上海市奉贤区2012年高中数学二模试卷及答案


2012 届上海市奉贤区高三数学二模调研卷
一、填空题(本大题满分 56 分) 1.若 (a ? 4i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R, i 是虚数单位,则 a ? b = 2.函数 f ?x? ? 2x ? 3 的反函数 f
?1

?x ? ?
B?

3.若集合 A ? {?1,0,1}, B ? { y | y ? cos x, x ? A}, 则 A

4.阅读如图 1,所示的程序框图,若输出 y 的值为 0,则输入 x 的值为___________ 5.二项式 ?

?1 ? ? x ? 展开式中的常数项是 ?x ?

6

(用数字回答)

6.无穷等比数列满足 an ? 2an?1 , a1 ? 1 ,则数列 ?an ? 的各项和为 7.已知数列 ?an ? 是等差数列,公差 d ? 0 ,在行列式 a 4

开始 输入 x 是

a1

a2 a5 a8

a3 a 6 中, a9

元素 ai i ? N ,1 ? i ? 9 是实数,则所有元素的代数余子式大于零的个数
*

?

?

a7

x ? 1?




有__ 个

2 8.不等式 2 ? ? a ? 0 的在 ?1,2? 内有实数解,则实数 a 的取值范围是 x ? x ? 4 ? 3t 9.(理)圆 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 的圆心到直线 ? ?t是参数? 的距 ? y ? 4 ? 4t
x

x ? 1?
是 y= x

y =2 -3

x

y=1 输出 y 结束 图1

离是 (文)在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B ? sin C , 则 ? A =________ 10.(理)盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm,两个直径为 5cm 的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降________cm (文)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为 全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1, 那么这个几何体的体积为 ___________
2 2 2

正视图 俯视图 11.(理)已知 cos(x ?
2 2

侧视图

?
6

)??

? 3 ,则 cos x ? cos( x ? ) ? ___________ 3 3

(文)双曲线

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的实轴长 4 ,则双曲线上的一点 4, 3 到两渐近线的 2 a b

?

?

距离的乘积等于 12. (理)关于 x 的方程 x ? m ?

x 2 ? 4 没有实数解,则实数 m 的取值范围是

1 1 3 2 则函数 y ? a x ? b 的图象经过第三象限的概率是

(文)从 { , , 2, 3} 中随机抽取一个数记为 a ,从 {?1,1, ?2,2} 中随机抽取一个数记为 b ,

13.(理)已知某随机变量 ? 的概率分布列如右表,其中

y x x P 1 随机变量 ? 的方差 D? ? ,则 x = 2 x ? y ?2?0 ? ? (文)过平面区域 ? y ? 2 ? 0 内一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

x ? 0, y ? 0 ,

?

1

2

3

A, B ,记 ?APB ? ? ,当 ? 最小时,此时点 P 坐标为____________

14.(理)若点集 A ? ( x, y) | x2 ? y 2 ≤1 , B ? ?( x, y) | ?1≤ x ≤1, ?1 ≤ y ≤1? ,则点集

Q ? ?( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B? 所表示的区域的面积为___________
(文)操作变换记为 P 1 ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,且规定: 1 ( x, y) ,其规则为: P

?

?

Pn ( x, y) ? P 1 ( Pn?1 ( x, y)) , n 是大于 1 的整数,如: P 1 (1,2) ? (3,?1) , P2 (1,2) ? P 1 (P 1 (1,2)) ? P 1 (3,?1) ? (2,4) ,则 P 2012 (1,?1) ?
二、选择题(本大题满分 16 分) 15.已知 b , c 是平面 ? 内的两条直线,则“直线 a ? ? ”是“直线 a ? b 且直线 a ? c ” 的 [答] ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.若有不同的三点 A, B, C 满足 BC ? CA : CA ? AB : AB ? BC ? 3 : 4 : ?? 5? 则这三点 [答] ( ) A.组成锐角三角形 B.组成直角三角形 C.组成钝角三角形 D.在同一条直线上 17.(理)已知等比数列 {an } 的前 10 项的积为 32,则以下命题为真命题的是 ( ) B.数列 {an } 中必有小于 2 的项 D. 数列 {an } 中的首项和公比中必有一个
n

?

??

??

?

[答]

A.数列 {an } 的各项均为正数 C.数列 {an } 的公比必是正数 大于 1

(文)预测人口的变化趋势有多种方法, “直接推算法”使用的公式是 Pn ? P 1 ? k ? ,其 0? 中 Pn 为预测人口数, P0 为初期人口数, k 为预测年内增长率, n 为预测期间隔年数.如果在某 一 时 期 k [答] ( ) A.呈上升趋势 满 足

?1 ? k ? 0



















B.呈下降趋势

C.摆动变化

D.不变 y

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点,过椭圆的右顶点 A 18.(理)已知:P 为椭圆 25 9
和上顶点 B 分别作与 x 轴和 y 轴的平行线交于 C,过 P 引 BC、AC 的平 行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,矩形 PMCN 是 S1 ,三角 形 PDE 的面积是 S 2 ,则 S1 : S 2 A.1 B.2 [答] ( )

B D O

M C P E N x A

C.

1 2

D.与点 P 的坐标有关

(文)平行于 x 轴的直线 l1 与椭圆 C : 直线 l 2 与椭圆 C : [答] ( A.15 C.30 )

x2 y2 ? ? 1 交于左右 A 、 B 两点,平行于 y 轴的 25 9

x2 y2 ? ? 1 交于上下 C 、 D 两点,则四边形 ACBD 面积的最大值为 25 9
B.60 D.不是一个定值

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 10 分) 本题共有两个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分. 设关于 x 的不等式 x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R) 的解集为 M ,不等式 (1)当 a ? 1 时,求集合 M ;

(2)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

x ?1 ? 0 的解集为 N . x?3

20.(本题满分 11 分) 本题共有两个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x , x ? [ , π] . (1)求 f ( x ) 的零点; (2)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

π 2

21.(本题满分 11 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分. 函数 f ?x ? ? lg (1)若 f ?x ? 是奇函数,求 b 的值;

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b ? 0

?

(2)在(1)的条件下,判别函数 y ? f ?x ? 的图像是否存在两点 A,B,使得直线 AB 平行于 x 轴,说明理由;

22.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (理) 如图, 直三棱柱 ABC ? A M 是 CC1 的 ,AB ⊥AC, 1 ? AB ? AC ? 1 1B 1C1 中,AA 中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1 B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 . (1)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大; (2) 在(1)的条件下,求三棱锥 P ? MNC 的体积.

A1

P

B1
A B

C1
M C

N (理)

(文)

AB ? 4 , BC ? 4 , BB1 ? 3 , (文)如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ?ABC ? 90 , M 、 N 分别是 B1C1 和 AC 的中点.
(1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角; (2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积.

23.(本题满分 17 分) (理)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分,第 3 小题 4 分 平面内一动点 P?x, y ?到两定点 F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0? 的距离之积等于 1 ,
2

(1) 求动点 P?x, y ?的轨迹 C 方程,用 y ? f ?x ? 形式表示(4 分) (2) 类似高二第二学期教材(12.4 椭圆的性质、12.6 双曲线的性质、12.8 抛物线的性质) 中研究曲线的方法请你研究轨迹 C 的性质,请直接写出答案(9 分) (3) 求 ?PF 1 F2 周长的取值范围(4 分)

(文)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题 9 分 平面内一动点 P?x, y ?到两定点 F1 ?? 1,0?, F2 ?1,0? 的距离之积等于 2 , (1) 求 ?PF 1 F2 周长的最小值(4 分) (2) 求动点 P?x, y ?的轨迹 C 方程,用 y 2 ? f ?x ? 形式表示(4 分) (3) 类似高二第二学期教材(12.4 椭圆的性质、12.6 双曲线的性质、12.8 抛物线的性质) 中研究曲线的方法请你研究轨迹 C 的性质,请直接写出答案(9 分)

24. (本题满分 17 分) (理)本题有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分.

数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? t , k ? N * , k ? 1 , p ? 0 , (1)当 k ? 1, p ? 5 时,若数列 ?an ? 是成等比数列,求 t 的值; (2)当 t ? 1 , k ? 1 时,设 Tn ?

an ? an?1 ? an?2 ? ? ? an?k ? 6 p n

a1 ?

a ?1 a a 2 a3 ? 2 ??? n ? nn?1 ,参照高二教材书上 n?2 p p p p

推导等比数列前 n 项求和公式的推导方法,求证:数列 ?

(3)设数列 ?an ? 是一个等比数列,求 t (用 p, k 的代数式表示) ;

?1 ? p ? a Tn ? n ? 6n? 是一个常数; n p ? p ?

(文)本题有 3 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 7 分. 数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? p, p ? 0 , k ? N , an ? an?k ? f ? p, k ? ? p n ,
*

(2) 若数列 ?an ? 成等比数列, 请写出 f ? p, k ? 满足的一个条件, 并写出相应的通项公式 (不 必证明) (3)当 k ? 1, f ? p, k ? ? p ? k 时,设 Tn ? a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? 2an ? an?1 ,求 Tn

(1)当 k ? 1, f ? p, k ? ? p ? k , p ? 5 时,求 a2 , a3 ;

2012 调研测试高三数学参考答案
一、填空题 1、5 4、 x ? log2 3 或 x ? 0 7、4 2、 log2 ?x ? 3? 5、20 8、 a ? 3 3、 ? 1? 6、 2 9、理:

32 5

文:

? 3

5 3 1 文: 6 1 13、理: 4 文: ?? 4,?2?
10、理 :

11、理: ? 1 文:

12、理: ?0,2? ? ?? ?,?2? 文:

4 5

3 (或0.375) 8

14、理: 12 ? π 文; 2

?

1006

,?21006

?
O P K

y V N U x T

14 理:⑵点集 Q 实际上可以写成: Q ?
( x2 , y2 )?B

( x2 , y2 ) ? A ,其中 ( x2 , y2 ) ? A 看

成是 A 按照向量 ( x2 , y2 ) 的平移得到的点集.而 ( x2 , y2 ) ? A 得到的是以 ( x2 , y2 )
-2 Q -1 L R S O 1 M 2

为圆心半径为 1 的圆, 所以 Q 就是所有圆心在正方形 KLMN 里半径为 1 的圆的并; 如图所示: 当半径为 1 的圆在 KLMN 边界上滑动时,分别得到 4 个长为 2 宽为 1 的矩形;在顶点滚动时, π 得到 4 个扇形;所以最终 Q 就是图示阴影部分.不难求得面积 S ? 4 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 12 ? π . 4 二、选择题 15、 A 16、C 17、 (理)C 18 、 (理)A (文)B (文)C 三、解答题(10+11+11+12+17+17) 19.解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, 由已知得 x( x ? 2) ? 0 . 所以 M ? {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)方法一: 由已知得 N ? x ? 1 ? x ? 3 . 分 ①当 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ,所以 ?1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? ?1 ②若 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 成立 ③若 a ? ?1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? {x | 0 ? x ? a ? 1} . ?7 分 ?8 分 ?9 分

?

?

???????3 分 ???????5

又 N ? x ?1 ? x ? 3 ,因为 M ? N ,所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2

?

?

N ? ?x ? 1 ? x ? 3?.
由题得 ?

综上所述, a 的取值范围是 [?2, 2] . ?????10 分 说明②可以并入①,也可并入③,每一种 2 分,一共 4 分,最后结论 1 分 方 法 二 : ( Ⅱ ) 方 法 一 : 由 已 知 得 ???????5 分 解得 ? 2 ? a ? ?1 ???????7 分 解得 ? 1 ? a ? 2 ???????9 分

?a ? 1 ? ?1 ???????6 分 ?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?? ?????8 分 ? ?a ? 1 ? 3 所以 a ? ?? 2,2? ???????10 分
3 . 3

20. (1)解法一:解:令 f ( x) ? 0 ,得 sin x ? ( 3 sin x ? cos x) ? 0 , 所以 sin x ? 0 ,或 tan x ? ? ??2 分 ??3 分

由 sin x ? 0 , x ? [ , π] ,得 x ? π ; 由 tan x ? ?

π 2

5π π 3 , x ? [ , π] ,得 x ? . ??4 分 6 2 3 5π 综上,函数 f ( x) 的零点为 或π. ??5 分 6 3 1 π 3 解法二: f ( x) ? ( . ???3 分 1 ? cos2x ) ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2 π 3 令 f ( x) ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? . ??5 分 3 2 π π 2 π 5π , ]. 因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ? ? [ 2 3 3 3

所以,当 2 x ? 即 x?

π 4π π 5π ? ,或 2 x ? ? 时, f ( x) ? 0 . 3 3 3 3

?7 分

5π 或 x ? π 时, f ( x) ? 0 . ??8 分 6 5π 综上,函数 f ( x) 的零点为 或π. ??9 分 6 3 1 π 3 (2)解: f ( x) ? ( . 1 ? cos2x ) ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2 π π 2 π 5π , ]. 因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ? ? [ ??9 分 2 3 3 3 π π 2π 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最大值为 3 ; 2 3 3 11π π 3π 3 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最小值为 ?1 ? . 12 3 2 2

?8 分

?10 分 ??11 分

21.解: (1)? b ? 0,? 4 x 2 ? b ? 所以函数 f ?x ? ? lg

f ?0? ? lg b ? 0 ?b ? 1 方法二:因为 f ?x ? 是奇函数,所以 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0

? b ? 2 x 的定义域是一切实数,关于原点对称 方法一: f ?x ? 是奇函数, f ?0? ? 0
2

? 4x
?

?

4 x 2 恒成立,
??2 分 ??3 分 ??5 分 ??3 分

f ?x ? ? f ?? x ? ? lg 4 x 2 ? b ? 2 x ? lg (?4 x) 2 ? b ? 2 x ? lg b ? 0 ?b ? 1
(2)方法一: 假设存在 A, B 两点,使得 AB 平行 x 轴, k AB ? 0
2 2 ? lg? ? 4 x1 ? 1 ? 2 x1 ? ? ? lg? ? 4 x2 ? 1 ? 2 x2 ? ? ? ? ? ?

? ?

?

??5 分

??6 分 ??7 分

4 x1 ? 1 ? 4 x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 x1
两边平方化简得到: 4x1 ? 4x2 ? 1 ? 0 得到矛盾 ? y ? f ?x? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行 方法二: 不存在
2 2

2

2

??10 分 ??11 分

0 ? x1 ? x2

h?x1 ? ? h?x2 ? ? 4 x1 ? 1 ? 2 x1 ? 4 x2 ? 1 ? 2 x2
2 2

?

4 x1 ? 4 x2
2

2

2 2

4 x1 ? 1 ? 4 x2

? ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2?x1 ? x2 ?? ? 1? ? ? 2 2 ?1 ? 4 x1 ? 1 ? 4 x2 ? 1 ?
2 2

6分

? x1 ? x 2 ? 0,0 ? 2 x1 ? 4 x1 ? 1,0 ? 2 x 2 ? 4 x 2 ? 1,? 0 ?

2 x1 ? 2 x 2 4 x1 ? 1 ? 4 x 2 ? 1
2 2

?1

??7 分 f ?x ? 在 ?0,??? 单调递增; ??8 分 f ?x ? 是奇函数,所以在 ?? ?,0? 单调递增; ??9 分 ? f ?x ? 在 R 单调递增; y ? yB ??10 分 ? k AB ? A ?0 x A ? xB ??11 分 ? y ? f ?x? 的图像上不存在两点,使得所连的直线与 x 轴平行 说明:证明在整个 R 上单调递增的要 4 分,不证明单调性,直接说函数是单调递增的,扣 3 分

22. (理) (1) 方法一:P?? ,0,1?, 则 PN ? ( 1分 平面 ABC 的一个法向量为 n ? (0,0,1) 则 sin ? ?

1 1 ? ? , ,?1) , 2 2

??

??2 分

PN ? n PN n

?

1 3 ? ?? ? 2
2

?

1 1? 5 ? ?? ? ? ? 2? 4 ?
2

??4 分

所以当 ? ?

1 2 5 时, (sin ? ) max ? , 2 5

??5 分

2 5 5 ( arctan2 ? arccos ) 5 5 方法二:过 P 作 PH ? AB 交于 H 点, 可得 PH ? 面ABC , ?PNH 就是所成的线面角

? max ? arcsin

??6 分

??1

分 计算: AH ? ? , HN ? 分

?2 ? ? ?
?

1 2
1

??2

tan? ?

PH ? HN

1 1 ? ?? ? 2
2

1? 1 ? ?? ? ? ? 2? 4 ?
??5

2

??4

分 所以当 ? ? 分

1 时, ?tan? ?max ? 2 , 2
( arcsin

? max ? arctan2


2 5 5 ? arccos 5 5



??6

(2)方法一:过 P 作 PT ? 面 B1 BCC1 ,可证得 T 在 B1C1 上 分 点 P 到平面 B1 BCC1 的距离 PT ? 分

??8

2 4

??9

S ?CMN ?


1 2 1 2 ? ? ? 2 2 2 8

??10

1 2 2 1 VP ? MNC ? ? ? ? 3 8 4 48
分 方法二:用向量 平面 B1 BCC1 的法向量 n ? ? , ,0 ? 分

??12

?1 1 ? ?2 2 ?

??8

n ? PN
点 P 到平面 B1 BCC1 的距离 d ? 分 面

? n

2 4

??9



S ?C


?

1 2 1 2 ? ? ? 2 2 2 8

??10 M

1 2 2 1 VP ? MNC ? ? ? ? 3 8 4 48
?12 分

?

22. (文)解: (1)过 A 作 AQ∥C1N 交 A1C1 于 Q,连结 B1Q , . ? ?A1 AQ 为异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角(或其补角) 根据四边形 AA1C1C ,N 是中点,为矩形,可证 Q 为中点 计算 AB1 ? 5, B1Q ? 2 2 , AQ ? 17 ??2 分

??3 分

BC∥AD,BC ? AD , 且 AB1 ∥ C1D , B1C1 ∥BC,B1C1 =BC, ? 四边形 ADC1B1 为矩形,

17 ??5 分 5 17 ??6 分 ? 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 arccos 5 (2)方法一:过 M 作 MH ? A1C1 于 H,面 A1 B1C1 ? 面 AA1C1C 于 A1C1 ??8 分 ? MH ? 面 AA1C1C MP ? 平面 ABC,
由已知条件和余弦定理可得 cos?CC1Q ?

MH ? 2 1 1 1 1 VM ? NCC1 ? ? NC ? C1C ? MH ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2 方法二: (2)取 BC 的中点 P,连结 MP、NP,则 MP∥ BB1 , ??8 分 ? MP ? 平面 ABC, 又 NP ? 平面ABC ,? MP ? NP . 1 PN ? AB ? 2 , MP ? 3 , 2 ??10 分 VM ? NCC1 ? VN ?C1CM
? 1 1 1 1 ? MC 1 ? C1C ? NP ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2
??12 分

??10 分 ??12 分

23. (理) 解: (1) ? PF 1 ? PF 2 ? 1 ,列式: 分 化 1分 (2)性质: 对称性:关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 顶点: ?0,0? , ? 2 ,0

?x ? 1?2 ? y 2 ? ?x ? 1?2 ? y 2


?1

3

y 2 ? 4x 2 ? 1 ? x 2 ? 1

?

?

3分 3分 1分 2分

x 的范围: ? 2 ? x ? 2 1 1 y 的范围: ? ? y ? 2 2
(3) C ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? PF1 ?
2 2

PF1 ? ?x ? 1? ? y 2 ? 4 x 2 ? 1 ? 2 x , x ? ? 2 ,0 ? 0, 2
? PF1 ?

?

2 ? 1,1 ? 1, 2 ? 1

? ?

?

?

1 ?2 PF1

1分

? ?

?
1分 1+1 分 2分 1分 1分

? C ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4,2 ? 2 2
当且仅当 PF1 ? PF2 ?

?

?
2

23. (文)解:(1) PF1 ? PF2 ? 2 PF 1 ? PF

?2 2

2 , P?0,?1? 时等式成立

?PF1 F2 周长的最小值 2 2 ? 2
(2)? PF 1 ? PF 2 ? 2 ,列式: (3)性质: 对称性:关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 顶点: ?0,?1? , ? 3,0

?x ? 1?2 ? y 2 ? ?x ? 1?2 ? y 2

?2

3分 1分

化简 y 2 ? 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1

?

?

3分 2分 2分 2分

x 的范围: ? 3 ? x ? 3 y 的范围: ? 1 ? y ? 1
(23 题的图)

f ?x? =

4 ?x2+1 -x2-1

g ?x? = -

4 ?x2+1 -x2-1
1.5

1

0.5

-2

-1

1

2

-0.5

-1

f ?x? =

4 ?x2+4 -x2-1

g ?x? = -

4 ?x2+4 -x2-1
1.5

1

0.5

-2

-1

1

2

-0.5

-1

(23(2)理科) y 的取值范围推导过程 解 1 : 推 导 过 程 :

4 x 2 ? 1 ? t ? ?1,3?



t2 3 1 1 2 ? t ? ? ? ?t ? 2? ? 4 4 4 4 ? 3 1 3? ? t ? ?1,2? 时 ,1 ? x 2 ? 1 ? 2, 即x ? ?0, ?时h?x ? 递增, 所以 x 2 ? 时, y 2 max ? 4 4 ? 2 ? 解 2:设 0 ? x1 ? x2 ? x0 时 h?x ? 递增, h?x1 ? ? h?x2 ? ? 0 h?x ? ? 4 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?

h?x1 ? ? h?x2 ? ? 4 x1 ? 1 ? x1 ? 1 ? 4 x2 ? 1 ? x2 ? 1
2 2 2 2

?

4 x1 ? 4 x2
2

2

2 2

4 x1 ? 1 ? 4 x2
2 2

? ? 4 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? 1? ? 0 ? ? 2 2 ?1 ? 4 x1 ? 1 ? 4 x2 ? 1 ?

?

?

? x1 ? x2 ? 0, 令 x1 ? x2 ? x0 ,
(文科 23(3) )单调性: x ? 0, 3

4

2 2 2 推导过程: x 2 ? 1 ? t ? ?1,2?, 设 h? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?t ? 2t ? ??t ? 1? ? 1 2

?

?

4 x1 ? 1 ? 4 x 2 ? 1
单调递减

2

2

? 1 ? 0 ? x0 ?

3 2

? t ? ?1,2? 时 ,1 ? x 2 ? 1 ? 2,即x ? 0, 3 时h?x ? 递减,所以 x 2 ? 0时, y 2 max ? 1 另解:设 0 ? x1 ? x 2

?

?

h?x1 ? ? h?x2 ? ? 2 x1 ? 1 ? x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? x2 ? 1
2 2 2 2

?

2 x1 ? 2 x2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x2
2 2

? x1 ? x2 ? 0,

?h?x?, x ? 0, 3 单调递减,即 y ?

?

?

? ? 2 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ? 2 2 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? h?x1 ? ? h?x2 ? 2 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

?

?

f ( x) 在 0, 3 单调递减

?

?

24. (理)解(1) an ? an?1 ? 6 ? 5n , an?1 ? an?2 ? 6 ? 5n?1 设等比数列 ?an ? 的公比是 q ,则可计算出 q ? 5 ,

??2 分 ??4 分 ??5 分

n ? 1 时, t ? 5t ? 30 ,? t ? 5 (2)证明:

Tn ? a1 ? 1 Tn ? p

a ?1 a a 2 a3 ? 2 ??? n ? nn?1 n?2 p p p p a ?1 an a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? p p p p n?1 p n

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

an?1 ? an an ? a1 ? a2 a2 ? a3 1? ? ?1 ? p ? ?Tn ? a1 ? p ? p 2 ? ? ? p n?1 ? p n ? ? a ? 1? ? ? 6 ?? ?6? n ? ?? ? ?? ? ?1 ? p ? ?Tn ? a1 ? 6 pn ? ? n ?1个 a 1? p ? Tn ? n ? 6n ? a 1 ? 6 ? ?5 p pn
(3) an ? an?1 ? an?2 ? ? ? an?k ? 6 p n

数列 ?an ? 是一个等比数列,所以求出公比为 p

an?1 ? an?2 ? an?3 ? ? ? an?1?k ? 6 p n?1

??11 分 ??13 分 ??15 分 ??16 分 ??17

?t p

?

n?1

? p ? ?? p
n

n? k ?1

?? 6p

n

当 p ? 1 时,t ?k ? 1? ? 6 ,? t ? 当 p ? 1且p ? 0 时,? t 分 (文)解(1) an ? an?1 ? 6 ? 5n

6 p?1 ? p ? p n?1 (1 ? p k ?1 ) ? 6 p n ,? t ? 1? p 1 ? p k ?1

6 k ?1

??2 分 ??6 分 ??10 ??12

? a2 ? 25 , ? a3 ? 125
k

(2)当 f ? p, k ? ? 1 ? p 时,an ? p n 分 分 (3) an ? an?1 ? ?1 ? p? ? p n ? p n ? p n?1 由(2)知, an ? p n

Tn ? ? p ? 1? p ? p 2 ? ? ? p n p ? 1 时, Tn ? 2n
当 p ? 1且p ? 0 时, Tn ? 方法二: 由(2)知, an ? p n

Tn ? a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? 2an ? an?1 Tn ? ?a1 ? a2 ? ? ?a2 ? a3 ? ? ? ? ?an?1 ? an ? ? ?an ? an?1 ?

?

?

??13 分 ??15 分 ??16 分

? p ? 1? ? p(1 ? p
1? p

n

)



??17 分

??12 分
n n n?1

an ? an?1 ? ?1 ? p? ? p ? p ? p

Tn ? a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? 2an ? an?1
??15 分 ??16 分
n

Tn ? p ? 2( p 2 ? p 3 ? ? ? p n ) ? p n?1 p ? 1 时, Tn ? 2n
当 p ? 1且p ? 0 时, Tn ?

? p ? 1? ? p(1 ? p
1? p

)

??17 分


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