-16k1-8)=32(6k1+3)>0,

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 又 x1+x2= , 2 ,x1x2= 3+4k1 3+4k2 1 → → →2 因为PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 →2 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)=PM = . 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4 16k2 8k1?2k1-1? 4+4k2 5 1 1-16k1-8 1 2 所以[ - 2· + 4]· (1 + k ) = = ,解得 k1=± . 2 2 1 4 2 3+4k1 3+4k1 3+4k2 1 1 1 因为 k1>- ,所以 k1= . 2 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2


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