2016届四川省新津中学高三12月月考数学(文)试题


新津中学高三 12 月月考试题 数学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N=( A.{0} B.{0,1}
2 2

). D.{-1,0,1} ).

C.{-1,1}

2. 复数 z 满足(1+i) ·z=-1+i(i 为虚数单位).则在复平面内,复数 z 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )
2

D.第四象限

3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x C.f(x)=- 1 x+1

B.f(x)=x -3x D.f(x)=-|x| ( ).

→ → → 4. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC=0,那么 → → A.AO=OD → → B.AO=2OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD ).

5. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

A.①②

B.①③

C.①④
*

D.②④ ).

6. 在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N ),则 a100 等于 ( A.1 B.-1 C.2 D.0

7. 已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥

S-ABC 的体积为
A.3 3

(

). C. 3 D.1 ).

B.2 3

8.若执行如图所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=3, x =2,则输出的数等于( A. B. C. 1 3 2 3 2 3

D.1



1第

x y 1 → → 9.若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,且PF1·PF2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的 a b 2
离心率为( A. 5 3 ). B.
3

2

2

2 3
2

1 C. 3

D.

1 2

10. 已知函数 f(x)=x +2bx +cx+1 有两个极值点 x1,x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取 值范围是 ( ).

? 3 ? A.?- ,3? ? 2 ?

?3 ? B.? ,6? ?2 ?

? 3 ? C.?- ,12? ? 2 ?

D. [3,12]

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分. 11. 已知 f(x)=x +px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________.
2

?π ? 2 12. 已知 tan? +θ ?=3,则 sin 2θ -2cos θ 的值为________. ?4 ?
13. 若点 P(1,1)为圆 C:(x-3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为________. 14. 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1+a2+…+an=________. 15. 已知函数 f(x)=loga(x -ax+2)在(2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围为________.
2 2 2

n

2

2

2

三.解答题:共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. cos A-2cos C 2c-a 16. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

17.正项数列{an}满足:an-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=

2

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ? n ? 1? an



2第

18. 如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

19. 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低 于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 名,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不 低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学 生,求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

20. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 a b

3 ,以原点为圆心,椭圆 C 的 2

(2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直 线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

21. 已知函数 f ( x) ? 的切线过点 (3, 0) .

a ln x ? b (其中 a ? 2且a ? 0 ) , 函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 与函数 g ( x) ? a ? 2 ? x ?

2 的图像在 (0, 2] 有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. x



3第

12 月月考数学答案(文科)
1-5 BACAD 6-10 BCCAD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分. 11. 6 4 12.- 5 13. 2x-y-1=0 14. 1 n (4 -1) 3 15. (1,3]

三.解答题:共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. cos A-2cos C 2c-a 16. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 解 2c-a 2sin C-sin A (1)由正弦定理,则 = , b sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, sin C 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此 =2. sin A (2)由 sin C =2,得 c=2a. sin A

1 1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= ,b=2,得 4=a2+4a2-4a2× .解得 a=1,从而 c=2. 4 4 1 15 因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= , 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = 2 2 4 4 17.正项数列{an}满足:a2 n-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ?n+1?an 解:(1)由 a2 n-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 1 1 1 1 (2)由 an=2n,bn= ,得 bn= = ?n-n+1?. ? ?n+1?an 2n?n+1? 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn= ?1-2+2-3+…+n-1-n+n-n+1?= ?1-n+1?= 2? 2 ? ? ? 2?n+1?. 18. 如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD;
页 4第

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD. 证明 (1)如图,连结 AC,AN,BN, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AC,在 Rt△PAC 中,N 为 PC 中点, 1 ∴AN= PC. 2 ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC,又 BC⊥AB,

PA∩AB=A,
∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥PB, 从而在 Rt△PBC 中,BN 为斜边 PC 上的中线, 1 ∴BN= PC.∴AN=BN,∴△ABN 为等腰三角形,又 M 为底边的中点,∴MN⊥AB, 2 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)连结 PM、MC,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC,∴PA=BC. 又∵M 为 AB 的中点,∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM. 又 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面 PCD.

19. 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 名,试估计该校高一年级期中考试数学成 绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学 生,求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 解:(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得 a=0.03. (2)根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1-10×(0.005+0.01)=0.85. 由于该校高一年级共有学生 640 名,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成 绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544. (3)成绩在[40,50)分数段内的人数为 40× 0.05=2,成绩在[90,100]分数段内的人数为 40×0.1=4,则记
页 5第

在[40,50)分数段的两名同学为 A1,A2,在[90,100]分数段内的同学为 B1,B2,B3,B4. 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法共有 15 种. 如果 2 名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这 2 名学生的数学成绩之 差的绝对值一定不大于 10;如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这 2 名 学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 则所取 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的取法有(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4), 7 (B2,B3),(B2,B4),(B3,B4)共 7 种取法,所以所求概率为 P= . 15 x2 y2 3 20. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C 的 a b 2 短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T. 求证:点 T 在椭圆 C 上. (1)解 由题意知,b= 2 = 2. 2 c ?2 1 1-? ?a? =2. 所以 a=2 2.

c 3 b 因为离心率 e= = ,所以 = a 2 a x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2

(2)证明 由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0), y0-1 则直线 PM 的方程为 y= x+1,① x0 y0-2 直线 QN 的方程为 y= x+2.② -x0 3y0-4 x0 法一 联立①②解得 x= ,y= , 2y0-3 2y0-3 即 T?

? x0 ,3y0-4?.由x0+y0=1,可得 x2=8-4y2. ? 0 0 ?2y0-3 2y0-3? 8 2

2

2

2 2 1 x0 1?3y0-4?2 x0+4?3y0-4? 因为 ?2y -3?2+ ? = ? 8? 0 ? 2?2y0-3? 8?2y0-3?2



2 2 8-4y2 32y2 0+4?3y0-4? 0-96y0+72 8?2y0-3? = = =1, 2 2 8?2y0-3? 8?2y0-3? 8?2y0-3?2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 3y-4 x 法二 设 T(x,y),联立①②解得 x0= ,y0= . 2y-3 2y-3 x2 y2 1 x 1?3y-4?2 0 0 因为 + =1,所以 ?2y-3?2+ ? =1. 8 2 8? ? 2?2y-3? ?
2 x2 ?3y-4? 整理得 + =(2y-3)2, 8 2



6第

x2 9y2 x2 y2 所以 + -12y+8=4y2-12y+9,即 + =1. 8 2 8 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 21. 已知函数 f ( x) ?

a ln x ? b (其中 a ? 2且a ? 0 ) ,函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (3, 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

2 的图像在 (0, 2] 有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. x a ln x ? b a ? b ? a ln x 解: (1) f ( x) ? ,? f (1) ? b , f '( x) ? |x ?1 ? a ? b x x2 ? y ? b ? (a ? b)( x ? 1) ,切线过点 (3, 0) ,? b ? 2a a ? b ? a ln x a (ln x ? 1) f '( x) ? ?? 2 x x2 1 1 ① 当 a ? (0, 2] 时, x ? (0, ) 单调递增, x ? ( , ??) 单调递减 e e 1 1 ② 当 a ? (??, 0) 时, x ? (0, ) 单调递减, x ? ( , ??) 单调递增 e e
(Ⅱ)若函数 f ( x) 与函数 g ( x) ? a ? 2 ? x ?

a ln x ? 2a 2 ? a ? 2 ? x ? 在 (0, 2] 只有一个根 x x 2 即 x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ? 0 在 (0, 2] 只有一个根
(2)等价方程 令 h( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2 ,等价函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点
2

(2 x ? a )( x ? 1) x ① 当 a ? 0 时, h( x) 在 x ? (0,1) 递减, x ? (1, 2] 的递增 当 x ? 0 时, h( x) ? ?? ,要函数 h( x) 在 (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点 2 ? h(1) ? 0 或 h(2) ? 0 ,? a ? ?1 或 a ? ? ln 2 ? h '( x) ?
②当 a ? (0, 2) 时, h( x) 在 x ? (0, ) 递增, x ? ( ,1) 的递减, x ? (1, 2] 递增

a 2

a 2

a ? h( ) ? h(1) ? a ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 时, h( x) ? ?? ,? h(e ?4 ) ? e ?8 ? e ?4 ? 2 ? 0 2 a ? h( x) 在 x ? (0, ) 与 x 轴只有唯一的交点 2
③当 a ? 2 , h( x) 在 x ? (0, 2] 的递增 ? f (e ) ? e ? h( x) 在 x ? (0, 2] 与 x 轴只有唯一的交点
?4 ?8

? e?4 ? 2 ? 0,

f (2) ? 2 ? ln 2 ? 0

故 a 的取值范围是? a ? ?1 或 a ? ?

2 或0 ? a ? 2 . ln 2



7第


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