第二章.第一节.函数及其表示


第一节

函数及其表示

1.函数与映射的概念 函数 两集合 A、B 2.函数的定义 域、值域 设 A、 B 是两个________ (1)在函数 y=f(x),x ∈A 中,自变量 x 的取 值范围(数集 A)叫函数 的_______;函数值的 _____是函数的值域. 称__________为从集合 名称 A 到集合 B 的一个函数 A 到集合 B 的一个映射 称 _________ 为 从 集 合 映射 设 A、 B 是____________ (2)如果两个函数的 _____相同,并且____ 完全一致,则这两个函 数为相等函数.

2.函数的定义域、值域 (1)在函数 y=f(x),x∈A 中,自变量 x 的取值范围(数集 A)叫函数 的_______;函数值的______________是函数的值域. (2)如果两个函数的________相同, 并且_________完全一致, 则这两 个函数为相等函数. 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有_______、________和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上, 因__________不同而分别用几个不 同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

1.若两个函数的定义域与值域相同,则一定是相等函数,这种说法 对吗? 【提示】 不对.如 y=sin x 和 y=cos x 的定义域都为 R,值域都

为[-1,1],但不是相等函数判定两个函数是同一函数,当且仅当两 个函数的定义域和对应关系都分别相同. 2.如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象? 【提示】 平移与 x 轴垂直的直线, 平移过程中直线与曲线的公共点 不超过 1 个,曲线为函数的图象.

1.给出四个命题:

①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-3+ 2-x是一个函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线; ④f(x)=lg x2 与 g(x)=2lg x 是同一函数. 其中正确的有( A. 1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.函数 y=x2-2x 的定义域为{0,1,2,3},则其值域为________.

x +1,x≤1, ? ? 3.设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=________. , x >1 , ?x ?
2

4.函数 y=

x+ 1 的定义域为________. x

lg(x2-2x) (1)求函数 f(x)= 的定义域; 9- x 2 (2)若函数 f(x+1)的定义域为[0,1],求函数 f(2x-2)的定义域. 【思路点拨】 (1) 确定部分 写出函数 → 列不等式组 → 约束条件 的定义域

(2)f(2x-2)的定义域受函数 f(x)制约.

1.题(2)中易理解错 f(x)与 f(2x)定义域之间的关系. 2. (1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题, 取交集时可借 助数轴,并注意端点值的取舍. (2)对抽象函数:①若函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(g(x)) 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出.②若已知函数 f(g(x))的定义 域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域.

ln(2+x-x2) (1)函数 f(x)= 的定义域为( |x|-x A.(-1,2) C.(-1,0)

)

B.(-1,0)∪(0,2) D.(0,2)

(2)已知函数 f(x)的定义域为[1,2],则函数 g(x)= 义域为________.

f(2x) 的定 (x-1)0

2 (1)已知 f( +1)=lg x,求 f(x);

x

(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2, f(x+1)-f(x)=x-1, 求 f(x); 2 【审题视点】(1)用换元法,令 +1=t;

x

(2)本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求 解.

1.本题(2)已知函数的类型,可用待定系数法求解. 2.求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法等.如果已知函 数解析式的类型时,可用待定系数法;已知复合函数 f(f(x))的表达 式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;对于抽象函数可 赋值、消元求函数的解析式.求函数的解析式一定要重视定义域,否 则会导致错误.

(1)已知 f(1-cos x)=sin2x,求 f(x)的解析式; (2)已知 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),x∈(-1,1),求 f(x)的解析 式.

(1)根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: 分钟)为

c ? ? x,x<A, f(x)=? (A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品 c ? ? A,x≥A
用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分别是 ( ) B.75,16 C.60,25 D.60,16

A.75,25

1.解答本题(2)时,因自变量范围不确定应分类求解. 2.应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选 定相应关系代入计算求解, 特别要注意分段区间端点的取舍, 当自变 量的值不确定时,要分类讨论. 3.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值是否符 合相应段的自变量的取值范围.

?1-x,x≤0, ? (1)已知函数 f(x)=? x 若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值 ? ?a ,x>0,

等于( A. 1

) B.2 C.3 D.4

x ? ?2 ,x>0, (2)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 ?x+1,x≤0, ?

a 的值

等于(

) B.-1 C.1 D.3

A.-3

求复合函数 y=f(g(x))的定义域的方法 (1)若 y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<g(x)<b 即可求 出 y=f(g(x))的定义域;(2)若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求 出 g(x)的值域即为 f(x)的定义域.

1.解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. 2.用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.

函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域 和对应关系所确定的. 两个函数的定义域和对应关系完全一致时, 则 认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f:A→B 的三要素是集 合 A、B 和对应关系 f.

从近两年高考试题看, 函数的定义域、 分段函数与分段函数有关的方 程、不等式是考查的重点内容,题型以选择题、填空题为主,既重视 三基,又注重思想方法的考查,预计 2014 年仍以分段函数及应用为 重点,同时应特别关注与分段函数有关的方程的问题. 思想方法之二 数形结合求解分段函数问题

|x2-1| 已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两 x- 1 个交点,则实数 k 的取值范围是________.

易错提示:(1)没有化简函数解析式,从而无法画出函数图象求解. (2)不知道直线恒过定点(0,-2),无法确定 k 的取值范围.

防范措施:(1)解析式含有绝对值符号的函数,一般要去掉绝对值符 号,把函数化为分段函数,利用几何直观求解. (2)直线方程中 x 或 y 的系数含有参数时,直线恒过定点,可通过该 点旋转直线寻找满足条件的 k 的取值范围.

1.设

1,x>0, ? ? ? ?1,x为有理数, 0 , x = 0 , f(x)=? g(x)=? 则 f(g(π))的值 ? 0,x为无理数, ? ? ?-1,x<0, )

为(

A. 1

B.0

C.-1

D.π )

2.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x


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