广东省惠州市2012-2013学年高一数学下学期基础测试及期末考试试题新人教A版


惠州市 2012-2013 学年第二学期基础测试及期末考试 高一数学试题
说明:1、全卷分为两部分,基础测试和期末考试,满分 150 分,时间 120 分钟; 2、答卷前,考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号,填写在答题卷上; 3、考试结束后,考生将答题卷交回。 第一部分 基础测试(100 分)

一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 ) 1.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? 1 , a4 ? 8 ,则 ?an ? 的公比 q 等于( A. ?2 B. 2 C. 2 D. ? 2 ) . D. a 与 b 无公共点 ) .

2.已知直线 a //平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则( A. a // b B. a 与 b 异面

C. a 与 b 相交 ) .

3.如图所示的空心圆柱体的正视图是(

A.

B.

C. ) . D. 1 : 4 ) . D.

D.

4.正方体各棱长为 1,它的表面积与体积的数值之比为( A. 1 : 6 B. 6 : 1 C. 4 : 1

5.在直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角为( A. ?

π 6
2

B. ?

π 3

C. ) .

2π 3

5π 6

6.不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为( A. ? ?1, 4? B. ? ??, ?1?

? 4, ???

C. ? ?4,1?

D. ? ??, ?4?

?1, ???

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,a=4,b=4 3 ,A=30°, 则角 B 等于 ( A.30° ). B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

1

8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AD1 与 BA 1 所成的 角为( ) .

D1

C1 B1
D

A1
C.60? D.90?

A.30?

B.45?

9.已知直线 l 过定点 P(?1, 2) ,且与以 A(?2, ?3) , B(?4,5) 为端点的线 段有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. ? ?1,5? B. ? ?1,5? C. ? ??, ?1?

C
B

A
) .

?5, ???


D. ? ??, ?1?

(5, ??)

二、填空题:(本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分.请将答案填写在横线上.) 10.点 A(2,1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 B=60°,a=1,S△ABC= 则边 b = . .

3 , 2

12.过两点 A(?2, 4), B(?1,3) 的直线斜截式方程为

三、解答题:(本大题共 3 题,满分 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 为等差数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? ?2, S7 ? 7 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) Tn 为数列 ?

? Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n?

2

14. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1)求证:直线 AC 1 1 ? 面BDD 1B 1; (2)若 AA 1 ? 2 ,求四棱锥 D 1 ? ABCD 的体积.

D1

C1 B1
D

A1

C
B

A

15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 ( k ? R ) . (1)求直线 l 经过的定点坐标; (2)若直线 l 交 x 负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B , O 为坐标系原点, ?AOB 的面积 为 S ,求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.

第二部分

期末考试(共 50 分)

四、期末考试部分包括一道选择题(满分 5 分) ,一道填空题(满分 5 分)和三道解答题(满 分 40 分) ,解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.直线 y ? ? A. ?3

a x ? 2 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 垂直,则 a 等于( ) . 2 3 2 B. ? 6 C. D. 2 3
3

17.已知等比数列 {an } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 则 P 与 Q 的大小关系是 18. (本小题满分 12 分) .

a3 ? a9 , Q ? a5 ? a7 , 2

在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,且 E , F 分别是 AB , BD 的中点. 求证(1)直线 EF / /面ACD ; (2) 面EFC ? 面BCD . F B

E D

C

A

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n . (1)求 a1,a2,a3 ; (2)证明: {an?1 ? 2an } 是等比数列; (3)求 {an } 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 已知 t ? R ,且 t ?(0,10),由 t 确定两个任意点 P(t,t),Q(10-t,0). (1)直线 PQ 是否能通过下面的点 M(6,1),N(4,5); (2) 在△OPQ 内作内接正方形 ABCD,顶点 A、B 在边 OQ 上,顶点 C 在边 PQ 上,顶点 D 在边 OP 上. ① 求证:顶点 C 一定在直线 y=

1 x 上. 2

② 求下图中阴影部分面积的最大值,并求这时顶点 A、B、C、D 的坐标.

4

惠州市 2012-2013 学年第二学期基础测试及期末考试 高一数学 参考答案 一、 (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。 ) 题号 答案 1 B
3

2 D
3

3 C

4 B

5 C

6 A

7 D

8 C

9 A

1. 【解析】 a4 ? a1 ? q ? 8 ? q ? q ? 2 ,故选 B. 2. 【解析】因为两直线的位置关系与其与平面平行无关,故选 D. 3. 【解析】由三视图画图规则,空心圆柱体的正视图应为矩形, (虚线表内柱投影线)选 C. 4. 【解析】正方体各棱长为 1,它的表面积为 6,体积为 1。表面积与体积之比为 6 : 1 。选 B 5. 【解析】 y ? ? 3x ? 1 斜率为 ? 3 , tan ? ? ? 3 , ? ??0, ? ? ,故倾斜角为

2π 。选 C 3

6. 【解析】 ? x2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 ,所以解集为 ? ?1, 4? 。 7. 【解析】 由 选 D. 8. 【解析】异面直线 AD1 , BA 1C ? 60? ,选 C. 1 所成的角为 ?AD 9. 【解析】直线 l 过点 A(?2,?3) 时,即为直线 MA ,其斜率 k 有最大值,且最大值为

4 4 3 3 B ? 30?,180? , ? ? , 所以 B ? 60°或 120°.故 ? ? sin B ? sin 30? sin B 2

2 ? ( ?3) ? 5 ;当直线 l 过点 B(?4,5) 时,即为直线 MB ,其斜率 k 有最小值,且最 ? 1 ? ( ?2 ) 2?5 ? ?1 .于是直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ? ?1,5? .选 A. 小值为 k ? ? 1 ? (?4) k?
二、填空题:(本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分.) 10. 2 11.

3
2 ?1 ?1

12. y ? ? x ? 2 .

10. 【解析】 d ?

12 ? (?1) 2

? 2

5

11











1 3 1 S ? ac sin B ? ? ?1? c ? sin 60? ? c ? 2 2 2 2



b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? b ? 3
12. 【解析】 k ?

4?3 ? ?1 ,? y ? 3 ? (?1)( x ? 1) ? y ? ? x ? 2 ?2 ? (?1)

三、解答题:(本大题共 3 题,满分 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分) 1 解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d,…………………………1 分 2 ∵S7=7,∴ 7 ? 7 ? (?2) ?

7?6 ? d ,解得 d ? 1 …………………………………………3 分 2

∴ an ? ?2 ? (n ? 1) ?1,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 3 …………………………6 分

n?5 Sn 1 1 (2) =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1) ? ,…………………………………………8 分 n 2 2 2


Sn+1 Sn 1 1 ?S ? - = ,∴数列 ? n ? 是等差数列,其首项为-2,公差为 ,…………10 分 n+1 n 2 2 ?n? n n-
2 1 1 2 9 × = n - n. ………………………………………… 12 2 4 4

∴ Tn =n×(- 2) + 分

14. (本小题满分 14 分) (1 证明:∵ BB1 ? 面A1B1C1D1 ,且 AC1 ? 面A 1B 1C1D 1 ,∴ BB 1 ? AC1 ………………2 分 ∵ A1B1C1D1 为正方形,∴ AC 1 1 ?B 1D 1 …………………………………………4 分 又∵ BB1 ? 面BB1 D1 D , B1D ? 面BB1D1D ,且 B1D 分 ∴ AC 1 1 ? 面BB 1D 1D ,………………………………………………………… 8 分 (2) AA 1 ? 2 ,则 S ABCD ? 2 ? 2 ? 4 …………………………………………………………… 10 分 ∵ DD1 ? 面ABCD ,∴ DD1 为四棱锥 D1 ? ABCD 的高……………………………12
6

BB1 =B ……………6

分 ∴ VD1 ? ABCD = Sh ? 分 15. (本小题满分 14 分) 解(1)直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 化为 ( x ? 2)k ? y ? 1 ? 0 .…………………………1 分 因为该式子对于任意的实数 k 都成立,所以 ?

1 3

8 1 8 ? 4 ? 2 ? ,所以四棱锥 D1 ? ABCD 的体积为 。…………14 3 3 3

?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 ,解得 ? .…………3 分 ?? y ? 1 ? 0 ?y ?1

所以直线 l 过定点 (?2,1) .………………………………………………………………4 分 (2) x ? 0 时, y ? 1 ? 2k ;………………………………………………………………5 分

1 ? 2k .………………………………………………………………6 分 k 因为直线 l 交 x 负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B ,所以 k ? 0 .…………………………8
当 y ? 0 时, x ? ? 分

1 1 ? 2k (1 ? 2k ) 2 1 (1 ? 2k ) ? ? ? 2k ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,…………11 分 2 k 2k 2k 1 1 1 当且仅当 2k ? ,即 k ? 时( k ? ? 舍去) ,等号成立,…………………12 分 2k 2 2 1 此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .…………………………14 分 2
所以 S ?OAB ? 第二部分 16.D 【解析】 k1 ? k2 ? ?1 ? a ? 17. P ? Q 【 解 析 】 {an } 等 比 , 有 a5 ? a7 ? a3 ? a9 , 所 以 由 基 本 不 等 式 得 期末考试(共 50 分)

2 ,所以选 D。 3

a3 ? a9 ? a3 ? a9 ? a5 ? a 7 ? Q 当 且 仅 当 2 而 q ? 1 ,所以等号不能成立!故 P ? Q 。 a3 ? a9即公比q ? 1时等号成立。 P?
18. (本小题满分 12 分) 证明: (1)∵EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,……………………………1 分 ∵EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,……………………………………2 分 ∴直线 EF∥面 ACD;…………………………………………………4 分 (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,…………………………………6 分 ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD………………………………8 分 又 EF∩CF=F,EF ? 面 EFC, CF ? 面 EFC …………………………9 分
7

∴BD⊥面 EFC, ………………………………………………………11 分 ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD ………………………………12 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,∴ a1 ? 2 .…………………………………………1 分

a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6 ……………………………………………………………2 分 a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16 ……………………………………………………………3 分
(2) Sn ? 2an ? 2n ,当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2n?1 ,且 an ? Sn ? Sn?1 ……………4 分 ∴ an ? 2an ? 2an?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2an?1 ? 2n?1 (n ? 2) ……………………………… 6 分

an?1 ? 2an 2n ∵ ………………………………………………………………7 分 ? ?2, an ? 2an?1 2n?1
∴ {an?1 ? 2an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.…………………………………8 分 ( 3 由( 2 )得 an ? 2an?1 ? 2n?1 ,∴ 分 由累加法可得 分 当 n ? 1 时, a1 ? 2 也满足上式,………………………………………………………… 13 分 ∴ an ? (n ? 1) ? 2n?1 ………………………………………………………………………… 14 分 20. (本小题满分 14 分) 解 (1) 当 t ? 10 ? t 即 t ? 5 时, 直线 PQ 的方程为 x ? 5 , 显然不过 M(6,1), N(4,5); ………… 1分 当 t ? 10 ? t 即 t ? 5 时,令过点 P、Q 的直线方程为 得

an 2an ?1 ? 2n?1 a an ?1 ? ? nn ? n ? 1 (n ? 2) …… 10 n ?1 n ?1 ?1 2 2 2 2 ?2

an a ? 1 ? n ? 1 ? an ? (n ? 1) ? 2n?1 (n ? 2) . ………………………12 n ?1 0 2 2

y ? 0 x ? (10 ? t ) ? , t ? 0 t ? (10 ? t )
t2
- 10t =
8

tx



2(t



5)y



0,…………………………………………………………………2 分 假设 PQ 过点 M, 则有 t ? 6t ? 10 ? 0 , 而Δ =36-40<0, 无实根, 故 PQ 不过点 M, …
2

3分 假设 PQ 过点 N, 同理得 t ? 16t ? 50 ? 0 , 解得 t1 ? 8 ? 14 , . … t2 ? 8 ? 14(舍)
2

4分 ∵

t?

(0,10)







t ? 8?

1 , 4



线

PQ





N. …………………………………………5 分
(2) 由已知条件可设 A(a,0), B(2a,0), C(2a, a), D(a, a). …………………………………… 6分 ① 证明: 点 C(2a, a), 即? 8分 ② 令阴影部分面积为 S ,则 S ? ∵

? x ? 2a 1 1 , 消去 a 得 y= x, 故顶点 C 在直线 y= x 上. ……… 2 2 ?y ? a
1 |10 ? t | ? | t | ? a 2 , 2
, ∴

t ? 0,10 ? t ? 0

S?

1 2 (?t ? 10t ) ? a 2 2
∵ 点

………………………………………………10 分 ,

C(2a

a)





线

PQ







2at ? (2t ?10)a ? ?t 2 ? 10t ………………………………11 分
a? S? 1 (10t ? t ) 10


1 5 25 ?10a ? a 2 ? ?(a ? ) 2 ? ,……………………………………12 分 2 2 4
∴ 当

a?

5 2





Sm ?

25 ,…………………………………………………………………… 13 分 a x 4




A(

5 2

, 分B .………………………………………………………14

5 2

9


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