2012GK理科不等式、推理与证明精编版(教师版)


2012GK 理科不等式、推理与证明精编版(教师版) 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在 生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天 生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 y 桶乙产品,总利润为 Z, 【答案】C.【解析】设生产 x 桶甲产品,

? x ? 2 y ? 12 ?2 x ? y ? 12 ? 则约束条件为 ? ,目标函数为 Z ? 300 x ? 400 y , x?0 ? ?y ? 0 ?
方程组 ?

? x ? 2 y ? 12 得 M (4,4) ,代入目标函数得 z ? 2800 ,故选 C. ?2 x ? y ? 12

某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产 量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入减去总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 【答案】B

? x ? y ? 50 ? x ? y ? 50 ? ? 【解析】 设黄瓜的种植面积为 x ,韭菜的种植面积为 y , 则有题意知 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 , ?4 x ? 3 y ? 180 , 即 ? x, y ? 0 ? x, y ? 0 ? ?
目标函数 z ? 0.55 ? 4 x ? 0.3 ? 6 y ? 1.2 x ? 0.9 y ? x ? 时,直线 y ? ?

9 y ,作出可行域如图,由图象可知当直线经过点 E 10

? x ? y ? 50 ? x ? 30 10 10 x ? z 的解决最大,此时 z 取得最大值,由 ? ,解得 ? ,选 B. 9 9 ?4 x ? 3 y ? 180 ? y ? 20

下列不等式一定成立的是 A. B.

C. 【答案】C.

D.

1

? x ? y ?3? 0 ? 若函数 y=2 图像上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ? x?m ?
x

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

【答案】B.

【解析】 如图
x

当直线 x ? m 经过函数 y ? 2 的图像与直线 x ? y ? 3 ? 0 的交点
x

时,函数 y ? 2 的图像仅有一个点在可行域内,有方程组 ?

?

y ? 2x

?x ? y ? 3 ? 0

得 x ? 1 ,所以 m ? 1 ,故选B.

c b c 已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则
【答案】 ? e, ? 。 7 【考点】可行域。

b 的取值范围是 a



c 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为:

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 a b y ? 设 =x,y = ,则题目转化为:已知 x y 满足 ? ,求 的取值范围。 , x c c x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x y )所在平面区域(如图) 。求出 y =e x 的切 , 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? ,

2



y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x
b y 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? 。 7 7 a x

若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 k ? __________. 【答案】 k ? 2 【解析】由 | kx ? 4 |? 2 可得 2 ? kx ? 6 ,所以 1 ?

?

?

k k x ? 3 ,所以 ? 1 ,故 k ? 2 。 2 2

? m 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) , b
则实数 c 的值为 .

2 ? 【答案】9。 【解析】由值域为 [0 , ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ?

a2 , 4

a2 ? a? ??x? ? 。 ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? 4 ? 2?
2 2

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
m ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 。
设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________. 【答案】 a ? 2 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A) ? (B) ?
? (a-1) x-1 ? 0 , 无解; 2 ? x -ax-1 ? 0 ? (a-1) x-1 ? 0 , 无解. 2 ? x -ax-1 ? 0

2

a 2

a 2

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间上,我们可 以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1).

3

考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( 舍去 a ? ? 2 ,得答案: a ? 2 .

1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1
2

a 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 ,解之得: a ? ? 2 , ,0),代入得: ? ? ? a ?1 ? a ?1? a ?1

我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之, 即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ? 过一些类似的近似公式. 根据 π =3.14159? 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11. d ? 【答案】D
3 3

16 V . 人们还用 9

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

设 N=2 (n∈N ,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2? xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出, 并按原顺序依次放入对应的前 排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN,将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段

n

*

N N 和后 个位置, 得到 2 2

N 个数,并对每段作 C 变换,得到 2

p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段

N 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时, 2i

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2 【解析】 (1)当 N=16 时,
n? 4

? 11

P ? x1 x2 x3 x4 x5 x6 ? x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5,6,?,16) , 0
P ? x1x3 x5 x7 ? x15 x2 x4 x6 ? x16 ,即为 (1,3,5,7,9,? 2, 4,6,8,?,16) , 1 P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6 ? x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,?,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置,;

4

(2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2

n? 4

? 11 个位置.

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个: 11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,?,191,202,?,999.则 (Ⅰ 位回文数有 )4 【答案】90, 9 ? 10
n

个; ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有 (Ⅱ

个.

【解析】 )4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0,有 9(1~9) (Ⅰ 种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种。 答案:90 (Ⅱ )法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位 数 的 中 间 添 加 成 对 的 “ 00,11,22, ? ? 99 ” 因 此 四 位 数 的 回 文 数 有 90 个 按 此 规 律 推 导 , ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数,因此 则答案为 9 ? 10 .
n

,

设 a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? x? y?z

1 4 【答案】C
A.
2

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

【解析】由于 (a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z a b c a?b?c a?b?c 所以由题知 t ? 1 / 2 , 又 ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z
等号成立当且仅当 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12° (4)sin (-18°)+cos 48°- sin (-18°)cos 48° (5)sin (-25°)+cos 55°- sin (-25°)cos 55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5

(Ⅰ )已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ )试用(Ⅰ )的结果证明如下命题: 设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ )请将(Ⅱ )中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. ..... 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . 【答案】 ) f ?( x) ? r ? rxr ?1 ? r (1 ? xr ?1 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . (Ⅰ 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ? ?) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . (Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 xr ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a 2 中有一个为 0,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 成立;
6



若 a1 , a 2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是 在①中令 x ?

a1 a a , r ? b1 ,可得 ( 1 )b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) , a2 a2 a2

即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) ,亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . 综上,对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数且 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . (Ⅲ (Ⅱ ) )中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 , ?, an 为非负实数, b1 , b2 , ?, bn 为正有理数.
b b b 若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 a11 a22 ?ann ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .





用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立. (2)假设当 n ? k 时,③成立,即若 a1 , a2 ,?, ak 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk 为正有理数,
b b b 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? 1 ,则 a11 a22 ?akk ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk .

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 ,?, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk , bk ?1 为正有理数, 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bk ?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
a a ?a a
b1 1 b2 2 bk k bk ?1 k ?1

? (a a ?a )a
b1 1 b2 2 bk k

bk ?1 k ?1

= (a

b1 1?bk ?1 1

a

b2 1?bk ?1 2

?a

bk 1?bk ?1 1?bk ?1 k

)

b 1 akk??1 .



bk b1 b2 ? ??? ? 1 ,由归纳假设可得 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

a

b1 1?bk ?1 1

a

b2 1?bk ?1 2

?a

bk 1?bk ?1 k

? a1 ?

a b ? a2 b2 ? ? ? ak bk bk b1 b2 ? 11 ? a2 ? ? ? ? ak ? , 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1
1?bk ?1 b 1 ak k??1 .

从而 a a ?a a
b1 1 b2 2 bk k

bk ?1 k ?1

? a b ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ?? 11 ? 1 ? bk ?1 ? ?

又因 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?

1?bk ?1 b 1 ak k??1 ?

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 1 ? bk ?1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,
b b 1 b 从而 a1b1 a22 ?akk akk??1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 .

故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1) (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明: )中如果推广形式中指出③ (Ⅲ 式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情况.

7

若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? 2 ? a ? 4 . 在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为___________。 【答案】 A ? {x ?

.

3 3 ?x? } 2 2

不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 【答案】 ? x x ?

? ?

1? ? 4?
1 ? ? ?3, ( x ? ? 2 ) 得 ? 1 ? ? ?4 x ? 1, (? ? x ? 1) 2 ? 3, ( x ? 1) ? ? ?

【解析】令 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2 x ?1 ,则由 f ( x )

f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? 1 ? .
? ? ? 4?

已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
已知 f ( x) ?| ax ? 1| (a ? R) ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x ? 2 ? x ? 1 。 } (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 f ( ) ? k 恒成立,求 k 的取值范围。

x 2

8

在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R ) 的距离是 _____

【答案】 3 【解析】圆 ? ? 4sin ? ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心 C (0, 2) , 直线 l : ? ? ? ( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是 0 ? 2
6
2 3 ? 3



如图,点 D 在 ? O 的弦 AB 上移动, AB ? 4 ,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交 ? O 于点 C,则 CD 的最 大值为 . B D C

.
O A

第 15 题图 【答案】2 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 【答案】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查基本运算能力,以及化归与转化思想.

已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . ,2x ? y |? , | 3 6 18

证明:∵ 3| y | =| 3 y | = | 2 ? x ? y ? ? ? 2x ? y ? |? 2 x ? y ? 2x ? y , 由题设 | x ? y |?

1 1 1 1 5 5 ∴ ,2x ? y |? , 3| y |< ? = 。∴ | y |? | 3 6 3 6 6 18
9


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