高三一轮复习之平面向量学案


个性化学案

高三一轮复习之平面向量
适用学科 适用区域 知识点
数学 通用

适用年级

高三

课时时长 (分钟) 60

平面向量的性质和运算法则,共线定理、基本定理、平行四边形法则及三 角形法则.向量的坐标运算及应用

教学目标

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律. 3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条 件. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的 坐标运算. 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处 理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且 能熟练运用;掌握平移公式.

教学重点 教学难点

平面向量的数量积及其几何意义 平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式

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教学过程
一、复习预习
向量的模 概念 单位向量 零向量 向量的加法 平面向量的坐标运算 向 量 向量的减法 运算 实数与向量的乘积 线段的定比分点 向量的数量积 平移公式 相等的向量

余弦定理 解三角形 正弦定理 任意三角形的面积公式

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二、知识讲解
1.向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量. 的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量. ⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 . ⑶ 且 的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律. ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的 重合,连结两向量 的 ,方向指向 . 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长度与方向规定如下: ① | ? a |= . ② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? =0 时, ? a . ⑵ ? (μ a )= . a ( ? +μ) = .
? ( a + b )=

. .

⑶ 共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得

4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使得 .

⑵ 设 e1 、 e2 是一组基底, a = x1 e1 ? y1 e2 , b = x2 e1 ? y2 e2 ,则 a 与 b 共线的充要条件 是 . 5.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底,对于一个向量 a ,有且只有 一对实数 x、 y,使得 a =x i +y j .我们把(x、y)叫做向量 a 的直角坐标,记作 且| a |= . 6.向量的坐标表示与起点为 7.平面向量的坐标运算: . 并

的向量是一一对应的关系.

若 a =(x1、y1), b =(x2、y2),λ∈R,则: a +b = a -b = λa = 已知 A(x1、y1),B(x2、y2),则 AB = . 8.两个向量 a =(x1、y1)和 b =(x2、y2)共线的充要条件是



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9.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的
b

.当 θ=0°时, a 与 b

;当 θ=180°时, a 与 .

;如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作

10.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ,则数量 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作 a ·b ,即 a ·b = 数量积为 0.若 a =(x1, y1), b =(x2, y2),则 a ·b = 11.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的夹角).
a ·b 的几何意义是,数量 a ·b 等于

.规定零向量与任一向量的 .



12.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角. ⑴ e ·a = a ·e = ⑵ a ⊥b ? ⑶ 当 a 与 b 同向时, a ·b = ⑷ cosθ= ⑸ | a ·b |≤ 13.向量数量积的运算律: ⑴ a ·b = ⑵ (λ a )·b = ⑶ ( a + b )·c = ; = a ·(λ b ) . ;当 a 与 b 反向时, a ·b = .

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三、例题精析
【例题 1】已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点.设 AB ? a , AC ? b ,求 BE

1 3 1 解析 BE = AE - AB = 4 ( AB + AC )- AB =- 4 a + 4 b

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【例题 2】 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 ,b ? 2e1 ? 3e2 ,c ? 2e1 ? 9e2 , 其中 e1 、e2 不共线, 求实数 ? 、
? ,使 c ? ? a ? ? b .

解析 c =λ a +μ b ? 2 e1 -9 e 2 =(2λ+2μ) e1 +(-3λ+3μ) e 2 ? 2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=- 9 ? λ=2,且 μ=-1

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【例题 3】已知 ABCD 是一个梯形,AB、CD 是梯形的两底边,且 AB=2CD,M、N 分别是
DC 和 AB 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,试用 a 、 b 表示 BC 和 MN .

解析;连 NC,则 NC ? AD ? b MN ? MC ? CN ? AB ? CN ? a ? b ; BC ? NC ? NB ? b ? a

1 4

1 4

1 2

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四、课堂运用
【基础】 1.设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时, a ,t b , 1 ( a + b )
3

三向量的终点在一条直线上?

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2.已知 OA ? a, OB ? b,OC ? c ,OD ? d ,OE ? e ,设 t ? R ,如果 3a ? c, 2b ? d ,

e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时, C, D, E 三点在一条直线上?

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解析:1 设 a ? t b ? ? [ a ? (a ? b) ] ( ? ∈R)化简整理得: ( ? ? 1)a ? (t ? ? )b ? 0
3 ?2 ? ? ? 1 ? 0 ?? ? ? ?3 ? 2 ∵ a 与 b 不共线 ,∴ ? ?? ? 1 ?t ? ? 0 ?t ? ? 2 ? 3 ? ?

1 3

2 3

1 3

故t ?

1 1 时, a, t b, (a ? b) 三向量的向量的终点在一直线上 2 3

2:由题设知, CD ? d ? c ? 2b ? 3a, CE ? e ? c ? (t ? 3)a ? tb , C, D, E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k ,使得 CE ? kCD ,即 (t ? 3)a ? tb ? ?3ka ? 2kb , 整理得 (t ? 3 ? 3k )a ? (2k ? t )b . ①若 a, b 共线,则 t 可为任意实数; ②若 a, b 不共线,则有 ?

?t ? 3 ? 3k ? 0 6 ,解之得, t ? . 5 ? t ? 2k ? 0
6 5

综上, a, b 共线时,则 t 可为任意实数; a, b 不共线时, t ?

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【巩固】
1 1.已知点 A(2,3) ,B(-1,5) ,且 AC = 3

AB ,求点 C 的坐标

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2.已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),| a - b |= 2
2 2 2 2

5 5

,求 cos(α-β)的值

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1 2 11 11 解析:1 解 AC = AB =(-1, ), OC = OA ? AC =(1, ),即 C(1, ) 3 3 3 3

2

| a - b |=

? ?? 2 2 52 55 2 5 ? ?? 2 5 3 7 = = ? cos(α-β)= ? ?? ? 2 ?22? cos( ? cos( ? ?? ?? )? ?) ? ? cos 22 cos 25 5 5 55 5 5 2 2

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【拔高】 1.已知向量 a =(1, 2), b =(x, 1), e1 = a +2 b , e 2 =2 a - b ,且 e1 ∥ e 2 ,求 x.

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2.设 a =(ksinθ, 1), b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π), a ∥ b ,求证:k≥

3



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解析:1:解: e1 =(1+2x,4), e 2 =(2-x,3), e1 ∥ e 2 ? 3(1+2x)=4(2-x) ? x=
2 ? cos? k= ∴k- 3 = sin ? 2:

1 2

2 ? 2 cos(? ? sin ?

?

) 3 ≥0

∴k≥ 3

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课程小结
认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具,几 何问题可以代数化,代数问题可以几何化.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以 我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优 先选用向量的坐标运算.

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课后作业
【基础】 1.已知| a |=4,| b |=5,且 a 与 b 的夹角为 60°,求:(2 a +3 b )· (3 a -2 b )

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2.已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- ?
(1) 若 a⊥b,求 ? ; (2) 求| a + b |的最大值.

2

?? ?

?
2



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【巩固】 1.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? .
(1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数)
?

?

?

?

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2.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足( OB - OC )· ( OB + OC -2 OA )=0,判断△ABC
是哪类三角形

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【拔高】
1 3 1.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) .

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5? ? 2.将函数 y=2sin(2x+ )+3 的图象 C 进行平移后得到图象 C',使 C 上面的一点 P( 、 6 6 ? 2)移至点 P'( 、1) ,求图像 C'对应的函数解析式 4


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